Ленинский район МБОУ СОШ № 86 Секция математики Запольский Алексей 8 «А» класс Тема: Число Фи Руководитель Кузенкова Инна Владимировна учитель математики высшей категории Новосибирск 2013 1 Содержание Введение ......................................................................................................................... 2 Основная часть Что такое число Фи ................................................................................................... 3 Природа ..................................................................................................................................................... 3 Живопись и архитектура……… .............................................................................. 5 Человек ....................................................................................................................... 6 Музыка ....................................................................................................................... 7 Символы ..................................................................................................................... 7 Космос ........................................................................................................................ 7 Из истории.................................................................................................................. 8 Практическое применение ..................................................................................... 12 Заключение ................................................................................................................... 13 Литература ..................................................................................................................... 14 2 Введение. Математика, по мнению известного немецкого математика Давида Гильберта, – это «игра, в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом обозначениями, не имеющими самостоятельного значения». Со времен древних греков и египтян в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые числами, впоследствии получившими название чисел Фибоначчи. Не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых. На занятиях факультатива я впервые познакомился с такими числами, и Инна Владимировна предложила мне изучить эту тему более глубоко. Результатом моего «погружения» в теорию чисел стала эта работа. Мы рассмотрели и описали в ней только самые простые понятия и факты. Целью своей работы я поставил узнать, что такое число Фи, где и как часто мы встречаемся с ним. Каково же было мое удивление, когда я, прочитав статьи и разделы энциклопедий об этом числе, понял: узнавать о нем новое можно бесконечно, потому что нас постоянно окружают вещи и явления, связанные с этим «божественным» числом, как называли его еще в средние века. 3 Что такое число Фи. Итальянский математик Леонардо Фибоначчи, который жил за 250 лет до другого Леонардо – да Винчи, любил гулять по лесу и размышлять. Например, о том, с какой геометрической прогрессией рождаются кролики. Неизвестно, долго ли он над этим думал, но именно размышляя о кроликах, придумал числовой, рад, каждое последующее число которого являлось суммой двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 и так до бесконечности. Стоило Фибоначчи вывести эту закономерность, как ее проявления стали проявляться по всюду. Так как Фибоначчи любил гулять, первая закономерность бросилась ему в глаза на лесной поляне. У ириса он насчитал 3 лепестка, у лютика 05, у некоторых дельфиниумов – 8, у разных видов маргариток – 34, 55, 89. Понаблюдав, как прорастает из земли тысячелистник, ученый, к своему удивлению, обнаружил, что сначала появляется один листик, потом два, чуть позже – три, затем пять… восемь… тринадцать. И никогда по-другому! Но тогда Фибоначчи даже не предполагал, насколько близко ему удалось приблизиться к разгадке одной из величайших тайн мироздания. Число PHI (фи), равное одной целой шестистам восемнадцати тысячным (Ф=1.618), является самым важным и значимым числом в природе, изобразительном искусстве, архитектуре, музыке. Оно, по всеобщему мнению, признано самым красивым во вселенной. Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачоли назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его совpеменных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое сpеднее и oтношение веpтящихся квадpатов. Kеплеp назвал это соотношение одним из «сокpовищ геометpии». В алгебpе общепpинято его обозначение гpеческой буквой Фи. Число Фи сыграло по-своему уникальную роль. Роль кирпичика в фундаменте построения всего живого на земле. Эта вездесущность Фи в природе указывает на связь всех живых существ. Раньше считали, что число Фи было предопределено Творцом вселенной. Ученые древности называли 1,618 «божественной пропорцией». Природа. Мир живой природы предстает перед нами - подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы – это, прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы – это, прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения". 4 Все, что приобретало какую-то форму на Земле, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Если мы разделим угол наклона спирали ДНК на ее диаметр или соотнесем длину раковины моллюска с ее диаметром, то получим все то же число Фи. При взгляде на ствол любого растения видно, что каждый лист растет на ветке под углом, отличным от угла нижнего листа. Чаще всего угол между последующими листьями прямо соотносим с числом «фи». Если в любом на свете улье разделить число женских особей на число мужских, то всегда получится одно и то же число. Число Фи. Семена подсолнечника располагаются по спиралям, против часовой стрелки. Соотношение диаметра каждой из спиралей к диаметру следующей равно Фи. Спиралеобразно закрученные листья початка кукурузы, расположение листьев на стеблях растений, сегментационные части тел насекомых. И все они в строении своем послушно следуют закону. Громкость шепота, человеческой речи, крика и звука, вызывающего болевые ощущения взаимосвязаны через число Фи. 5 За кажущимся хаосом мира скрывается порядок. И древние, открывшие число Фи, были уверены, что нашли тот строительный камень, который Господь Бог использовал для создания мира, и начали боготворить Природу. Можно понять почему. Божий промысел виден в Природе, по сей день существуют языческие религии, люди поклоняются Матери Земле. Искусство есть не что иное, как попытка человека имитировать красоту, созданную Творцом вселенной. Живопись и архитектура. Микеланджело, Альбрехт Дюрер, да Винчи и многие другие художники строго следовали «божественным пропорциям» в построении своих композиций. Магическое число присутствует и в архитектуре, в пропорциях греческого Парфенона, пирамид Египта, даже здания ООН в НьюЙорке. 6 Каждый образованный человек независимо от того, какую профессию он избрал, знает или хотя бы слышал об одном из самых замечательных периодов в истории человечества, об эпохе Ренессанса – великом времени Возрождения. Эпоха Возрождения ассоциируется с именами таких «титанов», как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Николай Коперник, Альберт Дюрер, Лука Пачоли. И первое место в этом списке по праву занимает Леонардо да Винчи, величайший художник, инженер и ученый эпохи Возрождения. Как подчеркивает в своих «Жизнеописаниях» знаменитый итальянский историк искусства, архитектор и художник Джорджо Вазари, «...дивным и божественным был Леонардо, сын Пьеро из Винчи, и он достиг бы великих итогов в науках и письменности, не будь он таким многосторонним и непостоянным». Человек. Знаменитый рисунок Леонардо да Винчи, изображающий обнаженного мужчину в круге. «Витрувианский человек», так он был назван в честь Маркуса Витрувия, гениального римского архитектора, который вознес хвалу «божественной пропорции» в своих «Десяти книгах об архитектуре». Никто лучше да Винчи не понимал божественной структуры человеческого тела. Его строения. Да Винчи даже эксгумировал трупы, изучая анатомию и измеряя пропорции костей скелетов. Он первым показал, что тело человека состоит из «строительных блоков», 7 соотношение пропорций которых всегда равно заветному числу Фи. Измерьте расстояние от макушки до пола. Затем разделите на свой рост и увидите, какое получится число. Измерьте расстояние от плеча до кончиков пальцев, затем разделите его на расстояние от локтя до тех же кончиков пальцев. Снова получите то же число. Расстояние от верхней части бедра, поделенное на расстояние от колена до пола, и снова Фи. Фаланги пальцев рук. Фаланги пальцев ног. И снова Фи, Фи. Каждый из нас есть живой пример «божественной пропорции». Я провел исследования пропорций тела среди учеников 6, 8 и 11 классов. Результаты подтвердили предположения (приложение). Музыка. Фи проявлялось в строго организованных структурах моцартовских сонат, в Пятой симфонии Бетховена, а также в произведениях Бартока, Дебюсси и Шуберта. Число Фи использовал в расчетах даже Страдивари при создании своей уникальной скрипки. Символы. Пятиконечная звезда (пентаграмма, или пентакл, как называли его древние) – одновременно божественный и магический символ. Потому что, когда вы рисуете пентаграмму, линии автоматически делятся на сегменты, соотношение которых всегда равно числу Фи. Именно по этой причине пятиконечная звезда всегда была символом красоты и совершенства и ассоциировалась с богиней и священным женским началом. Космос. Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. 8 Из истории «золотого сечения» Термин «золотое сечение» (aurea sectio) идет от Клавдия Птолемея, который дал это название числу 0,618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же данный термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал. Для самого Леонардо да Винчи искусство и наука были связаны неразрывно. Отдавая в «споре искусств» пальму первенства живописи, Леонардо да Винчи понимал её как универсальный язык (подобный математике в сфере наук), который воплощает посредством пропорций и перспективы все многообразные проявления разумного начала, царящего в природе. Важнейшим источником для изучения воззрений Леонардо да Винчи по теории искусства являются его записные книжки и рукописи (около 7 тыс. листов). Сам Леонардо не оставил систематического изложения своих мыслей. «Трактат о живописи», составленный после смерти Леонардо да Винчи его учеником и оказавший огромное влияние на европейскую художественную практику и теоретическую мысль, состоял из отрывков, во многом произвольно извлечённых из контекста его записок. В «Трактате о живописи» излагаются сведения о пропорциях. В эпоху Возрождения математическое понятие — «Золотая Пропорция» было возведено в ранг главного эстетического принципа. Согласно художественным канонам Леонардо, золотая пропорция отвечает не только делению тела на две неравные части линией талии, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части (это отношение приблизительно равно 1,618). Высота лица (до корней волос) относится к вертикальному расстоянию между дугами бровей и нижней частью подбородка, как расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка, это расстояние равно золотой пропорции. Разрабатывая правила изображения человеческой фигуры, Леонардо да Винчи пытался на основе литературных сведений древности восстановить так называемый «квадрат древних». Он выполнил рисунок, в котором показано, что 9 размах вытянутых в сторону рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг («Витрувийский человек» Леонардо да Винчи). Но наиболее ярким свидетельством огромной роли Леонардо да Винчи в развитии теории Золотого Сечения является его влияние на творчество выдающегося итальянского математика эпохи Возрождения Луки Пачоли, с которым он сблизился в Милане. В момент знакомства с Лукой Пачоли, который именовал себя Лука ди Борго Сан Сеполькро, последний был уже знаменитым математиком, автором книги «Сумма об арифметике, геометрии, пропорциях и пропорциональностях», изданной в Венеции в 1494г. В Милан Пачоли прибыл в 1496г. В это время Милан был центром науки и искусства, в нем жили и творили выдающиеся ученые и художники. Одним из них был Леонардо да Винчи, который стал третьим великим человеком (после Пьеро делла Франческо и Леона Баттиста Альберти), встретившимся на жизненном пути Луки Пачоли. Леонардо да Винчи оставил несколько записей, которые свидетельствуют о его знакомстве с Лукой Пачоли: «Научись умножению корней у маэстро Луки», «попроси брата из Борго показать тебе книгу «О весах»». Считается, что именно под влиянием Леонардо да Винчи Лука Пачоли начинает писать свою «вторую великую книгу», названную им «О божественной пропорции». Эта книга была опубликована в 1509г. Для этой книги Леонардо сделал иллюстрации. Книга Пачоли состоит из трех частей: в первой части излагаются свойства Золотого Сечения, вторая часть посвящена правильным многогранникам, третья – приложениям Золотого Сечения в архитектуре. В своей книге Пачоли, апеллируя к «Государстиву», «Законам», «Тимею» Платона, последовательно выводит 12 (!) различных свойств Золотого Сечения. Характеризуя эти свойства, Пачоли пользуется весьма сильными эпитетами: «исключительное», «превосходнейшее», «замечательное», «почти сверхъестественное» и т.п. Раскрывая данную пропорцию в качестве универсального отношения, выражающего и в природе и в искусстве совершенство красоты, он называет ее «божественной» и склонен 10 рассматривать ее как «орудие мышления», «эстетический канон», «как принцип мира и природы». Книга Пачоли оказала заметное влияние на современников. Изданный фолиант Пачоли был одним из первых прекрасных образцов книгопечатного искусства Италии. Историческое значение книги состояло в том, что это было первое математическое сочинение, целиком посвященное Золотому Сечению. Есть все основания полагать, что именно Леонардо да Винчи стоял у истоков этой книги! Более того. По существу Леонардо принадлежит не только идея книги, но его, в некотором смысле, можно считать соавтором этой книги, поскольку именно он был художником, иллюстрировавшим эту выдающуюся книгу. Он нарисовал 60 (!) великолепных рисунков к книге Пачоли, которые сохраняют свою художественную ценность до настоящего времени. «Первое заключается в том, что существует только она одна, и невозможно привести примеры пропорций другого рода или хоть сколько-нибудь отличающихся от нее. Эта единственность, согласно с политическим и философским учениями, есть высочайшее свойство самого Бога. Второе свойство есть свойство святой триединости, а именно: как в божестве одна и та же сущность заключается в трех лицах – отце, сыне и святом духе, так же и одна и та же пропорция этого рода может иметь место только для трех выражений, а для большего и меньшего выражений не существует. Третье свойство заключается в том, что, подробно тому, как Бог не может быть ни определен, ни словом разъяснен, наша пропорция не может быть выражена ни доступным нам числом, ни какой бы то ни было рациональной величиной и остается скрытой и тайной и поэтому математиками названа иррациональной. Четвертое свойство заключается в том, что, подобно тому, как Бог никогда не изменяется и представляет все во всем и все в каждой своей части, и наша пропорция для всякой непрерывной и определенной величины одна и та же, велики или малы эти части, никаким образом не может быть ни изменена, ни по иному воспринята рассудком. К названным свойствам вполне справедливо можно присоединить пятое свойство, заключающееся в том, что, подобно тому, как Бог вызвал к бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, а с ее помощью – четыре других простых тела, именно, четыре элемента – землю, воду, воздух и огонь, а с их помощью вызвал к бытию всякую вещь в природе, так и наша священная пропорция, дает формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается вид тела, называемый додекаэдром, которое невозможно построить без нашей пропорции». После смерти Луки Пачоли (1515) труды великого математика оказываются преданными забвению почти на четыре столетия. И когда в конце 19-го века его труды стают всемирно известными, благодарные потомки после 370-летнего забвения на его могиле поставили памятник, на котором написали: 11 «Луке Пачоли, который первый дал алгебре язык и структуру науки, который применил свое великое открытие к геометрии, изобрел двойную бухгалтерию и дал в математических трудах основы и неизменные нормы для последующих поколений». Внешность Пачоли нам доподлинно известна благодаря его портрету кисти Якопо Барбари (14401515) Таким образом, несомненно, что именно Леонардо да Винчи более чем ктолибо своими исследованиями способствовал тому, чтобы «Золотое Сечение» вошло в культуру Возрождения и стало ее главным эстетическим каноном. Поскольку книга Пачоли написана под непосредственным влиянием Леонардо да Винчи, который своими иллюстрациями к ней способствовал ее широкому признанию в научном мире и по существу был идейным вдохновителем и соавтором этой книги. Поэтому Леонардо по праву называют «крестным отцом» Золотого Сечения в европейской культуре. И, может быть, понятие «Код да Винчи», введенное Дэном Брауном, есть не что иное, как «Универсальный код Природы», названный Леонардо да Винчи Золотым Сечением? Именно Леонардо да Винчи, а вслед за ним Лука Пачоли, возможно, первыми в истории науки поняли роль этой уникальной пропорции в структурах Природы. 12 Примеры практического применения «золотого сечения». О способности зрительного анализатора человека выделять объекты, построенные по алгоритму золотого сечения, как красивые, привлекательные и гармоничные, известно давно. Золотое сечение дает ощущение наиболее совершенного единого целого. Формат многих книг соответствует золотому сечению. Оно выбирается для окон, живописных полотен и конвертов, марок, визиток. Человек может ничего не знать о числе Фи, но в строении предметов, а также в последовательности событий он подсознательно находит элементы золотой пропорции. Проводились исследования, в которых испытуемым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. На выбор предлагалось три прямоугольника: квадрат (40:40 мм), прямоугольник "золотого сечения" с отношением сторон 1:1,62 (31:50 мм) и прямоугольник с удлиненными пропорциями 1:2,31 (26:60 мм). При выборе прямоугольников в обычном состоянии в 1/2 случаев предпочтение отдается квадрату. Правое полушарие предпочитает золотое сечение и отвергает вытянутый прямоугольник. Наоборот, левое полушарие тяготеет к удлиненным пропорциям и отвергает золотое сечение. При копировании этих прямоугольников наблюдалось следующее. Когда активно правое полушарие, пропорции в копиях выдерживались наиболее точно. При активности левого полушария пропорции всех прямоугольников искажались, прямоугольники вытягивались. Наиболее сильно искажались пропорции "золотого" прямоугольника. При рисовании собственных рисунков, преобладают пропорции, близкие к золотому сечению, и вытянутые. В среднем пропорции составляют 1:2, при этом правое полушарие отдает предпочтение пропорциям золотого сечения, левое полушарие отходит от пропорций золотого сечения и вытягивает рисунок. А теперь нарисуйте несколько прямоугольников, измерьте их стороны и найдите соотношение сторон. С помощью этого несложного теста вы сможете определить, какое полушарие преобладает у вас. 13 Заключение. Итак, прочитав литературу, проведя измерения частей своего тела, своих родственников и одноклассников, исследовав упомянутые в работе факты, я пришел к выводу: действительно существует число, выражающее и в природе и в искусстве совершенство красоты. Подтвердилась гипотеза, выдвинутая еще древними учеными, о существовании некоего закона (или правила), которому подчиняется вся живая и неживая природа, и который непосредственно связан с математикой. Существует кирпичик в фундаменте построения всего живого на земле. Это число Ф. Вспомним: число Фи – бесконечно. У него нет ни начала, ни конца. Значит, открывая все новые его появления во Вселенной и в себе самих, мы сможем совершать удивительные открытия. Ибо спираль жизни бесконечна, как и число Фибоначчи. Погружения в мир математики и гармонии дали мне возможность учиться наслаждаться красотой природы, ее совершенством и совершенством произведений великих мастеров. Интересен вопрос о роли числа Ф в литературе и таких видах современного искусства как фотография и дизайн. А значит, есть огромное поле деятельности для исследований, которые могут вылиться в новые работы. Для себя я понял – не надо бояться заглянуть за страницы учебника математики. Это может быть вполне увлекательно и не очень сложно. 14 Литература 1. Энзензбергер Ханс Магнус Дух числа. Математические приключения. – Пер. с англ. – Харьков: Книжный Клуб «Клуб Семейного Досуга», 2004г. – 272 с. 2. Энциклопедия символов /сост. В.М. Рошаль. – Москва: АСТ; СПб.; Сова, 2006г. – 1007 с. 3. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989г. 4. Журнал «Квант», 1973г., № 8. 5. Журнал «Математика в школе», 1994г., № 2; № 3. 6. 2008г. Генон www.genon.ru 7. http://www.bibliotekar.ru/vinchi/14.htm 8. http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/mozg-txt.htm 9. Виктор Лаврус http://www.n-t.ru/tp/iz/zs.htm 15