Комбинации геометрических тел

Приложение №1
Комбинации геометрических тел
1. Конус вписан в пирамиду, если его основание вписано в основание пирамиды, а
вершина совпадает с вершиной пирамиды. Соответственно, в этом случае
пирамида описана около конуса.
Конус может быть вписан в пирамиду, если основание пирамиды — многоугольник, в
который можно вписать окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой
окружности. Другой вариант: конус можно вписать в пирамиду, если высоты ее боковых
граней равны между собой. Отсюда, в частности, следует, что в любую правильную
пирамиду можно вписать конус.
Каждая из плоскостей, содержащих боковую грань описанной пирамиды, является
касательной к конусу плоскостью (то есть плоскостью, проходящей через
образующую конуса перпендикулярно осевому сечению конуса, проведенному через эту
образующую). Высоты боковых граней пирамиды есть образующие конуса. Высота
вписанного конуса совпадает с высотой пирамиды. Радиус конуса равен радиусу
вписанной в основание пирамиды окружности.
Найдем отношение объема вписанного конуса к объему пирамиды:
В частности, отношение объема вписанного конуса к объему правильной пирамиды для
правильной треугольной пирамиды равно
для правильной четырехугольной пирамиды —
для правильной шестиугольной пирамиды —
Теперь найдем отношение площади боковой поверхности вписанного конуса к боковой
поверхности правильной пирамиды. Так как апофема пирамиды m равна образующей
конуса l, имеем:
В частности, отношение боковой поверхности вписанного конуса к боковой поверхности
правильной треугольной пирамиды
для правильной четырехугольной пирамиды —
для правильной шестиугольной пирамиды —
2. Пирамида вписана в конус, если основание пирамиды — многоугольник,
вписанный в основание конуса. Вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.
Боковые
ребра
вписанной
пирамиды
для
конуса
являются
образующими. Соответственно, в этом случае конус описан около пирамиды.
Пирамиду можно вписать в конус, если около ее основания можно описать окружность
(другой вариант — пирамида может быть вписана в конус, если все ее боковые ребра
равны). Высоты вписанной пирамиды и конуса совпадают.
Если в конус вписана треугольная пирамида, расположение центра описанной окружности
зависит от вида треугольника, лежащего в ее основании.
Если этот треугольник остроугольный, центр описанной около пирамиды окружности (а
также основание высоты пирамиды и конуса) лежит внутри треугольника, если
тупоугольный — вне его. Если в конус вписана прямоугольная пирамида, центр
описанной окружности лежит на середине гипотенузы основания, то есть радиус
описанного конуса равен половине гипотенузы. При этом высота конуса и цилиндра
совпадает с высотой боковой грани, содержащей гипотенузу.
Четырехугольную пирамиду можно вписать в конус, если суммы противолежащих углов
четырехугольника в основании равны по 180º (из параллелограммов это условие
выполняется для прямоугольника и квадрата, из трапеций — только для равнобокой).
Найдем отношение объема вписанной пирамиды к объему конуса.
Здесь SO=H — высота конуса и высота пирамиды, SA= l- образующая конуса, AO=R —
радиус конуса (и радиус описанной около основания пирамиды окружности).
Если в конус вписана правильная четырехугольная пирамида, получаем:
Если в конус вписана правильная треугольная пирамида:
Когда в конус вписана правильная шестиугольная пирамида, отношение объема пирамиды
к объему конуса равно:
Если в конус вписана правильная пирамида, проекцией ее апофемы на плоскость
основания является радиус вписанной в основание окружности (на рисунках SF —
апофема, OF = r). Таким образом, в зависимости от начальных данных, в ходе решения
задачи на вписанную в конус пирамиду можно рассмотреть прямоугольный треугольник
SOA либо SOF (или оба).
3. Конус вписан в призму, если его основание вписано в одно основание призмы, а
вершина лежит в другом основании призмы. Соответственно, в этом случае призма
описана около конуса.
Вписать конус можно только в такую призму, в основание которой можно вписать
окружность.
При решении задач на конус, вписанный в призму, удобно рассмотреть часть сечения
комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и радиус вписанной в
основание призмы окружности, проведенный в точку касания с одной из сторон. Для
наклонной призмы это — прямоугольная трапеция, меньшая боковая сторона которой
равна высоте конуса и призмы.
Чаще всего встречаются задачи на конус, вписанный в прямую призму. В этом случае ось
конуса лежит на прямой, проходящей через центры вписанных в основание призмы
окружностей.
Если конус вписан в прямую призму, часть сечения комбинации тел плоскостью,
проходящей через ось конуса, представляет собой прямоугольник. Решение задачи
сводится к рассмотрению прямоугольного треугольника, катеты которого — высота
конуса (и призмы) и радиус конуса (и вписанной в основание призмы окружности), а
гипотенуза — образующая конуса.
Здесь SO=H — высота конуса и высота призмы, OF = r — радиус конуса и радиус
вписанной в основание призмы окружности, SF = l — образующая конуса. Найдем
отношение объема конуса к объему описанной призмы.
(Здесь p — полупериметр основания. Эта формула верна и для наклонной призмы).
В частности, отношение объема вписанного конуса к объему правильной треугольной
призмы со стороной основания a
Для правильной четырехугольной призмы (то есть для прямоугольного параллелепипеда,
основание которого — квадрат со стороной a) отношение объемов конуса и описанной
призмы
Для правильной шестиугольной призмы со стороной основания a отношение объема
вписанного в нее конуса к объему призмы равно
4. Призма вписана в конус, если одно из ее оснований лежит в основании конуса, а
другое вписано в сечение конуса плоскостью, параллельной основанию.
Можно сказать, что призма вписана в цилиндр, вписанный в конус.
Если призма, вписанная в конус — прямая, то удобно рассмотреть часть сечения
комбинации тел плоскостью, проходящей через боковое ребро призмы и прямую,
содержащую центры описанных около оснований призмы окружностей. Решение
соответствующих задач сводится к рассмотрению прямоугольного треугольника, катеты
которого — радиус и высота конуса, а гипотенуза — образующая конуса.
Например, в прямоугольном треугольнике SOF SO=H — высота конуса, FO=R — радиус
конуса, SF = l — образующая конуса, AO = r — радиус окружности, описанной около
основания призмы, AA1= h — боковое ребро и высота призмы.
Прямоугольные треугольники SFO и SA1O1 подобны (по общему острому углу S).
Отсюда
5. Призма описана около цилиндра, если ее основания — многоугольники,
описанные около оснований цилиндра. Соответственно, цилиндр вписан в призму.
Цилиндр можно вписать в призму, если в основание призмы можно вписать окружность.
Радиус вписанной окружности равен радиусу цилиндра. Высоты цилиндра и призмы
равны. В школьном курсе изучается только прямой круговой цилиндр, соответственно,
цилиндр в этом случае вписан в прямую призму.
Боковые грани описанной около цилиндра призмы являются касательными плоскостями к
боковой поверхности цилиндра.
Найдем отношение объема призмы, к объему вписанного в нее цилиндра:
p — полупериметр основания призмы, r — радиус вписанной в основание призмы
окружности и радиус цилиндра, H — высота призмы и высота цилиндра.
В частности, отношение объема правильной треугольной призмы к объему вписанного
цилиндра
Отношение объема правильной четырехугольной призмы к объему вписанного цилиндра
Для правильной шестиугольной призмы это отношение равно
Отношение площади боковой поверхности призмы к боковой поверхности вписанного
цилиндра:
Поскольку половина периметра основания — полупериметр,
Таким образом, если цилиндр вписан в призму, отношение площади боковой поверхности
призмы к боковой поверхности цилиндра равно отношению объема призмы к объему
вписанного цилиндра. В частности, отношение площади боковой поверхности правильной
треугольной призмы к площади боковой поверхности вписанного цилиндра
Отношение боковой поверхности правильной четырехугольной призмы к боковой
поверхности вписанного цилиндра
Отношение боковой поверхности правильной шестиугольной призмы к боковой
поверхности вписанного цилиндра
При решении задач, в которых цилиндр вписан в призму, можно рассматривать часть
сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Для прямой
призмы это сечение — прямоугольник, стороны которого равны радиусу цилиндра и
высоте цилиндра. Например, AA1O1O: AA1=H, AO = r.
6. Призма вписана в цилиндр, если ее основания — многоугольники, вписанные в
основания цилиндра, а боковые ребра являются образующими призмы.
Высоты вписанной призмы и цилиндра равны.
В школьном курсе изучается только прямой круговой цилиндр, соответственно, вписанная
в цилиндр призма также должна быть прямой.
Призма может быть вписана в цилиндр, если около ее основания можно описать
окружность. Отсюда следует, в цилиндр можно вписать любую правильную призму,
прямую треугольную призму, прямоугольный параллелепипед.
В ходе решения задач на призму, вписанную в цилиндр, можно рассмотреть часть осевого
сечения комбинации тел — прямоугольник, стороны которого равны радиусу описанной
около основания призмы окружности (радиусу цилиндра) и высоте призмы (и цилиндра).
Например, в прямоугольнике AA1O1O OO1=H — высота призмы и цилиндра, AO=R —
радиус описанной окружности.
Найдем отношение объема призмы, к объему описанного около нее цилиндра:
В частности, отношение объема правильной треугольной призмы к объему описанного
цилиндра
Отношение объема правильной четырехугольной призмы (то есть прямоугольного
параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат) к объему описанного около нее
цилиндра равно
Отношение объема правильной шестиугольной призмы, к объему описанного около нее
цилиндра
Отношение боковой поверхности вписанной призмы к объему описанного цилиндра:
Для правильной треугольной призмы это отношение равно
для правильной четырехугольной —
для правильной шестиугольной —
7. Цилиндр вписан в конус, если одно основание цилиндра лежит в плоскости
основания конуса, а окружность другого основания — на боковой поверхности
конуса. Конус, соответственно, в этом случае называется описанным около
цилиндра.
Оси конуса и вписанного в него цилиндра совпадают. Верхнее основание цилиндра
совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.
Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Оно представляет собой равнобедренный
треугольник с вписанным в него прямоугольником.
Здесь SO=H — высота конуса, OA=OB=R — радиус конуса, OF = OM = r — радиус
цилиндра, OO1=h — высота цилиндра, SA = SB = l — образующие конуса, NF = KM = h
— образующие цилиндра.
Прямоугольные треугольники SOB и KMB подобны (по общему острому углу B). Из
подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
Найдем отношение объемов конуса и вписанного в него цилиндра:
С учетом предыдущего соотношения для высот конуса и цилиндра, имеем:
Найдем отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности вписанного
цилиндра:
Из прямоугольного треугольника SOB по теореме Пифагора
Таким образом,
8. Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из оснований
цилиндра, а вершина лежит в центре другого основания.
Оси цилиндра и вписанного в него конуса совпадают. Цилиндр и вписанный конус имеют
равные высоты и радиусы.
Соответственно, в этом случае цилиндр описан около конуса.
Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Оно представляет собой прямоугольник с
вписанным в него равнобедренным треугольником.
Здесь SO=H — высота цилиндра и вписанного конуса, OA=OB=R — радиус цилиндра и
радиус конуса, SB=SA= l — образующая конуса, AD — образующая цилиндра.
Найдем отношение объема конуса к объему описанного около него цилиндра:
Из прямоугольного треугольника SOA по теореме Пифагора
Теперь найдем отношение площади боковой поверхности конуса к площади боковой
поверхности описанного цилиндра:
9. Призма вписана в шар, если все ее вершины лежат на поверхности шара (на
сфере). В этом случае также говорят, что шар описан около призмы (или сфера
описана около призмы).
Призма может быть вписана в шар тогда и только тогда, когда:
1) призма прямая;
2) около ее основания можно описать окружность.
Отсюда следует, что в шар может быть вписана прямая треугольная призма, правильная
призма.
Поскольку четырехугольник может быть вписан в окружность, если сумма его
противолежащих углов равна 180º, то прямая четырехугольная призма может быть
вписана в шар только при выполнении этого условия.
В частности, из параллелепипедов описать шар можно только около прямоугольного
параллелепипеда. Центр шара в этом случае — точка пересечения диагоналей
параллелепипеда.
В общем случае центр описанного около призмы шара лежит на середине высоты призмы,
проходящей через центры описанных около ее оснований окружностей. Центр описанного
шара может находиться внутри призмы, вне призмы, а также на ее боковой грани.
Например, для треугольной призмы, в которой угол ABC — прямой, центр описанного
шара лежит на боковой грани, на высоте, соединяющей середины гипотенуз в основаниях
призмы.
Если угол ABC — тупой, то центр описанного около треугольной призмы шара находится
вне призмы.
Если треугольник АВС остроугольный, то центр описанного около треугольной призмы
шара находится внутри призмы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOO1. O1O2=H — высота призмы, AO=R —
радиус шара, AO1= r — радиус окружности, описанной около основания призмы. По
теореме Пифагора
10. Шар, вписанный в призму, касается каждой ее грани. Диаметр вписанного шара
равен высоте призмы, а также равен диаметру окружности, вписанной в основание
призмы.
Центр шара лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр вписанной в
основание окружности. Если в основание призмы нельзя вписать окружность либо высота
призмы не равна диаметру вписанной в основание окружности, то в такую призму шар
вписать нельзя. Если призма правильная, центр вписанного в нее шара является точкой
пересечения биссекторных плоскостей призмы. (Биссекторная плоскость двугранного
угла, биссектор, - плоскость, проходящая через ребро двугранного угла и делящая этот
угол пополам.)
При решении задач на шар, вписанный в призму, можно рассмотреть сечение комбинации
тел плоскостью, параллельной основаниям. Она представляет собой многоугольник,
равный многоугольнику основания, с вписанной в него окружностью, радиус которой
равен радиусу шара. Далее используем формулы, связывающие радиус вписанной
окружности со сторонами основания, а также то, что центр вписанной в многоугольник
окружности является точкой пересечения его биссектрис.
Выразим объем призмы через радиус вписанного шара — R. Объем призмы равен
Площадь основания ищем по формуле S= p · r, где p — полупериметр основания, r —
радиус вписанной в него окружности. Поскольку в нашем случае r = R и высота призмы
H=2R, то
имеем
. Но 2p=P — периметру основания. Окончательно
.
Выразим площадь полной поверхности прямой призмы через радиус вписанного в нее
шара. Площадь полной поверхности прямой призмы равна сумме площадей оснований и
боковой поверхности:
Боковая поверхность
Отсюда,
Таким образом, пришли к формуле
.
11. Цилиндр, вписанный в шар.
Рассмотрим комбинацию тел: шар и вписанный в шар цилиндр.
Цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на поверхности шара. В
этом случае говорят также, что шар описан вокруг цилиндра. Центр шара лежит на
середине оси цилиндра.
Как и при решении задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего рассматривают
сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Это сечение
представляет собой вписанный в окружность прямоугольник, стороны которого равны
высоте конуса и диаметру его основания. Центр окружности лежит на пересечении
диагоналей прямоугольника.
Рассмотрим пример такого осевого сечения. Здесь точка O — центр описанного около
цилиндра шара, BD — диаметр шара, OD=R — радиус шара, AB = H — образующая и
высота цилиндра, AD — диаметр цилиндра, FD = r — радиус цилиндра.
(как вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу AD).
Треугольник AOD — равнобедренный (AO=OD=R), в нем OF=H/2 — высота, медиана и
биссектриса.
Треугольник OFD — прямоугольный. По теореме Пифагора получаем соотношение,
связывающее радиус шара с радиусом и высотой вписанного в шар цилиндра:
Это же соотношение можно получить из прямоугольного треугольника ABD: по теореме
Пифагора
12. Шар, вписанный в цилиндр
Шар называется вписанным в цилиндр, если основания и каждая образующая
цилиндра касаются шара.
Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара.
В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то
есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу
цилиндра r: R = r.
Решение задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего сводится к рассмотрению
осевого сечения комбинации тел.
Это сечение представляет собой квадрат с вписанной в него окружностью. Сторона
квадрата равна высоте цилиндра и диаметру шара: H=2R.
Найдем отношение объема цилиндра, к объему вписанного в него шара. Объем шара
Объем цилиндра
Отсюда отношение объема шара, к объему описанного около него цилиндра
Теперь найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади вписанного шара.
Площадь поверхности шара (площадь сферы)
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и боковой
поверхности:
Отсюда отношение площади поверхности вписанного шара к площади поверхности
цилиндра
13. Конус, вписанный в шар.
Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности
шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса.
При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение
комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение
представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу
шара) с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса.
Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр
конуса.
Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри
треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).
Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания
треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).
Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр
описанного шара — вне конуса).
Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно
рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.
Рассмотрим сечение конуса и описанного около него шара плоскостью, проходящей через
ось конуса и центр шара. Здесь SO=H — высота конуса, SB = l — образующая
конуса,SO1=O1B=R — радиус шара, OB = r — радиус основания конуса, ∠OSB=α — угол
между высотой и образующей конуса.
Треугольник SO1B — равнобедренный с основанием SB (так как SO1=O1B=R). Значит, у
него углы при основании равны: ∠OSB=∠O1BS= α, и O1F — медиана, высота и
биссектриса. Отсюда SF = l/2.
При решении задач на конус, вписанный в шар, можно рассмотреть прямоугольные
треугольники SFO1 и SOB. Они подобны (по острому углу S). Из подобия треугольников
В прямоугольном треугольнике SOB ∠OBS=90º — ∠OSB=90º-α. По теореме Пифагора
В прямоугольном треугольнике O1OB ∠OBO1=90º — ∠O1BS=90º — α — α=90º — 2α.
Если продлить SO до пересечения с окружностью, получим прямоугольный треугольник
SBM (∠SBM=90º как вписанный угол, опирающийся на диаметр SM). В нем BO- высота,
проведенная к гипотенузе. По свойствам прямоугольного треугольника
и уже полученное соотношение
14. Шар, вписанный в конус
Шар называется вписанным в конус, если основание и каждая образующая конуса
касаются шара.
В любой конус можно вписать шар. Вписанный в конус шар (или сфера, вписанная в
конус) касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности — по окружности.
Центр шара (сферы) лежит на оси конуса.
При решении задач на шар, вписанный в конус, удобнее всего рассмотреть сечение
комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара.
Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны
которого — образующие конуса, а основание — диаметр конуса. Вписанный в этот
треугольник круг — большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу
шара).
Для данного рисунка образующие SA = SB = l, высота конуса SO=H, радиус вписанного
шара OO1=O1F=R. Так как центр вписанного круга — точка пересечения биссектрис
треугольника, то ∠OBO1=∠FBO1, OB = r — радиус конуса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:
По теореме Пифагора
Отсюда
Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.
Если ∠OBS=α, то ∠OBO1=α/2. Отсюда
Если сначала выразить радиус конуса через его высоту из прямоугольного треугольника
SOB
то из треугольника OO1B выражаем радиус шара через высоту конуса:
15. Пирамида, вписанная в шар.
Пирамида называется вписанной в шар, если все ее вершины принадлежат
поверхности шара (сферы).
Если пирамида вписана в шар, то все ее вершины лежат на поверхности этого шара (на
сфере), соответственно, расстояния от центра шара до вершин равны радиусу шара.
Каждая грань вписанной в шар пирамиды является вписанным в некоторую окружность
многоугольником. Основания перпендикуляров, опущенных из центра шара на плоскости
граней, являются центрами этих описанных окружностей. Таким образом, центр
описанного около пирамиды шара — точка пересечения перпендикуляров к граням
пирамиды, проведенных через центры описанных около граней окружностей.
Чаще центр описанного около пирамиды шара рассматривают как точку пересечения
перпендикуляра, проведенного к основанию через центр описанной около основания
окружности, и серединного перпендикуляра к боковому ребру (серединный
перпендикуляр лежит в плоскости, проходящей через это боковое ребро и первый
перпендикуляр (проведенный к основанию). Если около основания пирамиды нельзя
описать окружность, то эта пирамида не может быть вписана в шар. Отсюда следует,
что около треугольной пирамиды всегда можно описать шар, а вписанная в шар
четырехугольная пирамида в основании имеет прямоугольник или квадрат.
Центр описанного около пирамиды шара может лежать внутри пирамиды, на поверхности
пирамиды (на боковой грани, на основании), и вне пирамиды. Если в условии задачи не
сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут
повлиять на решение различные варианты его расположения.
Около любой правильной пирамиды можно описать шар. Его центр — точка пересечения
прямой, содержащей высоту пирамиды, и серединного перпендикуляра к боковому ребру.
При решении задач на вписанную в шар пирамиду чаще всего рассматривают некоторые
треугольники.
Начнем с треугольника SO1C. Он равнобедренный, поскольку две его стороны равны как
радиусы шара: SO1=O1С=R. Следовательно, O1F — его высота, медиана и биссектриса.
Прямоугольные треугольники SOC и SFO1 подобны по острому углу S. Отсюда
SO=H — высота пирамиды, SC = b — длина бокового ребра, SF = b/2, SO1=R, OC = r —
радиус окружности, описанной около основания пирамиды.
В прямоугольном треугольнике OO1C г гипотенуза O1C=R, катеты OC = r, OO1=H-R. По
теореме Пифагора:
Если продолжить высоту SO, получим диаметр SM. Треугольник SCM — прямоугольный
(так как вписанный угол SCM опирается на диаметр). В нем OC — высота, проведенная к
гипотенузе, SO и OM — проекции катетов SC и CM на гипотенузу. По свойствам
прямоугольного треугольника,
и еще раз, только другим путем:
Эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но также для пирамиды,
основание высоты которой является центром описанной около основания пирамиды
окружности.
16. Шар, вписанный в пирамиду
Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера)
касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются
касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания,
перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр
вписанного в пирамиду шара — точка пересечения биссекторных плоскостей двугранных
углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).
Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно
вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте
пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью,
проходящей через апофему и высоту пирамиды.
Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой
равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание —
диаметр вписанной в основание окружности.
Если пирамида треугольная или пятиугольная, достаточно рассмотреть лишь часть
этого сечения — прямоугольный треугольник, катеты которого — высота пирамиды и
радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза — апофема.
В любом случае, в итоге приходим к рассмотрению соответствующего прямоугольного
треугольника и других, связанных с ним треугольников.
Итак, в прямоугольном треугольнике SOF катет SO=H — высота пирамиды, катет OF = r
— радиус вписанной в основание пирамиды окружности, гипотенуза SF = l — апофема
пирамиды. O1- центр шара и, соответственно, окружности, вписанной в треугольник,
полученный в сечении (мы рассматриваем его часть). Угол SFO — линейный угол
двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SBC. Точки
K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF. OO1=O1K=R —
радиусу шара.
Прямоугольные треугольники OO1F и KO1F равны (по катетам и гипотенузе).
Отсюда : KF = OF = r.
Прямоугольные треугольники SKO1 и SOF подобны (по острому углу S), откуда следует,
что
В треугольнике SOF применим свойство биссектрисы треугольника:
Из прямоугольного треугольника OO1F
При решении задач на шар, вписанный в правильную пирамиду, будет полезным еще одно
рассуждение.
Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности:
Таким образом, радиус вписанного шара выражается через объем пирамиды и ее полную
поверхность:
Все эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но и для пирамиды,
основание высоты которой совпадает с центром вписанной в основание окружности (то
есть для пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны).
17. Цилиндр, вписанный в пирамиду.
Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если его нижнее основание лежит внутри
многоугольника – основания пирамиды, а верхнее основание вписано в многоугольник,
получающийся при пересечении пирамиды плоскостью верхнего основания цилиндра.
В пирамиду можно вписать цилиндр только в том случае, если в основании пирамиды
лежит многоугольник, в который можно вписать окружность.
S
A1
C1
B1
C
A
B
18. Пирамида вписана в цилиндр
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды принадлежит
одному основанию цилиндра, а основание вписано в другое основание цилиндра.
В цилиндр можно вписать пирамиду, если её основание можно вписать в окружность,
причем высоты пирамиды и цилиндра должны быть равны.
Т.к. любой треугольник можно вписать в окружность, то в цилиндр можно вписать
любую треугольную пирамиду.
Если пирамида четырехугольная, то в её основании должен быть четырехугольник, сумма
противоположных углов у которого равны.