изучение статистических закономерностей

Глава III. Лабораторный практикум
Лабораторная работа №1
ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ
И МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Моделирование нормального распределения случайной величи ны на примере измерения сопротивлений рези сторов. Освоение
методики статистической обработки результатов прямых измере ний случайной величины. Получение навыков составления статис тических рядов и оценки достоверности результатов измерений.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
В данной работе продолжается рассмотрение случайных вели чин. Случайной величиной здесь является результат измерения со противления R одного из резисторов. Несмотря на то, что на мар кировке резисторов указано одинаковое значение сопротивления
(номинал), фактические сопротивления отличаются от указанного
номинала.
Представим себе, что мы производим измерения сопротивления
резисторов одного номинала, причем число таких измерений (т.е.
число обмеренных резисторов) велико и равно N . Обозначим результат одного измерения через Ri ( i  1,2,3,..., N ).
Очевидно, что все результаты измерений заключены в пределах
интервала от наименьшего значения Rmin до наибольшего Rmax :
Rmin  Ri  Rmax .
Разобъем этот интервал на
n равных интервалов
(3.1.1)
R , R ,
j
j 1
j  1,2,3,...,n .
Пусть при измерeнии сопротивлений определенное количество
M j результатов попали в интервал R j , R j 1 . Это будем считать событием. Поскольку количество опытов ограничено, то можем оп ределить статистическую вероятность Pj такового события, пользуясь формулой (3.1.2):
Mj
(3.1.2)
Pj 
.
N

24

Иными словами, Pj представляет собой частоту попадания из -


меряемой величины R в интервал значений R j , R j 1 . Предполагается, что при возрастании числа измерений N величина Pj стремится к определенному пределу. Мы будем считать, что значение
Pj существенно не изменится, если число измерений N удвоится
или утроится.
Из определения вероятности следует, что вероятность принятия
измеряемой величиной R какого–либо значения равна 1, поэтому
сумма всех вероятностей:
(3.1.3)
 P  1.
j
j
Говорят, что вероятность нормирована на единицу.
Среднее значение измеряемой величины R определим как:
R 
R1  R2  R3    RN
1 N
  Ri .
N
N i 1
(3.1.4)
Выделим внутри суммы R1  R2  R3    R N слагаемые, попадающие в интервал R j , R j 1 , и найдем их сумму, которую обозначим


 Rk . Пусть число слагаемых в этой сумме есть
M j , тогда, исполь-
зуя определение (3.1.4) можно записать:
 Rk
 M j Rj ,
(3.1.5)
k


где R j – среднее значение величины на интервале R j , R j 1 .
Таким образом, выражение (3.1.4) приобретает вид:
R 
n
1 n
M
R

 j j  Pj R j .
N j 1
j 1
Если взять величину интервала
средним значением
Rj
R , R 
j
j 1
(3.1.6)
достаточно малой, то
на интервале можно считать середину
интервала:
Rj 
R j  R j 1
2
.
(3.1.7)
25
Равенство (3.1.6) выполняется тем точнее, чем меньше интер вал.
Разброс значений случайной величины R около среднего значения R характеризуется величиной, называемой дисперсией D .
Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения случайной величины R от её среднего значения R :
DR  R  R
2
  R j  R
n
j 1
2 Pj .
(3.1.8)
Квадратный корень из этой величины называется средним квад ратичным отклонением  R :
 R  DR .
(3.1.9)
Измеряемая нами случайная величина R может принимать любое значение из интервала Rmin , Rmax  , причем заранее нельзя просчитать ее возможные значения. Такую случайную величин у называют непрерывной.
Непрерывная случайная величина R определяется заданием интервала Rmin , Rmax  , содержащего все возможные значения этой ве личины, и функции f (R) , которая называется плотностью ве роятностей случайной величины R (или плотностью распределения R ).
Физический смысл f (R) следующий. Пусть rmin , rmax  – произвольный интервал, содержащийся в Rmin , Rmax  . Тогда вероятность
того, что R окажется в интервале rmin , rmax  , равна интегралу:
Prmin  R  rmax  
rmax
 f ( R)dR .
(3.1.10)
rmin
Плотность вероятностей f (R) должна удовлетворять двум усло виям, вытекающим из ее свойств:
1. f ( R)  0 .
Rm a x
2.
 f ( R)dR  1 .
Rm i n
26
(3.1.11)
Нормальной, или гауссовой случайной величиной называется
случайная величина, определенная на всей оси (,) и имеющая
плотность вероятностей (получено на основе формулы (1.26)):
f G ( R) 
где
1
R
 R  R
exp 

2 R2
2

2 


,
(3.1.12)
R – среднее значение, или математическое ожидание слу -
чайной величины,  R2  D R - дисперсия,  R - среднеквадратичная
ошибка, или стандартное отклонение.
На рис.3.1.1 представлены две нормальные плотности, соответ ствующие одному среднему R  0 и двум различным стандартным
отклонениям   1 и   0,5 .
f G (R )
  0,5
0,5
 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
R
Рис.3.1.1
График нормальной плотности симметричен относительно R .
Это означает равновероятность отклонения результатов как вправо,
так и влево относительно среднего значения. График достигает
максимума при R  R , т.е. наиболее вероятным является ср еднее
значение R . Малые отклонения от среднего более вероятны, чем
большие.
Нормальные случайные величины очень часто встречаются при
исследовании самых различных по своей природе вопросов. Напри мер, ошибка измерения, как правило, пр едставляет собой нормальную случайную величину.
27
Нетрудно вычислить, что для нормального
всегда выполняется следующее равенство:
распределения
R 3
 f G ( R)dR  0,997 .
(3.1.13)
R 3
Вероятность 0,997 настолько близка к единице, что иногда вы ражение (3.1.13) интерпретируют так. При одном испытании прак тически невозможно получить значение случайной величины R ,
отличающееся от R более, чем на 3 – правило “трех сигм”. Другими словами, практически все достоверные результаты помеща ются в интервале  3 от среднего значения (математического
ожидания). Если полученный результат не находится в указанном
интервале  3 , то, вероятнее всего, такой результат я вляется
промахом и в дальнейших расчетах не учитыватся.
Результаты измерений сопротивлений резисторов можно пред ставить графически. Для этого разобьем интервал возможных значе ний Rmin , Rmax  на n равных малых конечных интервалов R j , R j 1 . В
прямоугольной системе координат составим диаграмму по следую щему принципу: на оси абцисс отметим точки R j и построим прямоугольники с основанием, равным длине интервала R j , R j 1 и высо-




той, равной числу результатов M j , попадающих в этот интервал.
Такая диаграмма называется гистограммой. Она имеет вид ступен чатой фигуры, пример гистограммы приведен на рис. 3.1.2.
Mj
R j R j 1
Рис. 3.1.2.
28
R
Очевидно, что высота отдельного прямоугольника из гистограммы пропорциональна вероятности обнаружить резистор из числа
измеренных, сопротивление которого попадает в интервал значе ний R j , R j 1 .


Если увеличить число измерений N и уменьшить ширину интервала R j , равную R j 1  R j , то огибающая гистограммы перейдет
в плавную линию.Эта линия является графиком некоторой функции
M (R) , что также показано на рис.3.1.2.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ
В данной лабораторной работе осуществляется расчет функции
распределения случайной величины (сопротивления резистора) в
предположении, что это распределение является нормальным, или
гауссовым. Технология изготовления резисторов в большую или
меньшую сторону от среднего значения равновероятны, и малые отклонения более вероятны, чем большие.
Это позволяет считать, что сопротивления резисторов одинаково го номинала, взятых из одной партии, распределены по нормально му закону.
Для измерения сопротивлений используется стандартный цифровой прибор с малой погрешностью измерений. Подключение раз личных сопротивлений производится с помощью соответствующих
переключателей на передней панели блока (магазина) резисторов.
Работа выполняется бригадами студентов на установках двух
типов.
Установка С1-1
На установке располагается три переключателя сопротивлений.
Первый переключатель (крайний слева) при переводе в положение
1,2,…,16 поочередно коммутирует резисторы №№ 1–16 с цифровым
прибором, работающим в режиме омметра. После определе ния сопротивления этих резисторов первый переключатель устанавливает ся в положение “переход”. При этом в процессе измерений включа ется точно такой же второй переключатель и определяются сопро тивления резисторов №№ 17-32 и т.д. Всего производится измерение 49 резисторов.
Установка С1-2
Установка позволяет работать с сопротивлениями двух номина лов. На передней панели установлено по два магазина переключа телей для каждого номинала, всего четыре. Магазины №№ 1 и 2 со держат резисторы номиналом в 500 Ом; магазины №№ 3 и 4 содер29
жат резисторы номиналом в 1000 Ом. Каждый магазин состоит из
пяти переключателей. Каждый переключатель можно установить в
десять позиций, из которых только девять позиций подключают со противления к измерительному прибору, а одна по зиция (нулевая)
отключает переключатель. Сначала выбирается номинал измеряемых
сопротивлений (отдельный тумблер на передней панели). Затем все
переключатели данного номинала устанав-ливаются в нулевое положение. После этого, самый левый переключатель уста навливается в
положение 1, снимается показание цифрового прибора и так далее до
положения 9. Затем переключатель устанавливается в нулевое поло жение, работа продолжается на следующем переключателе и т.д.
Всего производится измерения 90 резисторов.
После окончания эксперимента необходимо выключить стенд.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Включить измерительный прибор. При работе на установке
С3-2 выбрать номинал сопротивлений (500 или 1000 Ом).
2. Провести измерение сопротивлений N резисторов ( N  49 для
установки С3-1 и N  90 для установки С3-2), и результаты измерений R j занести в таблицу 1а (для установки С3 -2) или 1б (для установки С3-2).
Таблица 1а
Результаты измерений
№
переключателя
1
2
3
1
П о л о ж е н и е
3
4
5
2
…
16
Таблица 1б
Результаты измерений
№
переключателя
1
2
3
…
10
1
2
3
П о л о ж е н и е
4
5
6
7
8
3. Составить статистический р яд по следующей схеме:
30
9
– определить максимальное и минимальное значения среди по лученных результатов и разбить диапазон принимаемых значений
на n  7 одинаковых интервалов с границами R j , R j 1 , ( j  1,2,...,7 ).
– подсчитать число M j значений сопротивлений, попавших в
интервал.
– вычислить частоту попаданий результатов в интервал с номе ром j в общем числе измерений, используя формулу ( 3.1.2).
4. Рассчитать среднее значение R j для каждого интервала по
формуле: R j  0,5R j  R j 1  .
5. Используя выражение (3.1.6) по полученным выше результатам, вычислить среднее значение R (или математическое ожидание случайной величины).
6. По формулам (3.1.8) и (3.1.9) определить дисперсию D R ,
среднее квадратичное отклонение  R и величину 3 R .
7. Результаты вычислений пп. 3 –6 занести в таблицу 2.
8. Вычислить границы интервала  R  3 R , R  3 R . Определить
значения сопротивлений, не попадающие в этот интервал.
9. Аккуратно зачеркнуть значения сопротивлений, выпадающих
из интервала  R  3 R , R  3 R , в таблице 1.
10. Выполнить п.п.3-7 без учета вычеркнутых значений. Резуль таты занести в таблицу 3, построенную аналогично таблице 2.
8. Используя вычисленные величины R j и  R , рассчитать зна-


чения f (R) для средних значений R j малых интервалов R j , R j 1 .
Результаты занести в таблицу 3.
9. По полученным расчетным данным построить гистограмму и
график функции f (R) .
10. Сравнить форму огибающей гистограммы и графика f G (R ) .
Объяснить качественные разли чия и сходство зтих двух кривых.
Таблица 2
N
Mj
Pj
Rj
Результаты вычислений
R j Pj
R  Rj
R  Rj

1
2
…
7
R =
DR =
R=
P
2
j
f G (R )
3 R =
31
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какой процесс называется случайным?
2. Что такое случайная величина?
3. Какая величина называется частотой события?
4. Что называется законом распределения случайной величины?
5. Что такое функция распределения случайной величины?
6. Запишите основные свойства функции распределения случай ной величины.
7. Укажите основные числовые параметры, характеризующие
закон распределения случайной величины и объясните их смысл.
8. Что называется математическим ожиданием случайной вели чины?
9. Дайте определение величины дисперсии.
10. Что называется средним квадратичным отклоне нием?
11. В чем удобство использования среднего квадратичного от клонения по сравнению с использованием дисперсии?
12. Какова связь между функцией распределения и плотностью
распределения?
13. Для каких случайных величин существует плотность распре деления– дискретных или непрерывных?
14. Запишите основные свойства плотности распределения.
15. Что такое кривая распределения?
16. Запишите выражение для функции плотности распределения
непрерывной случайной величины.
17. Какова вероятность принятия случайной в еличиной конкретного значения при дискретном распределении? При непрерывном
распределении?
18. Как влияет дисперсия случайной величины на форму кривой
распределения?
19. Укажите аналог кривой распределения для дискретных слу чайных величин.
20. Укажите оценку основных параметров распределения.
21. Какая оценка называется точечной?
22. Какая оценка называется несмещённой?
23. Что такое доверительная вероятность или надежность изме рения?
24. Как измеряется доверительный интервал для среднего значе ния измеряемой величины и что он обозначает?
25. В классической физике имеет место классическое распреде ление Максвелла. Что это за распределение и чем оно отличается
от нормального распределения?
32
26. В чем заключается «правило трех сигм»?
27. Как «правило трех сигм» позволяет отсеивать недостоверные результаты?
28. Как составляется статистический ряд?
29. Как производится построение гистограммы?
30 Как по гистограмме получить характеристики распределения
случайной величины?
33