äéî

8.6. ДИНАМИЧЕСКИЕ ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
Как уже отмечалось, динамические трехфазные цепи содержат
электромеханические источники и потребители энергии. При расчете
симметричного режима, в котором обычно и работают электрические
машины, каждую из них можно заменить простой схемой замещения из
трех одинаковых сопротивлений, затем перейти к схеме замещения на
одну фазу и рассчитать ее известными методами.
В несимметричном режиме эквивалентные схемы существенно
усложняются за счет необходимости учета индуктивных связей между
обмотками, в связи с чем их использование в расчете становится неэффективным. Для того чтобы разобраться с особенностями расчета динамических цепей, необходимо понять принципы получения пульсирующего и вращающегося магнитных полей в электродвигателях.
8.7. ПУЛЬСИРУЮЩЕЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Магнитная цепь большинства электрических машин выполнена в
виде двух коаксиальных цилиндров, набранных из стальных листов и
отделенных друг от друга воздушным зазором (рис. 8.18).
α=0
s
  2
   2
δ
N
     
Рис. 8.18
Неподвижный внешний цилиндр называется статором, вращающийся внутренний – ротором. В пазы статора укладывается обмотка с
числом витков wС, по которой протекает синусоидальный ток i. Рас99
смотрим характер магнитного поля в воздушном зазоре ротор–статор,
величина которого δ.
При указанном на рисунке положительном направлении тока линии
магнитной индукции в теле ротора направлены снизу вверх. Можно
считать место выхода линий из статора северным магнитным
полюсом (N), а место входа – южным (S). Иными словами, при наличии
одной обмотки получается поле с одной парой полюсов. Чем ближе линии расположены к полюсам, тем большее число витков w они охватывают, тем больше намагничивающая сила iw вдоль этих линий.
Основное сопротивление магнитному потоку представляет воздушный зазор, причем каждая линия магнитной индукции пересекает
зазор дважды. Поэтому, применяя закон полного тока для одной из этих
линий, получим:
iw   Hdl  2H  , B  0 H  0iw /(2 ).
Таким образом, индукция в зазоре B пропорциональна току i и числу охватываемых контуром витков w обмотки.
Зависимость магнитной индукции от местоположения точки в зазоре имеет ступенчатую форму. Если разрезать статор по оси обмотки и
развернуть его вдоль горизонтальной прямой, то зависимость B(α) будет
выглядеть так, как показано на рис. 8.19.
B


B0

2
0

 
2
Рис. 8.19
При большом числе пазов форма кривой приближается к косинусоиде, которая также показана на рисунке. Фактически это основная гармоника разложения ступенчатой зависимости в ряд Фурье. Если пренебречь высшими гармониками, то можно считать, что магнитная индукция распределяется в зазоре по косинусоидальному закону. Ее максимум B0 лежит на оси обмотки, а в точке, смещенной от положительного
направления оси на угол α, индукция равна B  B0 cos  .
100
При синусоидальном токе i  I m sin t в обмотке магнитная индукция на оси обмотки также изменяется во времени по синусоидальному
закону: B0  Bm sin t , так что в любой точке зазора B  Bm sin t cos  .
Распределение индукции в зазоре в разные моменты времени показано
на рис. 8.20. Направление, в котором основная гармоника магнитной
индукции всегда имеет наибольшее значение, называется осью магнитного поля. Магнитное поле, положение оси которого неизменно в пространстве, а индукция изменяется во времени, называется пульсирующим. В дальнейшем для упрощения обмотку будем изображать в виде
одного витка, расположенного перпендикулярно оси обмотки, а индукцию – вектором Â0 , направленным в соответствии с правилом буравчика (рис. 8.21).
3
B Bm
t 
2
B0
5
t 
4
t  
t 
3
4
t 
0
-Bm
Рис. 8.20
7
4
t  2
t  0 

t 
4

t 
2
Рис. 8.21
8.8. ВРАЩАЮЩЕЕСЯ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Магнитное поле, ось которого вращается, называется вращающимся магнитным полем. Если во время вращения значение магнитной индукции в воздушном зазоре на оси не меняется, то такое поле называют
круговым вращающимся. Его можно изобразить на комплексной плоскости вращающимся вектором неизменной длины, конец которого описывает окружность.
Пусть в пазы статора уложены три одинаковые обмотки (рис. 8.20),
оси которых сдвинуты в пространстве на угол 120 (2 / 3). Обмотки
подключаются к источнику с симметричной системой фазных напряжений, соответственно будет симметрична и система токов в обмотках:
i A  I m sin(t ); iB  I m sin(t  2 / 3); iC  I m sin(t  2 / 3).
101
Каждый из токов создает пульсирующее поле, направленное вдоль
оси своей катушки. Тогда и векторы магнитной индукции в воздушном
зазоре на оси обмоток образуют симметричную трехфазную систему.
Мгновенные значения индукции выражаются следующим образом:
Â0 A  Âm sin(t ); Â0 B  Âm sin(t  2 / 3); Â0C  Âm sin(t  2 / 3).
Здесь Вm – максимальное значение пульсирующего магнитного поля на
оси каждой из обмоток, пропорциональное амплитуде тока. Если поместить эти векторы на комплексную плоскость, расположив их, как показано на рис. 8.22, то можно найти результирующий вектор суммированием составляющих:
B
B0  j( B0 A  a 2 B0 B  aB0C )  m {[e jt  e  jt ]  a 2[e j(t  2 / 3) 
2
e j(t  2 / 3) ]  a[e j(t  2 / 3)  e j(t  2 / 3) ]}  1,5Bme jt .
Результат показывает, что ось магнитного поля вращается с постоянной угловой скоростью ω, равной угловой частоте синусоидальных
токов в обмотках. Направление вращения – по часовой стрелке, а точнее
– в сторону катушки с отстающим по фазе током. Величина магнитной
индукции на оси постоянна и равна 1,5Вm (рис. 8.23). Таким образом, с
помощью трех обмоток, в которых протекает симметричная система то-
ков, оси которых сдвинуты в пространстве на 120 , можно получить
круговое вращающееся магнитное поле с одной парой полюсов ( p  1).
Такое поле используется в трехфазных электродвигателях, синхронных
и асинхронных.
Если удвоить число обмоток статора, создав магнитное поле с двумя парами полюсов ( p  2) , то скорость вращающегося магнитного поля уменьшится в 2 раза.
Очевидно, чтобы изменить направление вращения магнитного поля
статора, достаточно поменять местами провода от двух фаз источника.
102
+j
B0 A
b
C
a
A
+1
0
B0C
c
B
B0B
 +j
1,5Bm
+1
Рис. 8.23
Рис. 8.22
8.9. ПРИНЦИП РАБОТЫ СИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
Если в круговое вращающееся поле поместить постоянный магнит
соответствующей конфигурации (ротор), то его магнитная ось, как и
магнитная стрелка компаса, будет стремиться занять положение, совпадающее с осью внешнего поля, – положение, при котором энергия магнитного поля минимальна. Но поскольку ось внешнего поля вращается
с угловой скоростью Ñ, то на постоянный магнит будет действовать
вращающий момент, и он придет во вращение с той же скоростью. Если
вместо постоянного магнита во вращающееся поле поместить рамку,
витки которой обтекаются постоянным током (фактически электромагнит), то эффект будет тем же самым, т. е. угловая скорость вращения
ротора Ð  Ñ.
В реальных машинах обмотка, к которой с помощью коллектора и
щеток подводится постоянный ток, соответствующим образом уложена
в пазы массивного ротора, выполненного из электротехнической стали.
А обмотка статора, подключается к трехфазной электрической сети с
симметричной системой напряжений, так что в зазоре ротор–статор создается вращающееся магнитное поле. Поменяв две фазы местами,
можно изменить направление вращения поля на противоположное. А
если увеличить число пар полюсов обмотки в p раз, то во столько же раз
уменьшится скорость вращения магнитного поля статора и, следовательно, скорость вращения ротора.
Такой электродвигатель, скорость вращения ротора которого равна
скорости вращения поля статора, называется синхронным. Эта скорость
103
обычно оценивается в оборотах в минуту (об/мин): n  60  f p , где f –
частота напряжения сети.
Синхронная машина обратима, т. е. она может работать не только в
режиме двигателя, но и в режиме генератора. Если по обмотке ротора
пропустить постоянный ток и ротор привести во вращение со скоростью n, то в фазах обмотки статора будет индуктироваться симметричная трехфазная система ЭДС с частотой f  pn 60. При подключении к
обмотке статора симметричной нагрузки в ней возникнет симметричная
система токов. Машина при этом будет работать в режиме генератора.
8.10. ПРИНЦИП РАБОТЫ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
Если обмотку ротора выполнить в виде так называемой «беличьей
клетки» (стержни, уложенные в пазы, замкнуты накоротко – рис. 8.24),
то линии вращающегося магнитного поля статора будут пересекать эти
стержни. В результате в стержнях возникнут ЭДС, которые в свою очередь вызовут токи. Эти токи создадут свое магнитное поле такого
направления, чтобы воспрепятствовать причине, вызвавшей их.
Рис. 8.24
В результате взаимодействия полей ротора и статора возникает
вращающий момент и ротор увлекается полем статора. Но скорость
вращения ротора не может сравняться со скоростью вращения поля статора, поскольку в противном случае исчезла бы причина возникновения
ЭДС взаимоиндукции и токов в обмотках ротора. Таким образом,
nP  nC . .
Такой принцип действия используется в двигателях, которые называются асинхронными. Разница скоростей вращения поля статора и роs  (nC  nP ) nC  nS nC ,
тора оценивается скольжением:
где
nS  nC  nP  угловая скорость скольжения. Скольжение в установившемся номинальном режиме составляет (3–4)%.
104
И в асинхронном двигателе увеличение числа пар полюсов статора
( p  1) приводит к уменьшению скорости вращения поля статора (и, соответственно, ротора) в р раз. И для изменения направления вращения
двигателя достаточно переключить зажимы двух фаз. На этом основан
принцип действия индукционного фазоуказателя. В нем металлический
диск вращается вслед за внешним полем за счет взаимодействия с ним
поля наведенных в теле ротора вихревых токов. По направлению вращения диска определяется порядок чередования (следования) фаз.
8.11. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ
Напомним, что в симметричном режиме работы трехфазной цепи
симметричный приемник подключен к трехфазному источнику с симметричной системой ЭДС. Комплексные сопротивления фаз такого приемника одинаковы, а три ЭДС источника имеют одинаковую частоту и
амплитуду и сдвинуты по фазе на один и тот же угол.
Метод симметричных составляющих позволяет свести расчет
несимметричных режимов к расчету симметричных. Он основан на
представлении любой трехфазной системы величин (будь то ЭДС, токи
или напряжения) в виде суммы трех симметричных систем. Эти симметричные системы, которые в совокупности образуют исходную
несимметричную, называются ее симметричными составляющими.
Симметричные составляющие отличаются друг от друга порядком чередования фаз, то есть порядком, в котором фазные величины следуют
через максимум и называются системами прямой, обратной и нулевой
последовательностей. Угол сдвига фаз между следующими друг за другом фазными величинами данной последовательности определяется
формулой   2 / 3, где   0, 1, 2 – индекс последовательности.
На рис. 8.25,б показана несимметричная трехфазная система векторов, обозначенных для общности A, B, C , а на рис. 8.25,а – ее симметричные составляющие:
прямой последовательности (  1) :
A1  aB1  a 2C1;
обратной последовательности (  2) : A2  a 2 B2  aC2 ;
A0  B0  C0 .
нулевой последовательности (  0) :
Так что
 A  A1  A2  A0 ;

2
 B  B1  B2  B0  a A1  aA2  A0 ;

2
C  C1  C2  C0  aA1  a A2  A0 .
105
(8.1)
r
A1
r
A2
r
B2
120o
r
C1
r
A0
r
C0
r
A r
A1
r
C2
r
A2
o
120
r
C
r
r B1
B0
rr r
A0 B0
r
C1 Br
2
r
B1
C0
r
C2
r
B
Рис. 8.25
Докажем теперь, что любую несимметричную систему трех векторов можно разложить на симметричные составляющие единственным
образом. Для этого сначала сложим три уравнения системы (8.1). Тогда,
учитывая, что a 2  a  1  0, получим:
(8.2)
A0  ( A  B  C ) 3.
Умножая затем два последних уравнения той же системы сначала
на а и a2 , а затем на a 2 и а соответственно и опять же складывая все
три, получим:
A1  ( A  aB  a 2C ) 3;
(8.3)
A2  ( A  a 2 B  aC ) 3.
(8.4)
Совершенно очевидно, что симметричная система ЭДС данной последовательности вызывает в симметричном приемнике симметричные
системы токов и напряжений той же самой последовательности. В этом
заключается принцип независимости действия симметричных составляющих в симметричной трехфазной цепи. Поэтому метод симметричных составляющих, как своеобразный метод наложения, идеально подходит для расчета токов и напряжений в цепи, где несимметричная система ЭДС подключена к симметричной нагрузке.
Система нулевой последовательности представляет собой неуравновешенную систему и считается симметричной только по формальным
признакам. Отдельные подсхемы, в которых действует каждая из симметричных составляющих этой системы, могут отличаться как конфигурацией, так и величиной сопротивлений в силу особенностей поведения этих составляющих даже в симметричной трехфазной цепи.
106
8.12. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ
СОСТАВЛЯЮЩИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ В СИММЕТРИЧНЫХ
ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ
1. В трехфазной цепи с нейтральным проводом ток в нем равен
сумме линейных токов и, согласно (8.2), утроенному значению составляющей нулевой последовательности этих токов:
I N  I A  I B  IC  3I Ë0.
В цепи же без нейтрального провода сумма линейных токов равна
нулю. Поэтому, согласно той же формуле, линейные токи не могут
иметь составляющих нулевой последовательности:
I Ë0  0.
2. Сумма линейных напряжений всегда равна нулю, поэтому они
не содержат составляющих нулевой последовательности:
U Ë0  0.
3. Фазные напряжения симметричной статической нагрузки, соединенной звездой, не содержат составляющих нулевой последовательности, поскольку нейтральная точка нагрузки на векторной диаграмме
лежит в центре тяжести треугольника линейных напряжений и, следовательно, сумма фазных напряжений равна нулю. Действительно, поскольку Y A  Y B  Y C , то
U A  (U AB Y B  U CAY A ) /(Y A  Y B  Y C )  (U AB  U CA ) / 3.
Аналогично,
U B  (U BC  U AB ) / 3, UC  (UCA  U BC ) / 3.
Тогда
U Ô0  (U A  U B  UC ) 3  0.
4. Сопротивления фаз нагрузки токам разных последовательностей в общем случае различны. Сравним, например, их величины в случае симметричной нагрузки. При этом будем называть отношение комплексного фазного напряжения какой-либо последовательности к комплексному фазному току той же самой последовательности комплексным сопротивлением цепи току данной последовательности, сопровождая его соответствующим индексом:
Z 1  U A1 / I A1  U B1 / I B1  U C1 / IC1  U1 / I1;
Z 2  U 2 / I 2 ; Z 0  U 0 / I0.
Пример 8.1
Статическая цепь (рис. 8.26)
Три одинаковых катушки с комплексным сопротивлением Z индуктивно связаны между собой (комплексное сопротивление взаимной индукции равно Z M ), соединены звездой с нейтральным проводом и подключены к источнику с симметричной системой ЭДС. Такая схема за107
мещения может, например, соответствовать трехфазному трансформатору в режиме холостого хода.
.
EA .
IA
. ZM
EB .
IB
Z


Z
. ZM
EC
N
.
IC
ZM

ZNn
n
Z
.
InN
Рис. 8.26
Если в цепи действует система ЭДС прямой последовательности
E A1  aEB1  a 2 EC1, то и линейные токи образуют систему прямой последовательности, так что ток в нейтральном проводе отсутствует:
I Nn  I A1  I B1  IC1  I A1  a 2 I A1  aI A1  I A1(1  a 2  a)  0.
По второму закону Кирхгофа для внешнего контура с учетом явления взаимной индукции имеем:
E A1  I A1 Z  I B1 Z M  IC1 Z M  I A1( Z  a 2 Z M  aZ M )  I A1(Z  Z M ).
Таким образом, Z 1  E A1 / I A1  Z  Z M .
Если повторить те же математические выкладки для обратной последовательности, то, очевидно, конечный результат окажется тем же
самым: Z 2  E A2 / I A2  Z  Z M  Z 1 , так как в статической цепи
направление вращения магнитного поля роли не играет и схемы замещения на одну фазу выглядят одинаково (рис. 8.27,а,б).
Составляющие нулевой последовательности ЭДС одинаковы, так
же, как и составляющие токов: E A0  EB0  EC 0 , I A0  I B0  IC 0 .
Поэтому (см. п. 1) в нейтральном проводе течет утроенный ток
этой последовательности I Nn  3I A0 . Тогда по второму закону Кирхгофа для внешнего контура схемы рис. 8.26 получим:
E A0  I A0 Z  I B 0 Z M  IC 0 Z M  I Nn Z Nn  I A0 (Z  2Z M  3Z Nn ).
108
Значит, в схеме на одну фазу, чтобы сохранить разность потенциалов между
нейтральными точками источника и приемника U nN  3I A0 Z nN , нужно при токе I A0
включить между точками N и n сопротивление 3Z nN , а последовательно с ЭДС – сопротивление Z  2Z M (рис. 8.27,в).
Так что Z 0  E A0 / I A0  Z  2Z M  Z 1
даже в статической цепи.
Что же касается динамической цепи, то в
ней проявляется еще и различие сопротивлений двигателя токам разных последовательностей.
109
Z-ZM
.
EA1
N
N
.
IA2
Z+2ZM
.
EA0
а
n
Z-ZM
.
EA2
N
.
IA1
б
n
.
IA0
3ZNn
Рис. 8.27
в
n
Пример 8.2
Асинхронный двигатель
Круговое магнитное поле статора прямой последовательности вращается с угловой скоростью C в том же направлении, что и ротор, угловая скорость которого Ð меньше. Величина ЭДС, наводимой в обмотке ротора, обусловлена разностью этих скоростей – угловой скоростью скольжения
1  S  (C  P ) Ñ,
поэтому относительно невелика. Малы и токи, создающие магнитный
поток реакции ротора, оказывающий размагничивающее (в соответствии с правилом Ленца) действие на поток поля статора. Следовательно, сопротивление фазы двигателя току прямой последовательности Z1
ненамного отличается от активно-индуктивного сопротивления фазы
обмотки статора.
Круговое поле обратной последовательности вращается в противоположную сторону, а ротор – в прямом направлении. Разность скоростей
2  C  P  S  2Ñ
почти вдвое больше C и во много раз больше 1. Значит, размагничивающее влияние реакции ротора возрастает, что приводит к существенному уменьшению величины сопротивления фазы двигателя току обратной последовательности Z 2 . Так что Z 2  Z1.
А токи нулевой последовательности, одинаковые по величине и
совпадающие по фазе, не могут создать вращающегося магнитного поля. Возникает пульсирующее магнитное поле, которое вытесняется из
ротора на торцы машины. Поэтому Z 0  Z1  Z 2 .
По аналогичным причинам отличаются сопротивления токам различных последовательностей у синхронных двигателей и генераторов.
Отдельные подсхемы при использовании метода симметричных составляющих будут отличаться не только величиной ЭДС, но и величиной
сопротивлений.
8.13. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ
К РАСЧЕТУ ЦЕПЕЙ С МЕСТНОЙ НЕСИММЕТРИЕЙ
Нормальным режимом работы динамической трехфазной цепи является симметричный режим. В некоторых случаях (как правило, связанных с авариями – обрыв линейного провода, короткое замыкание фазы и т. п.) в цепи появляется несимметричный участок. Остальные
110
участки симметричны, в том числе источники электрической энергии.
Такая цепь называется цепью с местной несимметрией.
В подобных схемах не работает принцип независимости действия
симметричных составляющих. Например, ЭДС прямой последовательности могут вызвать (и вызывают!) токи обратной и нулевой последовательностей. Следовательно, метод симметричных составляющих непосредственно к расчету таких цепей неприменим. Но если на основе теоремы компенсации заменить несимметричный участок соответствующей трехфазной системой источников напряжения или тока, то получится уже симметричная цепь, в которой действует несимметричная
трехфазная система ЭДС или токов эквивалентных источников. Пусть
эти величины неизвестны, но в соответствии с условиями замены можно
составить необходимые дополнительные уравнения для их определения.
Главное, что такую цепь уже можно рассчитывать методом симметричных составляющих.
Цепь с продольной несимметрией имеет несимметричный участок,
включенный последовательно в фазы линии или нагрузки (рис. 8.28,а).
.
.
UA
A IA
a
A .
a
.
Симметр. B . Несимметр. b Симметр.
IA
UB
b
участок
источник IB
c приемник B .
.
IB
.
C IC
. c
.
C
IN
UC
IC
ZNn
а
б
Рис. 8.28
Согласно теореме компенсации заменим фазы этого участка источниками ЭДС, которые равны падениям напряжения на элементах участка (рис. 8.28,б). В результате получим симметричную цепь с несимметричным трехфазным источником. Если комплексные сопротивления фаз
несимметричного участка известны, то вводимые вместо них фазные
ЭДС связаны с токами законом Ома:
U A  I A Z A ; U B  I B Z B ; U C  I C ZC .
Это условия несимметрии, которые следует использовать вместе с
уравнениями метода симметричных составляющих для определения неизвестных токов I A, I B, IC и напряжений U A, U B, UC . Сопротивления могут принимать любые значения от нуля и до бесконечно
больших величин. Например, в случае обрыва линейного провода между точками А и а и неповрежденных проводах двух других фаз окажется
111
Симметричный
приемник
Симметричный
источник
Z A  . Если сопротивлениями проводов линии пренебречь или включить их в параметры симметричных участков, то условия несимметрии
будут выглядеть так: I A  0, U B  0, UC  0.
Цепь с поперечной несимметрией имеет несимметричный участок,
подключенный параллельно фазам нагрузки или между фазами линии и
нулевым проводом, роль которого может играть и «земля» (рис. 8.29,а).
Проделав с помощью теоремы компенсации ту же операцию, что и
в предыдущем случае, вновь получим симметричную цепь с несимметричной системой эквивалентных ЭДС (рис. 8.29,б). Теми же останутся и
условия несимметрии при известных сопротивлениях фаз несимметричного участка Z A , Z B , Z C . Иногда удобно использовать замену несимметричного участка системой эквивалентных источников тока
I A , I B , IC .
A B C
A
.
UA
B
. I.C
C
UB
.
.
.
.
IA IB IC
UC
Несимметр.
участок
.
IN
. .
IA IB
.
In
ZN
0
Zn
а
0
б
Рис. 8.29
Пример 8.3
Обрыв одного из линейных проводов (Aa), связывающих генератор Г и двигатель Д, обмотки которых соединены звездой с нейтральным проводом (рис. 8.30,а).
Известны ЭДС генератора, образующие симметричную систему
прямой последовательности E A  aEB  a 2 EC , сопротивления всех последовательностей генератора Z Ã1, Z Ã2 , Z Г0 и двигателя Z Ä1, Z Ä2 ,
Z Ä0 , в которых учтены и сопротивления линии, а также сопротивление
нулевого провода Z Nn .
112
Определить линейные токи I B , IC , ток в нейтральном проводе
I N , а также напряжение между концами оборванного провода U A.
Г
.
IB
a
b
c
.
IC
.
N
.
IN
A
B
C
Д
ZNn
а
Рис. 8.30
n A I.
A
B .
IB
.
C
IC
UA
.
UB
a
b
. c
UC
б
Решение
1. Заменим несимметричный участок ( Aa, Bb, Cc) системой
ЭДС U A , U B , UC (рис. 8.30,б). Чтобы замена была эквивалентной,
должны выполняться условия несимметрии: I A  0, U B  0, UC  0.
2. Разложим систему эквивалентных ЭДС на симметричные составляющие и для расчета симметричных составляющих токов применим принцип наложения. Для этого составим подсхемы отдельных последовательностей (рис. 8.31,а,б,в). В каждой из них действуют ЭДС
только данной последовательности, токи протекают по сопротивлениям
той же самой последовательности, так что обеспечивается симметричный режим. Поэтому расчет можно вести на одну фазу. Дополнительные уравнения (п. 3) будут выглядеть проще, если выбрать для этого
«особую» фазу – в данном случае это фаза А.
Обратим внимание на две особенности.
ЭДС генератора образуют симметричную систему прямой последовательности, поэтому E A входит только в схему этой последовательности (рис. 8.31,а).
В схемах прямой и обратной последовательностей, как было показано выше, ток в нулевом проводе отсутствует. Поэтому потенциалы
точек N и n равны и их можно замкнуть накоротко (рис. 8.31,а,б). В
схеме же нулевой последовательности по нулевому проводу протекает
утроенный линейный ток. Поэтому, чтобы сохранить напряжение между нейтральными точками генератора и двигателя U nN  3I A0Z Nn в
схеме на одну фазу, в нее нужно включить утроенное сопротивление
нулевого провода (рис. 8.31,в).
3. Перепишем условия несимметрии применительно к составляющим тока и напряжения особой фазы, используя формулы (8.1–8.4):
I A  I A1  I A2  I A0  0; U A1  U A2  U A0  U A / 3.
113
4. Выразим составляющие тока I A в каждой из подсхем по закону Ома и, просуммировав их с учетом соотношения между составляющими напряжения U A , определим последнее:
U
E  U A1
U
I A1  A
; I A2   A2 ; I A0   A0 , ãäå
Z1
Z2
Z0
Z1  Z Ã1  Z Ä1; Z 2  Z Ã2  Z Ä2 ; Z 0  Z Ã0  Z Ä0  3Z Nn .
E  U A1 U A2 U A0
I A1  I A2  I A0  A



Z1
Z2
Z0
E
U  1
1
1 
 A  A


  0, î òêóäà
Z1
3  Z1 Z 2 Z 0 
1
3E  1
1
1 
UA  A 


 .
Z1  Z1 Z 2 Z 0 
5. Затем вычисляются симметричные составляющие тока I A и,
наконец, определяются искомые токи в виде суммы их симметричных
составляющих:
I B  a2 I A1  aI A2  I A0, IC  aI A1  a 2I A2  I A0, I N  3I A0 .
Примечание. Для упрощения расчетов аварийных режимов энергосистем их в значительной степени формализуют, составляя эквивалентные расчетные схемы на одну фазу для каждого аварийного режима.
Например, для рассматриваемого примера требуемую схему можно составить следующим образом.
Соединим проводником точки А всех трех подсхем и – другим проводником – точки а этих подсхем. Режим работы каждой из них при
этом не изменится, поскольку напряжения U Aa  U A / 3 везде одинаковы. Больше того, поскольку суммарный ток всех трех источников
U A1  U A2  U A0  U A / 3 равен нулю, то эти источники можно вообще
отключить и режим остальной части цепи по-прежнему не изменится! В
результате получается расчетная схема, которая показана на рис. 8.31,г.
Нетрудно убедиться, что формулы для определения составляющих токов и напряжения на зажимах оборванного провода линии остаются теми же самыми. В этом легко убедиться, рассчитав эту схему, например,
методом узловых потенциалов.
114
а
A
N
a
.
EA
ZГ1
ZГ0
a
A
.
IA0 .
ZД0
UA0
N
в
.
IA1 .
UA1
A
n N
ZГ2
ZД1
.
IA2 .
UA2
n
.
EA
3ZNn
Z1
.
IA1
.
IA2
a
n
ZД2
б
A
Z2
.
IA0
Z0
г
a
Рис. 8.31
Пример 8.4
Короткое замыкание одной фазы линии (А) на землю в системе генератор–двигатель, фазы которых соединены звездой, причем
нейтральная точка генератора заземлена (рис. 8.30,а).
Известны ЭДС генератора, образующие симметричную систему
прямой последовательности E A  aEB  a 2 EC , сопротивления генератора и двигателя всех последовательностей Z Ã1, Z Ã2 , Z Ã0 , Z Ä1, Z Ä2 ,
Z Ä0 , включающие в себя сопротивления проводов линии, и сопротивление заземления Z Ç.
Определить ток короткого замыкания I Ê .
Решение
1. Заменим несимметричный участок системой источников тока
I A , I B , IC , на зажимах которых сохраняются напряжения U A , U B ,
UC (рис. 8.32,б). Чтобы замена была эквивалентной, должны выполняться условия несимметрии: U A  0, I B  0, IC  0. В то же время
I A  IÊ .
A B C .
A
UC
.
B
.
N
Д n UB
Г
C
I
C
.
.
ZЗ
UA
IКЗ
.
IB
.
IA
а
б
Рис. 8.32
115
2. Разложим систему токов I A , I B , IC на симметричные составляющие и применим принцип наложения. В подсхемах для каждой последовательности существует симметричный режим, поэтому расчет
можно вести на одну фазу («особую» – в данном случае это опять фаза А). На рис. 8.33 показаны эти подсхемы. Обратим внимание, что ток
нулевой последовательности в фазах двигателя не течет, поскольку его
нейтральная точка не заземлена. В то же время в схему нулевой последовательности входит утроенное сопротивление заземления (по той же
причине, что и в предыдущем примере). Справедливым остается и замечание по поводу ЭДС генератора.
3. Перепишем условия несимметрии применительно к составляющим тока и напряжения особой фазы с учетом формул (8.1–8.4):
U A  U A1  U A2  U A0  0; I A1  I A2  I A0  I Ê / 3.
4. Найдем по закону Ома составляющие напряжения U A на зажимах источников тока в подсхемах и, просуммировав их с учетом соотношения между составляющими тока I A , определим ток короткого
замыкания.
U A1  ( E A / Z Ã1  I A1) Z 1, ãäå Z 1  Z Ã1 Z Ä 1 /( Z Ã1  Z Ä 1);
U A2   I A2 Z 2 , ãäå Z 2  Z Ã 2 Z Ä 2 /( Z Ã 2  Z Ä 2 );
U A0   I A0 Z 0 , ãäå Z 0  Z Ã 0  3Z Ç.
Òî ãäà I Ê  3E A Z1 /  Z Ã1( Z1  Z 2  Z 0 )   3EÝ /( Z 1  Z 2  Z 0 ),
ãäå EÝ  E À Z1 / Z Ã1.
Примечание. Составим и для этого режима расчетную схему замещения. В схемах рис. 8.33,а,б,в по отношению к зажимам источников
тока заменим параллельные ветви одной эквивалентной. При этом в
каждой из подсхем будет протекать один и тот же ток I Ê 3. Поэтому
можно объединить эти подсхемы в один контур и каждая из них будет
работать в прежнем режиме. Больше того, источники тока можно замкнуть накоротко, а ток в контуре останется прежним, поскольку суммарное напряжение на этих источниках равно нулю. В результате получим расчетную схему, которая показана на рис. 8.33,г. Нетрудно убедиться, что формулы для определения тока короткого замыкания I Ê и
симметричных составляющих напряжения U A сохраняют свой вид.
116
N
.
EA ZГ1
A
n N
.
UA1
.
IA1
а
ZД1
.
IA2
0
N
в
3ZЗ
ZГ0
A
ZД0
n
.
UA0
.
IA0
ZГ2
N
.
IК
3
0
Рис. 8.33
A
ZД2
n
.
UA2
. 0
EЭ
Z1
.
UA1 Z2 U.
A2
Z0
.
UA0
б
г
8.14. ВЫСШИЕ ГАРМОНИКИ В ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ
Если в трехфазной цепи действует симметричная система несинусоидальных ЭДС, то они сдвинуты по фазе на одну треть периода, т.е.
e A t   e B t  T / 3  eC t  T / 3.
Рассмотрим гармонику порядка k во всех трех фазах этой системы,
учитывая, что Tk  2 k. Если eAk (t )  Ekm sin  kt   k  , то
eBk (t )  Ekm sin  kt   k  2 k / 3 ; eCk (t )  Ekm sin  kt   k  2 k / 3.
При k  3n, где n – целое, окажется 2 k /3  2 n, тогда
e Ak (t )  e Bk (t )  eCk (t ),
то есть гармоники, кратные трем (3, 6, 9, …), образуют систему нулевой
последовательности.
При k  3n  1 получим 2 k /3  2 n  2 /3, тогда
e Ak (t )  eBk (t  2 / 3)  eCk (t  2 / 3),
то есть гармоники, чей порядок на единицу больше числа, кратного
трем (1, 4, 7, …), образуют систему прямой последовательности.
И, очевидно, при k  3n  2 окажется, что гармоники, чей номер на
единицу меньше числа, кратного трем (2, 5, 8, …), образуют систему
обратной последовательности:
e Ak (t )  eBk (t  2 / 3)  eCk (t  2 / 3).
Иными словами, если из номера гармоники вычесть наибольшее
число, кратное трем, то остаток будет равен индексу последовательности, которую образуют три ЭДС этой гармоники: 0 – нулевая, 1 – прямая, 2 – обратная. Так что даже при симметричной системе несинусоидальных ЭДС в цепи появляются группы напряжений и токов, которые
можно оценить как симметричные составляющие различных последова117
тельностей. Поэтому расчет трехфазных цепей, в которых действуют
источники несинусоидальных напряжений и токов, следует вести методом наложения с учетом данного обстоятельства. Составляя для каждой
гармоники расчетную схему замещения, нужно не только определять ее
параметры в зависимости от частоты, но и выбирать конфигурацию однофазной подсхемы, удовлетворяющую условиям существования симметричных составляющих соответствующей последовательности.
В большинстве практически важных случаев ЭДС генераторов не
содержат ни постоянной составляющей, ни четных гармоник, поэтому в
дальнейших рассуждениях будем учитывать лишь нечетные гармоники (1, 3, 5, …).
Рассмотрим различные схемы соединения фаз в симметричной
трехфазной цепи, где действует симметричная система несинусоидальных ЭДС, обладающих симметрией относительно оси абсцисс.
1. Звезда без нулевого провода (рис. 8.34)
Фазные напряжения источника содержат все вышеупомянутые
гармоники, поэтому
U Ф  E12  E32  E52  ....
Линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности, а стало быть, и гармоник, кратных трем. В то же время
их составляющие прямой и обратной последовательностей превышают
соответствующие составляющие фазных напряжений в 3 раз, значит,
2
U Ë  3( E12  E52  E72  E11
 ...).
Поэтому даже в симметричном режиме U Ë  U Ô 3.
Линейные (они же фазные) токи не содержат гармоник, кратных
трем, поскольку эти гармоники образуют систему нулевой последовательности и могут замыкаться лишь по нейтральному проводу:
2
I Ë  I12  I52  I 72  I11
 ....
Поэтому в фазах источника и приемника отсутствуют падения
напряжения этих гармоник. Значит, согласно второму закону Кирхгофа,
между нейтральными точками N и n даже в симметричном режиме существует напряжение
2
U nN  E32  E92  E15
 ... ,
в разложении в ряд Фурье которого основной является третья гармоника. Следовательно, эту схему можно использовать в качестве утроителя
частоты.
118
Звезда с нейтральным проводом (рис. 8.35)
Симметр.
Симметр.
Симметр.
Симметр.
приемник
источник
источник
приемник
A
A
АЛ
АЛ
eA
eA
VФ
B
B
n
n N
eB
eB
VЛ
C
C
2.
N
eC
eC
AN
VN
Рис. 8.34
Рис. 8.35
При тех же фазных ЭДС окажутся теми же самыми фазные и линейные напряжения. Но линейные токи на этот раз содержат все гармоники
I Ë  I12  I32  I52  ...,
поскольку гармоники, кратные трем (и только они), замыкаются по нулевому проводу, так что
2
I N  3 I32  I92  I15
 ....
3. Соединение треугольником
В фазах разомкнутого треугольника (рис. 8.36) ЭДС прямой и обратной последовательностей в сумме дают нуль, поэтому напряжение на
разомкнутых зажимах содержит лишь гармоники, кратные трем:
2
U  3 E32  E92  E15
 ....
Эта схема также может быть использована для утроения частоты.
Если цепь треугольника замкнута (рис. 8.37),то под действием ЭДС
гармоник, кратных трем, в его фазах и при отсутствии нагрузки течет
ток
2
I Ô  I32  I92  I15
 ....
Он создает падения напряжения, компенсирующие ЭДС, вызвавшие этот ток, поэтому линейные напряжения не содержат гармоник,
кратных трем. Значит, не содержат их при наличии нагрузки и линейные токи (как и в случае со звездой). Поэтому
2
I Л  3( I12  I 52  I 72  I11
 ...)  I Ф 3.
119
A
A
eCA
Симметричная
нагрузка
eCA
eAB
eAB
B
B
eBC
eBC
АФ
V
C
C
Рис. 8.36
АЛ
Рис. 8.37
В фазах генератора при наличии нагрузки токи содержат все гармоники:
I Ô  I12  I32  I52  ....
4. В заключение отметим, что в электродвигателях гармоники
1, 7, 13, … порядка создают магнитное поле, вращающееся в ту же сторону, что и ротор (прямая последовательность). Гармоники порядка
5, 11, 17, … создают поле, вращающееся в противоположную сторону
(обратная последовательность). А гармоники, кратные трем, создают
пульсирующее магнитное поле (нулевая последовательность).
9. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
9.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
При расчетах сложных электрических цепей нередко возникает
необходимость установить связь между напряжениями на двух парах
зажимов и токами от них отходящими. В этом случае токи и напряжения в остальных частях цепи интереса не представляют, хотя при решении задач учитываются параметры всей цепи.
Часть электрической цепи, имеющая две пары зажимов для присоединения к остальной части цепи, называется четырехполюсником и
изображается на схеме, как показано на рис. 9.1. Зажимы, принадлежащие одной паре, называются входными и обычно служат для присоединения к источнику энергии (1, 1). Два других, к которым обычно подключается нагрузка, называются выходными (2, 2). Примеры: транс120
форматор, двухпроводная линия электропередачи, мостовая схема. На
практике возможны и иные варианты подключения четырехполюсника.
121