Вписанные углы в школьном курсе геометрии

Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 16
Щелковского муниципального района
Московской области
Разработка уроков по теме:
«Вписанные углы в школьном курсе геометрии»
Разработчик:
Тарас Марина Валентиновна
учитель математики
2011
Урок 1-2
Тема. Центральные и вписанные углы
Урок
1
Цели урока. Повторить все понятия, связанные с окружностью
(«радиус»,
«хорда»,
«касательная»);
рассмотреть
понятия
«центральный угол», «дуга окружности» (связь между ними),
«вписанный угол» и его состав.
Ход урока
I. Повторение
У. На прошлом уроке мы рассматривали взаимное расположение прямой
и окружности, а также касательной.
Вспомните, что называется окружностью? Что называется радиусом
диаметром, хордой. Какая прямая называется касательной?
У. Постройте в тетради окружность и все названные элементы
Чертеж на доске (рис. 1) лучше выполнять вместе с учащимися,
предложив им именно такое расположение элементов. Все углы отмечаются
цветным мелом.
У. Назовите другие радиусы окружности. Сколько
можно
провести
радиусов,
диаметров,
хорд
в
окружности?
При построении этих элементов окружности у нас
получились углы. Назовите их.
Рис. 1
У. Вспомните, что вы знаете о паре углов AOC и
BOA
Д. Они смежные и их сумма равна 180°.
У. Как называется угол ВОС?
Д. BOC - развернутый, градусная мера его равна 180°.
У. Что является сторонами этих углов? А вершины углов где
расположены?
Д. Стороны этих углов - радиусы окружности, а вершины
располагаются в центре окружности.
У. А угол BCD - он какой?
Д. Острый.
У. Чем являются стороны этого угла?
Д. Диаметр и хорда или просто две хорды, так как диаметр это
наибольшая хорда. Вершина принадлежит окружности.
II. Новый материал
У. Попробуйте разделить все эти углы на две группы по какимто общим элементам.
Углы в окружности
AOC
AOB
BOC
CBD
Д. У всех углов I группы вершина угла
является центром окружности, отсюда их
название - центральные углы. Стороны являются
радиусами. Запишем определение в тетрадь.
У. Но это не все центральные углы, которые
есть
на
чертеже,
например,
угол
между
радиусами OA и ОС вы назвали один, то есть
1, а их два. Покажите второй угол на чертеже
и объясните, почему он тоже центральный.
Обратите внимание на нестандартный вид этого
угла.
У. Каждая пара центральных углов имеет
одинаковые обозначения, например АОВ или AOC,
но их величины разные. Один из углов острый,
а другой больше развернутого. Как их различать?
У. Начертите окружность и проведите два произвольных радиуса.
Каждый из проведенных радиусов пересекает окружность в точках
А и В. На чертеже получились два угла, оба центральные, но
углу 1 соответствует меньшая дуга, а углу 2 большая дуга. Эти
углы являются дополнительными (рис. 2).
Каждому центральному углу соответствует определенная дуга. Углы измеряются в
градусах, соответствующие им дуги тоже измеряются в градусах. Иногда на дуге
окружности берут дополнительную точку. Например М. Тогда
1 = uAB
2=uАМВ.
Произносится: «Градусная мера угла /1 равна градусной мере дуги АВ».
Постройте окружность и проведите диаметр. Запишите центральные углы и дуги, им
соответствующие, определите градусные меры (рис. 3)
1 = uCD
1= 180° =
1 = 180° = /2
2
uCD = 180° = u CLD
У. Дуга CD еще называется полуокружностью. Тогда вся окружность имеет градусную меру
360°. Если дана градусная мера одного из центральных углов, то второй можно найти: 360°
- 1. Например (рис. 2):
1 = 75°, тогда
2 = 360° - 75°
2 = 285°
uAB = 75 °
Найдите градусную меру углов
Д.
2 = 240°,
1,
uAMB = 285 °
2 и дуги uAB, если uАМВ = 240°.
1 = 360° - 240° = 120°, uАВ = 120°.
III. Закрепление материала
Проводится по распечатке с заданиями (рис. 4), то есть каждому ученику предлагается
карточка с готовыми чертежами. Решение задач обсуждается коллективно, затем каждый
ученик делает краткую запись.
Рис. 4
около чертежа на своей карточке. Если нет возможности раздать распечатку каждому ученику, тогда чертежи готовятся заранее на доске (можно
плакат). Вот содержание этого задания.
IV. Итог работы
Формируем определение и связь с дугой окружности. На этом можно
закончить урок 1. Если остается время, то можно предложить самостоя-
Рис. 5
тельно по готовому чертежу выполнить аналогичную работу, изменив градусные меры углов (рис.
5).
Например, найти 1, 2;uMN;uMKN;uCD, 3-? Если уроки не «спаренные», то
даем домашнее задание.
V. Домашнее задание
§ 70 по учебнику Атанасяна, № 649, № 650.
Найти градусные меры центральных углов, образованных двумя радиусами, если: а) один больше
другого в 5 раз; б) один из них больше другого на 100°.
Урок 2
I. Новый материал
Мы возвращаемся к рисунку 1 и схеме предыдущего урока, по которой разбирали только I группу углов центральные.
У. Угол CBD не является центральным, его вершина расположена на окружности, а
стороны являются хордами. Этот угол имеет свое название - вписанный.
Учащиеся записывают определение: «Угол, вершина которого лежит на окружности, а
стороны пересекают окружность, называется вписанным.
У. Начертите окружность, обозначьте точку на окружности и через
нее проведите две прямые, пересекающие ее. Назовите вписанный
угол: его вершину и стороны (рис. 6). По аналогии с центральным
углом вписанному углу тоже соответствует определенная дуга.
Назовите ее.
Д. CAB - вписанный угол, А - вершина угла.
- АС и АВ - стороны (хорды).
- Угол CAB опирается на дугу СВ.
У. Если провести радиусы окружности ОС и ОВ, то
получим СОВ - центральный, соответствующий дуге
СВ.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается (или половиной центрального угла).
Для доказательства можно использовать учебник либо
вновь воспользоваться распечатками, в которых дана
схема рассуждений, но требуется заполнить пропуски.
Случай 1
Дано: ABC - вписанный угол (рис. 7).
Доказать:
АВС = 1/2
uАС (или
AВС = 1/2
АОС).
Доказательство:
1. Рассмотрим случай, когда одна из сторон угла является диаметром.
2. Дополнительное построение: О - центр окружности, OA - радиус.
3.
AOC - центральный, так как OA и ОС радиусы; ААОС =uАС.
4. Треугольник АOВ - равнобедренный, так как OA = OB = R.
5.
l = l по свойству углов равнобедренного треугольника.
6. \AOC- внешний, АОС = 1 + 2 = 2 • 1.
7.
1 = ½ AOC (свойству) или 1 = — uАС, так как AOC = uAC.
Все записи обсуждаются устно с классом.
Вопросы:
1.
О связи какого угла с соответствующей дугой мы знаем?
Какова эта связь?
2.
Есть на чертеже такой угол?
3.
Построим угол, опирающийся на дугу АС. Для этого проведем... (радиус OA).
4.
На чертеже получился треугольник АОВ. Как называется это треугольник? Почему? Какое
свойство углов мы знаем?
5.
Мы ищем связь между углами: центральным АОС и вписанным АБС, на нашем чертеже
угол АОС является внешним углом треугольник АОВ (учащиеся записывают это свойство).
Случай 2
Дополнительное построение(рис.8)
диаметр BD.
2.
ABC = ABD + CBD – углы вписанные в
окружность.
3.
ABD = ½ uAD, по свойству вписанного
угла,
DBC = ½ uDC.
4. ABC = ½ ( uAD + ½ uDC);
ABC = ½ ( uAD + uDC) = ½ uAC= ½ AOC.
1.
Случай 3
1. ABC – вписанный (рис.9).
2. Дополнительное построение: BD диаметр.
3. ABC =
ABD - CBD.
4. ABD = ½ uAD;
CBD = ½ uCD.
5. ABC = ½ uAD – ½ u CD = ½(uAD – uCD);
ABC = ½ uAC = ½
AOC.
Случай 3 можно попросит сделать дома.
У. Проведем закрепление- устно выполним №654 а, б по учебнику
Атанасяна.
Рассуждения могут быть следующие:
а) Найдем дугу, соответствующую вписанному углу х. Она равна
360° - (152° + 80°) = 88° . А значит, градусная мера угла х = ½ •88° = 44°.
б) Найдем дугу, соответствующую вписанному углу. Она в 2 раза больше вписанного угла, то есть
60°. Тогда дуга х = 360° - (125° +2 • 30°) = 175°.
Если время позволяет, то следует закрепление материала ( № 657 по учебнику Атанасяна, с.167).
Дано: uAB = 140° ( рис.10),
uAM : uMB = 6 : 5.
Найти: BAM.
Решение:
1)
BAV – вписанный;
BAM = ½ uBM по свойству.
2) u AMB = 360° - 140 = 220°.
3) Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда uAM = 6х, uMB= 5х.
Их сумма 220°.
Уравнение:
6х + 5х = 220,
11х = 220,
х = 20.
Тогда uAM = 120°, uNM = 100°.
4)
BAM = ½ • 100° = 50°.
Ответ: 50°.
II. Домашнее задание
№70,№71. Атанасян; случай III доказательства теоремы(
распечатка), №654 в,г, №655.
Урок 3 – 4
Тема. Углы, вписанные в окружность. Следствия из теоремы об угле,
вписанном в окружность
Урок
3
Цели урока. Закрепление сформулированных на предыдущих уроках понятий центрального
угла и соответствующей ему дуги; вписанного в окружность угла; центрального угла,
соответствующего данному вписанному углу; формулировка и доказательство двух следствий
из теоремы об угле, вписанном в окружность; отработка навыка решения задач с
использованием определений и свойств вписанного и соответствующего ему центрального
углов, а также градусной меры дуги, соответствующей данному центральному или вписанному
углам; проверка приобретенного навыка решения задач.
Ход урока
I. Разбор вопросов по домашней работы
II. Устная работа
У. Работаем с рисунком 12. Назовите центральный угол?
Д./AOC,так как его вершина в центре окружности, а стороны - радиусы.
У. Назовите вписанный угол?
Д. /ABC, так как его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают эту
окружность, а стороны радиусы.
У.
Можно
ли
эти
соответствующими, почему?
углы
назвать
Д. Да, оба этих угла опираются на одну дугу и
АС.
У. Как связаны их градусные меры?
Д. ABC = ½
AOC; угол, вписанный в окружность, равен
половине центрального, ему соответствующего.
У. Чему равен
ABC?
Д. Чему равен ABC = AOC : 2 = 120 : 2 = 60°,
так „как нам известен центральный угол, его
градусную меру надо разделить на 2.
У. Работаем с рисунком 13.Какой угол нам известен,
как он называется?
Д. АВС = 40° - вписанный, так как его вершина
лежит
на
окружности,
а
стороны
пересекают
окружность (являются хордами).
У. Какой угол надо найти?
Д. АОС - центральный, так как его вершина в центре окружности.
У. Как связаны градусные меры этих углов, почему?
Д. АОС - является соответствующим центральным вписанному ABC,
так как они опираются на одну дугу, Следовательно,
ABC= АОС,
АОС в два раза больше AВС.
У. Чему равен АOС? Д. АОС = 2 • 40° = 80°.
У. В чем разница задач 1 и 2 и что у них общего? Как это влияет
на их решение?
Д. В том и в другом случае даны соответствующие центральный и
вписанный углы, а значит, величина вписанного угла будет в два
раза меньше соответствующего центрального, но в первом случае
известен центральный угол и поэтому его величина делится на 2, а
во втором случае известен вписанный угол и поэтому его величина
умножается на 2.
У. Работаем с рисунком 14. Какой угол дан на чертеже?
Д. АВС - вписанный, так как его вершина лежит на окружности, а
стороны пересекают окружность.
У.
Почему
на
чертеже
нет
соответствующего центрального угла и надо
ли его достраивать?
Д.
Так
как
вписанный
угол
и
ему
соответствующий центральный опираются на
одну
дугу,
а
градусной
мерой
дуги
называется
градусная
мера
соответствующего
центрального угла, следовательно, достаточно вычислить
градусную меру дуги (в данном случае она эквивалента
градусной
мере
центрального
угла),
поэтому
центральный угол в этой задаче строить не надо.
У. Чему равна uAC?
Д. uAC = 360°- (136°+ 70°) = 154°.
У.
Как
связаны
градусные
меры
дуги
и
соответствующего вписанного угла, почему?
У.
ABC = 1/3 uAC,так как градусная мера дуги равна градусной
мере соответствующего центрального угла, а вписанный угол равен
половине соответствующего центрального угла.
У. Чем равен /ABC?
Д. ABC = ½ uAC = ½ • 154 = 77°.
III. Методический диктант
Для сильного класса, в слабом классе по этим заданиям можно
продолжить устную работу.
1. Выпишите все вписанные угла и им
соответствующие центральные, используя
рис.15. ( вписанный ABD – центральный
AOD, вписанный DBC- центральный
DOC, вписанный ABC- центральный
AOC.)
Запишите угол по рис. 15,
градусная мера которого равна:
½
/AOC; ½ uAD; uDC; 2 DBC.
(1/2 /AOC = ABC; ½ uAD =
ABD;
uDC = DOC; 2 DBC = DOC.)
3.
Запишите сумму углов, если градусная мера этой суммы равна
½
uAC. ( ½ uAC = AD + DBC)
4.
Запишите все записанный угла и им соответствующие центральные,
используя рис. 16.
( Вписанный ABC – центральный AOD, вписанный DBC – центральный
DOC, вписанный ABC– центральный AOC.)
2.
Запишите по рис. 16 угол, градусная мера
которого равна:
½ uAOC; ½ AOD; uAc; 2 DBA.
( ½ uAOC = ABC; ½
AOD = ABD;
uAC = AOC; 2 DBA = DOA.)
5.
VI. Новый материал
(Вводится через решение задач, записанных на доске.)
З а д а ч а 1. Определить градусную меру
ABC (рис. 17).
Если не найдется ученик, который сразу сможет ответить на вопрос задачи, предлагаются
следующие наводящие вопросы:
У.
Как называется
AВС?
Д. Вписанный, так как его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
У. На какую дугу он опирается?
Д. На uАС.
У. Какой центральный угол соответствует данной дуге и как он
называется, чему равна его градусная мера?
Д. AOC - развернутый, AOC = 180°.
У. Чему равен AВС?
Д. ABC = AOC : 2 = 180° : 2 = 90°.
У. Можно ли построить еще углы, опирающиеся на эту же
дугу, как и сколько? Чему они будут равны и почему?
Рис. 17
Д. Можно построить бесконечное множество таких углов, взяв любую точку на
полуокружности АС, все они будут прямые, так как соответствующий им центральный
угол развернутый.
Учитель достраивает чертеж и предлагает учащимся перенести его в тетрадь, предварительно
записав формулировку следствия I.
Следствие I. Углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
После того как учащиеся запишут формулировку и сделают чертеж, доказательство проводится устно.
Доказательство и его запись делаются самостоятельно дома.
Прежде чем перейти ко второй задаче, можно задать учащимся вопрос.
У. Почему все эти углы оказались равными?
Д. Так как у них был один и тот же соответствующий центральный угол, и они,
следовательно, опирались на одну и ту же дугу.
Задача
= 35°.
2. Определить градусную меру
ADC (рис. 18), если
AВС
Если в классе не найдется ученик, который сразу ответит на вопрос, предлагаются следующие наводящие вопросы:
У. Как называются
AВС
и
ADC ?
Д. Вписанные.
У. На какие дуги они опираются?
Д. На одну и ту же дугу АС.
У. Что мы знаем о таких углах и почему это
происходит?
Д. Такие углы равны, так как им соответствует один
и тот же центральный угол, следовательно, ADC = 35°.
У. Сколько можно построить таких углов и как?
Д. Таких углов можно построить бесконечное
множество. Для этого надо взять вершиной любую
точку дуги АС и соединить ее с точками А и С.
Учитель на
следствие.
доске
достраивает
чертеж,
и
просит
сформулировать
полученное
После этого следствие записывается учащимися в тетрадь, и к нему делается
соответствующий
рисунок.
Доказательство
предлагается
сделать
учащимся
самостоятельно дома.
С л е д с т в и е II. Вписанные углы, опирающие на одну и ту же дугу, равны.
Урок 4
I.
Закрепление
После этого предлагается решение задач №1, 3, 7, 8, 9, 10, 13 по распечатке.
Чертежи рекомендуется заранее приготовить на доске. Все обоснования и
пояснения делаются учащимися устно, записываются только вычисления. Как итог
уркоа проводится самостоятельная работа: в тех же распечатках учащиеся
выполняют задания № 2, 4, 5, 6, 11, 12, 14 (можно пользоваться любой
справочной литературой).
При оценке самостоятельной работ необходимо учитывать и выполнение заданий №
1, 3, 7, 8, 9, 10, 13, так как хотя решение и проговаривалось в классе, но
записывалось оно каждым учащимся самостоятельно. Работа по распечатке дает
возможность сильным учащимся решать в своем темпе, сверяя верность
полученных ответов. Но в этом случае необходимо иметь резервные задачи для
тех, кто выполнит эту работу быстрее.
Если в конце урока остается время можно проверить правильность
выполнения
самостоятельной
работы,
проговаривая
ответы
и
свойства,
используемые при решении.
В слабом классе можно использовать для самостоятельной работы часть номеров
(№ 2, 4, 5, 6, 12); №11, 16 можно предложить выполнить более сильным
учащимся на дополнительную оценку.
№10.
Разность
между
центральными
и
ему
соответствующим вписанным
углом
равна
59°,
чему
равны эти углы?
№13.
То чки M и К
деля т
окр ужн ост ь
на
дуги , гра дус ные мер ы
кото рых
проп орц ион аль ны
числ ам 7 и 1 1. Чере з
точк у
М
про веде н
диам етр MP . В ычи слит ь
углы
т реу гол ьник а
МК Р .
№ 1 4 . В ок руж ност и
с цен тро м в т оч ке О
пров еде на
х орд а
MN .
Точ ки А и В ле жа т на
окру жно сти п о р азны е
стор оны
от
х о рды .
Вычи сли ть
M AN
и
M BN, ес ли
MON
=
126° .
№1
ul = 135° (по условию);
u2 = 30° • 2 (вписанный угол равен половине соответствующего центрального
угла и градусная мера дуги равна градусной' мере соответствующего
центрального угла);
ul + u2 + их = 360° (градусная мера окружности).
Следовательно, ux = 360° - (135° + 60°) = 165°
№2
ul + и2 + u3 = 360° (градусная мера окружности); ul = 122°; u3 =
180°;
следовательно, u2 = 360° - 180° - 122° = 58°.
x = 58°: 2 = 29° (градусная мера центрального угла равна соответствующей
градусной мере дуги, вписанный угол равен половине соответствующего
центрального угла).
№3
/MNK = ½ МОК (градусная мера вписанного угла равна половине соответствующего центрального угла).
Следовательно, MNK = 130° : 2 = 65°.
№4
/АБС - вписанный,
/AОС - соответствующий центральный, следовательно,
/АОС = 2 •
AВС = 2 • 47° = 94° (вписанный угол равен половине
соответствующего центрального, следовательно, центральный угол в два раза
больше соответствующего вписанного угла).
№5
PSR - вписанный, PR - диаметр,
следовательно,
PSR = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр,
прямой).
№6
AВС = 30° - вписанный,
AВС опирается на uАС;
ADC - вписанный,
ADC опирается на uАС;
следовательно, ABC = ADC = 30° (вписанные углы, опирающиеся на одну
дугу, равны).
№7
ABD - вписанный, AD - диаметр;
следовательно, ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен
90°) = CBA + ABD = 30° + 90° = 120°.
№8
1) АС В = 100° - вписанный,
следовательно, uАВ = 100° • 2 = 200° (центральный угол в два раза больше
соответствующего вписанного угла, градусная мера центрального угла равна
градусной мере соответствующей дуги).
2)uАВ + ABC = 360° (градусная мера окружности), следовательно, иАВС =
360° - 200° = 160°.
3) АОВ = uAOB = 160° (градусная мера центрального угла равна градусной
мере соответствующей дуги).
Методический комментарий. Разбирая условие этой задачи необходимо
сделать акцент на то, что это четвертый случай теоремы о вписанном угле.
Углы не опираются на одну и ту же дугу, но их стороны пересекают
окружность в одних и тех же точках, а это значит, что дуги являются дополнительными друг к другу, то есть их сумма равна 360°. Следовательно, можно
получить постоянную зависимость величины одного угла от другого.
1)uАВ = 2 • АСВ, uАСВ = 360° - uAB,
следовательно, uАСВ = 360° - 2 • АСВ.
2) АОВ = uАСВ.
Из пунктов 1) и 2) следует:
выразить
АОВ = 360 - 2 •
АСВ. Из этого равенства можно
АСВ = 180° - АОВ.
№9
1) uАС - полуокружность (АС - диаметр), следовательно, иАС = 180°.
2) uDA = 2 • DBA = 2 • 35° = 70° (градусная мера дуги в два раза больше
вписанного угла, который на нее опирается, так как градусная мера равна
соответствующему центральному углу).
3)/DAC = ½ (иАС - uAD) = - (180° - 70°) = 55° (вписанный угол
равен половине дуги, на которую он опирается).
№ 10
Пусть центральный угол х, следовательно, соответствующий ему вписанный
угол ( ½ x) (вписанный угол равен половине соответствующего центрального
угла).
x – ½ x = 59°; следовательно, ½ x = 59°, следовательно,
х = 59°• 2; следовательно, х = 118°.
№11
1) uAC –полуокружность; так как АС является диаметром, значит,
uАС = 180°.
2) uАВ + uВС = uАС.
uАВ = 2
дуга); uАВ =
- uАВ = 180°
опирается на
• БСА ( ВСА - вписанный, uАВ - ему соответствующая
2 • 40° = 80°. Из пунктов 1) и 2) следует: uBС = uАС
- 80° = 100°, BDC = uВС : 2 = 100° : 2 = 50 ( BDC
и ВС).
№ 12
1)uАВ = 2ZABC, так как
ABC - вписанный и опирается на дугу
АВ. uАВ = 2 • 120° = 240°.
2)uАВС = 360° - uАВ = 360° - 240° = 120° (градусная мера
окружности равна 360°).
3) AВС = ½ • uАВС = ½ • 120° =
60°.
№ 13
1) uМК + uМРК = 360° (рис. 19). Пусть х коэффициент пропорциональности.
Так как uМК : uМРК = 7 : 11, можно составить
уравнение 7х + 11х = 360.
Откуда х = 20.
uМК = 7 • 20° = 140°.
МРК = ½ • uМК = ½ • 140° - 70°.
2)Вписанный угол МКР опирается на диаметр
MP, значит АМКР = 90° - 70° = 20°.
№ 14
Рис. 19
1) Угол MAN вписан в окружность (рис. 20),
ему соответствует центральный угол MON, значит,
MAN =
MON = ½ •
2) uMBN =
126° = 63°.
MON = 126°;
uMAN = 360° - 126° = 234°;
MBN = ½ • uMAN = ½ • 234° = 117°.
Рис. 20
Резервные задания для сильных учащихся.
№1
Найти: BAD - ?
Решение:
Рис. 21
Способ I
1)
Угол BAC вписан в окружность и
опирается на дугу ВС (рис. 21), угол
ВКС также опирается на дугу ВС, значит
, BAC = BKC = 20°.
2)
Вписанный угол ACD опирается на
диаметр AD, значит, ACD =
= 90°.
3)
CAD =
ACD CDA = 90°50°= 40°.
4)
BAD =
BAC +
CDA = 20° + 40° =
60°.
Способ II
1) uBC = 40°, uABC = 100°,
значит, uAB = uABC – uBC = 100° - 40° = 60°и BOC = 60°.
2) В треугольнике AOB BO = AO как радиусы окружности,
BOC =
=60°, значит, AOB = BAO = ½ • (180° - 60°) = 60°.
Таким образом, BAD= 60°.
№2
uBC : uAB = 3: 2
Рис. 22
Найти: углы треугольника AOB?
Решение:
1) Вписанный угол СВА опирается (рис.
22) на дугу СА, значит, uCA = 2 CBA
= 2 • 80° = 160°.
2) uBC + uCA + uBA = 360°.
Пусть
х
–
коэффициент
пропорциональности.
Составим
уравнение
3х + 2х + 160° = 360°, откуда х =
40.
3) BOA = uBA = 2 • 40° = 80°.
4) ОA = ОВ как радиусы окружности,
значит,
треугольник
АОВ
–
равнобедренный. Отсюда
OBA =
OAB =
(180° - 80°): 2 = 50°.
Урок 5
Тема. Углы между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания
Цели урока. Проверить знания теоретического материала по теме «Углы,
вписанные в окружность»; сформулировать и доказать свойства еще одного вида
углов, связанных с понятием окружности - углов между касательной к
окружности и хордой, проведенной в точку касания; рассмотреть связь
градусной меры углов между касательной и хордой с градусными мерами уже
ранее изученных углов; отработать навык решения задач с использованием
вновь сформулированных свойств.
Ход урока I. Устная работа
(по
рис.
23
на
доске)
У. С какими углами, связанными с окружностью, вы уже знакомы? Дайте определения
и назовите их на чертеже.
Д. Центральный угол ( AOC), вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный в окружность ( ABC), его
вершина лежит на окружности, стороны
пересекают ее.
В
У. Как связаны градусные меры этих углов?
Д. Градусная мера вписанного угла равна
половине
градусной
меры
ему
соответствующего центрального угла( ABC
= ½ AOC).
У. как связаны их градусные меры с дугой,
на которую они опираются?
Д. ABC = ½ uAC, AOC = uAC.
У. какие следствия из теоремы о вписанном
в окружность угле вами уже изучены?
Рис. 23
Д. Вписанный в окружность угол, опирающийся
на диаметр, прямой. Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
II.
Самостоятельная работа (по материалу , разобранному в устной работе)
Вариант I
I.
Вместо многоточия вставьте верный вариант ответа:
в 2 раза больше; в 2 раза меньше; равно.
1. Вписанный в окружность угол всегда…………………соответствующего центрального
угла.
2. Центральный угол всегда………………соответствующей дуге.
3. Вписанный в окружность угол всегда…………соответствующей дуги.
4. Центральный угол всегда…………соответствующего вписанного угла.
5. Дуга окружности всегда……………соответствующего вписанного угла.
6. Градусная мера дуги всегда…………………….соответствующему центральному углу.
II.
Сформулируйте и докажите
опирающегося на диаметр.
свойство
вписанного
в
окружность
Вариант II
I. Вместо многоточия вставьте верный вариант ответа:
в 2 раза больше; в 2 раза меньше; равно.
1. Градусная мера дуги всегда………...соответствующему центральному углу.
2. Центральный угол всегда…………...соответствующей дуге.
3. дуга окружности всегда………………..соответствующего вписанного угла.
угла,
4. Центральный угол всегда………………соответствующего вписанного угла.
5. Вписанной в окружность угол всегда…………………соответствующей дуги.
6. Вписанный в окружность угол всегда………………………...соответствующего
центрального угла.
II. Сформулируйте и докажите свойство вписанных в окружность углов, опирающихся на
дугу.
Ответы
В- I. I. 1) в два раза меньше; 2) равен; 3) в 2 раза меньше; 4) в 2 раза больше;5) в 2 раза
больше; 6) равна.
В- II. I. 1) равна; 2) равен; 3) в 2 раза больше; 4) в 2 раза больше; 5) в 2 раза меньше; 6) в 2
раза меньше.
III. Новый материал
Устная работа по рисунку на
доске (рис. 24)
У. Назовите на чертеже центральый
угол.
Д. AOB – вершина угла в центре
окружности.
У. Что называется хордой?
Д. Отрезок, соединяющий две точки окружности;
Рис 24
в нашем случае AB.
У. Назовите касательную к окружности. Каким свойством она обладает или дайте
определение (Атанасян).
Д. Прямая ВС. Касательная перпендикулярна радиусы, проведенному к точке касания,
значит, OBC = 90°.
У. Покажите углы между касательной и хордой, проведенной в точку
касания. Выберите и обозначьте наименьший. Чему он равен в нашем
случае?
Д. ABC = 90°.
У. Назовите дугу, заключенную между касательной хордой.
Д. uAB.
У. Какому углу она равна?
Д. uAB = AOB (градусная мера дуги равна градусной мере
соответствующего центрального угла).
У. Вычислите градусную меру этого угла.
Д. AO = OB (радиусы), следовательно, треугольнику AOB –
равнобедренный с основанием АВ, следовательно, A = B = 30°
(свойство углов при основании равнобедренного треугольника),
следовательно AOB = 180° - 2 • 30°= 120°.
1.
У. Сравните градусную меру угла между касательной и хордой (можно
выделить другим цветом).
Д. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания,
равен половине дуги, заключенной между ними.
У. Ребята, мы сейчас сформулировали свойство угла, образованного
касательной к окружности и хордой, проведенной к точке касания.
Запишем это свойство в тетрадь.
У. Почему нельзя сказать, что это свойство мы уже доказали?
Д. Числовой пример не является доказательством, так как мы не
можем перебрать все числа.
2. Письменное доказательство теоремы
Теорема. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку
касания, равен половине дуги, заключенной между ними.
Дано: Окружность (О; r), MN – касательная,
AB – хорда,
AB ∩ MN = {A} (рис. 25).
Доказать: BAV = ½ uBA.
Доказательство.
1. Дополнительное построение: BO = OA –
радиусы окружности.
2. OAM = 90°, так как MN – касательная, OA
– радиус, BAM = 90° - OAB.
3. Рассмотрим треугольник BOA:OB = OA
(радиусы), значит, треугольник BOAравнобедренный с основанием АВ, поэтому
OAB= ABO.
BOA = 180°- AOB - ABO= =180°2• OAB =
2• (90° - OAB) (2)
4. uBA = BOA = 2 • (90 - OAB) = 2• BAM, значит,
uBA = 2• BAM BAM= ½ uBA.
VI. Закрепление
Задания № 1 и 2 выполняются устно, №3 – письменно.
№1 (рис. 26)
ABC - ?
решение:
ABC = ½ uAB (свойство угла
между касательной и хордой).
2. uAB= AOB = 180°(развернутый угол).
3.
ABC = ½ • 180° = 90°.
1.
№2(рис. 27)
CBE-?
Решение:
1. CBE = ½ uBc (свойство угла
между касательной и хордой).
2./BAC
–
вписанный
в
окружность, значит, /BAC = ½
uBAC
(
½
uBC)
(свойство
вписанного угла).
3.uBC = 2 • /BAC = 2 • 50° =
100°,
Рис. 26
CBE = 100° : 2 = 50°.
Рис. 27
Рис. 28
№3(рис. 28)
ADB- ?
Решение:
1.
u
BEA = 2 • AMB (вписанный угол в 2 раза меньше
дуги, на которую он опирается),следовательно, uBEA =
2 • 80° = 160°.
2.
DBA = ½ uAEB = 160 : 2 = 80°(свойство
между касательной и хордой) .
3.
Р
ассмотрим треугольник ADB;
ADB = 180° DBA = 180° – 30° -80° =
70°.
Рис. 29
Задачи № 2 и № 3 специально
рассматривается подробно *углы находятся
через выполнение взаимообратных действий:
умножение на 2, затем деление на 2). Если
никто
из
учеников
не
заметит
нерациональности в решении,учитель может
сам
акцентировать
внимание
детей
на
пунктах 1,2 задачи № 3.
После
этого
можно
сформулировать
и
записать
как
свойство:
угол
между
касательной и хордой, проведенной в
точку касания, равен вписанному углу,
опирающемуся на дугу, заключенную между
касательной и хордой.
№462 («Сборник задач по планиметрии 8-9»
А.Гайштут и Г.Литвиненко) (смотри стр.
35)
Рис. 30
Дано:
Треугольник
ABC
впсиан
в
окружнсоть, A: B: C = 4:5:6;
BМ – касательная к окружности (рис. 29)
Вычислить: /MBC и /MBA.
Решение:
1) Рассмотрим треугольник АВС:
А+
В
+ /С = 180°.
Пусть
х
–
коэффициент
пропорциональности:
4х + 5х + 6х = 180,
15х = 180,
х = 12.
2)
А = 4 • 12°= 48°,
МВС =
А= 48°
(свойства
угла
между
касательной
и
хордой и вписанного угла, опирающегося
на дугу, заключенную между касательной и
хордой).
3) АВМ = АВС + МВС = 5 • 12° + 48° =
60° + 48° = 108°.
V. Итог урока
У. Назоваите все получившиеся вписанные углы (рис. 30).
Д. САВ; АВС; ВС.
У. Назовите все углы между касательной и хордами.
Д. NAB; NBA; KBC; KCB; MCA; MAC.
У. Какие из них будут равны и почему?
Д. NAB = NBA; KBC= KCB; MCA = MAC. У каждой пары этих углов между
касательной и хордой заключена одна и таже дуга, поэтому они численно равны
половине, то есть равны между собой.
У. Какой их углов треугольника равен каждой из этих трех пар и почему?
Д. NAB = NBA = C; KBC = KCB = A; MCA = MAC = B. Так как угол
между касательной и хордой равен вписанном углу ,опирающемуся на дугу,
заключенную между касательной и хордой.
У. Что можно сказать про вид треугольников ANB; BKC; CMA?
Д. они равнобедренные, так как в каждом из этих треугольников
есть по два равных угла.
VI. Домашнее задание
1) №656, 663 по учебнику Атанасян.
2) Выучить теорию (подготовка к тесту).
Урок 6 – 7
Тема. Пропорциональность отрезков хорд и секущих.
Цели урока. Проверить знания учащихся и понимание темы: «Вписанный угол»; рассмотреть
теоретический материал (о хордах и секущих); закрепить навыки решения задач.
I. Вопросы по домашнему заданию
II. Проверка знаний
Проверка теории, проверка знаний учащихся по теме «Вписанный угол»
носит характер теста. Тест проверяет не только фактическое знание
определений, свойств, но и понимание связей между понятиями. Поэтому
некоторые вопросы сформированы не строго в соответствии с учебником. На
выполнение отводится 5-7 минут. Работы необходимо оценить. Если ученик не
справился, то рекомендуется проверить его на знание формулировок из
учебника.
Тест проводится в конце темы, так как необходимо отработать все связи
между дугой, центральным и вписанным углами.
Учащимся при выполнении теста нужно написать только соответствующие
номера. Мы экономим время и заставляем учащихся размышлять.
После проведения теста можно ответить на вопрос, вызвавший интерес у
большинства учащихся.
Тест (по учебнику Л. С. Атанасян)
Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное
утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей задания,
например: 2-5.
Вариант 1
1. Угол называется вписанным...
2. Угол называется центральным…
3. Градусная мера дуги…
4.Дуге, величиной 180°, соответствует вписанный
угол…
5.Удвоенная градусная мера вписанного угла равна..
6. Вписанный угол равен 90°…
7. Два вписанных угла, опирающихся на одну
дугу…
8.Угол
между
касательной
и
хордой,
проведенной в точке касания…
9. Градусная мера дуги, заключенной между
сторонами вписанного угла…
10. полуокружность имеет градусную меру…
1.…градусной мерой дуги, на которую он
опирается.
2.…если он опирается на диаметр.
3.…равен половине дуги, заключенной между
ними.
4.…имеют одинаковую градусную меру.
5.…в 2 раза больше его градусной меры.
6.…равную 180°
7.…если его вершина является центром
окружности.
8.…имеющий градусную меру 90°.
9.…если его вершина лежит на окружности,
а стороны пересекают окружность.
10.…равна градусной мере соответствующего
центрального угла.
Вариант 2
1.
Угол,
образованный
двумя
хордами,
выходящими из одной точки окружности...
2. Угол, образованный двумя радиусами...
3. Градусная мера вписанного угла...
4. Угол, опирающийся на диаметр...
5.
Вписанные
углы
имеют
одинаковую
градусную меру, если...
6. Градусная мера дуги...
7. Угол между касательной и хордой...
8.
Дуга,
заключенная
между
сторонами
вписанного угла...
9. Касательная к окружности...
10. Градусная мера центрального угла…
1....равен 90°.
2....равен
половине
дуги,
заключенной
между ними.
3....равна удвоенной градусной мере этого
угла.
4....называется центральным углом.
5....перпендикулярна радиусу, проведенному
в точку касания.
6....называется вписанным углом.
7....равна
градусной
мере
дуги,
заключенной между его сторонами.
8....равна половине дуги, на которую он
опирается.
9....равна градусной мере соответствующего
центрального угла.
10....они опираются на одну и ту же дугу.
Ответы: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.
Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное
утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей
задания, например: 2-5.
Вариант 1
1.Угол является вписанным...
2. Угол является центральным...
3. Два плоских угла с общими сторонами...
4.Градусная мера дуги...
5.Градусная мера центрального угла...
6.Удвоенная градусная мера вписанного угла
равна...
7.Вписанный угол равен 90°...
8.Два вписанных угла, опирающихся на одну
дугу...
9.Угол
между
касательной
и
хордой,
проведенной в точку касания...
10.Градусная мера дуги, заключенной между
сторонами вписанного угла...
1....равна градусной мере дуги, на которую
он опирается.
2....если он опирается на диаметр.
3....имеют одинаковые градусные меры.
4....градусной
мере
дуги,
заключенной
между его сторонами.
5....равен
половине
дуги,
заключенной
между ними.
6.…в два раза больше его градусной меры.
7....если он образован радиусами.
8....называются дополнительными.
9....если
он
образован
хордами,
проведенными из одной точки окружности.
10....равна
градусной
мере
соответствующего центрального угла.
Ответы: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.
Вариант 2
1. Угол, образованный двумя хордами, выходящими
из одной точки окружности...
2.Угол, образованный двумя радиусами...
3.Два плоских угла называются дополнительными...
4.Градусная мера центрального угла...
5.Градусная мера вписанного угла...
6. Градусная мера дуги...
7. Угол, опирающийся на диаметр...
8. Два вписанных угла, опирающихся на одну
дугу...
9. Угол между касательной и хордой, проведенной в
точку касания...
10. Дуга,
заключенная
между
сторонами
вписанного угла...
1. ...равен
половине дуги, заключенной между
ними.
2. ...равен 90°.
3. ...имеют одинаковую градусную меру.
4. ...называется вписанным.
5. ...равна удвоенной градусной мере этого угла.
6. ...называется центральным.
7. ...равна половине соответствующего центрального
угла.
8. ...если они имеют общие стороны.
9. ...равна
градусной
мере
соответствующего
центрального угла.
10. ...равна градусной мере дуги, заключенной
между его сторонами.
Ответы. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.
III. Объяснение нового материала
У. Запишем тему урока и разберем задачу по
готовому чертежу устно,(рис. 31)
У. В окружности проведены диаметр АС,
хорды BD, СВ и AD и касательная CN, которая
образует с продолжением хорды AD угол 30°.
Найти
DBC.
Рассуждения по задаче:
Рис. 31
опирается?
1) Как называется угол DBC, на какую дугу он
2) Что можно сказать об угле CAN?
3) Свойство касательной CN.
4) Как можно вычеслить величину угла CAN и почему?
Вывод:
DBC = 60°
Во время рассуждений отмечаем на чертеже равные углы, а также
ACN = 90°. Далее
предлагаем рассмотреть треугольники ВСМ и AMD. Эти треугольники подобны (можно
подсказать, если не увидят сами).
Для доказательства подобия треугольников надо вспомнить признаки подобия.
На чертеже уже отмечены равные углы
CBM =
Остается только заметить вертикальные углы:
ВМС =
AMD,
CAD (опираются на одну дугу).
ВСМ ~ ∆AMD (по двум углам).
Что нужно сказать про соответственные стороны подобных треугольников?
Составьте пропорцию:
BM AM = CM DM = BC AD.
У. . Чем являются в окружности отрезки, которые вошли в
пропорцию?
Д. Части хорд и диаметра.
У. То есть можно предположить, что есть связь между пересекающимися хордами в окружности.
Сформулируем теорему: если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков
другой хорды.
Доказательство проводится по учебнику Атанасян, учащиеся подготовлены к
восприятию теоремы, и ее запись не должна занять много времени.
Считаем, что необходимо рассмотреть теорему о секущих .
Готовим чертеж для теоремы и выясняем, что понимаем под секущей к
окружности: прямая, пересекающая окружность в двух точках.
Записываем формулировку теоремы: если из точки, лежащей
вне окружности, проведены две секущие, то произведения секущей на свои
внешние части равны. (Или: если из точки Р к окружности проведены две
секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно,
то АР • BP = = CP-DP.)
Дано: BP и DP - секущие (рис. 32).
Доказать: BP • АР = PD • PC.
Доказательство:
1. Выполним дополнительное построение: ВС nAD.
2. РВС = PDA (вписанные, опираются на uАС).
3. /P - общий.
4. ∆РВС ~ ∆PDA (по двум углам)
5. Запишем пропорцию:
BC AD = PC/AP = BP/PD → PC • PD = AP• BP.
Продолжим
рассмотрение
взаимного
расположения
секущих
и
окружности. Если изменить данный чертеж таим образом, что
секущая РВ займет положение касательной, то наша теорема будет
формулироваться так: если из одной точки вне окружности
проведены секущая и касательная к этой окружности, то квадрат
касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
P
Итак, надо доказать, что BP 2 = PD • PC.
Проведем хорды ВС и BD.
BDC = ½ uВС (как вписанный);
СВР = ½ uВС (угол между
хордой), следовательно
BDC =
касательной
и
CBP.
∆BPD ~ ∆CPB по двум углам.
Запишем пропорцию:
BD/BC = BP/PC =PD/BP, значит BP 2=
PC
• PD.
Можно, записав формулировку теоремы, решить задачу № 670 (Атанасян) и таким образом провести доказательство теоремы. Так как
принцип доказательства повторяется, во всех трех теоремах он
основан на подобии, то можно попросить провести доказательство у
доски одного из учащихся.
Задача 1
KL и MN- секущие (рис. №34). Какое свойство
можно сформулировать? (Обсуждаем и готовим
чертеж, решаем задачу по этому чертежу.)
Задача
(Дидактические
Мельникова):
материалы,
автор
Хорды MN и КL пересекаются в точке С.
Определите длину отрезка CL, если KC =
3см, МС = 3 см; Сн = 9 см.
Решение:
1) МС • СН = КС • CL (по свойству хорд окружности),
2) CL = (MC•CH):KC, CL = (2•9) : 3, CL = 6 (см).
Ответ: 6 см.
По этому чертежу решаем ещё одну задачу, изменив данные:
KL = 14 дм, СМ = 4 дм, СН = 12 дм.
Найти: КС.
Решение:
1) МС • Сн = КС • CL. Нам не даны отрезки КС и CL, но дан
весь отрезок KL.
2) Пусть КС = х(дм), тогда CL= (14-x)дм.
Составим уравнение: 4• 12 = (14- х)• х,
х2 –
14х:
+
48
=
О,
х1 = 6,
х2 = 8.
КС
=
6
дм,
наоборот).
Ответ: 6
дм;
8
тогда
CL
=
8
дм
(или
дм.
Задача 2
Ч е м я в л я ю т с я AD, АВ н а
рисунке (рис. 35)?
AD - с е к у щ а я , АВ касательная.
Как связаны эти
отрезки?
АВ2 = AD • АС
Выполним
№671(Атанасян).
Дано: АВ - к а с а т е л ь н а я ,
AD - с е к у щ а я . АВ = 4 с м ,
АС = 2 с м .
Найти: CD.
Рис. 35
Решение:
1 )АВ2 =AD •АС ( п о с в о й с т в у с е к у щ е й и к а с а т е л ь н о й ,
проведенной из одной точки вне окружности).
2) AD = DC + СА, пусть DC = х (см) тогда AD = (х + 2) см.
3)Составим уравнение:
42 = (х + 2) - 2 ,
1 6 = 2х + 4 ,
х = 6.
2х = 12,
CD= 6 см.
Ответ: CD = 6 см.
Если время позволяет, то решим задачу №557 («Сборник задач
по планиметрии, 8-9» А.Гайшут и Г.Литвиненко.)
Из одной точки к окружности проведены касательная и секущая.
Найти секущую, если известно, что внутренний отрезок относится к
внешнему как 3 : 1 . Длина касательной 12 см.
Можно выполнить эту задачу по тому же чертежу, но учащиеся должны найти те элементы, о которых говорится в задаче.
Дано: АВ - касательная, BD - секущая.
CD : ВС = 3 : 1, АВ = 12 см.
Найти: AD.
Решение:
1) АВ2 = BD-BC.
2)Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда
ВС = х, CD = Зх (другими словами, отношение 3 : 1 показывает,
что DC > ВС в 3 раза, тогда если ВС = х, то DC = 3х)
BD = ВС + DC — х + Зх = 4х.
Составим уравнение:
122 = х • 4х,
4х2 = 144,
х2 = 36.
х 1 = 6,
х 2 = -6 - не подходит, так как х > 0.
Тогда ВС = 6 см, DC= 18 см,
BD = 6 + 18 = 24 (см).
Ответ: BD = 24 см.
Задача 3
Как называются отрезки АВ и АС (рис. 36)?
Какое свойство можно записать?
СА - АМ = AB-AN.
Устно: вычислить AN, если AC= 12, Am = 8, AB = 16
((AN = (CA•AM) : AB, AN = (12•8) : 16, AN = 6))
Можно решить устно задачи по тем же чертежам, расставив
новые данные. По рисунку 34: МС = 5, СН = 8, LC = 10. KC - ?
Рис. 36
(Ответ: КС = 4.)
По рисунку 35: А С = 4, D C = 12. А В - ?
( О т в е т : А В = 8.)
IV. Домашнее задание
1. Две хорды окружности пересекаются. Точка пересечения поделила первую
хорду на отрезки 8 см и 2 см, а вторую - пополам. Вычислите длину второй
хорды.
2.Через точку А проведены касательная ( В - точка касания) и секущая,
которая пересекает окружность в точках С и D ; A D = 24 см, А В = 12 см.
Найдите СА.
3.Из точки К к окружности проведены секущие К А В и K C D (точки А , В ,
С , D принадлежат окружности). А В = 19 см; К С = 6 см;
А К : C D = 1:4.
Найдите КВ и KD.
V. Решение задач
№
1
Дано: AM = MB; CM = 8 см; MD = 2 см (рис. 37)
Найти: АВ - ?
Решение:
1)AM = M B , пусть A M = х (см), тогда MB =
х (см).
2 ) A M • M B = C M • M D . По свойству
хорд:
х2 = 8 • 2, х2 = 16.
Х
1
= 4, х
2
= -4 (неподходит).
AM = 4 см.
3)АВ = 2 •AM = 8 (см).
О т в е т : 8 см.
№ 2
Д а н о : А В - касательная,
В - точка касания (рис. 38),
A D — 24 см; А В = 12 см
D
Найти: СА - ?
Решение:
1) АВ2 = AD • АС,
122 = 24 • AC,
AC = 144: 24 = 6.
Ответ: 6.
№3
Дано: КАВ и KCD – секущие(рис. 39).
AB = 19 см; КС = 6 см; АК : СВ = 1:4.
Найти: КВ - ? KD - ?
Решение:
1) По свойству секущих: КВ • КА =
=KD • KC.
2) АК ‹ CD в 4 раза ( по условию).
Пусть АК = х(см); CD = 4x,
тогда КВ = АВ+ КА, КВ = (19 + х)см.
KD = Kc + CD, KD = (6 +4x) см,
(19+ х) • х= (6 + 6х) •6.
х2 – 24х + 19х = О,
х2 - 5х - 36 = 0;
х1= 9
х2 = - 4 (не подходит);
АК = 9 СМ
3)KB = 19 + 9 = 28 см.
= 6 + 4 • 9 = 42 см.
4)KD
Ответ: 42 см м 28 см.
Урок 8
Тема. Обобщение темы «Вписанный угол»
Цели урока. Повторить теоретический материал; закрепить навык решения задач.
Ход урока
I. Вопросы по домашнему заданию
II. Письменный опрос учащихся (на отдельных карточках)
1. Закончите фразы:
1) Вписанный угол равен…
а)…половину дуги, на которую опирается;
б)…половине соответствующего центрального угла;
в)…90°, если он опирается на диаметр.
2) Центральный угол равен…(…дуге, на которую он опирается).
3) Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания,
равен…(…половине дуги, заключенной между ними).
4)Сумма градусных мер дуг окружности с
общими концами...;
сумма градусных мер дуг, соответствующих дополнительным углам... (...равна
360°).
5)Если
хорды
окружности
пересекаются в точке, то...
(...произведение
отрезков
одной
хорды равно произведению отрезков
другой хорды).
6) Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то...
(...квадрат длины касательной
равен
произведению
длины
секущей на длину ее внешней
части).
7) Е с л и и з т о ч к и в н е о к р у ж н о с т и п р о в е д е н ы д в е
с е к у щ и е , т о . . . (...произведение длины секущей на длину ее
внешней части равно произведению длины другой секущей на
длину ее внешней части).
8) Е с л и в п и с а н н ы й у г о л п р я м о й … (...то он опирается на
диаметр).
9) Если два вписанных угла опираются на одну дугу... (...то они равны).
2. На доске заранее сделаны рисунки (рис. 40, 41, 42), на которых цветным
мелом выделены элементы хорд, касательных и секущих.
Задание. а) Записать в тетради
равенства, соответствующие
чертежам.
б) Найти неизвестный элемент.
Ответ: (рис. 40):
КА • АМ = NA • AT.
AK = (9•4):3;
AK = 12.
Ответ:(рис. 41):
SL • ES = SR • SF.
x(x+ 13) = 5(3x + 3);
х2 – 2x – 15 = 0;
x = 5, x = -3.
Ответ: (рис. 42):
DP2 = DB • DC.
DP2 = 48;
DP = 4.
3.Затем переходим к письменному решению задач для
повторения и подготовке к контрольной работе.
Задача 1
Найти угол а по данным чертежа
(рис. 43).
Дано: QZ - диаметр. XQY = 19°;
QYX = 47°.
Найти: а - ?
Решение:
Можно начать решения с вписанных
углов (I способ), а можно с дуг
окружности (II способ).
Способ I
1. XQY = 19° - вписанный,
uXY = 19° • 2 = 38°. QYX =
47° - вписанный,
uQX = 47° • 2 = 94°.
2. uQY = uQX + uXY = 38° + 94° = 132°.
3. uYZ = uQYX - uQY = 180° - 132° = 48°.
Тогда α = ½ uYZ = ½ • 48° = 24° (по свойству вписанных углов).
Ответ: a = 24°.
Способ II
Можно найти угол QXY = 180° - 19° - 47° = 114°.
Тогда uQZY = 114 • 2 = 228°, uQZ = 180°, значит,
uYZ = 228° - 180° = 48°, α - 24°.
Задача 2
Далее рассмотрим задачу из варианта 4 контрольной работы для
9-го класса (автор Дудницын). В учебнике Атанасяна Л.С. можно
рассмотреть задачу № 657.
Дано: Окружность (O; R); Е и F
принадлежат окружности (рис.
44).
uEF: uECF = 3:7; CF - диаметр.
Вычислить: ECF CEF, EFC?
Решение:
1)∆CEF : ZF = 90°(как вписанный
угол, опирающийся на диаметр).
uEF + uECF = 360°, если uEF = 3x, а
uECF = 7х,
то Зх + 7х = 360.
Значит, х = 36.
uEF = 36°• 3= 108°, uECF = 7• 36° = 252°.
3) C = ½ uEF ( по свойству вписанного угла),
C = 54°
4) F = 90° – 54° (по п.1),
F =36°
Ответ: 90°, 54°, 36°.
Задача 3
№542 (Сборник по планиметрии 8-9.
А.Гайштут, Г.Литвиненко).
Дано: Е – точка пересечения хорд CD и
АВ. СЕ = 2АЕ, ED = AE +4,
AB =17 (рис. 45).
Вычислить: CD.
Решение:
1)СЕ•ED = AE • EB ( по свойству хорд
окружности).
2) Пусть АЕ=х, тогда СЕ= 2, а ED =
х+4, ВЕ = 17 – х.
Составим уравнение:
2х•(х+4) = х (17 – х),
Зх2 - 9х = 0;
х1 = 0, х2 = 3;
АЕ = 3
3) ED = 3 + 4 = 7, СЕ = 2 • 3 = 6.
4) C D = C E + E D , C D = 6+7, C D = 1 3 .
Ответ:CD = 13.
Задача 4
Если время позволяет, можно рассмотреть
решение такой задачи: касательная и секущая,
сходящие из одной точки, соответственно рана 12
и 24 см. Вычислить радиус окружности, если
секущая удалена от центра на 12 см
Задача хороша тем, что повторяет свойство
касательной и секущей, свойство диаметра,
перпендикулярного хорде; теорему Пифагора.
(Важно выполнить и разобрать с учащимися, что
означает слово «удалена» и оборот «находится на
расстоянии».)
Решение: 1)AD2 = AC• AB (по свойству касательной секущей, рис. 46).
122 = 24 • AB;
AB = (12•12) : 24 = 6 (см).
2) СВ = АС – АВ, СВ = 24- 6 =18(см).
3) СВ= 2 • СК ( по свойству димаетра, перепендикулярного хорде).
СК = ½ СВ,
СК = 9 см.
4) Треугольник ОКВ – прямоугольный, по теореме Пифагора получим:
ОВ2 = ОК2 + КВ2, где ОВ – радиус ОВ2= 122+ 92, ОВ = 15(см).
Ответ: 15 см.
III.
Домашнее задание
В качестве домашнего задания можно предложить
задачи № 486, 535, 561, из задачника к школьному
курсу геометрии. 8- 9-й класс (авторы А.Гайштут ,
Г.Литвиненко).
№ 468
Точка Е- пересечение хорд АВ и CD.
uDB = 200°? uAC = 80° (по рис. 47).
Найти:
AEC.
Рис. 47
(Можно упростить задачу, если
потребовать найти AED.)
Решение:
1) Дополнительное
построение: хорда AD.
2)
BAD = ½ uDB,
ADC = ½ uAC.
3)
BAD = 100°, ADC =40°.
4) ∆AED : AED = 180° –
(100° + 40°)= 40°;
AEC = 180° – 40°,
AEC = 140°.
Рис. 48
Ответ:140°.
№ 535
Е – точка пересечения хорды CD и диаметра АВ. CD ⊥ Ab,
AE + EC = 7, CE + BE = 17,5.
Найти: ВЕ - ?
Решение:
1) АЕ • ЕВ = СЕ • ED (рис. 48).
2) Пусть СE = х, тогда ED = x;
AE = 7 – x; BE =17,5 – x.
(7 – x) • (17,5 – x) = x2
122, 5 – 17,5x – 7x + x2 = x2;
122,5 = 24,5x;
x= 5, CE = 5.
3) BE = 17,5 – 5 = 12,5.
Ответ: 12,5.
№ 561
К окружности радиуса 5 из одной точки проведены
касательная и секущая.
Найти длину касательной, еслиона больше
внешнего отрезка секущей на 2, а секущая удалена от
центра на 3.
Дано: ОВ = 5( рис. 49).
АР > АВ на 2, ON = 3.
Найти АР - ?
Решение:
1) АР2 = AC • AB.
2) ON- расстояние от центра окружности до
секущей; DN ⊥ CB, следовательно, CN
= NB.
3) Треугольник ONB – прямоугольный; по теореме Пифагора поулчим
OB2 = ON2 + NB2, NB2= 52 -32, NB = √2•8 = 4
4) AC = AB + 2 • NB.
5) Пусть АВ = х, тогда АР = х = 2, а АС = х + 2• 4.
6) АС = 8+ х.
7) Составим уравнение:
(х + 2)2 = (8 + х)2 • х2
х2 + 4х + 4 = 8х + х2;
4х= 4,
х = 1.
АВ = 1, АС – 8+ 1 = 9;
АР2 = 1 • 9,
АР = 3.
Ответ: 3.
Урок 9
Контрольная работа
Вариант 1
1.
Разность между центральным и соответствующими вписанным углом равна 53°.
Вычислите градусные меры этих углов.
2.
Из точки К к окружности проведены секущие КАВ и KCD (А, В,
С, D – принадлежат окружности). АВ = 8 см, КС = 6см, DC : AK
= 1: 2. Вычислите длины КВ и KD.
3.
Точки М и К делят окружность на дуги, градусные меры которых
пропорциональны числам 7 и 11. Через точку М проведен
диаметр МР. Вычислите углы треугольника МКР.
4.
Из точки окружности, радиус который равен 20 см. проведен
перпендикуляр к радиусу, который поделил радиус на отрезки
3:2 (считая от центра). Найдите длину хорды окружности,
содержащей перпендикуляр к радиусу.
Вариант 2
1. Сумма центрального и соответствующего вписанного угла равна
99°. Вычислите градусные меры этих углов.
2. Из точки N проведены секущие Nab и NCD (A, B, C, D – точки
на окружности). АВ = 22см, NC = 4 см, AN = : CD = 1:4.
Вычислите длины NB и Втю
3. Точки Р и S делят окружность на дуги, градусные меры которых
пропорциональны числам 15 и 9. Через точку Р проведен диаметр
РМ. Вычислите углы треугольника MPS.
4. Из точки окружности радиуса 30 см проведен к радиусу
перпендикуляр, который поделил радиус в соотношении 3 : 2
(считая от центра) Вычислить длину хорды окружности,
содержащей перпедикуляр к радиусу.
Решение контрольной работы
Вариант 1
1. пусть х – вписанный угол, тогда соответствующий центральный
угол равен 2х ( по свойтсу). Их разность:2х – х = 53°,
х = 53°.
Значит, вписанный угол будет равен 53°, центральный - 106°.
2. (рис. 50)
1) ВК • АК= KD • KC (свойство секущих).
2) Пусть х – коэффициент пропорциональности.
Так как DC : Ak = 1: 2, то DC = x,
AK = 2x.
3) ВК = 8 + 2х, KD=6 + x;
K
(8 + 2x) • 2x = 6• (6+ x),
4x2 + 16 =36+ 6x,
4x2 + 10x – 36 = 0;
x1 = - 4,5 ( не подходит),
х2 = 2;
DC = 2 см, АК = 4 см.
КВ = 8 + ; = 12(см),
KD = 6+ 2 = 8 (см).
Ответ: 12 см и 8 см.
3.(рис. 50)
1) K = 90°(вписанный, опирающийся
на диаметр).
2) uMK + uMPK = 360°.
Пусть х – коэффициент
пропорциональности. Тогда:
7ч + 11х = 360,
18х = 360,
P
х = 20.
3) uMK = 20• 7 = 104°;
Рис. 51
uMPK = 20°• 11= 220°.
P= ½ uMK= ½ • 140°= 70°,
M = 90° -
P = 90° – 70° = 20°
Ответ: 90°, 70°, 20°.
4.(рис. 52)
10 Пусть х – коэффициент пропорциональности.
Тогда AD = 2x; DO
А
= 3x.
2x + 3x = 20, x = 4;
DO = 12 см.
3) Треугольник DOC – прямоугольный, по
теореме Пифагора:
OC2 = DO2 + DC2, DC = √202•122 = √832 = 16
(см);
ВС =16 • 2 = 32(см).
Ответ: 32 см.
Вариант 2
1.1)
Пусть х – вписанный угол, 2ч – соответствующий ему
центральный.
х + 2х = 99, х=33;
33 • 2 = 66.
N
Ответ: 33°, 66°.
2. (рис. 53)
1) NB • AN = ND • NC.
Пусть на одну часть приходится х см.
Тогда AN = x, CD = 4x,
NB= x + 22, ND = 4x + 4.
Получим уравнение:
(22 + х)•х = (4х+ 4)• 4б
х2 + 6х – 16 = 0;
х1 = -8, х2= 2.
AN = 2 см; DC = 8 см.
NB = 22+ 2 = 24,
ND = 12.
Ответ: 12см; 24см.
3.(рис. 54)
1)
S = 90°(опирается на диаметр).
2) uPS + SMP = 360°.
Пусть х – одна часть, тогда:
15х + 9х = 360,
24х = 360,
х =15.
3) uPS = 15°•9 = 135°;
uMPS = 15° • 15 = 225°.
4)
M = ½ uPS = 135: 2 = 67°30′;
P = 90° - 67°30’ = 22°30’.
Ответ: 90°; 67°30′; 22°30’.
4.(рис. 55)
1) OD = 30см, СО = 3х, CD = 2x,
CD = 2x, 5x=30, x =6.
CO = 18см, DC = 12см.
3) Треугольник СОВ –
прямоугольный,
СВ = √(30-18) • (30+ 18) =
= √12•48 = 24(см).
АВ= 2•СВ= 24 • 2= 48 (см)
Ответ: 48 см.
Рис. 55