Золотое сечение. Математический язык красоты

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Новинская средняя общеобразовательная школа
Богородского муниципального района Нижегородской области
Конкурс исследовательских работ по математике
«Математика и красота»
Номинация «Математика и искусство»
Золотое сечение.
Математический язык красоты
Работу выполнил
ученик 10 класса
Самохвалов Владислав
Руководитель Полякова Е.Ю.
2015
Оглавление
Введение
1. История «золотого сечения»
2. Золотое сечение - гармоническая пропорция
3. Золотое сечение и искусство
3.1. Золотое сечение в архитектуре
3.2. Золотое сечение в скульптуре
3.3. Золотое сечение в живописи
Заключение
Библиография
Приложения
1. Результаты экспериментов
2. Построение «золотых» фигур
Введение
Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в
мире единственный стандарт прекрасного? Возможно, ли измерить гармонию с
помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы
удивительный ответ. Золотое сечение – ключ к пониманию секретов
совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной
пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала…
Так начинается первый том современной энциклопедии «Мир математики» Золотое сечение. И я держу его в руках.
Так что же такое «золотое сечение»? Что это за идеальное, божественное
сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он - мистическая
тайна? Научный феномен или этический принцип?
На уроке геометрии я один раз услышал это понятие, но больше ничего об это
этом не знал. Поэтому данная тема меня заинтересовала. И я решил более
подробно познакомиться с ней.
Цель работы: показать взаимосвязь математики и искусства на примере
«золотого сечения».
Задачи работы:
 изучение феномена «золотое сечение»;
 расширение представлений о сферах применения математики: показ
фундаментальных закономерностей математики как
формообразующими в искусстве;
 проведение эксперимента по интуитивному восприятию феномена
золотого сечения;
 обобщение и показ возможности применения, полученных знаний.
Методы исследования:
 обработка, анализ научных источников;
 анализ научной литературы, учебников и пособий по исследуемой
проблеме;
 эксперимент.
Актуальность моей работы состоит в том, что позволяет показать тесную
связь между жизнью человека и математическими науками, их применении не
только для решения задач, но и для использования в повседневной жизни в
частности в искусстве.
Работа имеет практическое значение, так как тема «золотое сечение» в
школьном курсе математики не изучается, но моя работа позволит
познакомить с ней мох одноклассников и других, интересующихся учеников
школы.
История золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход
Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть
предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у
египтян и вавилонян. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов,
предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что
египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их
создании.
Платон (427...347гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей"
посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в
частности, вопросам золотого деления.
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается
в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение
золотого деления. В средневековой Европе с золотым делением познакомились
по арабским переводам "Начал" Евклида.
Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне.
Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и
художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве,
особенно в архитектуре. В 1509г. в Венеции была издана книга итальянского
математика Луки Пачоли "Божественная пропорция". По его мнению, даже Бог
использовал принцип золотого сечения для создания Вселенной.
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления.
Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными
пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями
сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название «золотое
сечение». Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами
трудился Альбрехт Дюрер. Он подробно разрабатывает теорию пропорций
человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер
отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях
линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев
опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный
циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из
сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой
пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855г. немецкий
исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд
"Эстетические исследования". С Цейзингом абсолютизировал пропорцию
золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и
искусства.
Золотое сечение – гармоническая пропорция
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:
a : b = c : d.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:



на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не
образуют);
таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем
отношении.
«Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении значит разделить ее
на два таких отрезка, чтобы отношение всей линии к большему отрезку
равнялось отношению большего отрезка к меньшему» (Евклид «Начала»).
Говоря современным языком:
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные
части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама
большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок
так относится к большему, как больший ко всему.
с : b = b : а или a : b = b : c
Геометрическое изображение золотой пропорции:
Рассмотрим деление отрезка на части в отношении равном «золотому
сечению».
Пусть точка М делит отрезок АВ в золотом отношении.
А
М
b
a-b
В
a
Тогда
a
b

;
b ab
a  ab  b ; a  ab  b  0;
пусть
a
 ;
b
 2    1  0;
2
2
2
2
a2 a
  1  0;
b2 b
Уравнение имеет два решения, но нас интересует лишь положительное:

Число  
1 5
 1,618
2
1 5
 1,618033988749894... называют «золотым
2
сечением», «золотым числом», или «числом Фидия», в честь древнегреческого
скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э.
Часто применяют и другое обозначение «золотого числа»  
1

 0,618
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка
прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Задача. Деление отрезка в «золотом» отношении.
Пусть дан отрезок АВ. Найдем точку Е, которая делит отрезок на две части в
«золотом отношении». Для этого из точки В построим перпендикуляр
ВС=1/2АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На
полученной линии откладывается отрезок СD=ВС. Отрезок AD переносится на
прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении
золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью
AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических
целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Части «золотого
сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.
Широкое распространение получили «золотые фигуры», имеющие в основе
«золотое сечение».
«Золотой» прямоугольник – это прямоугольник, в котором соотношение сторон
представляет собой золотое сечение. Он также обладает интересными
свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой
прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если
провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их
пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.
Последовательно отсекая от «золотых» прямоугольников квадраты до
бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью
окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё
обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он
изучал её и вывел уравнение этой спирали.
«Золотой» треугольник- это равнобедренный треугольник, в котором
отношение длины большей стороны к меньшей представляет собой золотое
сечение. Бывает два типа «золотых» треугольников с углами 360, 360, 1080 и с
углами 360, 720, 720 .
«Золотой» пятиугольник – это правильный пятиугольник. В звездчатом
пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую
в отношении золотого сечения, а концы звезды являются «золотыми
треугольниками». Внутри пятиугольника можно продолжить строить
пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник
называется пентаграммой.
Есть и «золотой кубоид» – это прямоугольный параллелепипед с ребрами,
имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.
(Построение «золотых фигур» см. Приложение)
Золотое сечение в архитектуре
Многие архитекторы свои работы исполняли в соответствии с пропорциями
золотого сечения, особенно в виде золотого прямоугольника, в котором
отношение большей стороны к меньшей имеет пропорции золотого сечения.
Золотое сечение появляется во многих замечательных архитектурных
творениях на протяжении всей истории человечества.
 Различные элементы фасада Парфенона, всемирно известного шедевра
Фидия, представляют собой «золотые» прямоугольники.
 Пропорции храма Василия Блаженного в Москве определяются восемью
членами ряда золотого сечения: 1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5, φ6, φ7
 Ярким примером применения золотого сечения в архитектуре является
церковь Покрова Богородицы на Нерли, возведенная в 1165 году.
 Еще одним примером, являются всемирно известные египетские
пирамиды Хеопса.
Все архитектурные сооружения, храмы и даже жилища от Древнего Египта и
Древней Греции и до наших дней создавались и создаются в гармонии чисел –
по правилам «золотого сечения», так как принято считать, что объекты,
содержащие в себе «золотое сечение» воспринимаются людьми как наиболее
гармоничные.
Золотое сечение в скульптуре
Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить
знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных
людей их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры
составляла теория пропорции. Отношение частей человеческого тела
связывалось с формулой «золотого сечения». Пропорции «золотого сечения»
создают впечатления гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их
в своих произведениях.
 Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело
в отношении «золотого сечения". Так например, знаменитая статуя
Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым
отношениям.
.
 Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое
сечение» в своих произведениях.
Самая знаменитая из них была статуя Зевса Олимпийского, которая считалась
одним из чудес света и статуя Афины Парфенос.
Золотое сечение в живописи
Пятиконечной звезде - около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас
вавилонские глиняные таблички. Из Древнего Вавилона в Средиземноморье,
как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его
символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным знаком. Сегодня
пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.
Популярность звездчатого пятиугольника объясняется тем, что совершенная
форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум. Звездчатый
пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой
пропорции.
 Картина «Святое семейство» Микеланджело признана одним из шедевров
западноевропейского искусства эпохи Возрождения. Гармонический
анализ показал, что композиция картины основана на пентакле.
 "Сосновая роща"
На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью
просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем
сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому
сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по
золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от
главной сосны находится множество сосен - при желании можно с
успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.
.
 Леонардо да Винчи «Джоконда»
Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена
на «золотых треугольниках» (точнее на треугольниках, являющихся
кусками правильного звездчатого пятиугольника).
 Леонардо да Винчи «Тайная Вечеря»
Композиция содержит множество золотых пропорций. «Золотые»
прямоугольники определяют как размеры картины, так и положение
Христа и его учеников, стены и окна на заднем плане следуют правилу
золотого сечения.
 Боттичелли. «Рождение Венеры»
Нет живописи более поэтичной, чем живопись Боттичелли, и нет у
великого Сандро картины более знаменитой, чем его «Венера». Венера
Боттичелли - это воплощение идеи универсальной гармонии золотого
сечения, господствующего в природе.
Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет
определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так
называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат
имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре,
они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом
сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от
соответствующих краев плоскости.
Заключение
Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие
творческие направления деятельности человека, как живопись, архитектура,
скульптура без математических законов не могут существовать и развиваться.
Целью моей работы было показать взаимосвязь математики и искусства на
примере «золотого сечения», и я думаю, что с поставленной целью я справился.
В ходе работы
 я выяснил основные математические истоки пропорции «золотого
сечения» и способы ее воплощения в искусстве;
 показал что «золотое сечение» имеет большое применение в нашей
жизни;
 провел ряд экспериментов и подтвердил, что золотое сечение обладает
внутренней гармонией и красотой, а человек стремиться к этой гармонии.
Представленные мною материалы будут интересны многим учащимся и
покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще ни разу не видели.
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме
какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а
может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой
лежит золотое сечение, способствует наилучшему зрительному восприятию и
появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей,
части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к
целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и
функционального совершенства целого и его частей в искусстве, а так же в
науке, технике и природе.
Библиография
1. Азевич А. Двадцать уроков гармонии. Москава, «Школа-Пресс», 1998
2. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. Три
взгляда на природу гармонии. Москва, Стройиздат,1990
3. Волошинов А.В. Математика и искусство. Москва, Просвещение, 2000
4. Мир математики: в 40 т. Т.1:Фернадо Корбалан. Золотое сечение.
Математический язык красоты. Москва, Де Агостини, 2014
5. Информация из интернета с сайтов:









abc-people.com
de-deniska.ucoz.ru
mathemlib.ru
pages.marsu.ru
realstrannik.ru
rustimes.com
sashko.moy.su
say746.ru
v-svjatogor.narod.ru
Приложения
Результаты эксперимента
Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и
садитесь на нее. Где вы сядете - посередине? Или, может быть, с самого края?
Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части
скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62.
Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели
«золотое сечение».
С этих слов начинается пролог к книге Анхель де Куатье «Золотое сечение».
Мне очень понравилось это высказывание, и я решил провести следующий
эксперимент.
Эксперимент № 1
Количество участников эксперимента – 20 человек (ученики 10-11 классов и
несколько учителей).
Оборудование – скамейка.
Задание участникам эксперимента: перед вами пустая скамейка. Вы хотите
сесть на нее. Где вы сядете?
А
М
В
Результаты эксперимента:
 Интуитивно сели в точку «золотого сечения» -14 человек (70%)
 Сели строго посередине – 4 человека (20%)
 Сели с краю – 2 человека (10%)
Эксперимент № 2
Количество участников эксперимента – 20 человек (ученики 10-11 классов и
несколько учителей).
Оборудование – картинка с прямоугольниками.
Задание участникам эксперимента: перед вами несколько различных
прямоугольников. Выберите из них тот, который вам больше всего нравится.
Результаты эксперимента:
 Выбрали прямоугольник с «золотым» отношением -15 человек (75%)
 Выбрали другой прямоугольник – 5 человека (25%)
Выводы: золотое сечение обладает внутренней гармонией и красотой и человек
стремиться к этой гармонии.
Построение «золотых» фигур
Задача 1. Построение «золотого» прямоугольника.
Начертим квадрат и разделим его на два равных прямоугольника. В одном из
прямоугольников проведем диагональ АВ. Циркулем построим окружность
радиуса АВ с центром в точке А. Продолжим основание квадрата до
пересечения с дугой в точке Р и проведем под прямым углом вторую сторону
искомого прямоугольника.
Задача 2. Построение «золотого» треугольника.
Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О
произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к
линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки
О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1
откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в
пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения
«золотого» прямоугольника.
Задача 3. Построение «золотого» пятиугольника и пентаграммы.
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный
пятиугольник.
Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка
ОА. Через точку О построим перпендикуляр к радиусу ОА, который
пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на
диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность
правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC
и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем
углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все
диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой
золотой пропорцией.
АD:АС = АС:СD=АВ:ВС=Ф
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник.
Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на
боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.