Отзыв - LanCats

Задачи
118. Окружность, проходящая через вершину A треугольника ABC ,
касается стороны BC в точке M
и пересекает стороны AC и AB
соответственно в точках L и K , отличных от вершины A . Найдите
отношение AC : AB , если известно, что длина отрезка LC в два раза больше
длины отрезка KB , а отношение CM : BM  3 : 2 .
119.
Отрезок
KB является
биссектрисой
треугольника
KLM .
Окружность радиусом 5 проходит через вершину K , касается стороны LM в
точке B и пресекает сторону KL в точке A . Найдите угол K и площадь
треугольника KLM , если ML  9 3 , KA : LB  5 : 6 .
120. В треугольнике ABC известны стороны AB  9 , BC  8 , AC  7 и
AD - биссектриса угла
BAC . Окружность проходящая через точку
A,
касается стороны BC в точке D и пересекает стороны AB и AC в точках E и
F соответственно. Найдите длину отрезка EF .
121. Периметр трапеции ABCD равен 44 . Окружность пересекает
основание AB в точках K и L , сторону BC - в точках M и N , основание CD
- в точках P и R , сторону AD - в точках S и T , причем AK  AL , CN  CM ,
CP  CR , AT  AS . Известно, что KL  MN  1 , PR  ST  7 , AK  5 , CP 
1
.
2
Найдите длины оснований трапеции.
122. Из точки M к окружности, радиус которой равен 4 см , проведены
касательная, касающаяся окружности в точке С , и секущая, проходящая
через центр O окружности и пересекающая ее в точках A и B так, что
MA  AO . Точка
N
- середина дуги AC окружности. Найти площадь
треугольника MON .
123. Точки A , B , C лежат на окружности радиуса 2 с центром O , а
точка K - на прямой, касающейся этой окружности в точке B , причем
AKC  46  , а длины отрезков
AK ,
BK ,
CK
образуют возрастающую
геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол AKO и
расстояние между точками A и C . Какой из углов больше ACK или AOK ?
124. Из точки A к окружности проведены две касательные AM , AN и
секущая, которая пересекает окружность в точках B и C , а хорду MN - в
точке P . Найдите AP : PC , если AB : BC  2 : 3 .
125. В равные углы X 1OY и YOX 2 вписаны окружности S1 и S 2 ,
касающиеся сторон OX 1 и OX 2 в точках A1 и A2 соответственно, а стороны
OY - в точках B1 и B2 . Точка C1 - вторая точка пересечения A1 B2 и S1 , а точка
C2 - вторая точка пересечения A2 B1 и S 2 . Докажите, что C1C2 - общая
касательная к окружностям.
126. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон
AB и BC в точках E и F . Касательная MK к этой окружности пересекает
стороны AB и BC соответственно в точках M и K . Найдите периметр
треугольника BMK , если BE  6 см .
127. В четырехугольнике ABCD вписанном в окружность, через
вершины A , B и точку P пересечения диагоналей проведена окружность,
пересекающая сторону BC в точке E . Докажите, что если AB  AD , то
CD  CE .
128. На сторонах BC , CA и AB треугольника ABC взяты точки A1 , B1 и
C1 соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольников
AB1C1 , BC1 A1 и CA1 B1 пересекаются в одной точке.
129. Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на
стороны треугольника или на их продолжения, лежат на одной прямой.
Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.
130. Ортоцентр H остроугольного треугольника ABC делит высоту BH 2
пополам, а высоту CH 3 - в отношении 2 :1, считая от вершины C . Найдите
величину угла A .
131. В треугольнике ABC проведена биссектриса BB1 . Перпендикуляр
из B1 на BC пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в
точке K . Перпендикуляр из B на AK пересекает AC в точке L . Докажите,
что точки K , L и середина дуги AC (не содержащей точку B ) лежат на
одной прямой.
132. Через точку D основания равнобедренного треугольника ABC
проведена прямая CD , пересекающая описанную около треугольника ABC
окружность в точке E . Найдите AC , если CE  3 и DE  DC .
133. В треугольнике KLM угол  тупой, а сторона KM  6 . Найдите
радиус описанной около треугольника KLM окружности, если известно, что
на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через вершины K ,
M и точку пересечения высот треугольника KLM .
134. Прямая AD делит треугольник ABC на два. Доказать, что радиус r
окружности, вписанной в треугольник ABC , меньше суммы радиусов r1 и r2
окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD соответственно.
135. Докажите, что в треугольнике ABC выполняется соотношение
1
1
1 1


 , где ha , hb , hc - высоты, r - радиус вписанной окружности.
ha hb hc r
136. Многоугольник, описанный около окружностей радиуса r ,
разрезан произвольным образом на треугольники. Докажите, что суммы
радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r .
137. Точки B1 и B2 лежат на луче AM , а точки C1 и C2 - на луче AK .
Окружность с центром O вписана в треугольники AB1C1 и AB2C2 . Докажите,
что углы B1OB2 и C1OC 2 равны.
138. Для вневписанной окружности треугольника ABC докажите, что:
а) S  rra rb rc ,
1 1 1 1
   , где S - площадь треугольника ABC , r ra rb rc r
радиус окружности, вписанной в треугольник, ra , rb , rc
- радиусы
вневписанных окружностей;

б) ra  p  tg , где a , b , c - стороны, p - полупериметр треугольника
2
ABC ,  - угол, лежащий против стороны a ;
в) ra : rb : rc 
1
1
1
:
:
.
p a pb p c
139. Продолжение биссектрисы угла A треугольника ABC пересекает
описанную около него окружность в точке M ; K - центр окружности,
вписанной в треугольник ABC ; P - центр вневписанной окружности,
касающейся стороны BC . Докажите, что точки B , C , K и P лежат на
окружности с центром M .
140. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4 . Найдите
радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.
141. Дан выпуклый четырехугольник ABCD . Известно, что радиусы
окружностей, вписанных в треугольники ABC , BCD , CDA и DAB равны.
Докажите, что AC  BD .
142. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B и углом
 при вершине A . Точка D - середина гипотенузы. Точка C1 симметрична
точке C относительно прямой BD . Найдите угол AC1 B .
143. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках A и B .
Найдите расстояние между центрами окружностей, если AB  16 .
144. Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B .
Известно, что угол AO1 B  90  , угол AO2 B  60  , O1O2  a . Найдите радиусы
окружностей.
145. Пусть
CM
- медиана треугольника
ABC .
Известно, что
 CAB   MCB  90  . Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный или
прямоугольный.
146. Точка E лежит на продолжении стороны AC правильного
треугольника ABC за точку C . Точка K - середина отрезка CE . Прямая,
проходящая через точку A перпендикулярно AB , и прямая, проходящая
через точку E перпендикулярно BC , пересекаются в точке D . Найдите углы
треугольника BKD .
147. В трапеции ABCD ( AD || BC ) угол ADB в два раза меньше угла
ACB . Известно, что BC  AC  5 и AD  6 . Найдите площадь трапеции.
148. Выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами AB  4 , BC  3 ,
CD  2 , AD  1 вписан в круг. Найдите радиус этого круга.
149. ABCD - параллелограмм с острым углом BAD . Окружность,
проходящая через вершины A , B и D пересекает сторону BC в ее середине,
а сторону CD - в точке N . Известно, что DN : NC  23 : 2 . Найдите cos BAD .
В трапеции
150.
ABCD
основания
и
AD
BC
равны
a
и
b соответственно, угол BCD равен  . Окружность, проходящая через точки
B , C и D , касается прямой AB . Найдите радиус этой окружности.
Докажите, что в любом четырехугольнике, вписанном в
151.
окружность,
произведение
диагоналей
равно
сумме
произведений
противоположных сторон [3, № 829].
152. Докажите, что если четырехугольник со сторонами a , b , c и d
вписан в окружность, то его площадь S выражается формулой:
а) S   p  a p  b p  c p  d  [3, № 847, б];
б)
S
1
4R
ab  cd bc  ad ca  bd  , где
R
-
радиус
описанной
окружности.
153. Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника
перпендикулярны, то:
а)
прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и
перпендикулярная одной из сторон, делит противоположную сторону
пополам;
б) расстояние от центра описанной окружности до любой из сторон
равно половине противоположной стороны;
в) сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна
квадрату диаметра описанной окружности.
154. Около окружности описана трапеция ABCD , боковая сторона AB
перпендикулярна основаниям, M – точка пересечения диагоналей трапеции.
Площадь треугольника CMD равна S . Найдите радиус окружности.
155. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса
25 . Найдите высоту трапеции.
156. Четырехугольник ABCD вписан в окружность
причем
точка
O
не
лежит
ни
на
одной
из
с центром O ,
диагоналей
этого
четырехугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника
AOC лежит на прямой BD . Докажите, что центр описанной окружности
треугольника BOD лежит на прямой AC .
157. Противоположные стороны четырехугольника, вписанного в
окружность, пересекаются в точках P и Q . Найдите PQ , если касательные к
окружности, проведенные из точек P и Q , равны a и b .