docx - Geometry.ru

Алексей Мякишев (Москва)
e-mail: myakishev62@mail.ru
Нежданно-негаданно
или
О некоторых любопытных случаях неожиданного исчезновения
и появления числа Пи
Обсуждается ряд задач, разбитых на две группы. К первой относятся задачи, для которых число Пи, на
первый взгляд, непременно должно входить в ответ – но, на самом деле, не входит. С задачами второй
группы все обстоит ровно наоборот.
Ключевые слова: число Пи, площадь, квадрируемость, луночки, равновеликость, равносоставленость,
принцип Кавальери, динамическая система Гальперина, задача Бюффона.
1. Исчезновения
Первые две конструкции, которые мы сейчас рассмотрим, обнаружены были еще в V
веке до Р.Х. греческим1 математиком Гиппократом Хиосским.
Луночки.
Луночкой назовем фигуру, ограниченную двумя дугами окружностей.
Казалось бы, в формулах для площадей таких фигур неизбежно должно присутствовать
Его Величество  - поскольку фигуры эти представляют собой некую, что ли,
«производную» (в неформальном, так сказать, пиквикском2 смысле) от круга, площадь
которого вычисляется по всем известной формуле 𝑆 = 𝜋𝑅 2.
Но, оказывается, что это не всегда так.
1.1
На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника АВС построили, как на
диаметрах, полуокружности таким образом, что все они содержат вершину прямого
угла С.
Тогда сумма площадей двух луночек, образованных этими полуокружностями, равна
площади исходного треугольника.
1
2
Натурально, древне.
См. Чарльз Диккенс. Посмертные записки пиквикского клуба.
  
Действительно, пусть S A , S B , S C - площади соответствующих полуокружностей. Тогда,


SA
a2 SB
b2
поскольку полуокружности подобны друг другу,
 2 ,
 2
 c
 c
SC
SC
2
2


  a  b 

= (в силу теоремы Пифагора)  S C 3.
 S A  S B  S C 
2

 c

Дальнейшее – очевидно.
1.2
Около равнобокой трапеции ABCD, одно из оснований которого, ВС, равно боковой
стороне, а другое, AD – в 3 раз больше, описали окружность и, рассмотрев
гомотетию, переводящую ВС в AD, построили ее гомотетичный образ.
Тогда площадь получившейся при этом луночки (содержащей все вершины трапеции)
равна площади трапеции.
O1
SAB +SBC +SCD =S AD
B
SAB
SBC
O2
C
SCD
SAD
A
D
Для доказательства воспользуемся гомотетией.
Несложно показать, что центрами гомотетий, переводящих основание ВС в основание AD
трапеции, является либо точка пересечения диагоналей, либо точка пересечения
продолжений боковых сторон. Какую именно гомотетию рассматривать – не суть важно,
т.к. образ описанной окружности получается одним и тем же.
Пусть S AB , S BC , S CD , S AD - площади соответствующих сегментов, отсекаемых от
окружностей сторонами трапеции.
Понятно, что утверждение о равенстве площадей луночки и трапеции равносильно тому,
что S AB  S BC  S CD  S AD .
Но, во первых, S AB  S BC  S CD (поскольку эти сегменты, по условию, отсекаются от
описанной около трапеции окружности хордами одинаковой длины).
Конечно, при доказательстве этого равенства вместо подобия можно было просто воспользоваться
формулой площади круга. Но с подобием все как-то веселее.
3
Во-вторых же, площади гомотетичных фигур относятся, как коэффициент гомотетии в
квадрате, а сегмент AD получается из сегмента ВС под действием гомотетии с
коэффициентом k   3 - и потому S AD  3S BC .
Прежде чем переходить к следующему примеру, представляется уместным сказать
несколько слов о квадрируемости криволинейных фигур.
Криволинейная фигура называется квадрируемой, если циркулем и линейкой можно
построить равновеликий4 ей многоугольник.
Более того, многоугольник можно смело заменить квадратом. Это следует из
замечательной теоремы Бойяи-Гервина5:
любые два равновеликих многоугольника – равносоставлены, т.е. один из них можно
разрезать на части (причем все линии разрезов строятся линейкой и циркулем), из
которых затем «собирается» другой.6
Доказательство теоремы Бойяи-Гервина проводится в несколько этапов, каждый из
которых, по сути, доставляет яркий и содержательный пример классической детской
головоломки, из разряда невинных забав с бумагой и ножницами:7
1. Всякий многоугольник можно разрезать на треугольники.
2. Всякий треугольник можно «перестроить» в прямоугольник.
3. Всякий прямоугольник можно «перестроить» в квадрат.
4. Из любого конечного числа квадратов можно «собрать» квадрат.8
Не откажем себе в удовольствии и приведем картинку, иллюстрирующую решение одной
из задач указанной цепочки – как из двух квадратов собирается новый квадрат.
Призываем читателя вглядеться в нее как можно пристальнее, и усмотреть не только лишь
одну модель для сборки, но и …доказательство теоремы Пифагора!
P
B
C
B'
A
E
D=A'
C'
D'
Круг, как доказал в 1882-ом году немецкий математик Линдеман9, является фигурой
неквадрируемой. (Другими словами, он доказал неразрешимость одной из трех
классических и знаменитейших задач древности на построение10 – о квадратуре круга.
Т.е., такой же площади
Фаркаш Бойяи (Farkas Bolyai), 1775-1856 - венгерский геометр. Теорема была им открыта в 1832 году.
Годом позже ее переоткрыл простой и скромный любитель геометрии, австриец Поль Гервин (Paul
Gerwien), даты рождения и смерти которого автору этих строк установить не удалось.
6
В пространстве аналогичная теорема не верна! В 1901 г. немецкий математик Макс Ден (Max Dehn, 1878 –
1952) показал, что правильный тетраэдр невозможно «кубировать», т.е. никакие его прямолинейные
разрезы не помогут из полученных частей сложить куб.
7
Из глубин памяти выныривает еще какое-то название, вероятно, конструктора: Сделай сам!
8
И именно так доказывал эту теорему Гервин. Доказательство Бойяи - намного сложнее.
9
Фердинанд фон Линдеман (Ferdinand von Lindemann) – 1852-1939.
10
Во всех подробностях о них, и о многих других, из глубин веков до нас дошедших примечательных
геометрических проблемах, можно прочитать в увлекательной книжке В. Произволова «Геометрические
задачи древнего мира.» - М., Фазис, 1997.
4
5
Неразрешимость двух других – о трисекции угла и удвоении куба – еще раньше, в 1837ом году, была доказана французским геометром Ванцелем11.)
Однако, как демонстрируют только что разобранные примеры, существуют все же
криволинейные квадрируемые фигуры.
Надо, правда, доказать еще, что трапеция из задачи 1.2 строится линейкой и циркулем
(да и вообще существует).
Но это совсем просто сделать.
B
a
C
a
a
A
a
 
3 -1
2
B1
a
C1
a
 
3 -1
D
2
В сущности, все сводится к построению отрезка а 3 . Заметим, например, что он
является, как это следует из теоремы Пифагора, одним из катетов прямоугольного
треугольника с гипотенузой 2а и другим катетом а – отсюда вытекает и способ его
построения.
Один поучительный пространственный пример.
1.3
В курсе стереометрии изучаются т.н. круглые тела: цилиндр, конус и шар - и выводятся
формулы их объемов, причем оказывается, что в каждой из них присутствует число  .
А что произойдет, если рассматривать пересечения круглых тел? Может ли случиться так,
что объем общей части вычисляется по формуле, не содержащей  ?
Луночки, о которых только вот шла речь, наводят на мысль, что такая ситуация не
исключается.
И действительно, вот один из характерных примеров:
рассмотрим два одинаковых цилиндра радиуса R и расположим таким образом, чтобы их
оси пересекались под прямым углом.
И далее попробуем вычислить объем общей части этих цилиндров.12
11
12
Пьер Ванцель (Pierre Wantzel) – 1814-1848
Сделав рисунок к задаче, автор почему-то немедленно вспомнил поговорку «Клин клином вышибают».
С этой целью воспользуемся т.н. принципом Кавальери13: если любая плоскость,
параллельная данной, пересекает пару тел по фигурам, отношение площадей которых
постоянно, то той же самой постоянной будет равно и отношение объемов
рассматриваемых тел. 14
И, для начала, заметим, что в каждый из цилиндров можно «вкатить» шар того же радиуса
R. Следовательно, в тело, образованное пересечением цилиндров, можно вписать шар.
А далее, будем рассматривать сечения общей части цилиндров и шара плоскостями,
параллельными плоскости, содержащей их оси – скажем, плоскости  .
С одной стороны, сечение каждого из цилиндров дает прямоугольник, и потому
(цилиндры ведь одного радиуса) в сечении общей части всегда получается квадрат.
С другой же - сечение шара есть круг, а поскольку шар вписан в оба цилиндра, этот круг
будет касаться сторон указанного квадрата, т.е. будет в него вписан.
Итак, при параллельном смещении секущих плоскостей получим сначала
«расширяющееся» (из точки), а затем – симметрично (относительно плоскости  , в
которой круг и квадрат достигают максимальных размеров) «сужающееся» семейство
квадратов и вписанных в них кругов.
Бонавентура Кавальери (Bonaventura Cavalieri), 1598-1647 – итальянский математик.
Формально доказываемый интегрированием, принцип этот безусловно не противоречит нашей интуиции:
достаточно представить себе геометрическое тело, как «собранное» из очень тонких однородных пластин.
13
14
Но отношение площадей квадрата и вписанного в него круга есть величина постоянная:
S кв
a2
4

 .
2
S кр

a
 
2
И тогда-то, в силу принципа Кавальери, наконец, вычисляем искомый объем:
Vиск
4
 4  16
 k  Vиск  R 3     R 3 .15
Vшара
3
  3
k
2. Появления
15
Правда, согласно Ванцелю, отрезок
3
16
циркулем и линейкой все же не построишь – т.е. невозможно
3
построить отрезок, куб которого равнялся бы полученному объему, хотя 𝜋 в него никаким боком и не
влезает.
В разобранных выше примерах число  , так сказать, блистало своим отсутствием.
В следующих же двух  , напротив, прямо-таки сражает наповал – возникая будто бы из
ниоткуда, без всяких видимых причин.
Задача Бюффона16 об игле
(родилась в 1777 году, или около того)
2.1
На плоскость, разлинованную параллельными прямыми, удаленными друг от друга на
единичное расстояние, наугад бросают иголку единичной же длины.
Какова вероятность того, что игла пересечет какую-либо из прямых?
1
1
1
1
Полюбуйтесь на ответ:
2
. 17

Вот такая «черная магия».
А вот и «разоблачение».18
Введем следующие обозначения: p - искомая вероятность, N - количество бросков, и N1
N
- количество бросков, дающих пересечение. Тогда, понятно, p  1 , причем равенство
N
тем точнее, чем больше N .
Пусть, далее, N 2 - количество пересечений при бросании иголки длиной 2. Поскольку эту
ситуацию можно интерпретировать, как бросание двух иголок единичной длины, то
N 2  N1  N1 .
1
1
1
1
1
Ясно, что если изогнуть 2-иголку в середине, то результат не изменится.
Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон (Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon ), 1707-1788 – выдающийся
французский естествоиспытатель.
17
Священный трепет пробирает? Хотелось бы.
18
- Вот, граждане, мы с вами видели сейчас случай так называемого массового гипноза. Чистый научный
опыт, как нельзя лучше доказывающий, что никаких чудес и магии не существует. Попросим же маэстро
Воланда разоблачить этот опыт. (М.А.Булгаков, «Мастер и Маргарита»).
16
1
1
1
1
1
Аналогичные рассуждения проходят и для иголки длиною в
N
1
: N 1  1 (действительно,
2
2
2
достроим ее до единичной и т.д.)
Отсюда, прибегнув к предельным соображениям и соображениям непрерывности, можно
заключить, что и вообще количество пересечений пропорционально длине бросаемой
кривой, т.е. для кривой диною l количество ее пересечений с прямыми N l  l  N1 .
Теперь финальный аккорд: выберем такую кривую, для которой количество пересечений
подсчитывается особенно просто.
Ею, несомненно, является окружность с единичным диаметром, ведь она, в какое бы
место плоскости не угодила, всегда будет иметь с прямыми ровно два пересечения:
1
1
1
1
1
При N бросках выходит, стало быть, всего 2  N пересечений.
2 N
Таким образом, 2  N  N     N1   1  p .19
 N
Между прочим, простота самого опыта, кажется, так и взывает к экспериментальной его
проверке: что называется, руки чешутся.
В самом деле, полученный результат говорит о том, что если достаточно большое число
N
раз N  бросить иглу и подсчитать число ее пересечений с линиями N1  , то   2
.
N1
Однако тут имеются свои подводные камни (  голыми руками не возьмешь!) - и самый
из них весомый скрыт под словами «достаточно большое число раз».
Дело вот в чем: оказывается, чтобы получить  с точностью лишь одного знака после
запятой, нужно подбросить иголку свыше 2000 раз, а чтобы добиться точности в сотых
долях – уже свыше 200000 раз!20
При всей кажущейся легковесности приведенных рассуждений, их не так уж и трудно облечь в самые
безукоризненные, с математической точки зрения, одежды. Другое дело, что для этого понадобилось бы
свободное владение некоторыми определениями и теоремами математического анализа и теории
вероятностей.
20
Как следует из соответствующих теорем раздела математики, именуемого математической
статистикой.
19
Переходим ко второй задаче – фактически новорожденной (дата рождения -1996 г.).
Динамическая система Григория Гальперина.
Итак, в 1996 г. отечественный математик Г.А. Гальперин, видный специалист по
математическому биллиарду, удивил математическое сообщество следующей
поразительной гипотезой.
2.2
v
M=100N m
m
Положим на прямую два биллиардных шарика с массами m  M , причем шарик меньшей
массы заключен между более тяжелым и абсолютно упругой стенкой.21
Затем толкнем шарик M в сторону шарика m , с любой постоянной скоростью v.
M
 100 N ( N  0, 1, 2,  ), то (считая удары абсолютно упругими) общее
Тогда, если
m
количество ударов в системе,  N  (т.е., число столкновений шариков между собой, и
«левого» – со стенкой) есть первые N цифр десятичной записи числа  .
С привлечением функции x (целая часть x – наибольшее целое число, не превосходящее


x), кратко это формулируется так:  N     10 N .
Гальперину удалось доказать22, что его гипотеза справедлива при всех таких натуральных
значениях N , для которых в десятичной записи числа  следом за первыми N  1
цифрами НЕ встретится последовательность сплошь из N  1 девяток.
На сегодняшний день известно порядка 1011 знаков  , и пока что такого безобразия не
наблюдалось ни разу. А так как каждая следующая «благоприятная» цифра увеличивает
на единицу длину последовательности из необходимых для контрпримера девяток - то
нет ни малейших оснований сомневаться в истинности гипотезы при любых значениях N.
Но все же строгое доказательство крайне желательно – математика, как никак!
В динамической системе Гальперина, как и в задаче Бюффона, простота эксперимента
подкупает, не так ли? Но и здесь эта простота несколько обманчива, поскольку проделать
соответствующий опыт в реальных условиях не представляется возможным: слишком
быстро растут массы, необходим абсолютно упругий удар и т.д.
Конечно, обе ситуации значительно проще промоделировать на компьютере – но это уже,
согласитесь, совсем другая песня.
Достижение указанной точности за существенно меньшее количество бросков – везение просто
невероятное.
21
Т.е. после ударения шарика о такую стенку, его скорость, оставаясь такой же по модулю, меняет
направление на противоположное
22
Этот пример требует более продвинутой математики, и потому «разоблачения» мы не приводим. (Всем
заинтересовавшимся рекомендуем заглянуть в журнал «Математическое просвещение», выпуск 5, 2001 – и
найти там статью Гальперина «Биллиардная динамическая система для числа 𝜋.») Отметим лишь, что


описанную систему можно свести к математическому биллиарду в угле величиной   arctan 10
.А
читатель, надеемся, вполне в силах совладать хотя бы с целой частью  - а именно, показать, что в случае
m  M (т.е. при N  0 ) количество столкновений равно трем.
N