Преобразование рациональных и иррациональных выражений

МИФ-2, №4, 2000 год
Математика, 8 класс
Кармакова Тамара Сергеевна
Преобразование рациональных и иррациональных
выражений
Тождественные преобразования выражений – это одна из содержательных линий
школьного курса математики. Тождественные преобразования широко используются при
решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Кроме того
тождественные преобразования выражений способствуют развитию сообразительности,
гибкости и рациональности мышления.
Предлагаемые материалы предназначены для учащихся 8 класса и включают в себя
теоретические основы тождественных преобразований рациональных и иррациональных
выражений, типы задач на преобразование таких выражений и текст контрольной работы.
1. Теоретические основы тождественных преобразований
Выражениями в алгебре называют записи, состоящие из чисел и букв, соединенных
знаками действий.
3x
; a 2  b 2  c ; x  2  9 ; x n – алгебраические выражения.
4x  1
В зависимости от операций различают рациональные и иррациональные
выражения.
Алгебраические выражения называют рациональными, если относительно
входящих в него букв а, b, с, … не выполняется никаких других операций, кроме
операций сложения, умножения, вычитания, деления и возведения в целую степень.
Алгебраические выражения, содержащие операции извлечения корня из
переменной или возведения переменной в рациональную степень, не являющуюся целым
числом, называются иррациональными относительно этой переменной.
Тождественным преобразованием данного выражения называется замена одного
выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве.
В основе тождественных преобразований рациональных и иррациональных
выражений лежат следующие теоретические факты.
1.
Свойства степеней с целым показателем:
an  a
a

 a , nN; а1=а;


n - множителей
1
,
nN, а0;
an
a n  a m  a n  m , а0;
a n 
a n : a m  a n-m ,
a 
n m
m
 anm ,
а0=1,
а0;
а0;
a
a
   m , а0, b0;
b
b
m
ab   a m b m , а0, b0.
2. Формулы сокращенного умножения:
m
а0;
a 2  b 2  a  b a  b  ;
a  b 2  a 2  2ab  b 2 ;
a  b3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 ; a 3  b 3  a  ba 2  ab  b 2  ;
где а, b, с – любые действительные числа;
ax 2  bx  c  ax  x1 x  x 2  , где а0, х1 и х2 – корни уравнения
ax 2  bx  c  0 .
3. Основное свойство дроби и действия над дробями:
a c a a:c
, где b0, с0;
 
bc b b:c
a b ab
a b ad  bc
;
;
 
 
c c
c
c d
cd
a c ac
a c ad
;
.
 
: 
b d bd
b d bc
4. Определение арифметического корня и его свойства:
k
a na
n
n
a  n ak ;
ab  n a  n b ; n 
, b0;
b nb
 
n k
a 
nk
a;
2n
2 n 1
a 2n  a ;
 a  2n1 a ,
где а, b – неотрицательные числа, nN, n2, mN, m2.
1. Типы упражнений на преобразование выражений
Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования
выражений. Первый тип: явно указано то преобразование, которое необходимо
выполнить.
Например.
1. Представьте в виде многочлена a  ba  b  1  a  ba  b  1 .
Решение:
a  b a  b  1  a  b a  b  1  a  b a  b   1  a  b a  b   1 
 a 2  b 2  a  b  a 2  b 2  a  b  2a.
При выполнении указанного преобразования использовали правила умножения и
вычитания многочленов, формулу сокращенного умножения и приведение подобных
слагаемых.
2. Разложите на множители: c 8  c 4  2c 2  1 .
Решение:



 

2

c 8  c 4  2c 2  1  c 8  c 4  2c 2  1  c 8  c 2  1  c 4  c 2  1 c 4  c 2  1 .
При выполнении преобразования использовали правило вынесения общего множителя
за скобку и 2 формулы сокращенного умножения.
3. Сократите дробь:
x n  2  4 x n 1  4 x n
.
x 3  6 x 2  12 x  8
Решение:
2
x n x 2  4x  4
x n  2  4 x n 1  4 x n
x n  x  2



x 3  6 x 2  12 x  8 x 3  8  6 x 2  12 x  x  2 x 2  2 x  4  6 x x  2




 

x  x  2
x  x  2
x


.
2
2
x  2 x  4 x  4 x  2x  2 x  2
n

2
n

2
n


При выполнении преобразования использовали вынесение общего множителя за
скобку, переместительный и сократительный законы, 2 формулы сокращенного
умножения, действия над степенями.
4. Вынесите множитель из-под знака корня, если а0, b0, с0:
8a 2 b 7 c 9 .
8a 2 b 7 c 9  4  2  a 2  b 6  b  c 8  c  4 2 a 2 b 6 b c 8 c 
Решение:
 2 a b3 c 4
2 b c  2ab 3 c 4 2bc  2 2ab 3 c 4 bc .
Использовали правила действий над корнями и определение модуля числа.
6
5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби
3  6  24  48  108
.
Решение:
6
3  6  24  48  108

2
33 2


2 1 2



31  2 1  2



3 2

3 1  2  8  16  36






2
1 2  2 2  4  6

2 1 2
2 1 2
22


.
3   1
3
3
Второй тип упражнений – это упражнения, в которых явно указано то главное
преобразование, которое необходимо выполнить. В таких упражнениях требование
обычно сформулировано в одном из видов: упростить выражение, вычислить. При
выполнении таких упражнений необходимо прежде всего выявить, какие и в каком
порядке необходимо выполнить преобразования, чтобы выражение приняло более
компактный вид, чем данное, или получился числовой результат.
Например
6. Упростите выражение:
 x  2y
y
A   3
 3
3
2
x  x y  xy 2
x  y
 x2  y2
2y2
 : 3
 3
.
2
x  x 2 y  xy 2  y 3
 x  xy
 x  2y
 x2  y2
y
2y2


:


Решение: A   3
3
3
2
2 
2
2
2
2




x

y
x

x
y

xy
x
x

y
x
x

y

y
x

y






x


2
x  2 xy  xy  y
xx y
2y
 xy  y 2 x x 2  y 2

 2



x  y  x 2  y 2 xx  y  x 2  xy  y 2 x 2  y 2
x x  y  x 2  xy  y 2
x  y2
2
2




2
2
2




2y
x y
2y
x  y  2y
x  y  2y
 2




2
2
2
2
2
2
2
x  y  x  y
x  y  x  y x  y  x  y x  y  x 2  y 2
x y
2
2



2

2

2
2

2

x y
1

.
2
2
x y
x  y  x  y
Использовали правила действий над алгебраическими дробями и формулы
сокращенного умножения.
2
2


7. Упростить выражение:
a a b b
2 b
ab
a b
.


ab
a  b ab
Решение:
A
2


A


a  b a  ab  b



2 b

ab a  ab  b  2 ab  2b  ab a  b


1
ab
ab
ab
a  b a  b
a b
, если а0, b0, аb.
Использовали формулы сокращенного умножения, правила сложения дробей и
умножения иррациональных выражений, тождество b 2  b , определение модуля числа,
понятие области допустимых значений переменных в выражении.
8. Вычислить
A  28  10 3  28  10 3 .
Решение:
A  28  10 3  28  10 3  25  10 3  3  25  10 3  3 
5  3 
2

5  3 
2

 5  3  5  3  5  3  5  3  10 .
Использовали операцию выделения полного квадрата, тождество
определение модуля числа.
a2  a и
Третий тип упражнений на тождественные преобразования – это упражнения, в которых
требуется доказать справедливость данного равенства. При выполнении таких заданий
можно либо левую часть преобразовывать к правой, либо правую к левой, либо
одновременно преобразовывать левую и правую части, либо с помощью преобразований
установить, что разность левой и правой частей равна нулю. При этом упражнения
третьего типа могут быть двух видов: условные тождества (заданы условия, которым
должны удовлетворять переменные в выражении) и безусловные (обычные).
Например.
9. Докажите, что a 3  b 3  c 3  3abc , если a  b  c  0 .
Доказательство:
3
Так как a  b  c  0 , то a  b  c и a  b   c 3 или a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3  c 3
или a 3  b 3  c 3  3aba  b или a 3  b 3  c 3  3ab c  , т.е. a 3  b 3  c 3  3abc .
Использовали условие и формулу суммы кубов.
Надо иметь в виду, что условия, связывающие переменные, могут быть заданы и в
упражнениях первых двух типов.
Например.
1
1 2
10. Найдите a 3  3 , если a   .
a 3
a
Решение:
3
3 1
8
1 2
1
8

 , то  a   
или a 3  3a   3 
или
a 3
a
27
a a
27

1
2 8
1
8
1
1 8

a 3  3  3 a   
или a 3  3  3  
или a 3  3  2 .
a  27
3 27
27
a
a
a

Использовали условие, формулу куба разности двух выражений.
Так как a 
Контрольное задание
Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения,
которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и
выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.
Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).
Отметьте номер правильного ответа:
М10.8.1. Результат упрощения выражения
1)
y  x;
4)
2)
3)
x y;
x y;
5)
x  y 
x

y  x y  xy
x  y  xy
x  xy ;
x  y.
31  10 6
М10.8.2. Значение выражения
равно
20  4 6
1) 4;
2) 2 ;
3) 0,25;
4) 10  5 6 ;
5) 6.
Докажите справедливость равенства:
9
b2
c2
М10.8.3.


1
b  3c  3 b  c3  b 3  cc  b
1
  a 1 2  b  1
 2
a  b2

  a  b , если
 
М10.8.4.  2 3
  a  b 3  a  b a  b 2 


Избавьтесь от иррациональности в знаменателе
1
М10.8.5.
;
4
54 2
1
М10.8.6.
.
2  3 3
Вычислите значение выражения:
a 2  3b 2
ab 2
 ;
М10.8.7.
, если
2
2
ab 3
2a  5ab  3b
3
2
1
М10.8.8. 2b 3  3b 2  2  3 , если b   3 ;
b
b
b


М10.8.9. 3  1 4  2 3 .
Упростите выражения:
1
1
1
М10.8.10.
;


a  3a  b 3  b3  a  b  a b  3
 x  x  a2
x
x  x  a 2 

М10.8.11.
;
:

x  a 2  x  x  a 2
x  x  a 2 
1
1  2
x y
М10.8.12.
;
: x1 4  y 1 4  x1 4  y 1 4
x y

М10.8.13.
2 6  20
2 5  24




 11  2 30 .


a b.
имеет вид