Задачи для зачёта по геометрии 10 класс

Задачи для зачёта по геометрии 10 класс.
1.Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1. M и N – середины его ребер B1C1 и СС1,
соответственно
а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данные точки М и N.
б) Постройте точку К-точку пересечения прямой МN и плоскости АВСD.
в) Определите взаимное положение прямых MN и AD.
г) Найдите площадь поверхности пирамиды BDСС1, если ребро куба равно 1.
2. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1 . M и N – середины его ребер AD и CD,
соответственно.
а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данные точки.
б) Постройте прямую, проходящую через точку A1 параллельно прямой MN.
в) Найдите тангенс угла наклона прямой C1M к плоскости основания ABCD.
г) Найдите площадь поверхности пирамиды MDCC1, если ребро куба равно1.
3. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1. . M- середина ребра DD1
а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данную точку М.
б) Определите взаимное положение прямых B1M и AD.
в) Найдите площадь поверхности призмы АВD A1B1D1.
г) Найдите тангенс угла наклона прямой B1M к плоскости DD1CC1.
4. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1.
а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и его сечение плоскостью, проходящей
через точки
A, A1 и С.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью AA1C ,считая, что ребро куба равно 3.
в) Найдите площадь поверхности призмы АВDA1B1D1
г) ) Найдите угол между плоскостями A A1Cи BB1C1C.
5. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1. . M- точка на его ребре CC1, такая, что C1M =
CM
а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данную точку М.
б) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной
плоскостям
DD1CC1 и BB1CC1.
в) Найдите тангенс угла наклона прямой A1М к построенной плоскости.
г) Найдите, какую длину должно иметь ребро куба, чтобы площадь полной поверхности
призмы.
Ограниченной плоскостями боковых граней куба, основанием АВСD и плоскостью, была
равна 120.
6. Рассматривается правильная треугольная пирамида SABC, боковое ребро которой
равно 5,а высота
SO=4
а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и её высоту SO.
б) Каково взаимное расположение прямых SO и AB.
в) Найдите сторону основания пирамиды.
г) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
7. Рассматривается треугольная пирамида SABC такая, что все плоские углы при вершине
S прямые,
SA = SB =5, SC = 3; К – середина ребра АС
а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и данную точку К.
б) Найдите тангенс угла наклона прямой ВК к плоскости SAC.
в) Найдите расстояние от точки С до прямой АВ.
г) Найдите площадь полной поверхности пирамиды
8. Рассматривается пирамида SABC, в основании которой лежит равносторонний
треугольник
АВС, вершина S проектируется в точку A, SA=AB. М и К – середины ребер АС и SС,
соответственно.
а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и данные точки М и К.
б) Определите взаимное расположение прямых ВМ и АК.
в) Докажите, что прямая МК перпендикулярна плоскости АВС.
г) Найти угол наклона грани SВC к плоскости основания, если сторона основания равна 8,
а высота-12.
9. Рассматривается правильная треугольная пирамида SABC с основанием АВС, Мточка на ребре
SA такая, что SM = 3AM
а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и данную точку М.
б) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и параллельно
основанию АВС.
в) Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 450, SM =a/. Выразите
сторону АВ
через а.
г) Найти отношение площади боковой поверхности данной пирамиды и отсеченной
пирамиды с вершиной S.
10. Рассматривается правильная четырёхугольная пирамида SABCD с основанием АВСD
а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и её высоту SO.
б) Пусть ребро SA наклонено к основанию под углом 450, SO = а.
Выразите ребро основания через а.
в) Пусть ребро SA наклонено к основанию под углом 450. Определите, какой должна
быть
высота пирамиды, чтобы её площадь боковой поверхности была равна 18√3.
г) Отметьте на ребрах пирамиды SB, SC, AD, CD точки M, N, K, L (соответственно) так,
чтобы
прямые MN и KL были пересекающимися.
11. Рассматривается правильная четырёхугольная пирамида SABCD с основанием
АВСD
а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и сечение SBD.
б) Докажите, что прямая АС перпендикулярна плоскости SBD.
в) Пусть плоскость боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 300, а
расстояние от точки S до прямой AD равно 2. Найдите высоту пирамиды.
г) Пусть плоскость боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 300, а
расстояние от точки S до прямой AD равно 2. Найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
12. Рассматривается правильная четырёхугольная пирамида SABCD с основанием АВСD.
а) Изобразите на чертеже рассматриваемую пирамиду и какое-либо её сечение,
являющееся
четырехугольником.
б) Пусть ребро основания пирамиды равно высоте и равно а. Выразите площадь боковой
поверхности пирамиды через а.
в) Пусть ребро основания пирамиды равно высоте. Определите тангенс угла наклона
медианы SM треугольника SAB к основанию.
г) Определите взаимное расположение прямых SO и DC.
13. Рассматривается правильная четырёхугольная призма АВСD A1B1C1D1., М – точка
на ребре АВ такая, что АМ = 2 ВМ
а) Изобразите на чертеже рассматриваемую призму и данную точку М.
б) Докажите, что сечение призмы плоскостью AB1C1 является прямоугольником.
в) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку М и параллельно плоскости
AB1 C1.
г) Найдите отношение площадей боковых поверхностей призмы АВСDA1B1C1D1 и
отсеченной треугольной призмы, если сторона основания равна 9,а высота равна 12. A1B
14. Рассматривается правильная четырёхугольная призма АВСDA1B1C1D1. М – середина
ребра AD
а) Изобразите на чертеже рассматриваемую призму и данную точку М.
б) Пусть плоскость A B1C1D наклонена к плоскости основания под углом 600. Выразите
высоту АА1призмы через ребро основания.
в) Приведите три примера такого расположения точки К грани А1АВ1В при котором
прямые МК и B1 D не являются скрещивающимися.
г) Пусть плоскость AB1 C1D наклонена к плоскости основания под углом 600, ребро
основания равно 5. Найдите площадь полной поверхности призмы.