Фестиваль "Первое сентября"

Тема: «Решение задач с использованием свойств площадей».
Цель: Освоение различных путей поиска решения задач с использованием свойств площадей.
Ход урока:
І. Устная работа.
На прошлом уроке, ребята, мы с вами доказывали теорему о площади треугольника, вывели
формулу площади треугольника и учились решать задачи с помощью этой формулы. Сегодня мы
рассмотрим способы решения задач нахождения площади треугольника с использованием свойств
площадей.
Вопрос: Какие две фигуры называются равными?
- Две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Вопрос: Какими свойствами площадей обладают равные многоугольники?
- Равные многоугольники имеют равные площади.
- Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме
площадей этих многоугольников.
Вопрос: Можете ли вы привести пример равновеликих (имеющих равные площади)
многоугольников, один из которых можно разрезать на части, из которых можно сложить другой?
- На стенде «К уроку» прикрепляются многоугольники:

прямоугольник, из которого получается равновеликий параллелограмм:

Рисунок 1
параллелограмм, из которого получается равновеликий треугольник:

Рисунок 2
трапеция, из которой получается равновеликий параллелограмм:
Рисунок 3
Вопрос: Можете ли вы пояснить, как именно нужно разрезать вторую и третью фигуры?
Вопрос: Посмотрите, пожалуйста, на доску. Какие свойства площадей треугольников
иллюстрируют эти рисунки?
Рисунок 4
- Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как
S1 a  b

произведения сторон, заключающих эти углы
.
S2 c  d
S1 a
 .
- Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания
S2 b
ІI. Вывод двух новых свойств площадей для решения задач.
Теперь, ребята, выведем ещё 2 свойства площадей треугольников, решая задачи №473, 474 из
учебника [1]. Вызываются по очереди два ученика к доске.
Вопрос: Можете ли вы прочитать формулировку этой задачи как свойство площади треугольника?
№473: «Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь
треугольника не изменится.
Условие задачи: «Через вершину треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне
АВ. Докажите. что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные
площади».
№474: «Медиана треугольника делит его на два равновеликих (имеющих равные площади)
треугольника».
Условие задачи: «Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный
треугольник его медианой».
ІІІ. Применение изученного для решения задач, выбор способа решения
Откройте дидактику [2]С11(2), вар.3 (на доске готовый чертёж, решаем устно)
Условие задачи: «В прямоугольном треугольнике АВС точка О – середина медианы СН,
проведенной к гипотенузе АВ, АС = 6см, ВС = 8см. Найдите площадь треугольника ОВС».
Рисунок 5
Решим из [2] С11(2), вар.2 у доски.
Условие задачи: «На стороне АС треугольника АВС с площадью 36 см2 взята точка D,
AD : DC = 1 : 5. Найдите площадь треугольника ABD».
Рисунок 6
1 способ
1
1
1) S ABC  AC  h   6  AD  h  3 AD  h
2
2
2
Т.к. S ABC  36см , то AD  h  12см 2
1
1
2) S ABD  AD  h   12  6см 2
2
2
2 способ
Если высоты двух треугольников равны, то
S1 a1
. Поэтому

S 2 a2
S ABD AD
S
1

 ABD   S ABD  6см 2
S ABC AC
36
6
ІV. Дополнительное задание
В оставшееся время работаем по карточкам.
Задание карточки: Проведите все высоты треугольника. Отметьте их h1, h2, h3. (Задаются
различные виды треугольников: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные)
V. Домашнее задание:
1. С11(2), вар.4. из [2] решить тремя способами. Это задание разбирается по готовому чертежу
устно одним из способов, увиденным учащимися.
Условие задачи: «В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали АС взята точка М
так, что АМ : МС = 4 : 1. Найдите площадь треугольника AMD».
Рисунок 7
2. Дополнительная задача: «Докажите, что медианы треугольника делят его на три равновеликих
треугольника».
Рисунок 8
Использованная литература:
1. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений/Л. С. Атанасян, В. Ф.
Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., М: Просвещение, 2006;
2. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса/Б. Г. Зив, В. М. Мейлер,
М: Просвещение, 2005.