Раздел I . Теория вероятностей

Программа курса Высшая Математика
(в части основ теории вероятности, математической статистики и эконометрики).
Базовая литература:
1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: ВШЭ, 1995.
2. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика – 2. (Промежуточный
уровень) – М.: ТЕИС, 2007.
3. К. Доугерти. Введение в эконометрику – 2-е издание – М.: Инфра-М, 2007.
Дополнительная литература:
1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для
вузов: В 2-х т. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
2. Гмурман, В. Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»: Учеб. пособие — 12-е
изд., перераб.- М.: Высшее образование, 2006.
3. Гмурман, В. Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике»: Учеб. пособие — 11-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, 2006.
4. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – 8-е
изд. – М.: Дело, 2007.
5. П.К.Катышев, Я.Р.Магнус, А.А.Пересецкий, С.В.Головань. Сборник задач к начальному курсу
эконометрики. - 4-е дополненное и переработанное издание. - M.: Дело, 2007.
Занятие 1.
Тестирование остаточных знаний.
Раздел I . Теория вероятностей
Тема 1. Случайные события в дискретном вероятностном пространстве.
Занятие 2
Пространство элементарных событий. Классическая вероятность. Основы комбинаторики и их
использование для вычисления вероятностей. Случайные события. Операции над случайными
событиями (пересечение, объединение, разность, дополнение). Вероятности случайных событий и
правила их вычисления.
Занятие 3
Понятие независимости случайных событий. Формула условной вероятности. Формула полной
вероятности. Формула Баеса. Формула Бернулли. Схема испытаний Бернулли. Теорема Пуассона о
приближенной формуле для вероятности получения k успехов в n независимых испытаниях.
Тема 2. Случайные величины и их характеристики.
Занятие 4
Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика
Колмогорова. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее основные
свойства. Функция плотности. Понятие о начальных и центральных моментах случайных величин.
Определение и свойства математического ожидания, дисперсии, ковариации и корреляции.
1
Занятие 5
Основные дискретные распределения: биномиальное, Пуассона, гипергеометрическое,
отрицательное
биномиальное.
Примеры
непрерывных
распределений
(равномерное,
экспоненциальное).
Занятие 6
Понятие совместного и условного распределений для случаев непрерывных и дискретных
случайных величин. Совместная функции плотности, условная функции плотности и частная функции
плотности распределения случайных величин. Понятие независимости случайных величин.
Определение и свойства условного математического ожидания и условной дисперсии случайной
величины. Характеристики векторных случайных величин и их свойства (вектор математических
ожиданий, ковариационная матрица). 2.4 Двумерное нормальное распределение.
Тема 4. Предельные теоремы (закон больших чисел и центральная предельная
теорема).
Занятие 7
Понятие о сходимости по вероятности и сходимости в распределении. Неравенство Чебышева.
Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (ЦТП), особая роль нормального
распределения.
Тема 5. Некоторые одномерные распределения, используемые в математической
статистике.
Занятие 8.
Определение и свойства Хи-квадрат распределения, распределения Стьюдента и Фишера. Их
основные свойства. Работа с таблицами распределений.
Раздел II. Математическая статистика.
Тема 6. Основные понятия математической статистики.
Занятие 9
Понятие генеральной совокупности и выборки. Статистики, статистические оценки и их
свойства. Понятие несмещенности, эффективности и состоятельности оценок. Проверка свойств
простейших оценок математического ожидания и дисперсии для простой случайно выборки.
Занятие 10
Стратифицированная случайная выборка. Выборочное среднее, его математическое
ожидание. Дисперсия выборочного среднего при оптимальном и при пропорциональном
размещении. Сравнение этих дисперсий между собой и с дисперсией выборочного среднего при
простой случайной выборке. Построение выборочной дисперсии.
Тема 7. Статистическое оценивание параметров.
Занятие 11
Функция правдоподобия. Неравенство Рао-Крамера-Фреше для несмещенных оценок.
Использование неравенства Рао-Крамера-Фреше для проверки эффективности оценок. Оценки
метода максимального правдоподобия их свойства. Оценки метода моментов и их свойства.
Примеры построения оценок методом моментов и методом максимального правдоподобия и
проверки их свойств. Сравнение эффективности оценок построенных различными методами.
2
Тема 8. Проверка гипотез и построение доверительных интервалов.
Занятие 12.
Понятие об ошибках первого и второго рода. Общая логика использования статистического
критерия для проверки гипотез. Понятия уровня значимости, мощности теста, p-value (точный
уровень значимости). Описание некоторых процедур проверки гипотез: Проверка гипотезы о
неизвестном значении математического ожидания (при известной дисперсии и при неизвестной
дисперсии) в случае выборки из нормальной совокупности. Проверка гипотезы о неизвестном
значении доли (вероятности) при большом объеме выборки. Проверка гипотезы о неизвестном
значении дисперсии для выборки из нормальной совокупности. Проверка гипотезы о равенстве
дисперсий по двум выборкам из нормальных совокупностей.
Занятие 13
Процедура построения интервальных оценок параметров. Понятие об уровне доверия.
Факторы, определяющие точность интервальной оценки. Связь между процедурой проверки гипотез
и процедурой построения доверительных интервалов. Описание некоторых процедур построения
доверительных интервалов: Доверительный интервал для математического ожидания в случае
выборки из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией. Доверительный интервал для
дисперсии в случае выборки из нормальной совокупности. Доверительный интервал для доли в
случае большой выборки.
Раздел III. Основы эконометрики
Тема 9. Модель парной регрессии.
Занятие 14
Теоретическая и выборочная линии регрессии. Оценка параметров регрессии методом
наименьших квадратов. Математические свойства МНК оценок. Коэффициент детерминации, как
критерий качества модели регрессии. Геометрическая интерпретация МНК. Статистические свойства
МНК оценок, теорема Гаусса-Маркова. Проверка значимости коэффициентов в модели регрессии.
Построение интервальных оценок для коэффициентов в модели регрессии. Проверка адекватности
регрессии. Точечное и интервальное прогнозирование в модели регрессии.
Тема 10. Модель множественной регрессии.
Занятие 15
Матричная запись теоретической и выборочной регрессии. Матричная запись задачи метода
наименьших квадратов и ее решения. Математические свойства регрессии в матричной форме.
Скорректированный коэффициент детерминации Теорема Гаусса-Маркова для множественной
регрессии. Проверка значимости коэффициентов в модели множественной регрессии. Проверка
адекватности множественной регрессии. Проверка линейных ограничений в модели множественной
регрессии. Точечное и интервальное прогнозирование в модели множественной регрессии.
Раздел IV. Повторение пройденного материала
Занятие 16.
Повторение пройденного материала.
3