Софизмы и парадоксы в математике

НОУ Соль-Илецкого района
Реферат по математике на тему
Софизмы и парадоксы в математике
Выполнен учеником 6 «Б» класса
МОБУ «Лицей Соль-Илецкого района»
Старченко Станиславом
Научный руководитель –
учитель математики
МОБУ «Лицей Соль-Илецкого района»
Сапожникова Лариса Венделиновна
г.Соль-Илецк 2014
1
Содержание:
Введение--------------------------------------------------------------------------------------3
Глава 1. Историческая справка----------------------------------------------------------4
1. 1. Примеры логических софизмов ---------------------------------------------------6
1.2. Апории Зенона-------------------------------------------------------------------------9
2.1. Логические парадоксы--------------------------------------------------------------10
3.1. Физические софизмы и парадоксы.-----------------------------------------------12
4.1. Различие и сходство между софизмами и логическими парадоксами----13
5.1. Исследовательская часть-----------------------------------------------------------14
Заключение……………………………………………………..………………..16
2
Введение:
Люди постоянно стремятся расширить свои знания и обогатить свою
память, однако, как сказал Гераклид: «Само по себе многознание – это не
мудрость. Мудрость предполагает знание оснований и причин».
Мы обратились к теме софизмов и парадоксов по нескольким причинам.
Во-первых, мы очень любим решать задачи и разгадывать математические
ребусы, но в математике есть «задачи-ловушки», которые не похожи на
другие, они как будто - бы правильные, но в то же время неправильные. Это
софизмы!
Во-вторых, поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их
причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того,
показывает, что математика – это живая наука. Да и разбор софизмов и
парадоксов сам по себе развивает навыки мышления.
В-третьих, это просто интересно, интригующе и увлекательно.
Итак, цель нашей работы
 Понять, что такое софизмы и парадоксы.
 Научиться разгадывать софизмы и парадоксы.
 Провести исследование среди учащихся двух групп разного возраста.
Задачи:
 привести примеры софизмов и парадоксов.
 разобрать несколько примеров.
 понять, как найти ошибку в них.
 проведя разбор софизмов, сделать вывод.
Надеюсь, что наш реферат будет интересен и принесёт пользу ребятам.
3
Глава 1. Историческая справка
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет
видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит
одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в
математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не
учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда
рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются
на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».
Софизмы (греч. sophisma — измышление, хитрость), которые, как уже
говорилось, базируются на разнообразных нарушениях логического закона
тождества, представляют собой внешне правильные доказательства ложных
мыслей. От софизмов следует отличать паралогизмы (греч. paralogismus —
неправильное рассуждение) — логические ошибки, допускаемые
непроизвольно, в силу незнания, невнимательности или иных причин.
Cчитается что, софизм- всего лишь сбивчивое доказательство, попытка
выдать ложь за истину.
Прежде всего, оно совершенно отвлекается от тех исторических
обстоятельств, в которых рождались софизмы, и в которых протекала их
последующая, нередко богатая событиями жизнь. Исследование софизмов,
вырванных из среды их обитания, подобно попытке составить полное
представление о растениях, пользуясь при этом только гербариями.
Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем
острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы всего лишь
хитрости и словесные уловки, выведенные на чистую воду еще Аристотелем,
то долгая их история и устойчивый интерес к ним непонятны.
Когда были сформулированы первые софизмы, о правилах логики не
было известно. Говорить в этой ситуации об умышленном нарушении
4
законов и правил логики можно только с натяжкой. Тут что-то другое. Ведь
несерьезно предполагать, что с помощью софизма «Рогатый» можно убедить
человека, что он рогат таким умозаключением:
- То, что человек не терял, он имеет. Рогов ты не терял, значит они у тебя
есть.
При рассмотрении этого софизма уже после создания некоторых правил
логики можно чётко видеть, что здесь использована ложная предпосылка.
Сомнительно также, что с помощью софизма «Лысый» кто-то надеялся
уверить окружающих, что лысых людей нет. И как раз, чтобы подчеркнуть
это обстоятельство, софизм формулируется так, что его заключение является
заведомо ложным, прямо и резко противоречащим фактам.
Ф. Бэкон сравнивал того, кто прибегает к софизмам, с лисой, которая
хорошо петляет, а того, кто раскрывает софизмы, - с гончей, умеющей
распутывать следы.
Знаменитые рассуждения древнегреческого философ Зенона "Ахиллес и
черепаха", "Дихотомия" и др., называемые обычно апориями
(затруднениями), были направлены будто бы против движения и
существования многих вещей. Сама идея доказать, что мир - это однаединственная и к тому же неподвижная вещь, нам сегодня кажется
странной. Странной она казалась и древним. Настолько странной, что
доказательства, приводившиеся Зеноном, сразу же были отнесены к простым
уловкам, причем лишенным в общем-то особой хитрости. Такими они и
считались две с лишним тысячи лет, а иногда считаются и теперь.
Посмотрим, как они формулируются, и обратим внимание на их внешнюю
простоту и незамысловатость.
5
1. 1. Примеры логических софизмов:
Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять
абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее
интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели
игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений,
их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д.
Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.
«Не знаешь то, что знаешь»
«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что
добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А
ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».
Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?
Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не
всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.
«Отец — собака»
«Эта собака имеет детей, значит, она — отец. Но это твоя собака. Значит, она
твой отец. Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты — брат щенят».
Полупустое и полуполное
«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит
равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».
Равен ли полный стакан пустому?
Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно
сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому.
Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен
стакану пустому.
6
Не знаешь то, что знаешь
«Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?» - «Нет». – «Знаешь ли ты,
что добродетель есть добро?» - «Знаю». – «Об этом я и хотел тебя спросить.
А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».
Лекарства
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра,
тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
Вор
«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть
дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».
Рогатый
«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».
Апельсин- планета
Земля, Марс и т. д. - круглые. Значит, все планеты круглые. Апельсин тоже
круглый, значит апельсин - планета?
Сидящий стоит
«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
Логический софизм
Вход в парк некоего могущественного князя был запрещен. Если нарушитель
попадался, его ожидала смерть, но ему предоставлялось право выбирать
между виселицей и обезглавливанием. Он должен был что-то заявить, и если
его утверждение было верно, его обезглавливали, а если ложно, то его
вешали. Что нужно было заявить нарушителю, чтобы избежать
установленного правила и остаться живым?
7
«Меня повесят, естественно».
Ты не человек
Я человек, ты не я, значит ты не человек.
Самое быстрое не догонит самое медленное
Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес
добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро
преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до
бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была
перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
Нет конца
Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он
достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся
половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее
не достигнет.
Куча
Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и
n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не
образует кучу песка.
Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?
Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не
всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.
8
Софизм «лгун»
Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком
случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун.
Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)
«Софизм Кратила»
Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку
нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на
него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту
же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты входишь, она уже
изменится.
1. 2. Апории Зенона
"Ахиллес и черепаха", "Дихотомия"
Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное, быстроногий
Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес
добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро
преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед.
И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места,
где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но
впереди.
9
В "Дихотомии" обращается внимание на то, что движущийся предмет
должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца.
Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину
этой четвертой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно
приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.
Это рассуждение можно несколько переиначить. Чтобы пройти половину
пути, предмет должен пройти половину этой половины, а для этого нужно
пройти половину этой четверти и т.д. Предмет в итоге так и не сдвинется с
места.
Этим простеньким на вид рассуждениям посвящены сотни
философских и научных работ. В них десятками разных способов
доказывается, что допущение возможности движения не ведет к абсурду,
что наука геометрия свободна от парадоксов и что математика способна
описать движение без противоречия.
Софизмы типа "Лысый" являются также наглядным примером тех
трудностей, к которым ведет употребление неточных или "размытых"
понятий.
2. 1. Логические парадоксы
Парадокс в широком смысле слова — это нечто необычное и
удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым
смыслом и жизненным опытом. Логический парадокс — это такая необычная
и удивительная ситуация, когда два противоречащих суждения не только
являются одновременно истинными (что невозможно в силу логических
законов противоречия и исключенного третьего), но еще и вытекают друг из
друга, друг друга обуславливают.
Варианты парадокса "Лжеца"
10
Наиболее известным и, пожалуй, самым интересным из всех логических
парадоксов является парадокс "Лжец". Он-то главным образом и прославил
имя открывшего его Евбулида из Милета.
Имеются варианты этого парадокса, или антиномии, многие из которых
являются только по видимости парадоксальными.
В простейшем варианте "Лжеца" человек произносит всего одну фразу:
"Я лгу". Или говорит: "Высказывание, которое я сейчас произношу, является
ложным". Или: "Это высказывание ложно".
Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду, и значит,
сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является
ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание
ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжет, он говорит
правду, и наоборот.
В средние века распространенной была такая формулировка:
- Сказанное Платоном - ложно, - говорит Сократ.
- То, что сказал Сократ, - истина, - говорит Платон
Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто ложь?
Парадокс "Лжец" произвел громадное впечатление на греков. И легко
понять почему.
Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем
простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ "да"
приводит к ответу "нет", и наоборот. И размышление ничуть не проясняет
ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает
какую-то неясную и неизмеримую глубину.
Ходит даже легенда, что некий Филит Косский, отчаявшись разрешить
этот парадокс, покончил с собой. Говорят также, что один из известных
11
древнегреческих логиков, Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не
принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение "Лжеца", и вскоре
умер, так ничего и не добившись.
В средние века этот парадокс был отнесен к так называемым
неразрешимым предложениям и сделался объектом систематического
анализа.
В новое время "Лжец" долго не привлекал никакого внимания. В нем не
видели никаких, даже малозначительных затруднений, касающихся
употребления языка. И только в наше, так называемое новейшее время
развитие логики достигло наконец уровня, когда проблемы, стоящие, как
представляется, за этим парадоксом, стало возможным формулировать уже в
строгих терминах.
Теперь "Лжец" - этот типичный бывший софизм - нередко именуется
королем логических парадоксов. Ему посвящена обширная научная
литература. И, тем не менее, как и в случае многих других парадоксов,
остается не вполне ясным, какие именно проблемы скрываются за ним и как
следует избавляться от него.
3.1. Физические софизмы и парадоксы.
К пристани причаливают две одинаковые лодки. Лодочники
подтягиваются к берегу с помощью веревок. Другой конец первой веревки
привязан к столбу на пристани; за противоположный конец второй веревки
тянет матрос, стоящий на пристани. Все трое прилагают одинаковые усилия.
Какая лодка причалит раньше?
Ответ.
Обе лодки причалят одновременно.С какой силой лодочники тянут за
один конец веревки, с такой же силой второй конец веревки действует на
столб и на матроса. Другими словами, столб "тянет" конец веревки с такой
же силой, с какой ее тянет матрос, стоящий на пристани.
12
Все тела падают на землю. Облака состоят из маленьких капелек воды,
значит они должны падать на землю. Однако этого не происходит. Почему?
При испытании реактивного снаряда, установленного в хвосте самолета
для защиты его от нападения сзади, был обнаружен удивительный факт: при
пуске снаряд разворачивался и догонял самолет. Как можно объяснить это
явление?
4.1. Различие и сходство между софизмами и логическими
парадоксами
Внешне парадоксы похожи на софизмы, поскольку тоже приводят
рассуждения к противоречиям. Главное же различие между ними, как
остроумно заметил писатель Даниил Гранин, заключается в том, что софизм это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс - истина в одеянии лжи.
Это, конечно, образное сравнение, но оно довольно точно схватывает суть
проблемы. Хотя в действительности связь софизма и парадокса более тонкая
и сложная. Парадокс может быть следствием, заключением некоторых
софизмов, то есть из корректного по форме, но ложного по содержанию
рассуждения может следовать выражение, которое можно назвать
некорректным по форме, но истинным по содержанию. Парадоксальный
вывод обязывает искать источник парадокса, заставляет выбираться из круга,
в котором оказалось наше рассуждение, и искать другой путь. Например,
псевдоистину содержит суждение с двойным отрицанием: «Я не знал, что он
не брал», так как двойное отрицание является утверждением. Или: «Нельзя
не верить потерпевшему, - говорит обвинитель, - ибо невозможно измыслить
столь чудовищное обвинение». «Невозможно, согласен, - возражает
защитник, - но если невозможно измыслить, как же можно было
совершить?».
13
5.1. Исследовательская часть
Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов и парадоксов в
жизни, мы провели исследовательскую работу в сфере учебной деятельности.
Данная работа была направлена
1.
на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее;
2.
на развитие логического мышления;
3.
на формирование математической грамотности учащихся.
Исследование проводилось среди учащихся двух групп: первая группа –
ученики 6 класса, а вторая группа – ученики 10 класса.
В шестом классе был проведен урок – презентация на развивающей
математике, посвященный софизмам. Затем по этой теме была проведена
самостоятельная работа.
В десятом классе просто ознакомление с понятием софизма и
презентация по данной теме. Закончилось самостоятельной работой.
По итогам самостоятельных работ мы увидели, что процент учащихся,
которые справились с работой выше, чем тех учащихся, которые с работой не
справились во всех группах.
Все полученные данные мы оформили в виде диаграмм, которые
наглядно показали нам различия по уровню усвоения темы самостоятельной.
Таким образом, проанализировав полученные результаты, мы сделали
вывод, что ученики, разобравшие данную тему с легкостью находили
ошибки. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные
ошибки по данной теме.
14
Группа учеников 6 класса
Группа учеников 10 класса
15
Заключение
Приступив писать заключение, мы вспомнили о парадоксе описания
чистого листа. Это описание бесконечно, как песенка «У попа была собака,
он ее любил…».
Так же бесконечно хочется писать о парадоксе. И видимо, знание о
парадоксе будет постоянно меняться, и никто никогда не скажет: «Я знаю о
парадоксе все».
И от этого наша тема становится еще более притягательной. Мы
рассмотрели наиболее интересные софизмы и парадоксы, еще больше их не
рассмотрели.
В своей работе мы доказали, что софизмы и парадоксы являются не
просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем
человеческой мысли. Показали практическое применение парадоксов и их
актуальность и в наше время.
Рассмотрев определения и примеры софизмов и парадоксов, выяснили,
что грань между софизмом и парадоксом очень тонка, многие парадоксы в
разных источниках называют софизмами, а софизмы парадоксами.
Научились разгадывать некоторые софизмы и парадоксы.
Провели исследование среди учащихся двух групп разного возраста, на
которых выяснили, что детям интересна эта тема, как и нам.
Тема нашей работы далеко не исчерпана. Мы рассмотрели лишь
некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле
их намного больше. Мы продолжим изучение этой темы в дальнейшем.
16
Список литературы.
1. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004г
2. А.Г. Мадера, Д.А. Мадера «Математические софизмы» Москва,
«Просвещение», 2003г.
3. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» Москва,
«Просвещение», 1988г.
4. М.Е. Тульчинский Занимательные задачи-порадоксы.
5. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Составители А.П.
Савин, В. В. Станцо, А.Ю. Котова: под общей редакцией О.Г.Хинн.М.:АСТ,1995.
Интернет ресурсы:
1. http://stepanov.lk.net/gardner/hex/hex14.html
2. http://nsportal.ru/ap/ap/drugoe/sofizmy-i-paradoksy-v-matematike
3. http://www.coolreferat.com/%D0%A1%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%
B7%D0%BC%D1%8B_%D0%B8_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0
%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81%D1%8B
4. http://teacher.msu.ru/child/proforientir/math/paradox
5. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%EE%F4%E8%E7%EC
6. http://www.uchportal.ru/load/25-1-0-32713
17