СИСТЕМА ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ

СИСТЕМА ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
К ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ.
ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Данный подбор задач по планиметрии предназначен как для учителей
математики, работающих в выпускных (9, 11) классах, так и для
самоподготовки учащихся 9-11 классов к итоговой аттестации.
Цель данной разработки – не только помочь учащимся освежить в
памяти изученный материал школьного курса геометрии, но отработать
навыки решения задач школьного курса геометрии: планиметрии.
Подбор задач представлен делением на две группы. Задачи I группы
по сложности примерно соответствуют уровню обязательной подготовки
выпускника школы. Однако учитывая, что овладение умениями решения
задач уровня обязательных результатов обучения зачастую не достаточно для
качественной сдачи экзамена, предлагается II группа задач более высокого
уровня сложности.
Безусловно,
решение
данных
задач
потребует
от
учащихся
определенных математических знаний и настойчивости. Так некоторые
задачи, вероятно, будут вызывать затруднение. Необходимо определить, что
именно вызвало у учащегося затруднение, дать возможность самому
учащемуся произвести анализ собственной неудачи и задать направление:
если затруднение вызвано тем, что недостаточно хорошо усвоена та или иная
тема планиметрии, нужно направить учащегося на работу с учебником и
постараться восполнить обнаруженный пробел в знаниях; если учебника явно
не достаточно, то направить учащегося на работу с дополнительными
справочными пособиями.
1
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПЛАНИМЕТРИИ
Перед тем как преступить к решению задач, необходимо вспомнить
основные определения, аксиомы, теоремы планиметрии. Затем рассмотреть
примеры решения геометрических задач.
Пример 1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной
окружности делит гипотенузу на отрезки 5см и 12см. Найти катеты
треугольника.
А
Решение. В ∆АВС (рис.1) угол С прямой,
D
AD=5см, DВ=12см.,
F
E и F- точки касания вписанной
окружности и соответствующих катетов.
С
Е
AD=AF, BD=BE, FC=EC по свойству
Рис. 1
В
касательных к окружности, проведенных из одной точки.
Пусть ЕС=x, тогда по теореме Пифагора для ∆АВС можно
записать
(не подходит).
Итак, АС=5+3=8см, ВС=12+3=15см.
Ответ. 8см, 15см.
Пример 2. Средняя линия равнобокой трапеции, описанной около круга,
равна 68см. Определить радиус этого круга, если нижнее основание трапеции
больше верхнего на 64см.
B
C
Решение. Если чертеж выполнен неаккуратно,
то может показаться, что средняя
линия трапеции является
диаметром круга.
Из рисунка 2 видно, что это не так.
по свойству средней линии трапеции.
A
E
D
Рис. 2
AD-BC=64 по условию.
2
Решая эту систему уравнений, получаем AD=100, BC=36.
По свойству описанного четырехугольника AB+CD=DC+AD, так как
AB=CD, то АВ=
, или АВ=68.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE (BE  AD). Так как трапеция
равнобокая, то АЕ=
.
По теореме Пифагора для ∆АВЕ имеет
ВЕ=
. Отсюда
.
Зная, что ВЕ=2R, имеем R=30.
Ответ. 30см.
Пример 3. Найти длину основания равнобедренного треугольника, площадь
которого равен 25
, а углы
при основании таковы, что tg =4.
Решение. В треугольнике АВС (рис 3)
B
BD  AC, АВ=ВС.
По свойству равнобедренного треугольника
AD=DC. Обозначим BD=h, AD=а, тогда
tg = ;
α
.
Получили систему уравнений
A
D
C
Рис. 3
h=4а,
, а=2,5 или а =-2,5 (не подходит). Отсюда в треугольнике АВС
основание АС=2а=5.
Ответ. 5см.
3
Пример 4. Один из катетов прямоугольного равен 15см, а проекция другого
катета на гипотенузу равна 16см. Найти радиус окружности, вписанной в
треугольника.
Решение. Воспользуемся формулой r = .
Для этого вычислим все стороны
x
D
15
16
треугольника. На рисунке 4 ВСАС,
АС=15, CDAB, BD=16.
С
y
B
Обозначим AD=x, BC=y. Для ∆АВС по теореме Пифагора
или
,
.
Для ∆ADC по теореме Пифагора
Для ∆BDC по теореме Пифагора
, или
.
, или
.
Следовательно,
Получим систему уравнений
Складывая уравнения, получаем, что
,
,
(не подходит); у=20.
Итак, АС=15, ВС=20, АВ=25, тогда
Ответ. 5см.
4
Пример 5. В круговой сектор, дуга которого содержит 60, вписан круг.
Найти отношение площади сектора к площади этого круга.
Решение. На рисунке 5
– радиус круга,
A
проведенный в точку касания.
Поэтому
O1
 OA. Аналогично
 OB.
(прямоугольные
B
треугольнике с общей гипотенузой
и равными катетами
Следовательно,
C
O
).
, т.е.
Отсюда
.
.
Если обозначить радиус круга r, а радиус кругового сектора R, то R=3r.
Площадь круга
, площадь сектора
Ответ.1,5.
5
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ
I Группа
1.01 Разность двух углов, получившихся при пересечении двух прямых,
равна 20. Найти больший из этих углов.
1.02 Углы треугольника пропорциональны числам 3:7:8. Найти наибольший
угол треугольника.
1.03 Угол при вершине равнобедренного треугольника на 60 больше угла
при основании. Найти угол при основании треугольника.
1.04 Сумма трех углов, полученных при пересечении двух прямых, равна
265. Найти больший из этих углов.
1.05 Углы ABC и CBD смежные. Угол ABC больше угла CBD на 30. Найти
угол CBD.
1.06 Один из смежных углов в 8 раз меньше другого. Найти больший угол.
1.07 В равнобедренном треугольнике угол, смежный с углом при вершине
треугольника, равен 70. Найти угол при основании треугольника.
1.08 Один из двух внутренних односторонних углов при параллельных
прямых и секущей на 60 меньше другого. Найти больший из этих углов.
1.09 Один из внутренних односторонних углов при параллельных прямых и
секущейся в 17 раз меньше другого. Найти меньший из этих углов.
1.10 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26см, а его катеты
относятся как 5:12. Найти больший катет треугольника.
1.11 Найти площадь прямоугольного треугольника, если его катеты
относятся как 3:4, а гипотенуза равна 25.
1.12 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а один из катетов
5. Найти площадь этого треугольника.
1.13 Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника по его
гипотенузе, равной 4
.
6
1.14 Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12см, а
гипотенуза больше другого катета на 8см. Найти гипотенузу.
1.15 Найти площадь прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза
313, а один из катетов 312.
1.16 Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6. Другой катет
равен 8. Найти длину медианы, поведенной к гипотенузе.
1.17 В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из прямого угла,
равна одному из катетов. Найти меньший угол треугольника.
1.18 В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2.
Больший катет равен 4
. Найти радиус описанной окружности.
1.19 В прямоугольном треугольнике ABC известно, что C = 90 A=40.
Около треугольника описана окружность с центром O. Найти AOC.
1.20 Катеты прямоугольного треугольника равны 3см. и 4см. Найти радиус
описанной окружности.
1.21 В прямоугольном треугольнике один катет равен 3, радиус описанной
окружности R= . Найти другой катет.
1.22 Вокруг прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 описана
окружность. Найти ее радиус.
1.23 Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника,
равен 10, а один из катетов равен 6. Найти другой катет.
1.24 Катет
и
гипотенуза
прямоугольного
треугольника
равны
соответственно 10 и 26. Найти радиус вписанной окружности.
1.25 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 3см., а котангенс
прилежащего угла равен 0,75. Найти гипотенузу.
1.26 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20см., а косинус
одного угла равен 0,8. Найти больший катет.
1.27 В прямоугольном треугольнике тангенс одного угла равен 0,6.
Меньший катет равен 3. Найти больший катет.
7
1.28 Найти радиус круга, описанного около равностороннего треугольника
со стороной а=12
.
1.29 Найти площадь равностороннего треугольника со стороной а=6
1.30 Площадь правильного треугольника равна
.
. Найти длину его
биссектрисы.
1.31 Найти площадь равностороннего треугольника, есть радиус вписанной
окружности r =
.
1.32 В равностороннем треугольнике высота равна 9. Найти радиус
вписанной в треугольник окружности.
1.33 Радиус окружности равен 10. Найти длину медианы вписанного в нее
правильного треугольника.
1.34 Около равнобедренного треугольника описана окружность радиуса
2
. Угол при основании треугольника 60. Найти площадь треугольника.
1.35 Найти
радиус
окружности,
описанной
треугольника, боковая сторона которого равна 2
около
равнобедренного
, а угол при вершине 60.
1.36 В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса
. Угол
при основании 60. Найти основание.
1.37 Основание равнобедренного треугольника в 3 раза меньше его боковой
стороны, а его периметр равен 14см. Найти основание треугольника.
1.38 В равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию,
равен 120, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 8см. Найти
боковую сторону.
1.39 В равнобедренном треугольнике АВС (основание АС) проведена
медиана ВК, АВС=36. Найти углы ∆ВАК.
1.40 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол
при вершине А равен 150. Найти угол АВС.
8
1.41 В равнобедренном треугольнике основание равно
, угол при вершине
120. Определить проекцию высоты на боковую сторону.
1.42 Найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного
треугольника АВС, если высота h, проведенная из вершины на основание,
равна 4
и угол при вершине В равен 120.
1.43 В равнобедренном треугольнике углы при основании 30, а высота,
опущенная на это основание, равна 3. Найти радиус описанной окружности
треугольника.
1.44 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны 30, а само
основание 3
. Найти радиус описанной окружности.
1.45 Боковая сторона равнобедренного треугольника, основание которого
равно 4, делится точкой касания вписанной в него окружности в отношении
3:2, считая от вершины. Найти периметр треугольника.
1.46 Найти высоту равнобедренного треугольника, если его основание
равно 6, а боковая сторона 5.
1.47 Найти площадь равнобедренного треугольника, если его основание
равно 16, а боковая сторона 10.
1.48 Найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если его
основание равно 18, а площадь 108.
1.49 Высота равнобедренного треугольника равна 15. Основание больше
боковой стороны на 15. Найти основание этого треугольника.
1.50 Высота равнобедренного треугольника равна 15см, а основание 16см.
Найти боковую сторону треугольника.
9
II Группа
2.01 Найти площадь прямоугольного треугольника с катетом 2,5 и
гипотенузой
.
2.02 Из вершины прямого угла А прямоугольного треугольника к
гипотенузе проведены медиана АМ и высота АК. Найти длину отрезка МК,
если катеты равны 6 и 3
.
2.03 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25, а один из катетов
равен 10. Найти проекцию другого катета на гипотенузу.
2.04 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 1:3. Найти высоту
треугольника, опущенную из вершины прямого угла, если гипотенуза равна
40.
2.05 Из одной точки проведены перпендикуляр и две наклонные длиной
10см и 17см к данной прямой. Проекции наклонных относятся как 2:5. Найти
длину перпендикуляра.
2.06 В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5 вписан квадрат,
имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр квадрата.
Ответ записать в виде десятичной дроби.
2.07 В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким
образом, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие – на катетах.
Сторона квадрата равна 3. Найти длину гипотенузы.
2.08 В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник
таким образом, что он имеет с треугольником общий прямой угол. Периметр
этого прямоугольника равен 25см. Найти катет треугольника.
2.09 В прямоугольный треугольник с углом 60 вписан ромб так, что угол в
60 у них общий, остальные три вершины ромба лежат на сторонах
треугольника. Найти длину большего катета, если длина стороны ромба
равна
.
10
2.10 В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан ромб так, что
один острый угол у них общий и все четыре вершины ромба лежат на
сторонах треугольника. Найти стороны ромба, если длина катета равна
.
2.11 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а проекция
меньшего катета на гипотенузу 3,6. Найти радиус окружности, вписанной в
этот треугольник.
2.12 В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания
окружности и гипотенузы делит ее на отрезки 3 и 10. Найти больший катет.
2.13 Радиусы
вписанной
и
описанной
окружностей
прямоугольного
треугольника равны соответственно 2 и 5. Найти больший катет
треугольника.
2.14 В равнобедренном треугольнике разность двух неравных внутренних
углов равна 90. Найти больший угол (в градусах).
2.15 Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника АВС при
основании АС образует с основанием угол 126. Найти величину АВС (в
градусах).
2.16 Найти
высоту
равнобедренного
треугольника,
боковая
сторона
которого равна 5, а косинус угла при вершине равен -. .
2.17 В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 5, а косинус
угла при основании 0,6. Найти радиус вписанного круга.
2.18 В треугольнике внутренние углы относятся как 2:3:5. Найти внешний
угол треугольника, смежный с меньшим внутренним углом (ответ выразить в
градусах).
2.19 Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что
угол CAD равен угла ACD. Периметры треугольников ABC и ABD равны 18см
и 11см. Найти длину AC.
11
2.20 В остроугольном треугольнике АВС, площадь которого 10
, сторона
АС равна 5м, tgBAC=4. Найти величину угла между сторонами АС и ВС (в
градусах).
2.21 В треугольнике АВС известно, чтоА=45 и ctgВ=0,25. Найти
сторону АВ, если площадь треугольника равна 10.
2.22 В треугольнике со сторонами а, b и c на сторону с опущена высота h.
Найти ее длину, если а=4, b=3, с=5. Ответ записать в виде десятичной дроби.
2.23 Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 13, 14, 15.
2.24 BD – высота треугольника АВС. Из точки D на сторону ВС опущен
перпендикуляр DE. Найти BD, если ЕС=4, DE=3. Ответ записать в виде
десятичной дроби.
2.25 Из вершины треугольника с основанием а=4 проведены к а высота
h=12 и медиана m=13. Найти большую боковую сторону.
2.26 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена
медиана BD=8см. Периметр треугольника АВD=24см. Чему равен периметр
∆АВС?
2.27 Найти
радиус
окружности,
описанной
около
равнобедренного
треугольника с основанием 16, высотой 4.
2.28 Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5.
Сторона АВ=5, высота BD=4. Найти ВС.
2.29 Найти
радиус
окружности,
описанной
около
треугольника
со
сторонами 8, 15, 17.
2.30 Расстояние от боковой стороны равнобедренного треугольника, равной
16, до центра описанной около него окружности равно 6. Найти радиус этой
окружности.
2.31 В треугольнике АВС сторона ВС=6,5, сторона АС=10. Расстояние от
центра окружности, описанной около этого треугольника, до стороны АС
равно 12. Найти синус угла А.
2.32 Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника и
проходит через вершину противолежащего острого угла. Найти радиус
12
окружности, если центр лежит на гипотенузе, а длины катетов равны 3 и
2
.
2.33 Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
.
Через центр окружности проведена прямая, параллельная одной из сторон
треугольника. Найти отрезок этой прямой, заключенный между двумя
другими сторонами треугольника.
2.34 В треугольнике вписан ромб, угол которого совпадает с углом
треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 12 и
18. Найти сторону ромба. Ответ записать в виде десятичной дроби.
2.35 Около равностороннего треугольника описана окружность радиуса
R=2
, через центр которой проведена прямая, параллельная одной из
сторон треугольника. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного
между двумя другими сторонами треугольника.
2.36 В треугольнике АВС величина угла при вершине С равна . Найти
синус угла В, если АС=12,3 и АВ=61,5.
2.37 Б.37 Найти синус угла А в треугольнике АВС, если ВС=3
, АС=15 и
АВС=60.
2.38 В треугольнике АВС углы В и С соответственно равны
длину стороны АС, если АВ=
и . Найти
.
2.39 В треугольнике АВС проведена медиана АК, равная
и
составляющая со стороной АС угол 30. Найти ВС, если ВСА=45.
2.40 В треугольнике АВС даны три стороны а=
, b=2, с=3. Найти его
медиану
2.41 Меньшая диагональ ромба равна
, его площадь 1,5. Найти величину
тупого угла ромба.
13
2.42 Диагональ ромба равен 45
, косинус противолежащего ей угла равен
. Найти сторону ромба.
2.43 Сторона ромба равна 4. Радиус окружности, вписанной в этот ромб,
равен 1. Найти величину острого угла ромба (в градусах).
2.44 В окружность радиуса R=3
см. вписан квадрат. Из одной вершины
этого квадрата проведены две хорды, стягивающие дуги по 120. Найти
длину отрезка диагонали квадрата, заключенного между этими хордами.
2.45 Одна из диагоналей параллелограмма, равная
, составляет с
основанием угол 60. Найти длину второй диагонали, если она составляет с
тем же основанием угол 45.
2.46 Периметр прямоугольника ABCD равен 24 см. Точка О принадлежит
этому прямоугольнику. Найти сумму расстояний от этой точки до всех
сторон прямоугольника.
2.47 В параллелограмме ABCD высота ВЕ делит сторону AD в точке Е
пополам. Найти сторону АВ, если периметр параллелограмма равен 7, а
периметр треугольника АВD равен 5. Ответ записать в виде десятичной
дроби.
2.48 В параллелограмме боковая сторона равна 8 и острый угол при
основании 30. Найти проекцию высоты, опущенной на основание, на
боковую сторону.
2.49 Диагонали параллелограмма соответственно равны 17см и 19см. Одна
сторона 10см. Найти другую сторону.
2.50 В параллелограмме ABCD проведена высота ВК. Известно, что
АВК=30, АК=5, KD=8. Найти углы и стороны параллелограмма.
14
ПРИЛОЖЕНИЕ
1 Группа
2 Группа
1.
100
26.
16см.
1.
10
26.
32см.
2.
80
27.
5
2.
0,5
27.
10
3.
40
28.
12
3.
21
28.
8
4.
95
29.
27
4.
12
29.
8,5
5.
75
30.
1
5.
8
30.
10
6.
160
31.
9
6.
7,5
31.
0,25
7.
35
32.
3
7.
9
32.
2,1
8.
120
33.
15
8.
12,5
33.
4
9.
10
34.
9
9.
1,8
34.
7,2
10.
24см.
35.
4
10.
0,4
35.
4
11.
150
36.
6
11.
2
36.
0,1
12.
30
37.
2
12.
12
37.
0,3
13.
8
38.
16
13.
8
38.
10,5
14.
13см.
39.
72
14.
120
39.
6,5
15.
3900
40.
120
15.
36
40.
2
16.
5
41.
3
16.
3
41.
120
17.
30
42.
12
17.
1,5
42.
52,5
18.
4
43.
6
18.
144
43.
30
19.
100
44.
6
19.
7
44.
6
20.
2,5см.
45.
14
20.
45
45.
13,5
21.
4
46.
4
21.
5
46.
12см.
22.
5
47.
48
22.
2,4
47.
1,5
23.
8
48.
12
23.
11,2
48.
2
24.
4
49.
40
24.
3,75
49.
15см.
15
25.
5см.
50.
17см.
25.
37
50.
60
16