Влияние скрутки и других нарушений осевой симметрии кабельных

Влияние скрутки и других нарушений
осевой симметрии кабельных
конструкций на скорость
распространения сигнала
Е.М.Вишняков, Озёрский технологический институт (филиал) МИФИ
Д.В.Хвостов, ЗАО “Самара-Импэкс-Кабель”, Москва
Показана независимость скорости сигнала от шага скрутки витых пар и от наличия
третьего проводника (экрана). Показана несостоятельность традиционно применяемых
формул для оценки влияния экрана на параметры пар.
Ранее, в цикле статей [1-3], мы обсуждали расчёт из «первых принципов» первичных
параметров длинных линий: погонной ёмкости C и индуктивности L. Как указано в [3], эти
параметры не наблюдаемы, так как нельзя придумать процедуру их непосредственного
исследования без разрушения свойств линий. Зато наблюдаемы вторичные параметры:
скорость распространения V , коэффициент затухания сигналов α [1/м], волновое
сопротивление Z, а также параметры подавления перекрёстных помех в кабелях, содержащих
более чем одну пару проводников, направляющих сигналы.
Поэтому данной работой мы завершаем упомянутый цикл и открываем другой, посвящённый
исследованию наблюдаемых параметров кабельных линий.
Начнём со скорости, так как она простейшим образом связана с первичными параметрами.
Действительно, принято считать [4], что он зависит только от диэлектрической постоянной ε
и магнитной проницаемости μ материалов кабеля:
V = 1/(LC)1/2 = с/(ε μ)1/2(1)
где с = 299792458 м/с (точно) – скорость света в вакууме, Обычно полагают μ = 1, так как из
конструкций скоростных линий связи (> ~ 1 Мбит/с) стараются исключить ферро- и
парамагнитные материалы. Помимо прочего, (1) – основа так называемого взаимнообратного
соотношения:
L = V2/ C = (ε0 μ0)1/2 /K2 C (1’)
где К = V/c ~ 1 – коэффициент. Нетрудно показать, что для осесимметричных систем,
например, коаксиальных кабелей К = 1. И потому, как показано в [1-3], это справедливо для
всех их конформных отображений с помощью дробно-линейной функции:
w = M2/(z – P)
где Р – полюс функции. То есть, в частности, для прямых пар круглых проводников, к
которым можно отнести воздушные линии электропередач, телефонные линии, кабели
бытовой электропроводки и т.д. То есть для весьма представительных классов кабельных
систем. В дальнейшем будем их называть (почти) осесимметричными.
Помимо прочего, отношение (1) связывают с аналогией магнитного и электрического полей
[5]. Эта аналогия, к слову, является точной для кабелей со сверхпроводниками или для
высоких частот (например, больше ~10 МГц для кабелей с жилами Ø= 0.51 мм). Более того, в
этом случае (1) справедливо также для линий с проводниками произвольной формы, так как
доказывается теорема [6], что такие системы могут быть конформно отображены в
коаксиальные.
Существует, однако, обширный и важный класс не осесимметричных конструкций:
экранированные пары, триады, силовые трёхфазные кабели, «нефтяные» триады и тетрады
[7] ... Но в литературе, посвящённой кабельным расчётам, нарушениями осевой симметрии
либо просто пренебрегают, либо вводят поправочные коэффициенты. Например, Р –
коэффициент реакции экрана в выражении для индуктивности симметричной
экранированной пары [8] :
L = L + Lж + Lэ = P μ0/π ln(2b/a) + μ0/4π Q(ka) – T 2(2μ0/σω)1/2 /πa2 (2)
где L (далее L12) – межпроводниковая индуктивность, Lж – вклад от жил (в [8] её называют
внутренней индуктивностью проводников) , Lэ – вклад от экрана, Р = (х – 1)/(х + 1), х = a2 /b ,
a2 – радиус экрана, 2b – расстояние между центрами проволок, T = x2/(x4–1) –
геометрический фактор, Q(ka) ~1 – функция, зависящая от геометрии и частоты. О точности
(2) в литературе сведений нет. Ясно, однако, что это – приближение, так как Р зависит только
от геометрии , но не от частоты сигнала и электропроводности материала экрана, как это
можно бы ожидать. Кроме того, само по себе слагаемое μ0/π ln(2b/a) – приближение к давно
известным [5,9] точным формулам:
L = μ0/π ln[b/a + (b2/a2–1)1/2] ;
C = ε0π / ln[b/a + (b2/a2–1)1/2] (3)
Цель настоящей работы – исследование искажений величин первичных параметров,
вычисляемых с помощью «осесимметричных» выражений или «традиционного»
приближения (3), из-за нарушений осевой симметрии кабельных структур.
При этом, разумеется, особый интерес представляет величина V/c, которая для всех
сигнальных пар кабелей должная быть одинаковой. Кроме того, современные методы
вычислений позволяют оценить погрешности традиционно рекомендуемых приближенных
расчётных формул.
Рассмотрим простейшие и самые представительные такие нарушения: наличие «третьего»
проводника (например, экрана пары или третьей жилы триады), скрутка жил в сердечнике и
изоляция проводников. Для выявления
эффектов «в чистом» виде полагаем, что
проводники – сверхпроводящие – СП, а
изоляторы – воздушные (если не оговорено
иное). Всё это, в частности, ведёт к тому, что
ожидаемая величина К =V/c = 1, а из (2)
исчезают два правых слагаемых.
Помимо прочего, указанные задачи
исчерпывает возможности существующей
версии ELCUT.
Влияние третьего проводника.
Вычислим в среде ELCUT
межпроводниковую ёмкость С12 и
индуктивность L12 для двух простейших
трёхпроводниковых конструкций (диаметр
жилы 1 мм, с изоляцией 1.5 мм):
- для экранированной симметричной прямой
пары (рис.1 слева, третий проводник – экран
0);
- для неэкранированной прямой триады (рис.1 справа, третий проводник – жила 3).
Для чего с помощью дробно-линейной функции [2] отобразим обе структуры в коаксиальные
(рис.1 внизу).
Как видно из рисунка, проводник 1 пары отображается в экран 1’ , второй – в жилу 2’, а экран
0 – в эксцентричную сердцевидную фигуру 0’. В триаде проводник 3 отображается в экран
3’, а пара других – в симметричную пару 1’, 2’. Границы изоляторов отображены в
касающиеся эксцентричные окружности.
В табл.1 приведены координаты центров u,v и диаметры Ø для отображений проводников и
изоляторов пары и триады. Они необходимы для построения геометрической модели ELCUT,
представленной вместе с картами полей на рис.2.
Здесь следует особо отметить, что, вообще говоря, здесь конформное отображение
необходимо для работы в ELCUT только с открытой (неэкранированной) триадой [1].
Экранированную же пару можно считать, как есть. Но её тоже конформно отобразили, чтобы
наглядно показать сходство и различие обеих задач, а также относительную роль третьего
проводника.
Так, к примеру, если посмотреть на сечение экранированной пары (рис.1 слева вверху), то
интуиция вроде бы подсказывает, что экран должен сильно увеличить межпроводниковую
ёмкость C12 (скажем, на 30-50%) и столь же радикально снизить индуктивность L12. Но,
если посмотреть на конформное отображение такой пары (рис.1 слева внизу), то там роль
экрана представляется заметно более скромной. И расчёт L12 и C12, представленный в табл.2
, подтверждает это интуитивное представление.
В таблице (в скобках) приведены также расчётные
параметры C и L открытой пары, полученные с
помощью (3). В правой колонке – их изменение под
влиянием экрана в процентах. Экран увеличивает
ёмкость и снижает индуктивность, и вроде бы
уменьшает параметр К «взаимообратного отношения».
Ниже, однако, указано, что это может быть просто изза систематической погрешности ELCUT.
Подтверждением чего может служить расчёт влияния
третьей жилы триады, который, как видно из табл. 3,
заметно (на 8%) изменяя L12 и C12, практически не
меняет скорость V.
Влияние этого третьего проводника триады, лучше
всего пронаблюдать на рис.1 (справа внизу), где он
отображён в экран, достаточно удалённый от
отображений жил 1’ и 2’ для которых производится
вычисление параметров. На рис.3 представлена
геометрическая модель и карта полей для этого
отображения.
А на рис.4 вверху – зависимость индуктивности L12 от
расстояния между проводниками 1’ и 2’. Точки –
расчёт ELCUT, верхняя сплошная кривая –
индуктивность L12 без третьего провода, а нижняя
кривая – оценка L12, согласно приближения (2). Как видно, эта оценка в разы отличается от
принципиально более точных расчётов ELCUT. И только случайно оказывается к ним
близкой. На нижнем графике рис.4 – ход ёмкости С12 (расчёт ELCUT). Кривая – расчёт с
помощью (3). Вертикальным пунктиром обозначены результаты расчётов для триады рис.1.
Помимо прочего, графики рис. 4 показывают, что экран симметричной экранированной пары
существенно влияет на её параметры только при достаточно большом межпроводниковом
расстоянии (скажем, больше радиуса экрана).
Самым важным в данных исследованиях представляется тот факт, что ошибки
рекомендуемой в [8] формулы (2) могут привести к фатальным ошибкам при оценке скорости
сигнала. Как это видно из рис.5, где точки на верхнем рисунке – параметр К = V/c ,
полученный с помощью (2) . Он достигает 4 . И потому скорость сигнала вдвое превышает
скорость света.
В ELCUT же этот параметр мало отличается от 1 (рис. 5 внизу). Что свидетельствует в пользу
достоверности этих вычислений. Разброс точек на графике – погрешность расчёта (~0.1%).
Из графика видно, что если зазор между проводниками мал (что соответствует значениям
межпроводникового расстояния на рис. 5 около 0 или 1) скорость сигнала вроде бы несколько
больше скорости света в вакууме. В других случаях – несколько меньше. Скорее всего,
однако, здесь наблюдается просто небольшая (~1%) систематическая ошибка расчёта. Но это
может быть установлено лишь с помощью более совершенных версий ELCUT.
Цветными ромбом на рис. 5 показан параметр К = V/c =
0.998 для триады (рис.1). Это означает, что даже, если
указанная выше систематическая погрешность имеет
место, то для распространённой триадной геометрии
она мала.
В добавление к данному подразделу отметим, что
конформное отображение экранированных кабельных
конструкций в коаксиальные структуры полезно ещё и
тем, что это может существенно улучшить точность
традиционно применяемых в кабельных расчётах
приближений наподобие (1) и (2) [1]. И даже
обеспечить их применимость. Так, к примеру, для
экранированной пары (рис.1 слева вверху) не очень
ясно, какой размер экрана а2 следует подставлять в (2).
Зато понятно для коаксиального отображения (рис. 1
слева внизу).
Влияние скрутки.
Как указано в [3], сама по себе скрутка не искажает
осевую симметрию. Но она искажает форму
проводников, поперечное сечение которых из круглого
становится овальным (рис. 6) и практически
эллиптическим [10]. Что и ведёт к искажению осевой
симметрии.
В [1-3] указано, что в общем случае скрутка ведёт к
появлению в уравнении Лапласа слагаемого α2Uφφ, где,
α= 2π/s , s – шаг скрутки, индекс φ – производная по полярному углу:
(r Ur)r /r + Uφφ /r2 +α2Uφφ = 0 (4)
В [2,3] эта задача решена с помощью ELCUT, для чего α2Uφφ, перенесено в правую часть (4)
в качестве плотности фиктивных зарядов. И уравнение Лапласа превращено в уравнение
Пуассона. Чтобы применить этот приём к витой паре, эллиптические проводники (рис.6
слева) с помощью дробно-линейной функции w = M2/(z–P) (P – полюс) конформно
отобразили в яйцеобразную фигуру, близкую к коаксиальной (рис.6 справа).
На рис.7 вверху показана геометрическая модель для вычисления ёмкости и индуктивности,
а в средней части – карта радиальной составляющей электрического поля. Тонкими синими
линиями обозначены границы блоков с разными фиктивными зарядами. Тонкие чёрные
кривые – линии равного потенциала. Внизу представлена карта без фиктивных зарядов. Как
видно, скрутка заметно меняет распределение электрического поля.
Для вычисления «скрученного» параметра L
решили задачу с помощью ELCUT для
магнитного поля переменных токов:
(r Аr)r /r + (А φ)φ /r2 + α2Аφφ = 0 (5)
где А – вектор-потенциал магнитного поля.
Здесь α2Аφφ тоже перенесли в правую часть и
в качестве некоего фиктивного тока, текущего
в изоляторе межпроводникового
пространства.
Экран сделали сверхпроводящим, а жилу – из
меди. Частоту текущего по ней тока (J = 1 А)
выбрали максимально высокой (> 1 ГГц) с
таким расчётом, чтобы приблизить задачу к
«сверхпроводящей» (см. примечание 1 ниже).
И вычисляли магнитные потоки Ф1 и Ф2 через рёбра Нt = 0 (рис.7).
В табл.3 приведены результаты расчётов ёмкости и индуктивности с учётом скрутки, а также
с помощью приближённых формул с участием «магических» радиусов «экрана» и «жилы»
A* и a* (без скрутки, ε = 1 , μ =1):
С0 = 2π εε0/ln(A*/a*);
L0 = μμ0/2πln(A*/a*) (6)
«Магические» радиусы получены способом,
описанным в [2,3].
Напоминаем, что, индуктивный
«магический» радиус – это радиус прямого
круглого проводника, у которого частотное
поведение индуктивности практически такое
же, как у многопроволочной жилы [3]. А
ёмкостной «магический » радиус для
семипроволочной жилы обеспечивает такое
же ёмкостное поведение жилы при
изменении радиуса экрана коаксиальной
структуры [2]. Кроме того, он численно
совпадает с индуктивным. Помимо прочего,
этот факт означает, что проводники со
сложной поверхностью можно «заменить»
круглыми надлежащего радиуса. А
результаты расчётов с помощью «круглых»
формул (6) идентифицировать как
первичные параметры прямой пары
некруглых проводников. Так что в
рассматриваемом случае скрутка привела к
увеличению индуктивности на 3% и уменьшению
ёмкости на – 3 % . Что ведёт к увеличению на 3%
волнового сопротивления
Z = (L/C)1/2
Но почти не меняет скорость сигнала V = 1/(L C)1/2 !
Как это видно из табл. 3, где параметр V/c, практически
не отличается от 1 (так как ε = 1 , μ =1) и не изменяется
в результате скрутки. Таким образом, с помощью
ELCUT получено подтверждение «теоремы о
скоростном инварианте»: скрутка витой пары не влияет
на скорость сигнала в ней (см. Приложение).
Практическая ценность теоремы в том, что она
облегчает жизнь кабельным конструкторам и
технологам. Так как позволяет варьировать
геометрические параметры линий связи без
существенных изменений скорости сигналов в них.
Оставляя, таким образом, лишь заботу о волновом
сопротивлении.
И, в заключение «раздела скрутки», необходимо
сделать ряд замечаний.
1. Подчеркнём ещё раз, что «теорема о скоростном
инварианте» (Приложение) справедлива, лишь для СП
(или в пределе бесконечно высоких частот), когда из
электрических процессов «выключен» объём
проводников.
2. Решение задачи (5) с СП исчерпывает возможности
существующей версии ELCUT , так как они
ограничены требованием постоянства параметров сред
(хотя применяемый здесь метод конечных элементов
таких ограничений не требует). В то время как для расчёта индуктивных параметров и
сопротивления потерь витых пар (и прочей кабельной продукции) необходимо решать
уравнение Пуассона с координатно-зависимыми параметрами сред.
3. На первый взгляд, для СП удобнее задавать постоянный потенциал проводников:
например, для жилы А = 1 и А = 0 для экрана. Тем не менее, по непонятной пока причине
попытки решить в ELCUT задачу (5) таким способом не дали разумных результатов.
Выводы
1. Установлено, что наличие третьего проводника (экрана или третьего провода триады)
слабо влияет на скорость распространения сигнала вдоль сигнальной пары.
2. Скрутка не влияет на скорость сигнала, распространяющегося вдоль витой пары.
3. Подтверждена справедливость взаимно-обратного отношения L = V2/С при нарушениях
осевой симметрии двухпроводниковых конструкций.
4. Показана несостоятельность традиционного приближения (2) для оценки влияния экрана
на индуктивные и другие параметры симметричной пары.
Заключительные замечания.
Подведём некоторые итоги данной и предыдущих [1-3] публикаций.
Исследование электромагнитных процессов в прямых и витых парах, триадах и некоторых
других простейших кабельных структурах методами конформных отображений и конечных
элементов в среде ELCUT заставляют по-новому
взглянуть на методы, подходы и, если угодно, саму
философию кабельных расчётов.
Так как таким способом показана несостоятельность
большинства рекомендуемых до сих пор в кабельной
литературе процедур расчёта (а, точнее говоря, оценок)
первичных параметров кабельных сборок. К тому же
особое неудовлетворение вызывает и тот факт, что на
протяжении последних 50-70 лет в этом деле
практически нет прогресса. Некоторое объяснение этому
феномену можно получить в [8]. Где, к примеру, читаем:
«Фундаментальные исследования и разработка теории
передачи и взаимных влияний между цепями линий
связи относятся к ХХ веку ... и, на наш взгляд, трудно
что-либо придумать нового в этом направлении».
И, в качестве подтверждения этого тезиса, читаем далее:
«Основной метод расчёта рабочей ёмкости ... базируется на использовании уравнений
Максвелла... (то есть из «первых принципов» – В, Х) Этот метод решения для инженерных
расчётов исключительно трудоёмок и приводит к весьма громоздким выражениям.
Не случайно во многих странах в различные годы делались попытки вывода инженерных
формул для расчёта рабочей ёмкости (с учётом неоднородности изоляторов – В, Х).
Не вдаваясь в историю вопроса, для практических целей нашего исследования остановимся
на формуле, выведенной в 1938 г. В.Н.Кулешовым...».
И приводится формула, несостоятельность которой показана в [1]. Это, видимо, означает, что
до сих пор кабельные теоретики ищут не там, где потеряли, а где светло. По той, скорее
всего, причине, что практически все расчётные формулы получены, судя по всему, с
помощью методов, пригодных лишь для простейших и практически нереализуемых
геометрий изоляторов и проводников: однородных, изотропных, бесконечно тонких и т.п. В
то время как любая реальная конструкция, как правильно отмечают авторы [8], требует
исключительно трудоёмких вычислений.
Но мы в ХХI веке и вооружены техникой, которая в существенной мере снимает эту
проблему. Поэтому представляется уже устарелым утверждение, что трудно придумать чтолибо новое. Напротив, по нашему мнению, мы на пороге прорыва в кабельно-расчётном деле
– чего-то вроде небольшой революции.
И действительно, применение современных методов расчёта даже к простейшим кабельным
структурам позволило не только показать указанную выше несостоятельность традиционных
методов расчёта, но и получить результаты, доселе неизвестные в кабельной литературе.
Важнейшие из них таковы:
1. Установлено наличие индуктивных инвариантов у проводников сложной формы
(многопроволочных жил), позволяющих моделировать их частотные свойства с помощью
круглых проводников с некоторым эффективным радиусом.
2. Причём этот же радиус «отвечает» и за ёмкостные свойства многопроволочных жил.
3. Установлена справедливость взаимнообратного отношения межпроводниковой ёмкости и
индуктивности в витых парах.
4. Установлена независимость скорости
распространения сигнала от шага скрутки витых пар в
пределе (бесконечно) высоких частот (и
сверхпроводящих материалов).
Разумеется, мы никоим образом не претендуем на
какую- то особую эпохальность этих «открытий».
Просто этими примерами подтверждаем нашу
основную мысль. В дальнейшем мы намерены
подтвердить её решением ряда других, практически
более значимых, задач. В том числе, связанных с
проблемой экранирования и переходного затухания. То
есть подавления перекрёстных помех в пучках
кабельных сигнальных пар.
Приложение.
Теорема: скрутка витой пары не влияет на скорость V
сигнал
а в ней.
Доказательство. Уравнения (5) и (6) для
потенциалов электрического и магнитного
полей витой пары отличаются только
обозначением переменных. Поэтому
параметр скрутки α = 2π/s (для прямой пары
α = 0) пары меняет эти потенциалы
одинаковым образом:
U(α)/U(0) = А(α)/А(0)
где U(α) и А(α) – межпроводниковая
разность потенциалов электрического и
магнитного полей витой пары. Известно
также, что поток магнитной индукции Ф(α)
= А(α).
С другой стороны, ёмкость витой пары
С(�α) = Q /U(α), а индуктивность L(α) =
Ф(α) /J. Так что при одинаковом заряде Q и
токе J прямой и витой пар С(α)/С(0) =
U(0)/U(α) = А(0)/А(α) = L(0)/L(α) , то есть
1/V(α)2 = L(α) С(α) = С(0) L(0) = 1/V2(0) .
Откуда следует, что V(α) =V(0) . Ч.т.д.
Литература
1. Вишняков Е.М, Хвостов Д.В. расчёт
межпроводниковой индуктивности и
ёмкости симметричных прямых пар
методами конформных отображений и конечных элементов. «Кабель» №3, 2007.
2. Вишняков Е.М., Хвостов Д.В.. Влияние скрутки на межпроводниковую ёмкость витых пар
и триад. «Кабель» №4, 2007.
3. Вишняков Е.М., Хвостов Д.В. Расчёт индуктивности многопроволочных кабельных жил.
«Кабель» №5, 2007.
4. И.И.Гроднев, С.М.Верник, Л.Н.Кончаловский. Линии связи.- М: Радио и Связь, 1995
5. Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической емкости. - Л.:
Энергоиздат, 1981.
6. К.Каратеодори. Конформное отображение. - М.-Л.: ОНТИ Государственное техникотеоретическое издательство, 1934. Книгу можно скачать из библиотеки мехмата МГУ
http://lib.mexmat.ru/books/1663. Кроме того, в Институте Космических Исследований
разработана программа конформного отображения любых двухсвязных областей в
коаксиальные структуры: http://www.cosmos.ru/seminar/200105/abstract.html.
7. Как повысить эффективность добычи нефти. Новые разработки ОАО «Камкабель».
«КАБЕЛЬ-info» , № 4-5, 2006
8. В.Е. Власов, Ю.А.Парфёнов. Кабели цифровых сетей электросвязи. Конструирование,
технологии, применение. - М: Эко-Трендз, 2005.
9. П.Л.Калантаров, Л.А.Цейтлин. Расчёт индуктивностей. – Л: Энергоатомиздат, 1986.
10. А.И.Листратенков. Теоретические основы конструирования силовых кабелей и
проводов.– М: Полиграф сервис, 2006.
Статья опубликована в журнале "Кабель-news" №6-7, июнь-июль 2007