базовая школа

681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ
СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ПО МАТЕМАТИКЕ
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ
Изучение математики на базовом уровне в старшей школе направлено на
достижение следующих целей, общих для всего процесса математического образования:
–
воспитание средствами, характерными для математической деятельности,
стремления к получению новых знаний и их применению, способностей к
систематической
работе,
творческой
активности
и
самостоятельности,
интеллектуальной честности и дисциплины, критичности и самокритичности;
уважения к значимости научных знаний.
–
развитие интеллектуальных качеств личности, таких как точность и ясность мысли,
логическое мышление и алгоритмическая культура, способность к построению
формальных моделей и интерпретации результатов моделирования, интуиция и
сообразительность, пространственное воображение;
–
освоение математических знаний как неотъемлемой части человеческой культуры,
ознакомление с ведущими математическими идеями и результатами, историей их
развития, влиянием на жизнь современного общества;
–
овладение умениями, необходимыми для актуализации математических знаний, их
применения в повседневной жизни, изучения смежных дисциплин, успешного
продолжения образования.
Специфика целевых установок изучения математики на базовом уровне в старшей
школе состоит в том, что при выборе ценностных ориентиров приоритет отдается развитию
средствами математики качеств личности, имеющих практическую и общекультурную
направленность.
Обязательный минимум содержания
основных образовательных программ
Содержание математического образования в старшей школе на базовом уровне развивает
и обогащает запас математических понятий, результатов, идей и методов, заложенный в
основной школе.
Реализация указанных целей достигается в результате освоения следующего
содержания образования.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1
681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00
Действительные числа: натуральные, целые, рациональные числа. Иррациональные
числа. Изображение действительных чисел точками числовой прямой. Знак и модуль
действительного числа, целая и дробная часть числа. Арифметические операции над
действительными числами, извлечение корня натуральной степени из действительного
числа. Приближение чисел конечными десятичными дробями. Точность вычислений.
Корень натуральной степени из числа. Степень с рациональным показателем. Свойства
степеней с рациональными показателями. Понятие о степени с действительным показателем.
Логарифм числа по данному основанию. Логарифм произведения, частного, степени;
переход к новому основанию. Десятичный логарифм. Число е. Натуральные логарифмы.
Градусная и радианная мера произвольного угла. Изображение действительных чисел на
единичной окружности. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Формулы, связывающие
синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же числа. Формулы приведения. Формулы
сложения, формулы двойного угла. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа.
Преобразования
рациональных,
иррациональных,
степенных,
показательных,
логарифмических и тригонометрических выражений.
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ.
Общее понятие числовой функции, ее область определения и график. Способы задания
функций. Композиция функций.
Дробно-линейная функция и ее график. Примеры графиков дробно-рациональных
функций. Степенная функция с целым показателем и ее график.
Показательная функция и ее график. Логарифмическая функция и ее график.
Тригонометрические функции числового аргумента и их графики.
Монотонность функции, промежутки возрастания и убывания. Наибольшее и
наименьшее значения, множество значений функции, ограниченность функции. Точки
(локального) максимума и минимума. Четность и нечетность, периодичность функции. Связь
между свойствами функции и ее графика.
Преобразования графиков функций: сдвиги и растяжения (сжатия) вдоль координатных
осей, симметрия относительно осей.
Понятие о производной функции. Физический смысл производной функции, как скорости
изменения этой функции. Понятие о касательной к графику функции. Геометрический смысл
производной, как тангенса угла наклона касательной. Уравнение касательной.
Формулы производных степенных, показательных, логарифмических и
тригонометрических функций. Производная суммы, произведения, частного и композиции
данной функции с линейной. Вторая производная, ее физический смысл.
Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
Использование свойств функций при решении текстовых, физических и геометрических
задач. Решение задач на наибольшее и наименьшее значения.
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнения и неравенства с одной неизвестной (с одной переменной). Уравнения и
неравенства с несколькими неизвестными (переменными). Системы и совокупности
уравнений и неравенств.
Решение рациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств,
иррациональных и тригонометрических уравнений. Решение систем уравнений и неравенств.
Понятие о равносильных уравнениях и равносильных неравенствах. Использование
равносильных преобразований. Переход к следствию с последующей проверкой. Перебор
возможностей, отбор корней. Замена переменной.
Уравнения и неравенства с параметрами.
Использование при решении уравнений и неравенств свойств функций и графиков
функций. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений
2
681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00
уравнений и неравенств, их систем и совокупностей. Графическое решение систем линейных
неравенств с двумя переменными.
Составление уравнений и неравенств по текстовому описанию. Задачи на движение и
работу. Задачи на проценты, доли, смеси.
Учет ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и
явлений, в том числе – целочисленность, положительность, пределы изменения.
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Табличное и графическое представление информации. Гистограммы выборок больших
объемов. Понятие о нормальном распределении. Числовые характеристики рядов данных.
Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества.
Формулы для числа сочетаний. Понятие о треугольнике Паскаля.
Классический способ нахождения вероятности случайных событий. Геометрические
вероятности, диаграммы Эйлера. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных
событий, вероятность противоположного события. Независимые повторения испытаний с
двумя исходами. Вероятность и статистическая частота наступления события. Понятие
о статистической устойчивости.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ.
Построение рациональных чисел. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Введение
иррациональных чисел. Введение комплексных чисел; возникновение логарифмов,
логарифмическая линейка. Тригонометрия, как инструмент для решения астрономических и
геодезических задач; тригонометрические функции числового аргумента как способ
описания периодических процессов.
Знаменитые задачи древности и исследование их разрешимости: квадратура круга,
трисекция угла, удвоение куба, построение правильного многоугольника. Разрешимость
алгебраических уравнений в радикалах. Диофантовы уравнения.
Развитие понятия функции. Понятие о пределе функции и о непрерывности функции.
Классические задачи естествознания, сводящиеся к исследованию функций: нахождение
площадей плоских фигур, работа по перемещению тела, дифференциальные уравнения.
ГЕОМЕТРИЯ
ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Способы
задания прямых и плоскостей.
Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в
пространстве. Перпендикулярность прямых. Расстояние между скрещивающимися
прямыми.
Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости. Признаки и свойства.
Ортогональная проекция. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью.
Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей. Признаки и свойства.
Двугранный угол, линейный угол двугранного угла..
Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника.
Изображение пространственных фигур.
3
681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00
МНОГОГРАННИКИ
Вершины, ребра, грани многогранника. Поверхность многогранника. Многогранные
углы. Выпуклые и невыпуклые многогранники.
Призма, ее элементы: основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и
наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.
Пирамида, ее элементы: основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность.
Сечения пирамиды, параллельные ее основанию. Правильная пирамида. Треугольная
пирамида (сфера, вписанная в пирамиду; сфера, описанная около пирамиды).
Усеченная пирамида, усеченный конус.
Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в правильных призмах и пирамидах.
Сечения многогранников. Построение сечений.
Общее представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр
и икосаэдр).
КРУГЛЫЕ ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ
Цилиндр, конус и их элементы: основания, образующая, высота, боковая поверхность.
Развертка боковой поверхности.
Шар, сфера. Сечения сферы (шара) плоскостями. Касательная плоскость к сфере.
Касание круглых тел с плоскостями и между собой.
Вписанные и описанные многогранники.
Понятие о телах вращения и о их поверхностях вращения. Ось вращения.
ОБЪЕМЫ ТЕЛ И ПЛОЩАДИ ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Понятие об объеме тела. Равновеликость тел.
Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.
Формулы объема пирамиды и конуса.
Формулы площади поверхности цилиндра и конуса.
Формулы объема шара и площади сферы.
КООРДИНАТЫ. ВЕКТОРЫ
Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.
Уравнения сферы и плоскости.
Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора
на число. Угол между векторами. Компланарность векторов. Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.
МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ
Сведение к планиметрическим задачам: метод сечений; метод проектирования.
Развертка.
Координатный и векторный методы.
Задачи на вычисление, на доказательство, на геометрические места точек. Задачи на
максимум и минимум.
Требования к уровню подготовки
выпускников средней школы
Базовый уровень
В результате изучения математики в старшей школе на базовом уровне предполагается,
что выпускник будет
знать:
– правила действий над числовыми и буквенными выражениями;
4
681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00
–
–
основные приемы решения уравнений и неравенств;
определения основных элементарных функций, способы задания функций и схему их
исследования;
– геометрический и физический смысл производной функции, связь свойств функции и
ее производной;
– простейшие способы представления информации, комбинаторные способы
вычисления вероятности случайных событий;
– простейшие способы использования формул длин, площадей и объемов для
нахождения
геометрических
вероятностей:основные
свойства
важнейших
геометрических фигур на плоскости и в пространстве, сведения об их взаимном
расположении;
– основные формулы длин, площадей и объемов геометрических фигур;
– иметь представление о роли геометрии и ее прикладном значении;
– понимать дедуктивный характер курса геометрии, иметь представление об
аксиоматическом методе;
уметь:
– выполнять устный счет с целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями;
– использовать простейшие вычислительные устройства для вычисления значений
числовых выражений,
– выполнять действия над числами в стандартной записи,
– пользоваться формулами сокращенного умножения, производить другие
тождественные преобразования многочленов и рациональных выражений,
необходимые для их упрощения и доказательства тождеств,
– решать задачи на пропорции, проценты,
– сравнивать числовые выражения, наносить числа на числовую ось,
– пользоваться свойствами числовых неравенств,
– вычислять средние значения рядов данных измерения,
– подсчитывать число вариантов (исходов, событий), пользуясь правилом умножения и
треугольником Паскаля;
– проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных
выражений, включающих степени (в том числе с рациональными показателями),
логарифмы, тригонометрические выражения;
– использовать числа для задания точек на прямой, плоскости и пространстве
(координатный метод на прямой, плоскости и пространства) и векторных величин
(действия над векторами в координатах);
– исследовать и строить графики простейших элементарных функций и тех, которые
получаются из них параллельным переносом, симметрией относительно начала и
координатных осей, растяжением;
– решать линейные и квадратные уравнения, рациональные, показательные
(логарифмические) и тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и
квадратным;
– использовать графики при решении уравнений и неравенств;
– решать рациональные и сводящиеся к ним неравенства методом интервалов;
– изображать на координатной плоскости решение простейших уравнений, неравенств
и их систем с двумя неизвестными;
– составлять и решать уравнения, связывающие неизвестные величины в прикладных и
текстовых задачах;
– дифференцировать функции степени с натуральным показателем, основные
показательные, логарифмические и тригонометрические функции, использовать связь
между свойствами функции и её производной для исследования функций;
– применять свойства функций для проведения приближенных вычислений (линейные
приближения с помощью производной без оценок точности вычислений), решения
5
681452506Дата печати 29.04.2016 8:59:00
задач прикладного содержания на нахождение наибольших и наименьших
значений;вычислять вероятности событий, конечное число исходов которых доступно
перебору или вычислению с помощью правила умножения, треугольника Паскаля и
других простых комбинаторных приемов;
–
–
–
–
–
различать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве,
аргументировать свои суждения об этом расположении, используя определения и
признаки;уметь строить изображения (параллельные проекции) основных
многогранников (параллелепипед, призма, пирамида) и круглых тел (цилиндр, конус);
восстанавливать трехмерные образы по плоским изображениям;
уметь выполнять чертеж, соответствующий данной задаче;
уметь строить сечения многогранников, изображать сечения круглых тел;
решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин,
углов, площадей, объемов) с необходимыми теоретическими обоснованиями;
уметь решать стереометрические задачи на доказательство геометрических фактов;
соотносить геометрические формы с реальными объектами окружающего мира;
–
–
–
применять полученные знания и умения для решения практических задач, связанных с
повседневной жизнью. на основе следующих способов математической деятельности:
– проведение доказательных рассуждений, логическое обоснование выводов;
– планирование и осуществление алгоритмической деятельности; выполнение расчетов
практического характера; использование математических формул и самостоятельное
их составление на основе обобщения частных случаев и эксперимента;
– решение текстовых задач: составление по тексту задачи ее математической модели.
– построение и исследование математических моделей для описания и решения
прикладных задач, задач из смежных дисциплин; проверка и оценка результатов
своей работы, соотнесение их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;
– исследовательская деятельность, проведение экспериментов, выдвижение гипотез и
их проверка;
– самостоятельная работа с источниками информации, анализ, обобщение и
систематизация полученной информации, интегрирование ее в личный опыт,
использование учебников и научно-популярной литературы;
6