Лекции по дискретной математике. Часть 1.

Глава 1. Множества
Основные понятия и теоремы
Множество – неопределимое понятие; обычно поясняют, что множество в математическом смысле – это совокупность однозначно определенных (математических) объектов (элементов множества). Множества могут быть конечными и бесконечными. Для конечных множеств определено понятие количества элементов множества, при этом элементы множества считаются по одному разу. В «наивной» теории множеств элементы
множества могут иметь различную природу, так, допустимым является множество, содержащее в качестве элементов как числа, так и функции. «Наивная» теория множеств
приводит к парадоксам (противоречиям), поэтому везде в дальнейшем будем рассматривать только множества, все элементы которых взяты из одной и той же хорошо определенной совокупности элементов. Эта совокупность будет называться универсальным
множеством или универсумом. Часто в роли универсумов будут выступать следующие
хорошо известные множества:
 – множество натуральных (целых неотрицательных) чисел;
Q – множество рациональных чисел;
 – множество вещественных чисел.
В дальнейшем будем обозначать множества прописными буквами латинского алфавита, а их элементы – строчными буквами латинского алфавита. Если элемент x является одним из элементов множества A, то пишут x  A, если все элементы множества A являются также и элементами множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B и пишут A  B. Любое множество является подмножеством своего
универсума, поскольку содержит только элементы универсума. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается буквой Ø. Пустое множество
является подмножеством любого множества: Ø  A, любое множество является своим
собственным подмножеством: A  A.
Не следует путать принадлежность элементов множеству и понятие подмножества.
Так, например, число 23 является элементом множества натуральных чисел , но не является его подмножеством, а множество, содержащее единственный элемент 23 (такое множество обычно обозначают { 23 }), является подмножеством , но не его элементом.
Подмножество B множества A можно определить, если задать его характеристическую функцию – функцию, которая каждому элементу множества A ставит в соответствие
ноль или единицу, причем элементам B поставлена в соответствие единица, а всем прочим
– ноль. Иногда, впрочем, делают и наоборот, сопоставляя элементам множества ноль, а
не-элементам – единицу, но суть дела это, разумеется, не меняет, поскольку если f0B(x) –
характеристическая функция множества B в одном из этих двух смыслов, то f1B(x) = 1 –
f0B(x) будет характеристической функцией этого же множества в другом смысле..
Над множествами определен ряд операций, с помощью которых можно определить
новые множества на базе ранее определенных множеств. Пусть U – универсум, A и B –
множества в этом универсуме. Тогда определены следующие операции над множествами:
1. Объединение множеств A  B – множество, составленное из всех элементов обоих
множеств A и B.
1
2. Пересечение множеств A  B – множество, составленное из элементов, которые входят
одновременно в A и в B.
3. Разность множеств A \ B – множество, составленное из тех элементов A, которые не
входят в B.
4. Дополнение A = U \ A – множество элементов универсума, не принадлежащих A.
Справедливы следующие соотношения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
A A  A, A A  A
если A  B , то A  B  B , A  B  A , A \ B = Ø
A  B = B  A, A  B = B  A
( A  B)  C = A  ( B  C )
( A  B)  C = A  ( B  C )
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
Для бесконечных множеств аналогом понятия количества элементов является понятие мощности множества. Говорят, что два множества имеют одинаковую мощность
(равномощны), если можно установить взаимнооднозначное соответствие (биекцию) между элементами этих множеств. Можно доказать, что если имеются два множества A и B и
их подмножества A1  A и B1  B , причем A1 равномощно B, а B1 равномощно A, то A и B
равномощны. Данный факт часто используется для доказательства равномощности множеств. Множество называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных
чисел , то есть каждому элементу этого множества можно поставить во взаимнооднозначное соответствие некоторое натуральное число – его номер. Можно доказать, что
множество рациональных чисел Q – счетно. Объединение любого конечного числа счетных множеств также будет счетным, более того, объединение счетного количества счетных множеств также будет счетным (строго говоря, понятие объединения счетного количества множеств надо вводить отдельно).
Если про множество можно утверждать, что оно конечно или счетно, то говорят,
что множество не более, чем счетно, таким образом, можно сказать, что объединение не
более, чем счетной совокупности не более, чем счетных множеств не более, чем счетно.
Говорят, что мощность множества A больше мощности множества B, если множество B равномощно некоторому подмножеству множества A, но не самому множеству A,
то есть не существует взаимнооднозначного соответствия между элементами множеств A
и B. Мощность конечного множества полагается равной количеству его элементов. Очевидно, что мощность любого конечного множества всегда меньше мощности бесконечного множества.
Булеаном множества A (обозначается 2A) называется множество всех подмножеств
множества A, включая как само это множество, так и пустое множество (которое, как уже
было замечено, является подмножеством любого множества). Булеан конечного множества конечен, причем количество элементов булеана 2A равно 2n, где n – количество элементов множества A.
Теорема Кантора устанавливает, что мощность булеана некоторого множества
всегда больше мощности самого этого множества, независимо от того, конечно или бесконечно это множество. Несложно установить, что множество вещественных чисел рав2
номощно множеству всех подмножеств множества натуральных чисел. Тем самым по теореме Кантора множество вещественных чисел  имеет мощность большую, чем счетные
множества. Говорят, что мощность множества  составляет континуум.
Доказательство теоремы Кантора в общем виде довольно просто, но требует одной
нетривиальной аксиомы, состоящей в том, что если есть произвольная совокупность множеств, то всегда можно составить новое множество, выбрав по одному элементу из каждого из множеств совокупности. Эта аксиома называется аксиомой выбора.
Доказательство проведем методом от противного. Пусть для некоторого множества
M мощность его булеана 2M равна мощности самого множества M. Это означает, что существует обратимая функция , которая каждому элементу mM сопоставляет множество
(m)2M. По определению булеана (m)M, то есть является некоторым подмножеством
M. Теперь составим новое подмножество AM, включив в него все такие элементы m исходного множества M, которые не входят в (m). Теперь оказывается, что подмножество A
таково, что для него не существует прообраза aM такого, что A=(a). Действительно, если бы такой элемент a существовал, то он мог бы либо входить в A, либо не входить в него. Однако, если он входит в A, то по определению этого множества он не должен входить
в A, а если он не входит в A, то, напротив, он обязан по определению входить в A. Полученное противоречие доказывает теорему.
Декартовым произведением множеств A и B называется множество всех пар (a, b)
таких, что a  A и b  B . Это декартово произведение обозначается A  B . Если A и B –
конечные множества мощности m и n соответственно, то их декартово произведение также будет конечным множеством, и его мощность будет составлять mn. Если A и B – не более, чем счетные множества, то их декартово произведение также будет не более, чем
счетным.
Говорят, что задано бинарное отношение R из A в B, если R есть подмножество
A  B . В частности, бинарное отношение R есть бинарное отношение из A в A, если
R  A  A (в этом случае обычно говорят об отношении на A). Если пара ( a, b)  R , то часто пишут aRb и говорят, что элемент a находится в отношении R к элементу b.
Пусть, например, множество A состоит из чисел 1, 2 и 3. Тогда декартово произведение A  A состоит из девяти элементов: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1),
(3, 2), (3, 3). Если мы выберем в качестве отношения R следующее подмножество этих пар
{(1, 2), (1, 3), (2, 3)}, то можно заметить, что aRb будет справедливо в том и только в том
случае, когда a < b. Таким образом, приведенный пример – это пример отношения «меньше» на множестве чисел 1, 2 и 3. А, скажем, отношение равенства на этом же множестве
можно задать перечислением следующих пар: {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
Разумеется, над отношениями можно выполнять все те операции, которые определены для любых множеств – объединение, пересечение, дополнение и т.п. В вышеприведенном примере объединение отношений «меньше» и «равно» даст отношение «меньше
или равно», состоящее из пар {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}, а пересечение этих
же отношений даст пустое отношение. Но кроме обычных теоретико-множественных операций над отношениями определяют еще некоторые дополнительные операции. Так,
например, по заданному отношению R можно построить обратное к нему отношение R-1.
Оно составляется из таких и только таких пар (a, b), что пара (b, a )  R . Так, обратным к
3
отношению «меньше» будет отношение «больше», а обратным к отношению равенства
будет оно же само.
Еще одна операция – это композиция отношений. Если R1 – отношение из A в B, а
R2 – отношение из B в C, то их композиция R2  R1 есть отношение из A в C, составленное
из пар (a, c) таких, что найдется элемент b  B и при этом aR1b и bR2c. Так, композицией
отношений < («меньше») и > («больше»), которую можно было бы обозначить > ◦ <, на
множестве {1, 2, 3} будет отношение, состоящее из пар {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Если
же отношения «меньше» и «больше» заданы на все множестве натуральных чисел, то
композиция этих двух отношений даст полное декартово произведение .
Отношение может обладать определенными свойствами. Так, отношение R на A
называется рефлексивным, если для любого a  A верно aRa и антирефлексивным, если
для любого a  A неверно aRa. Отношение будет называться симметричным, если для
любых a, b  A из того, что aRb следует, что bRa. Отношение будет называться транзитивным, если для любых a, b, c  A из того, что aRb и bRc следует, что aRc. Свойство антисимметричности означает, что для любых a, b  A если элемент a находится в отношении R к b, то элемент b не будет находиться в отношении R к a. Похожее свойство
асимметричности означает, что если для некоторых a, b  A одновременно aRb и bRa, то
a и b – это один и тот же элемент.
Некоторые отношения обладают сразу несколькими свойствами. Так, например,
отношение «меньше» на множестве целых чисел антирефлексивно, антисимметрично и
транзитивно. Отношение включения на множествах в некотором универсуме рефлексивно
(поскольку A  A ), асимметрично и транзитивно. Если отношение одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности. Если оно одновременно рефлексивно, асимметрично и транзитивно, то оно называется отношением нестрогого порядка. Если отношение антирефлексивно, антисимметрично и
транзитивно, то оно называется отношением строгого порядка. Упомянутое выше отношение включения множеств является примером нестрогого порядка, отношение «меньше»
– это пример строгого порядка, а в качестве примера отношения эквивалентности может
служить отношение сравнимости целых чисел по некоторому фиксированному модулю.
Порядок R на заданном множестве M называется полным или линейным, если для
любых двух несовпадающих элементов n и m из M справедливо nRm или mRn. В противном случае порядок называется частичным. Так, отношение включения множеств является
частичным нестрогим порядком, поскольку из двух множеств не обязательно одно из них
должно включаться в другое. Отношение «меньше» на множестве целых чисел – это пример линейного строгого порядка, так как из двух неравных чисел одно обязательно меньше другого.
Если отношение R1  R2, то отношение R2 называют еще пополнением отношения
R1. Если имеется некоторое отношение, то, добавляя к нему пары, можно получать различные пополнения этого отношения. Минимальное пополнение некоторого отношения R
такое, что оно обладает определенным свойством C, называется замыканием отношения R
относительно свойства C. Пусть, например, некоторое отношение не обладает свойством
транзитивности, но мы можем пополнить его таким образом, что новое отношение уже
будет транзитивным. Если при этом мы добавили лишь минимально необходимое количество пар, то мы таким образом получим транзитивное замыкание отношения R. Анало4
гично мы можем получить рефлексивное замыкание некоторого отношения, если построим его минимальное пополнение, которое будет рефлексивным. Минимальное пополнение, которое будет одновременно и рефлексивным и транзитивным, будет называться рефлексивным транзитивным замыканием данного отношения.
Например, если рассмотреть отношение «меньше» на множестве целых чисел, то
оно будет транзитивным, но не будет рефлексивным. Чтобы построить рефлексивное замыкание этого отношения, надо добавить к нему все пары вида (i, i). В результате получится отношение «меньше или равно». Поскольку это новое отношение и рефлексивно и
транзитивно, то оно будет одновременно и рефлексивным транзитивным замыканием исходного отношения «меньше».
Замечание. Замыкания отношений относительно некоторого свойства существуют не всегда. Но такое замыкание заведомо существует, если соответствующим свойством обладает полное отношение
U = MM, где M – это то множество, на котором построено отношение. Например, полное отношение рефлексивно, поскольку все пары вида (a, a) ему принадлежат, и транзитивно, поскольку вместе с любыми
двумя парами (a, b) и (b, c) содержит также и пару (a, c). Поэтому как рефлексивное, так и транзитивное замыкания существуют для любого отношения.
Задачи
1. Пусть A, B  , A – множество всех четных чисел, B – множество чисел, делящихся на
3. Определить множества A , A  B , A  B .
Решение. По определению операций дополнения, пересечения и объединения A –
множество всех нечетных чисел, A  B – множество всех чисел, делящихся как на 2,
так и на 3 (то есть делящихся на 6), A  B – множество всех чисел, делящихся либо на
два, либо на 3, либо и на то, и на другое (то есть имеющих в числе своих делителей
числа 2 или 3).
2. Доказать, что A \ B = A  B .
Решение. Докажем, что если x  A \ B , то x  A  B , и наоборот. Тем самым будет показано, что множества состоят из одних и тех же элементов. Действительно, если
x  A \ B , то x принадлежит A, но не принадлежит B. Тогда, очевидно, x принадлежит
A и дополнению к B, то есть принадлежит A  B . Обратное доказывается аналогично.
3. Доказать, что мощность множества вещественных чисел из интервала (0, 1) равна
мощности множества вещественных чисел из интервала (0, +∞).
Решение. Установим взаимнооднозначное соответствие между всеми точками интервала (0, 1) и точками интервала (0, +∞). Тем самым будет установлено, что мощности
этих множеств равны. Такое соответствие можно установить, например, с помощью
x
формулы y 
, которая всем точкам x интервала (0, 1) ставит в соответствие по1 x
ложительные вещественные числа. Очевидно, что это соответствие действительно взаимнооднозначно. Обратив формулу, получим, что любому положительному вещеy
ственному числу y поставлено в соответствие число x 
из интервала (0, 1).
y 1
4. Доказать, что мощность множества всех функций одного вещественного аргумента с
вещественными значениями больше континуума.
5
Решение. Для доказательства заметим, что булеан 2A некоторого множества A равномощен множеству функций с аргументами из множества A и значениями 0 или 1. Каждая такая функция является характеристической функцией некоторого подмножества
A, при этом разным подмножествам соответствуют разные характеристические функции и наоборот. Очевидно, что мощность всех вещественнозначных функций вещественного аргумента не меньше множества функций вещественного же аргумента, но
принимающих только значения 0 или 1. Поскольку, как мы только что доказали, последнее множество равномощно булеану множества вещественных чисел, то по теореме Кантора оно имеет мощность, большую континуума, что и требовалось доказать.
5. Какова мощность множества всех бинарных отношений на множестве {0, 1, 2, 3}?
Решение. По определению, отношение на множестве М есть подмножество декартова
произведения М  М. Множество {0, 1, 2, 3} конечно, и декартово произведение
{0, 1, 2, 3}  {0, 1, 2, 3} также конечно и состоит из 16 элементов. Таким образом,
мощность множества всех отношений на {0, 1, 2, 3} равна мощности множества всех
подмножеств 16-элементного множества, что по теореме Кантора есть 216.
6. Отношение φ на множестве целых положительных чисел содержит все такие пары (n,
m), что n делится на m. Определить, является ли это отношение рефлексивным? симметричным? транзитивным? Является ли оно отношением порядка?
Решение. Отношение рефлексивно, поскольку любое положительное целое число делится на себя. Отношение асимметрично, поскольку два числа могут одновременно
делиться друг на друга только при условии, что они равны. Отношение транзитивно,
поскольку из того, что a делится на b и b делится на c следует, что a делится на c. Эти
три свойства означают, что отношение является отношением нестрогого порядка. Порядок этот частичный, поскольку два несовпадающих числа вполне могут оказаться
такими, что из них ни одно не делится на другое.
7. На множестве вещественных чисел заданы два отношения: φ(x, y) = { |x| < |y| } и ψ(x, y)
= { x < y }. Найти их композицию    .
Решение. Композицию двух этих отношений будет составлять отношение, которое составлено из таких пар (x, y), что найдется число z такое, что |x| < |z| и z < y. Пусть заданы некоторые x и y. Выберем число z так, чтобы оно было меньше, чем min(-|x|, y).
Поскольку оно меньше -|x|, то |x| < |z|, а поскольку оно меньше y, то справедливо и
второе неравенство: z < y. Поскольку такое число z существует для любых x и y, то искомым ответом будет полное декартово произведение .
Задачи для самостоятельного решения
1. На множестве целых чисел заданы два подмножества A и B. Найти их объединение и
пересечение, если:
a). A – множество всех простых натуральных чисел, а B – множество всех четных чисел;
b). A – множество всех чисел вида 3k + 1, а B – множество всех чисел вида 3k - 1 (k = 0,
1, 2,…);
c). A – множество всех чисел из диапазона [-99, 99], а B – множество всех неотрицательных чисел.
2. Доказать, что следующие формулы справедливы для любых множеств A, B, C:
6
a). A  B  A  B
b). A  B  A  B
c). ( A \ B)  C  ( A  C ) \ B
d). ( A \ B)  C  ( A  C )  B
3. Доказать, установив взаимнооднозначное соответствие между элементами, что следующие подмножества множества вещественных чисел равномощны:
a). полуоткрытый интервал [0, 2) и положительная полуось [0, +∞);
b). все вещественные числа и совокупность полуоткрытых интервалов [2i, 2i + 1) при
всех целых i.
4. Доказать равномощность следующих подмножеств множества вещественных чисел:
a). интервал [0, 1] и положительная полуось [0, +∞);
b). интервал (-1, 1) и совокупность двух интервалов (-2, 0) и (0, 2)
5. Установить, какое из двух множеств является более мощным (или они равномощны):
a). Множество всех рациональных чисел и множество всех бесконечных последовательностей из цифр 0 и 1;
n
b). Множество всех правильных дробей (дробей вида
, где n и m – целые положиm
тельные числа, причем n < m) и множество всех простых чисел;
c). Множество целочисленных функций с вещественными аргументами из интервала
(0, 1) и множество всех вещественных чисел.
6. Заданы два отношения на множестве целых чисел φ(n, m) и ψ(n, m). Найти их объединение, пересечение и обратное к каждому из них отношения:
a). φ(n, m) = {n ≤ m}, ψ(n, m) = {m ≤ n};
b). φ(n, m) = {n делится на m}, ψ(n, m) = {n взаимно просто с m (то есть не имеют общих делителей, больших единицы)};
c). φ(n, m) = {n = m}, ψ(n, m) = {|m – n| ≤ 1};
7. Заданы два отношения на множестве целых чисел φ(n, m) и ψ(n, m). Найти их композицию    :
a). φ(n, m) = {|m – n| ≤ 1}, ψ(n, m) = {|m – n| ≤ 2};
b). φ(n, m) = {n ≤ m}, ψ(n, m) = {n ≤ 2m};
c). φ(n, m) = {n ≤ m}, ψ(n, m) = {n ≤ |m|};
8. Заданы два отношения на множестве вещественных чисел φ(x, y) и ψ(x, y). Найти их
композицию    :
a). φ(x, y) = {|x| ≤ 1, |y| ≤ 1}, ψ(x, y) = {x = 2y};
b). φ(x, y) = {x2 + y2 ≤ 1}, ψ(x, y) = { x2 + y2 ≤ 0,25};
c). φ(x, y) = {x = y2}, ψ(x, y) = { x = y };
9. На множестве целых неотрицательных чисел задано отношение nRm. Определить, какими из известных вам свойств (рефлексивность, симметричность, транзитивность,
порядок и т.п.) обладает это отношение:
a). n и m имеют общий делитель, больший единицы;
b). n сравнимо с m по модулю 13;
c). n  m 2
d). n + m – четно
7
10. Рассмотрим следующее отношение на множестве всех людей Земли: x является дочерью y. Является ли это отношение отношением порядка? Если да, то каков этот порядок: строгий или нестрогий, линейный или частичный?
11. Рассмотрим следующее отношение на множестве всех людей Земли: x является братом
или сестрой y. Является ли это отношение отношением эквивалентности? Если нет, то
как следует дополнить это отношение, чтобы оно стало отношением эквивалентности?
8