Попова Нина Федоровна Белых Нина Владимировна «МАОУ Лицей №3 им. А.С. Пушкина»

Попова Нина Федоровна
Белых Нина Владимировна
«МАОУ Лицей №3 им. А.С. Пушкина»
Разработка материала по теме:
«КОМБИНАЦИИ ШАРА С КОНУСОМ И ПИРАМИДОЙ»
Цель:
1) систематизировать и обобщить знания по комбинациям шара с конусом и пирамидой;
2) способствовать формирования учебных компетентностей по самостоятельному приобретению знаний, продолжить подготовку учащихся к сдаче
ЕГЭ.
Рассматриваемые вопросы:
1) Шар, вписанный в конус.
2) Шар, описанный около конуса.
3) Шар, вписанный в пирамиду.
4) Шар, описанный около пирамиды.
5) Шар, вписанный в усечённый конус.
Особое внимание - на два основополагающих вопроса при рассмотрении
комбинаций с шаром:
а) где находится центр шара;
б) какой отрезок является радиусом.
1. Шар, вписанный в конус.
а) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Шар называется вписанным в конус,
если он касается основания конуса в его центре и конической поверхности.
б) Множество точек касания с конической поверхностью
образует окружность, центр которой лежит на высоте конуса. Её радиус r зависит от радиуса шара R и расстояния d от центра шара до плоскости, в которой лежит
окружность. R2 = r2 +d2 ; r 2= R2 – d2
в) Осевым сечением данной комбинации тел является треугольник, вписанный в окружность, радиус которой равен радиусу вписанного шара. Центр окружности является центром шара и находится в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника,
являющегося его осевым сечением.

Если конус равносторонний, то Rш=
,
2 3
2S 
2S 
S
В общем случае Rш=
, Rш =
, Rш.=  , где ℓ- образующая;
abc
2  2r
r
r- радиус основания, S  -площадь треугольника,
являющегося осевым сечением конуса.
г) Ортогональной проекцией шара, вписанного в конус, является круг меньшего диаметра, чем основание.
При решении задач можно пользоваться формулой: Vш=1∕3Sполн ∙ r, r –радиус вписанного
шара; Sполн. - площадь полной поверхности пирамиды, конуса.
ЗАДАЧА
1
В равносторонний конус вписан шар, объём которого равен 8. Найти объём
конуса
Дано: шар вписан в конус, AS=AB, Vш=8.
Найти: Vк.
Решение:
1
4
Sосн H . где Н= SN. Vш= πR3, где R- радиус
3
3
3
шара. R =3Vш.∕4π=3∙8∕4π=6\π.
;
Vк=
1
π( rк)2∙SN.
3
rк= AN=NB. Так как конус равносторонний, то ΔSAB - правильный, О - центр вписанной и описанной окружности, точка пересечения биссектрис ΔASB, значит, OBN=<OBP=
ON
R
SN
R
=30˚. В ΔONB tg30˚=
=
; отсюда NB=
=√3R.В ΔSNB tg60˚=
,
NB NB
NB
tg 30
1
6
SN=NB∙tg60˚=√3∙√3R=3R. Vк= π∙3R2∙3R=3π∙ =18.
3

ОТВЕТ: Vк=18.
Выразим объём конуса через R3. Vк.=
ЗАДАЧА
В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к основанию под
углом ά. Найти площадь полной поверхности конуса.
Дано: шар вписан в конус, ON=r, <SBA=α.
Найти: Sполн. к..
РЕШЕНИЕ:
Sполн.=Sбок.+Sосн.;
Sосн.=πR2, R-радиус основания конуса, S=πRℓ, ℓобразующая.
Осевым сечением данной комбинации тел является окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, радиус
которой равен радиусу вписанного шара.
О- точка пересечения биссектрис.
ОВ- биссектриса <SBA, значит, <ОВК=<ОВS=α∕2.
 ОК

ОК
=
; КB=
=OK∙ctg .

2 КВ
2
tg
2

r  ctg
KB
КВ
2 .
В ΔKSB cosα=
, SB=
=
SB
cos 
cos 

Sосн.= π r2ctg2 ;
2



r  ctg  r  ctg
r 2  ctg 2
2
2 
2.
Sбок.=
cos 
cos 
Рассмотрим ΔКОВ (<К-90˚), tg
2
  r 2  ctg 2

2    r 2  ctg 2   r 2 ctg 2  ( 1  1 ).
cos 
2
2 cos 
 1

 1 .
ОТВЕТ: S пол н.  r 2 ctg 2 
2  cos 

Sполн. =
2. Шар, описанный около конуса.
Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара. Центр шара находится на высоте или её продолжении.
АО=SO=OB=Rш
центр шара внутри конуса
SO=AO=OB= Rш
центр шара вне конуса
AO=SO=SB= Rш
центр на основании конуса
∆ASB - прямоугольный
Замечание: Для решения задач часто удобно пользоваться осевым сечением данной
комбинации тел – треугольник, вписанный в окружность; при этом радиус описанной
сферы равен радиусу описанной окружности около треугольника (равнобедренного,
равностороннего или прямоугольного равнобедренного).
abc
l 2  2R
R
R
, где R  радиус основания конуса ; S  площадь треугольника ,
4S 
4S
являющегос я осевым сечением конуса.
a
l
R
;R 
, где l  длина образующей , если осевое сечение  равносторонний
2 sin 60
3
треугольник.
3. Шар, описанный около пирамиды.
Определение: Шар называется описанным около произвольной пирамиды, если все
вершины пирамиды лежат на его поверхности.
3случая: - центр шара внутри пирамиды;
- вне её;
- в плоскости её основания.
!! Центр шара не всегда внутри пирамиды.
3
О – точка, равноудалённая от всех вершин пирамиды.
Замечание: Чтобы не загромождать чертёж, шар не изображают, а показывают только
его центр и радиус.
Опустим перпендикуляр ОК на грань SDC.
К – центр окружности, описанной около ∆DSC.
KD=KC=KS как проекции равных наклонных
OD=OS=OC=Rш.
ВЫВОД. Если около пирамиды описан шар, то его центр лежит на пересечении перпендикуляров восставленных из центров кругов, описанных около треугольников, являющихся гранями пирамиды.
Замечание: Если из точки О опустить перпендикуляр на ребро основания, то основание перпендикуляра – середина ребра.
Теорема: Если около пирамиды описан шар, то его центр является точкой пересечения всех плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды перпендикулярно
этим ребрам.
Замечание: Все теоремы со слова «если…», т.е. не всегда можно описать шар.
ВЫВОД. Для того чтобы около пирамиды можно было описать сферу необходимо и
достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность.
ЗАДАЧА (решают на доске).
Основание треугольной пирамиды - правильный треугольник со стороной, равной 12 √15. Одна из боковых граней является также правильным треугольником и
перпендикулярна к плоскости основания. Найдите радиус сферы, описанной около
пирамиды.
Дано: SАВС- пирамида ,около пирамиды описана сфера,
ΔАВС, ΔSВС – правильные, (SВС)  (АВС),
АВ=12√15 см.
Найти: RС.
Решение:
1. ∆АВС и ∆BSC – правильные: АО=SO.
2. радиус сферы, описанной около пирамиды - радиус окружности, описанной около ∆ASM.
3. AM –диаметр окружности, описанной около ∆АВС
AM=2R; где R – радиус данной окружности:
AC
R
; R  12 5см; АМ  24 5см.
3
4. АО – высота ∆АВС
4
АО  АС 2  ОС 2 ; АО 
12 15   6 15 
2
2
 18 5 (см).
ОМ  АМ  АО; ОМ  6 5см.
5. SAO
6. SOM
SOA  90
SOM
AS  AO 2 ; AS  18 10см.
 90 SM  SO 2  OM 2 ; SM 
18 5   6 5 
2
2
 30 2 (см).
7. RC  радиус окружности , описанной около ASM.
AM  SM  AS
AM  SM  AS
; RC 
;
1
4 S ASM
4   AM  SO
2
30 2  18 10
RC 
 30(см)
2  18 5
Ответ : 30см.
RC 
RC 
SM  AC
2 SO
4. Шар, вписанный в пирамиду.
Шар называется вписанным в произвольную пирамиду, если он касается всех
граней пирамиды (как боковых, так и основания).
О – точка равноудалённая от всех граней пирамиды
OM=ON=OK=rш.
M, N, K – точки касания.
Замечание. Ортогональной проекцией шара является круг,
который не является вписанным в многоугольник, являющийся основанием.
Где лежит центр?
NP  ED; KP  ED
∆OKP=∆ONP (как прямоугольные по катету и гипотенузе) 
 OPN=  OPK, т.е. ОР – биссектриса  NPK.
Аналогично можно для любых ребер, получим вновь биссектрису линейного двугранного угла. Плоскость, проходящая через биссектрису, называется биссектором, биссекторной или биссектральной двугранных углов пирамиды.
Теорема: Если в пирамиду вписан шар, то его центр является точкой пересечения
биссекторных плоскостей всех двугранных углов пирамиды.
Теорема обратная: Если биссекторные плоскости всех пересекаются в одной точке,
то в пирамиду можно вписать шар.
5
Замечание: Однако в общем случае необязательно все биссекторные плоскости пересекаются в одной точке, поэтому не всегда в пирамиду можно вписать шар.
Теорема 1. В любую треугольную пирамиду можно вписать шар.
Теорема 2. В правильную n-угольную пирамиду можно вписать шар.
В какую пирамиду нельзя вписать шар?
Четырёхугольная пирамида, если в её основании неправильный четырёхугольник и
все биссекторные плоскости не пересекаются.
Для решения задачи часто рассматривают подобие
треугольников ОВМ и РВК
Задача
Шар, вписанный в правильную треугольную пирамиду, пересекает высоту пирамиды SO в точке P так, что SP:PO=2:3. Найти объём пирамиды, если объём
4
шара равен
см 3 .
Дано: SАВС - правильная пирамида, в неё вписан шар,
3
4
Р  SO, SР: РО=2:3, Vш.=
см.
3
Найти: Vпир.
Решение:
1. По условию SР:РО=2:3.
4
1
2. Vш.= πR3 , R=ОО1=О1Д. Vпир.= Sосн.∙SO,
3
3
3
1
Vпир.= АС2∙sin60˚, Vпир.=
АС2∙SO.
6
12
4 3 4
4 3
3. Vш.=
см по условию, тогда
πR =
R3=√3,
3
3
3
R=
6
3
4. РО  2 R  2  6 3см, т.к. SP : PO  2 : 3, то на
2 6
10
приходится
 3см; SO  5ч; SO   6 3см.
3
3
РО приходится 3 части, на 1 ч
6
SO1  SO  OO1 ; SO1 
7 6
 3см.
3
SDO1  90
KD
3
; cos   .
KS
7
SO
6. в SOК SOК  90 OK 
.
tg
1
7. Найдём tg  , используя 1  tg 2 
,   острый
cos 2 
1
2 10
tg 
 1; tg 
2
3
cos 
5. в SO1 D
OK 
10  6 3  3

cos  
угол.
56 3
(см)
3  2 10
10
ОК  r , r  радиус окружности , вписанной в правильный АВС
r
AC
2 3
;
AC  2 3r ;

AC 
10 3  5  6 3
10
 30  6 3.

2 10
3
3
10
30  6 3   6 3 
 30  3 3   6 3  25(см 3 ).
12
3
12
3
3
Ответ : 25см .
8. Vпир. 
Задача.
В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α вписан шар. Найти объём шара, если боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β.
Дано: SАВСД- пирамида, АВСD- ромб, АВ=а,  BAD=α, в пирамиду вписан шар,  SDCO=  .
Найти: Vш.
Решение:
 SPO=β – линейный угол двугранного угла SDCO.
4
1
Vш   r 3 , где r  МК  МО.
ОР  h, где h  высота ромба
3
2
1
h  a sin  ; значит, ОР  a sin 
2
в SOP (SOP  90);
SP 
OP
a sin 
; SP 
.
cos 
2 cos 
SK=SP-KP;
7
1
a sin 
как отрезки касательных
2
a sin  1
a
1
SK 
 a sin   sin  (
 1)
2 cos  2
2
cos 
∆SMK ~ ∆SPO (по двум углам:  S – общий;  SKM=  SOP=90°) 
 SMK=  SPO=β.
SK
a sin 
1
MK 
;
MK 
(
 1)
tg
2tg cos 
a sin  (1  cos  )
MK 
2tg cos 
a sin  (1  cos  )
MK 
2 sin 
KP  OP 
1 a 3 sin 3  (1  cos  ) 3
Vш  
6
sin 3 
Далее можно предложить учащимся упростить полученное выражение (если нужно,
то можно напомнить универсальную подстановку:
2tg
sin  
1  tg

2 ;
cos  

1  tg 2

2 ).

1  tg
2
2
После преобразований имеем
V 

6
2
a 3 sin 3   tg 3
Ответ :

6
2

2
.
a 3 sin 3   tg 3

2
.
5. Шар, вписанный в усечённый конус.
а) Шар называется вписанным в усечённый конус, если он касается оснований конуса в их центрах и конической поверхности.
б) Осевым сечением данной комбинации тел является
окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, радиус
которой равен радиусу вписанного шара.
в) Для того, чтобы в усечённый конус можно было вписать
шар, необходимо и достаточно, чтобы сумма его диаметров
равнялась удвоенной величине образующей.
d +D=2ℓ или r+R=ℓ, ℓ-образующая конуса, r, R- радиусы оснований конуса.
h=2 Rш.
г) Центр описанного шара находится в середине отрезка, соединяющего центры оснований.
ЗАДАЧА
8
Образующая усечённого конуса составляет с плоскостью его основания угол в
60°. Найти площадь поверхности вписанного в этот конус шара, если площадь
боковой поверхности усечённого конуса равна 4см2.
Дано: усечённый конус, АВМ =60˚, в конус вписан шар,
Sбок.=4см2.
Найти: Sш.
Решение:
1. S ш  4R12 , где R1  радиус вписаного шара
1
BM
2
2. S бок.кон .   l (r  R), где r и R - радиусы оснований
R1 
конуса, l  образующая
КВ  ВО1 
как отрезки касательны х
КА  АО 
АВ  l  r  R
3.
4. S бок.кон .   l 2 ; по условию S бок.кон.  4см 2 ; тогда  l 2  4  l 
АМВ  90
2

1
l , как катет, лежащий против угла 30
2
3l
3
1 3
МВ  АВ  sin 60; MB 
; MB 
;
R1 
2

2 
5. в АВМ
АМ 
2
1 3 
 ; S ш  3см 2
6. S ш  4   

2  
Ответ : 3см 2 .
ЗАДАЧА
Образующая усечённого конуса составляет с плоскостью основания угол 60°.
12 3
см .
Найти объём усечённого конуса, если объём вписанного в него шара
13
12
Дано: усечённый конус, в него вписан шар,  ВАМ=60˚,Vш= см3.
13
Найти: Vк.
Решение:
4
1. Vш  R 3 , где R  радиус шара
3
h 2
V ус.к . 
R1  R1 r  r 2
3
4R 3 12
9
2. по условию
 ; R3 
3
13
13


3. ВМ=h=2R, т.к. в усечённый конус вписан шар,
9
4. В ∆АВМ (  АМВ=90°)
AM 
BM
h
2h
; AM 
; l  2 AM 
, как катет, лежаtg 60
3
3
щий против угла 30°.
5. l  AB  KB  AK ,
AK  AO
 как отрезки касательных
KB  BO 
AK  AO  R1  AM  r , тогда l  2r  AM ; r 
l  AM
;
2
1  2h
h 
h
h
h
3h


 
,
R1 


2 3
3 2 3
3 2 3 2 3
h  9h 2 3h 2 h 2 
6. VK  

 
3  12
12 12 
r
13 3
13
9
h , но h  2  R;  VK    8 
 2(см 3 )
36
36
13
3
Ответ : 2см .
VK 
Для устной проверки усвоения пройденного материала можно применять раздаточный
материал с задачами по готовым чертежам.
1. В усечённый конус вписан шар. Радиусы оснований конуса 3см и 5см. Образующая конуса наклонена к основанию
под углом 30˚. Найти радиус шара.
2. В шар вписана правильная четырёхугольная
пирамида. Угол между противоположными боковыми рёбрами равен 90˚. Сторона основания 4см.
Найти радиус описанного шара и высоту пирамиды.
10
3. В шар вписан конус, угол между его образующими равен 120˚. Образующая конуса 6 см. Где лежит
центр шара? Чему равен его радиус?
4. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды 12 см. Двугранный угол при основании равен 60˚. Найти радиус вписанного шара.
Задания для самостоятельной работы
А. Вписанный шар в пирамиду.
D
1. Д а н о : DABC – правильная треугольная
M
O
A
1
K
C
пирамида, O – центр вписанного шара, M –
точка касания вписанного шара, DO : OO1 = 2 :
1.
Найдите
O1
 1.
B
D
2. Д а н о : DABC – правильная треугольная
M
O
A
K
C
пирамида, O – центр вписанного шара, M –
точка касания вписанного шара, DM = KO1.
Найдите
O1
 KDO1.
B
D
3. Д а н о : DABC – правильная треугольная
M
O
A
K
O1
C
пирамида, O – центр вписанного шара, M –
точка касания вписанного шара, MK = 2.
Найдите PABC.
B
В. Описанный около пирамиды шар.
11
D
b
A
O
B
1. Д а н о : DABC – правильная треугольная пирамида, O – центр описанного шара, h – высота
пирамиды, R – радиус описанного шара, b – боковое ребро пирамиды.
Докажите
справедливость
формулы
b2
R = 2h .
O1
C
D
A
O1
C
2. Д а н о : DABC – правильная треугольная пирамида,
O
–
центр
описанного
шара,
DO1 : O1O = 2 : 1.
Найдите:
O
 DAO.
B
А так же
1. В шар радиуса 5 см вписана правильная четырёхугольная пирамида, при этом её
основание оказалось вписанным в круг радиуса 3 см. Высота пирамиды больше радиуса шара. Определить объём пирамиды.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Длина стороны основания
пирамиды 12 см, высота пирамиды 6 см. Найти радиус шара.
3. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар. Сторона основания равна а, плоский угол при вершине равен α. Найти радиус шара.
4. В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар.
Найти объём шара, если объём конуса 27 см3.
12