Серия 2, многочленно-подобная

Серия 2, педально-многочленная.
Серия 2, педально-многочленная.
1. Задача Фаньяно.
а) Впишите в данный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра.
б) ABCD – вписанный четырехугольник. Впишите в него четырехугольник наименьшего периметра. Докажите, что данная задача задача имеет бесконечно много решений.
2. Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке M . Биссектриса угла AMB пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K . Докажите, что прямая,
проходящая через центры вписанных окружностей треугольников
AKM и BKM , перпендикулярна биссектрисе угла AKB .
3. Дан параллелограмм ABCD . Произвольная прямая пересекает лучи AB,
AC , AD соответственно в точках P , Q , R . Докажите, что
AB/AP+AD/AR=AC/AQ .
4. Пусть P – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что уравнения P(x) = 1 , P(x) = 2 имеют целые корни. Может ли уравнение
P(x) = 2 иметь два целых корня?
5. Пусть P – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что при
каждом n=1,2,…,2012 значение P(n) – трехзначное натуральное число.
Докажите, что P не имеет целых корней.
6. Многочлен f2012 степени удовлетворяет равенствам f(2012)=f(–2012) ,
f(20122)=f(–20122),…, f(20121005)=f(20121005) и f'(0)=0 . Докажите, что f –
определяет четную функцию.
7. Найдите все многочлены P , при всех вещественных x удовлетворяющие условию (x–1)P(x+1)≡(x+2)P(x).
8. Педальный и окружностно-чевианный треугольник относительно одной и той же точки подобны.
9. Окружностно-чевианные треугольники точек, инверстных относительно описанной окружности треугольника, подобны.
10. Педальные окружности двух точек совпадают тогда и только тогда, когда они изогонально сопряжены.
1. Задача Фаньяно.
а) Впишите в данный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра.
б) ABCD – вписанный четырехугольник. Впишите в него четырехугольник наименьшего периметра. Докажите, что данная задача задача имеет бесконечно много решений.
2. Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке M . Биссектриса угла AMB пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K . Докажите, что прямая,
проходящая через центры вписанных окружностей треугольников
AKM и BKM , перпендикулярна биссектрисе угла AKB .
3. Дан параллелограмм ABCD . Произвольная прямая пересекает лучи AB,
AC , AD соответственно в точках P , Q , R . Докажите, что
AB/AP+AD/AR=AC/AQ .
4. Пусть P – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что уравнения P(x) = 1 , P(x) = 2 имеют целые корни. Может ли уравнение
P(x) = 2 иметь два целых корня?
5. Пусть P – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что при
каждом n=1,2,…,2012 значение P(n) – трехзначное натуральное число.
Докажите, что P не имеет целых корней.
6. Многочлен f2012 степени удовлетворяет равенствам f(2012)=f(–2012) ,
f(20122)=f(–20122),…, f(20121005)=f(20121005) и f'(0)=0 . Докажите, что f –
определяет четную функцию.
7. Найдите все многочлены P , при всех вещественных x удовлетворяющие условию (x–1)P(x+1)≡(x+2)P(x).
8. Педальный и окружностно-чевианный треугольник относительно одной и той же точки подобны.
9. Окружностно-чевианные треугольники точек, инверстных относительно описанной окружности треугольника, подобны.
10. Педальные окружности двух точек совпадают тогда и только тогда, когда они изогонально сопряжены.