ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
advertisement
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ТЕХНИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №176 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ РЕФЕРАТ ПО МАТЕМАТИКЕ Буленко Никита Вишневский Илья Грачев Алексей Смолякова Людмила Юнакова Софья 7-л1,7-л2 классы Руководитель: Гребенцова Ирина Семеновна Карасук, 2009 2 Оглавление Введение ……………………………………………………………………….. 3 Основная часть История Золотого сечения ……………………………………………….. 4 Теория Золотого сечения ……………………………………………….. 6 Исследование частей тела человека ……………………………………..8 Золотое сечение в скульптуре и живописи…………………….………… 9 Золотое сечение в архитектуре ………………………………………….12 Золотое сечение в растительном и животном мире ……………………13 Заключение. Выводы ….………………………………………………………..15 Список литературы …………………………………………………………….16 Приложения ……………………………………………………………………17 3 Введение Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в искусстве волновал ещё древних греков, причём свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. В наше время геометрия необходимый элемент общего образования и культуры представляет большой исторический интерес, имеет серьезное практическое применение и обладает внутренней красотой. Иогану Кеплеру принадлежат слова: "Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них теорема Пифагора, другое деление отрезка в среднем и крайнем отношении"(«Золотое сечение»,В.Губайловский, «Школьная компьютерра», газета об информационных технологиях.№2,28.02.2003г.). Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. Как только это отношение было открыто, его применение сразу вышло за пределы геометрии. С золотым сечением со времени Пифагора связано представление человека о гармонии мира. Оно неожиданно проявляется в разных областях математики, явлениях природы и даже в человеческом мышлении. В ходе изучения и освоения данной темы мы имели возможность познакомиться с научно-популярной литературой, провести самостоятельный поиск информации, провести небольшое самостоятельное исследование. Выполняя данную работу, мы познакомились с лучшими образцами произведений живописи, архитектуры и скульптуры, что вызвало интерес к данной теме и желание узнать больше. 4 История золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников. Рис. 1. Динамические прямоугольники Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. (Рис. 2. Античный циркуль золотого сечения – приложение 1) В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (Ш в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским 5 переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (111 в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого). Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать». Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д.. 6 В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой». Золотое сечение и гармония Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные.Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании. Архитектор Ле Корбюзье «нашёл», что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого сечения Зодчий Хеснра, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д.. Ко всем этим утверждениям следует относиться с осторожностью, поскольку во многих случаях это может оказаться результатом подгонки или совпадения. Теория «золотого сечения» Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление, число Фидия, ф) — деление отрезка на части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как сумма к большей. Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой - ф (встречается также обозначение т) и она равна: 1, 6180339887498948… 7 В математике пропорцией (лат ргорогtiо) называют равенство двух отношений: а : Ь =с : d Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: • на две равные части — АН : АС = АВ : ВС\ • на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); • таким образом, когда АВ : АС = АС : НС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении. (Рис. 3. Геометрическое изображение золотой пропорции – приложение 2) Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки выполнил и представил Грачев Алексей.. (Рис. 4. Деление отрезка прямой по золотому сечению – приложение 3анимация) Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка Д соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок равный ВД, заканчивающийся точкой Е. Отрезок АЕ переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка С делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью АС= 10,618..., если АВ принять за единицу, ВС = 0,382... Для практических целей часто -используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям. Докажем, что весь отрезок АВ относится к большей части АС, как сама большая часть АС относится к меньшей - ВС. (Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.) В треугольнике АВД гипотенуза - АД, катеты - АВ, ВД. АД2 = АВ2 + ВД2, т.к. АД=АЕ+ЕД, ЕД=ВД, то (АЕ + ЕД)2 = (АС + СВ)2 + ВД2, а АЕ=АС, то АС2 + 2АС ∙ ВД + ВД2 = АС2 + 2АС ∙ ВС + ВС2 + ВД2, 2АС∙ВД = 2АС∙ВС + ВС2, 2АС∙ВД = ВС∙(2АС + ВС), т.к. АС + АС + ВС = АС + АВ, то 2АС∙ВД = ВС∙(АС + АВ), 2АС∙ВД-АС∙ВС=ВС∙АВ, 8 АС∙(2ВД -ВС) = ВС ∙АВ, но ВД = ½ АВ и ВС = АВ - АС, то АС∙(2·½ АВ -АВ + АС) = ВС ∙АВ, АС∙АС = ВС∙АВ средние члены пропорции или АВ : АС = АС : ВС ,что и требовалось доказать. крайниение члены пропорции Вывод проводил Грачев Алексей. Второе золотое сечение Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата. Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СО. Радиусом АВ находится точка Д которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСО делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией АО. Точка Е делит отрезок АО в отношении 56 :44. (Рис. 5,6. Построение второго золотого сечения и деление прямоугольника линией второго золотого сечения - приложения 4,5) На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника. Золотые пропорции в частях тела человека Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 :5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.. Было проведено большое число измерений на помещённых в журналах крупных портретах мужчин и женщин, на многих из них указанные отношения представляют «золотое сечение» 9 Вишневский Илья исследовал части своего тела. Получил: 1) Лицо. 8:13 = 0,615; 13:8 = 1,625. 2) Ладонь. 7:12 = 0,58(3) = 0,600; 12:7 = 1,714. 3) Тело. 62:94 = 0,659; 94:52 = 1,516. 4) Предплечье. 32:42 = 0,762; 42:32 = 1,313. Вывод: Пропорции моего лица, ладони, тела и предплечья в основном совпадают с пропорциями «золотого сечения». (Рис.7,8,9 – приложения 6,7,8) Золотое сечение в скульптуре Еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Августа состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Также мною было проведено измерение статуи Дорнфора «Несущего копье», в ходе которого выяснилось, что указанные отношения представляют собой «золотое сечение». (Рис.10.Дорифор(«Несущий копье») – приложение 9) Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции "золотого сечения" создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении "золотого сечения".Так,например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал "золотое сечение" в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из чудес света и Афины Парфенон. (Рис.11.Зевс Олимпийский – приложение 10) Греческий скульптор Леохар создал знаменитую статую Аполлона Бельведерского воплотившую представление древних греков о красоте. Если высоту статуи разделить в отношении золотого сечения и то же самое проделать с каждой частью, то точки деления придутся на талию, каленую 10 чашечку, адамово яблоко. Та же закономерность распространяется в отдельности на лицо, руку, кисть. (Рис.12.Апполон Бельведерский – приложение 11) Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Статуя полна спокойной уверенности, гармония линий, уравновешенность частей олицетворяют могущество физической силы. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы 8 раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета. Гений Микеланджело - в его абсолютном понимании человеческого тела и пропорций его воспроизведения. Примером может служить знаменитая статуя - "Давид". (Рис.13.Давид – приложение 12) Золотое сечение в живописи Переходя к примерам "золотого сечения" в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность - одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: "Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды". Он снискал славу непревзойденного художника. Великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в. Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образцов зеркального письма. Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках. Существует много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.Однажды мастер получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет его жены - Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет.Леонардо рассказал сказку своей печальной и грустной модели, и она вдруг ожила и стала интересной. Сказка Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть, Перед и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя". Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер, он сшил для неё красивую шелковую одежду. Третий сын 11 украсил женщину золотом и драгоценными камнями - ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней, и каждый кричал одно и то же; "Ты должна быть моей женой". Но женщина ответила: "Ты меня создал - будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил - будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь". Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. (Рис.14,15.Мона Лиза – приложение 13,14) Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано -придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество.Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его модель… Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой. Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему и напоминания о нахлынувших заказах. Золотая спираль в картине Рафаэля "Избиение младенцев" На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается ...золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой. Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции «Избиение младенцев» или только «чувствовал» ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствует добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части когда он создавал свои наиболее совершенные творения. (Рис.15.Избиение младенцев – приложение 14) Подбирала, исследовала и представляла материал Юнакова Софья. 12 «Золотое сечение» в архитектуре. В книгах о золотом сечении можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и В живописи, всё зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими золотое сечение, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» даёт наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон(5в. до н.э.). Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчёркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. (Рис.16.Парфенон – приложение 15) Ещё один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова. Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: «Архитектура - главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания...К достижению сего служит руководством знание эволюции в направлении оптимизации структуры и функций, обеспечения жизнедеятельности при минимальных затратах энергии и «живого строительного материала». Очевидно, работа сердечно - сосудистой системы по законам золотой пропорции обеспечивает гармоническое функционирование всего организма. Но ведь сердечная деятельность органически связана с высшей нервной деятельностью, с работой мозга! Не здесь ли в высшем органе управления организма, заложены команды и импульсы, основанные на золотой пропорции и регулирующие деятельность различных органов? Краеведческий материал Буленко Никита рассчитал на фотографии здания городского краеведческого музея г. Новосибирска отношение его высоты к длине. Получил:4,4:7,5 = 0,600. Число близко к 0,618,т.е. соответствует «золотому сечению». Исследовав часть фасада этого здания, он нашёл отношения золотой пропорции 2,7:4,4 = 0,614 и 1,7:2,7= 0,630. 13 Свои исследования Никита продолжил по фотографии здания вокзала г. Карасука. Получил: 3,9:6,4 = 0,619 и 2,4:3,9 = 0,615. Вывод: я считаю, что одно из красивейших зданий нашего города привлекает именно «золотыми пропорциями». В следующем году я продолжу заниматься по теме «Золотое сечение» и обязательно буду продолжать свои расчеты и искать дополнительную литературу. (Рис.17,18 – приложения 16,17) «Золотое » сечение в растительном мире. Закон золотого сечения действует и в растительном мире. Рассмотрим наиболее общий и интересный случай. Если внимательно рассмотреть веточку с листьями, то можно заметить, что основания черешков располагаются по винтовой линии, каждый следующий лист прикреплен выше и в сторону от предыдущего. Если соединить последовательно основания листьев ниткой, то она обовьётся вокруг стебля по правильной винтовой линии. Проследив за расположением листьев на этой спирали, мы непременно увидим листья, которые расположены один над другим. Часть спирали, заключенная между двумя такими листьями, называется в ботанике «циклом». Для краткости и удобства обозначают, листорасположение в виде дроби, в числителе которой число оборотов одного цикла спирали, а в знаменателе — число листьев в этом цикле, так, дробь 3:8 показывает, что один цикл спирали трижды огибает стебель, и что в одном цикле 8 листьев. Эта же самая дробь выражает и угол расхождения двух соседних листьев. В рассматриваем случае это 3:8 окружности, т.е. 135º. Отсюда следует, что дроби 3:8 и 5: 8 выражают, в сущности, одно и то же листорасположение, так как угол, равный 3:8 окружности, дополняет до 360º угол, соответствующий 5:8 окружности. Различные числа получают потому, что в одном случае спираль закручивалась, например, справа налево, в другом - слева направо. Каждый вид растений имеет свое листорасположение, вернее, угол расхождения листьев, который характерен, не только для листьев, но и для расположения веток, почек, цветов, чашек внутри почек. Но этот угол не произвольный, а подчиняется определённому закону. Во всём растительном мире наблюдается небольшое число типов листорасположения, выражающихся немногими дробями. Вот табличка наиболее распространенных типов листорасположения: 1:2; 1:3; 2:5; 3:8; 5:13; 8:21... Ученые заметили, что этот ряд отличается одной любопытной и довольно неожиданной особенностью, а именно, что каждая из этих дробей, начиная с третьей, получается из двух предыдущих путём сложения их числителей и знаменателей. 13 Принципы формообразования в природе Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание, но поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Спираль Архимеда Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни». Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый — 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. (Рис.19.Цикорий – приложение 18) 14 Ящерица живородящая В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62: 38. (Рис.20.Ящерица – приложение 19) И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. (Рис.21.Яйцо птицы – приложение 20) Смолякова Людмила проводила свои исследования на растениях. Так, например, по ветке апельсинового дерева она рассчитала отношение меньшего расположения листьев друг к другу к большему. При расчете Люда получила: 3,8 : 6,2 = 0,613. Вывод: полученный результат – число, близкое к 0,618,т.е. соответствует «золотому сечению». 15 Заключение. Выводы Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология. Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды. Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия. Проведенные исследования подтвердили, что «золотое сечение» присутствует в частях нашего тела, в окружающих нас растениях, архитектурных сооружениях. Используя известные нам из геометрии и алгебры факты, мы смогли самостоятельно доказать факт деления отрезка в отношении золотого сечения и подтвердить его выводом формулы. Сколько загадок таит еще в себе «золотое сечение»? Где мы встретимся в будущем с применением золотых пропорций? Знания, которые мы получим в школе, помогут нам шире видеть мир вокруг нас, удивляться его красоте и закономерности форм. В дальнейшем члены исследовательской группы планируют продолжить свои исследования и расширить их, связав с предметами – химия, биология, физика. 16 Список литературы 1. Прохоров А.М. Советский энциклопедический словарь. – М.: «Советская энциклопедия»,1988. – 467 с. 2. Бердукидзе А.Д. Золотое сечение. Квант: №8, 1973. 3. Лавру-с В. Золотое сечение. 4. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир,1994. 5. Радзюкевич А.В. Красивая сказка о золотом сечении; знал ли Леонардо да Винчи «код да Винчи»? 6. Щетников А.И. Золотое сечение в «древней» и в «новой» эстетике. 7. Http://ru.wikipedia.org/wiki/Золотое _сечение. 8. Губайловский В. «Золотое сечение». - Школьная компьютера(газета об информационных технологиях): №2, 2003. 9. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение,1989. 17 Приложения