Задание 7-7 «Свойства прямоугольного треугольника»

Свойства прямоугольного треугольника
Дорогие семиклассники, вы уже знаете какие геометрические фигуры называются
треугольниками, умеете доказывать признаки их равенства. Знаете вы и о частных случаях
треугольников: равнобедренных и прямоугольных. Свойства равнобедренных
треугольников вам хорошо известны.
Но и у прямоугольных треугольников есть немало свойств. Одно, очевидное, связано с
теоремой о сумме внутренних углов треугольника: в прямоугольном треугольнике сумма
острых углов равно 90°. Самое удивительное свойство прямоугольного треугольника вы
узнаете в 8 классе, когда изучите знаменитую теорему Пифагора.
А сейчас мы поговорим еще о двух важных свойствах. Одно из них относится к
прямоугольным треугольникам с углом 30°, а другое к произвольным прямоугольным
треугольникам. Сформулируем и докажем эти свойства.
Вам хорошо известно, что в геометрии принято формулировать утверждения
обратные к доказанным, когда условие и заключение в утверждении меняются местами.
Далеко не всегда обратные утверждения оказываются верными. В нашем случае оба
обратных утверждения верны.
Свойство 1.1 В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен
половине гипотенузы.
Доказательство: Рассмотрим прямоугольный ∆ АВС, в
B
котором А=90°, В=30°, тогда С=60°. Докажем, что
1
АС  ВС . Приложим к ∆ АВС равный ему ∆ АВD.
2
Получим ∆ DBC, в котором С=D=60°, поэтому
BD=BC=CD,
C
1
1
1
D
A
AC  AD  CD  BC , следовательно AC  BC , что и
2
2
2
требовалось доказать.
Свойство 1.2 (обратное к свойству 1.1)
Если в прямоугольном треугольнике катет
равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
Док-во: Пусть в ∆ABC A=900 и AC=1/2BC
Продолжим AC за точку А так, что AD=AC. Тогда
∆ABC=∆ABD(по 2-м катетам). BD=BC=2AC=CD, таким
образом ∆DBC-равносторонний, С=60о и АВС=30о.
В
D
A
C
Свойство 2.1 В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна
половине гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный ∆ АВС, в котором В=90°.
1
А
N
BD-медиана, то есть AD=DC. Докажем, что BD  AC .
2
Для доказательства сделаем дополнительное построение:
D
продолжим BD за точку D так, чтоBD=DN и соединим N с A
и C. ∆ADB=∆CDN (BD=DN, AD=DC,ADB=CDN как
вертикальные).Следовательно: AB=CN и ABD=DCN, из
равенства этих углов следует параллельность AB и CN, но
тогда BCN=90o ∆ABC=∆BCN (по 2 катетам). Но тогда
В
C
AC=BN и BD=1/2 BN=1/2 AC, что и требовалось доказать.
Свойство 2.2 (обратное к свойству 2.1) Если в треугольнике медиана равна половине
стороны к которой она проведена, такой треугольник будет прямоугольным.
Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно воспользовавшись свойством
равнобедренного треугольника и теоремой о сумме углов треугольника.
Рассмотрим решение некоторых задач
Задача 1
B
A
E
C
Задача 2
В
Дано:
∆ABC, C=90o, A=30o, BEC=60o, EC=7см
Найти: AE
Решение:
1. EBC=30o, т.к. в прямоугольном ∆BCE сумма
острых углов 90о
2. BE=14см(свойство 1)
3. ABE=30o, так как A+ABE=BEC
(свойство внешнего угла треугольника) поэтому
∆AEB- равнобедренный AE=EB=14см.
AN=10см
Найти: катет AC.
Решение:
1. BAN/NAC=1/2, а сумма этих углов 90о. Поэтому
BAN=30o, NAC=60o.
2. ∆ABN- равнобедренный, AN=BN(свойство 2).
Следовательно В=30°.
N
1
A
C
3. AC  2 BC (свойство 1).
BC=2AN=20 см (свойство 2).
АС=10 см.
Задача 3. Доказать, что высота и медиана прямоугольного треугольника, проведенные к
гипотенузе, образуют угол, равный разности острых углов треугольника.
Дано: ∆ АВС, ВАС=90°, АМ-медиана, АН-высота.
В
Доказать: МАН=С-В.
Доказательство:
1)МАС=С (по свойству 2 ∆ АМС-равнобедренный, АМ=СМ)
М
2)МАН=МАС-НАС=С-НАС.
Н
Остается доказать, что НАС=В. Это следует из того, что
В+С=90°(в ∆ АВС) и НАС+С=90° (из ∆ АНС).
Итак, МАН=С-В, что и требовалось доказать.
А
С
Задача 4. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 4 раза больше проведенной к ней
высоты. Найти острые углы треугольника.
1
В
Дано: ∆АВС, ВАС=90°, АН-высота, АН  ВС .
4
Найти: В, С.
Решение: Проведем медиану АМ. Пусть АН=х, тогда ВС=4х и
М
ВМ=МС=АМ=2х.
Н
В прямоугольном ∆ АМН, гипотенуза АМ в 2 раза больше
катета АН, поэтому АМН=30°. Так как ВМ=АМ,
1
В=ВАМ  АМН =15°. Но тогда С=90°-15°=75°.
А
С
2
При решении этой задачи мы применили не только свойство 1, но и утверждение обратное
этому свойству. Сформулируем и докажем это утверждение. Итак, если в прямоугольном
треугольнике катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
Док-во: Пусть в ∆ABC A=900 и AC=1/2BC
В
Продолжим AC за точку А так, что AD=AC. Тогда
∆ABC=∆ABD(по 2-м катетам). BD=BC=2AC=CD, таким
образом ∆DBC-равносторонний, С=60о и АВС=30о.
D
A
C
Задача 5
В равнобедренном треугольнике один из углов 120о, основание равно 10 см. Найти
высоту, проведенную к боковой стороне.
Решение : для начала отметим, что угол 120о может быть только при вершине
треугольника и что высота проведенная к боковой стороне попадет на её продолжение.
Итак, АВ=ВС, АВС=120о, АН-высота, АС=10см.
H
Нетрудно видеть, что С=30о, поэтому АН=1/2АС=5см
B
(свойство 1).
A
C
Задача 6
К вертикальной стене прислонили лестницу. На середине лестницы сидит котенок.
Вдруг лестница начала скользить вниз по стене. Какую траекторию будет описывать
котенок?
А
АВ- лестница, К- котенок.
При любом положении лестницы , пока она окончательно не
упала на землю ∆АВС- прямоугольный. СК- медиана ∆АВС.
К
По свойству 2 СК=1/2АВ. То есть в любой момент времени
длина отрезка СК постоянна.
Ответ: точка К будет двигаться по дуге окружности с центром С
С
В
и радиусом СК=1/2АВ.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60о, а разность гипотенузы и
меньшего катета равна 4см. найти длину гипотенузы.
2. В прямоугольном ∆ АВС с гипотенузой ВС и углом В, равным 60о, проведена
высота АD. Найти DC, если DB=2см.
3. В ∆АВС С=90о, СD- высот, ВС=2ВD. Докажите, что АD=3ВD.
4. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на части 3см и 9см. Найти
углы треугольника и расстояние от середины гипотенузы до большего катета.
5. Биссектриса разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Найти
углы исходного треугольника.
6. Медиана разбивает треугольник на два равнобедренных. Можно ли найти углы
Исходного треугольника?