Анализ процессов массового обслуживания трансп потоков

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
Ю.И. ПАЛАГИН
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ НА ТРАНСПОРТЕ
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
ТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Санкт-Петербург
2006 г.
2
Разрешено к изданию в качестве учебного пособия для студентов
специальностей 24.01.00 «Организация перевозок и
управление
на
транспорте» и «Организация перевозок и
управление
на воздушном
транспорте».
УДК 519.2
Палагин Ю. И. Анализ процессов в системах массового обслуживания
транспортных потоков: Учебное пособие. / С-Пб Госуниверситет ГА. С.Петербург, 2006.
Издается в
соответствии
с общеобразовательной программой
дисциплины «Исследование операций на транспорте», изучаемой студентами
общетранспортной специальности.
Изложены методы статистической обработки, моделирования и анализа,
применяемые при исследованиях систем массового обслуживания перевозок и
управления единым транспортным процессом с использованием различных
видов
транспорта:
автомобильного,
водного,
авиационного
и
необходимые
для
железнодорожного.
Приводятся
основные
теоретические
сведения,
выполнения лабораторных работ по статистической обработке данных о
транспортных процессах, моделированию потоков, контролю моделирования,
расчетам характеристик процессов массового обслуживания потоков. В
приложениях
приводятся
варианты
индивидуальных
заданий
для
самостоятельной работы студентов.
Предназначены для студентов Госуниверситета ГА, обучающихся по
общетранспортной
специальности
24.01.00
«Организация
перевозок
и
управление на транспорте», а также близких специализаций.
Ил. 1. Табл. 9. Библ. 7 назв.
Рецензенты:
А.С. Шалыгин, д–р техн. наук, проф., зав. каф. «Процессов управления»
Балтийского государственного технического университета «Военмех»;
Ю.Е Хорошавцев, д – р техн. наук, профессор, каф. «Автоматизированных
систем управления», Академия ГА
©Санкт- Петербургский государственный
университет гражданской авиации, 2006.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.....................................................................................................................5
Глава 1. Обработка и моделирование транспортных потоков…………………..7
1.1. Основные элементы СМО, их определения, характеристики……………....7
1.2.
Алгоритмы обработки, типовые законы распределения………………….11
1. 3. Указание к выполнению лабораторной работы N1
«Статистический анализ транспортных процессов»………………………..15
1.4. Моделирование пуассоновского и связанного с ним потоков……………...16
1.5.
Статистическая обработка потоков, контроль моделирования…...……...17
1.6.
Указания к выполнению лабораторной работы №2
«Моделирование характеристик обслуживающих аппаратов,
транспортных потоков»………………………………………………...…..18
Глава 2. Характеристики процессов в простейших типовых системах
массового обслуживания……………………………………………….…20
2.1. Характеристики многоканальной СМО без накопителя………………..…..20
2.2. Оптимизация параметров автостоянки по критерию
максимума средней прибыли………………………………………………...22
2.3. Характеристики системы массового обслуживания
с конечной емкостью накопителя…………………………………..………..23
2.4. Выбор оптимального числа обслуживающих аппаратов
и емкости накопителя в СМО с конечной емкостью……………………….30
2.5. Условие того, что СМО справляется с обслуживанием потока………...…..33
4
2.6.Характеристики СМО с неограниченной емкостью накопителя…...……….34
2.7.Расчет параметров кассового зала железнодорожного вокзала……....……..36
2.8.Морские и речные порты как системы массового обслуживания.
Расчет характеристик, оптимизация количества причалов…………………43
Литература..................................................................................................................47
Приложение 1. Индивидуальные задания к лабораторным работам
по теме «Обработка и моделирование транспортных потоков». …………....…48
Приложение 2. Индивидуальные задания по теме
«Характеристики процессов обслуживания без накопителя»…………………...61
Приложение3. Индивидуальные задания по теме «Характеристики
процессов обслуживания с конечной и бесконечной емкостью
накопителя. Системы без отказов в обслуживании»…………………………….63
5
ВВЕДЕНИЕ
Разработка и практическое применение современных технологий в области
транспорта, принятие эффективных решений по организации транспортного
обслуживания требуют использования широкого арсенала существующих
прикладных
математических
методов
и
моделей.
По
отраслевым
специальностям 24.01 в транспортных ВУЗах страны читаются курсы теории
массового обслуживания, исследования операций, экономико-математических
методов и моделей, оптимизации и анализа сложных систем, формирующие
необходимую
теоретическую
базу
и
подготавливающие
будущих
специалистов-транспортников к самостоятельной деятельности на транспорте.
Особое внимание уделяется вероятностным методам и моделям, в
частности, описанию процессов функционирования транспортных систем
методами теории массового обслуживания (ТМО)[1-7].
Роль понятий, методов и моделей ТМО тем более значима сегодня для
специалистов
общетранспортного
направления.
Если
перефразировать
классическую фразу, то единство транспортных процессов проявляется "в
поразительной
аналогичности"
понятий,
аппарата,
характеристик,
используемых для описания транспортных процессов на различных видах
транспорта. Все эти понятия формулируются на языке вероятностных моделей.
Термин "входной поток заявок" описывает поток пассажиров или транспортных
средств (воздушных и водных судов, автомобилей, ж/д поездов), контейнеров,
тары, груза, багажа, товарные потоки в логистике и т.д. Понятие "канал
обслуживания" охватывает функции погрузочно-разгрузочных устройств и
механизмов, причалов, касс, продающих билеты и т.д. Системой массового
обслуживания являются морской, речной или аэропорт, железнодорожная
станция, транспортный терминал, касса по продаже билетов, автомобильная
компания по перевозке мебели или контейнеров, автозаправочная станция и т.д.
6
Все случаи применения вероятностных моделей в области эксплуатации
транспорта трудно перечислить.
За последние десятилетия одним из основных методов исследования
процессов функционирования транспортных систем, анализа различных
технологических схем обработки грузов и пассажиропотоков, оценки качества
и эффективности систем массового обслуживания стал метод статистического
имитационного моделирования. Общепризнанны его достоинства: возможность
учесть в полном объеме стохастический характер и нелинейные свойства
исследуемой системы обслуживания, технологического процесса, специфику
информационных каналов, действующих случайных возмущений и помех.
Метод статистического моделирования позволяет решать сложные задачи
анализа технических систем, недоступные аналитическим методам.
Широкие возможности метода статистического моделирования (метода
Монте-Карло) делают обязательным изучение его основ при подготовке
современного специалиста - общетранспортника, чья деятельность связана с
управлением
и
организацией
транспортных
процессов,
использующих
различные виды транспорта.
Настоящее учебное пособие содержат минимум теоретического материала
по
анализу
и
моделированию
процессов
обслуживания,
индивидуальные задания для самостоятельной работы.
а
также
7
ГЛАВА 1. ОБРАБОТКА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ
ПОТОКОВ
1.1. Основные элементы СМО, их определения, характеристики.
Общие определения. Обслуживанием называется процесс удовлетворения
какой-либо общественной потребности, например, продажи авиабилетов
пассажиру, регистрации пассажира, перевозки груза, заправки горючим,
погрузки, разгрузки, хранение и т.д.
Устройства
(технические
средства,
системы,
оборудование,
обслуживающий персонал), которые непосредственно реализуют функцию
обслуживания называются обслуживающими аппаратами (например, касса,
регистрационная стойка, бензоколонка, стояночное место, место или ячейка
хранения, причал и т.д.).
Обслуживающий аппарат (ОА) образует канал обслуживания. Системы
массового обслуживания (СМО) называются много или одноканальными по
числу каналов обслуживания.
Общественная потребность выражается в виде заявки на обслуживание.
Заявки, поступающие последовательно во времени, образуют поток заявок
называемый входным потоком. Например, поток пассажиров, поток воздушных
судов, пребывающих в аэропорт, потоки товаров, контейнеров, тары в
логистике [7].
Дисциплина обслуживания – порядок обслуживания поступивших заявок.
Обслуживанием без приоритета называется обслуживание заявок по мере их
поступления.
Поступившая заявка может обслуживаться немедленно или встать в
очередь. Место, где заявки ожидают начала обслуживания, называется
накопителем (зал пассажиров, часть автомобильной дороги, подъездные пути,
склад, область на магнитной ленте, диске ЭВМ).
8
Если
заявка
покидает
СМО,
не
получив
(или
не
дождавшись)
обслуживания, то говорят, что заявка получила отказ в обслуживании.
Поток заявок, покидающих систему, называется выходным потоком.
Выходной поток состоит из потока отказов и потока обслуженных заявок.
Система – это совокупность элементов, связанных между собой и
функционирующих совместно для достижения общей цели. СМО – это система,
элементами которой являются: входной и выходной потоки, обслуживающие
аппараты, очередь, накопитель, дисциплина обслуживания.
Целью СМО является обслуживание потока заявок с наилучшим
качеством,
эффективностью.
Количественные
показатели
качества
обслуживания называются критериями эффективности. Такими критериями
являются вероятность отказа в обслуживании, затраты на обслуживание,
прибыль,
доход,
время
ожидания
обслуживания,
их
вероятностные
характеристики – математическое ожидание, дисперсия.
Время обслуживания заявки, его характеристики. Время обслуживания
– основная характеристика обслуживающих аппаратов в теории массового
обслуживания. Временем обслуживания называется время , в течении
которого обслуживается одна заявка. Время обслуживания - случайная
величина. Её полной характеристикой является плотность распределения f(x).
Наиболее распространённым законом для описания времени обслуживания
является показательный закон:
(х) =  е
-х
, х  0,
где    - параметр закона распределения.
Средним временем обслуживания называется математическое ожидание
времени обслуживания. Эта величина равна:
М =
1
.

9
Интенсивностью обслуживания μ называется среднее число заявок,
обслуженных
одним
обслуживающим
аппаратом
в
единицу
времени.
Интенсивность обслуживания является величиной, обратной среднему времени
обслуживания:
μ =
1
М
= β
Таким образом, параметр β в выражении для плотности распределения
равен интенсивности обслуживания.
Входной
поток
заявок,
описание
с
помощью
интервалов
между
прибытиями. Простейший пуассоновский поток. В теории массового
обслуживания входной поток заявок описывается в терминах интервалов между
прибытиями:
1, 2, 3, …, к
где к – промежутки времени между последовательными заявками (например, прибытиями пассажиров в аэропорт, воздушных судов, прибывающих на
посадку). Величины 1, 2,… - являются случайными.
Поток заявок называется потоком с ограниченным последействием, если
все величины к – независимы между собой. Поток называется простейшим
(или пуассоновским), если закон распределения к – показательный с
плотностью распределения:
(х) =  е
-х
, х  0,
где >0 – параметр, называемый интенсивностью потока. Величина  равна
среднему числу заявок (пассажиров, воздушных судов), прибывающих в
единицу времени. Интенсивность входного потока, как и интенсивность
обслуживания, является величиной, обратной среднему значению интервала
между прибытием заявок:
λ =
1
М
.
10
В теории случайных процессов показывается, что для простейшего потока
закон распределения числа поступивших заявок на промежутке [ t , t + t ]
подчиняется закону Пуассона с параметром а =  t, т.е. вероятность Рк того,
что появится ровно k заявок вычисляется по формуле:
а к а
Рк =
* е ; к = 0, 1,…
к!
Пример 1.1. Поток пассажиров, прибывающих в аэропорт для отправления,
образует простейший поток с интенсивностью =2 пассажира в минуту. Найти:
a) Вероятность того, что в течение интервала t = 10 минут не прибудет
ни одного пассажира;
b) Среднее количество пассажиров, прибывших за 1 час работы
аэропорта.
Решение. По свойству простейшего потока, число пассажиров, прибывающих в
аэропорт, имеет закон распределения Пуассона с параметром:
а =  t.
a)
В данном случае значение параметра равно:
а = 2 пас/мин * 10 мин = 20 пас.
Вероятность отсутствия пассажиров в течение 10-минутного промежутка равна:
Р0 = е-а = е-20
b)
Среднее число пассажиров равно:
а =  t = 2 пас / мин * 60 мин = 120 пас
Поток называется стационарным, если закон распределения числа заявок
(например, автомобилей или других транспортных средств), поступивших на
промежутке [ t, t + t ] не зависит от момента времени t.
Если из пуассоновского потока отбросить нечетные заявки, оставив
только четные, то получим новый поток. Этот поток называется потоком
Эрланга порядка m= 2.
11
Если оставить заявки с номерами, кратными m= 3 получим поток Эрланга
третьего порядка. Поток Эрланга m-го порядка получается путем отбрасывания
заявок с номерами, которые не делятся нацело на число m.
Итак, поток Эрланга характеризуется двумя параметрами:  и m.
Пуассоновский поток может рассматриваться как частный случай потока
Эрланга при m=1.
1.2.
Алгоритмы обработки, типовые законы распределения.
Основной первичный источник исходной информации о транспортных
процессах - обработка экспериментальных данных, полученных в процессе
эксплуатации транспортной системы. Полученные данные записываются в
массив
: 1, 2, …, n ,
который далее обрабатывается методами математической статистики.
Массив называется выборкой, число данных n - объемом выборки.
Требуется по выборке определить вероятностные характеристики параметров
транспортных систем:
- математическое ожидание
m= M ;
- дисперсию
2 = M (  - m )2 ;
- коэффициент вариации
Kv =  / m , (m  0);
- функцию распределения
F(x)=P{ <x};
- плотность распределения
f(x)= dF/dx,
12
а также подобрать подходящее описание (аналитическое выражение) для
распределения в виде
f ( x ) = f ( x, 1, 2, …,m )
формулы, зависящей от конечного числа параметров и определить значения α i.
Здесь М - символ математического ожидания случайной величины; Р{A} вероятность события А.
Это типичная задача математической статистики, где разработаны и
обоснованы
соответствующие
алгоритмы
обработки,
называемые
статистическими оценками. Оценки математического ожидания и дисперсии
имеют вид:
~
n
n
1
~ )2 ; K~   n
~1
m
 K ; ~n2 
(  k  m
v
n
~
n k 1
m
( n  1 ) k 1
n
(1.1)
Оценки дают приближенные значения истинных параметров. Свойство
состоятельности гарантирует при n ->  сходимость оценок к точным
значениям. В обозначении оценок указывается индекс n и вводится знак " n~ "
сверху.
Наиболее распространенной оценкой плотности является гистограмма.
Для построения гистограммы область возможных значений случайной
величины (СВ)разбивается на промежутки
~  i , m
~  ( i  1 ) ], i=0,  1,…,
i  [ m
n
n
∆ - длиной с центром в точке. Значения гистограммы вычисляются по формуле

~
f n ( x )  i , x [ xi , xi + ∆],
n
(1.2)
где  i - число выборочных значений, попавших в i-й промежуток,
 i / n - относительная частота, являющаяся оценкой для вероятности Pi=P(∆i)
попадания СВ в i-ый промежуток. Шаг выборки определяется по формуле [3]
~
∆=CГ n
(1.3)
3
n
13
где CГ - коэффициент пропорциональности. Для нормального и показательного
закона значения коэффициента равны соответственно
СГН  3.49 ,
СГП  2.29 ;
для гамма-распределения значения приведены ниже в табл.1.1.
После построения гистограммы осуществляется ее аппроксимация какойлибо
подходящей
параметрической
моделью.
Случайные
величины,
описывающие транспортные процессы (время разгрузки, интервалы между
прибытиями транспортных средств и др.), как правило, неотрицательны. Для
описания используется гамма-распределение
    1  x

x e , x  0 ,

f ( x , , )   Г (  )

0 , x  0.



(1.4)
Здесь

Г (  )   x 1e  x dx - гамма-функция; α>0, β>0 - параметры закона. При целых
0
значениях параметра гамма-функция равна
Г(n) = ( n-1 )! = 1*2*....*(n-1)
Математическое ожидание, дисперсия и коэффициент вариации гаммараспределения равны:
m
 2 
1
,  2 , K v 



(1.5)
Частным случаем гамма-распределения являются:
- При целых α = k значениях параметра – закон распределения Эрланга:
 k

x k 1e  x , x  0 ,

f(x,k,β)= ( k  1 )

0 , x  0



(1.6)
С характеристиками
M=
k

, 2 
k
2
, Kv 
1
;
k
- При α = 1 - показательный закон распределения
(1.7)
14
 e  x , x  0 ,
f ( x;  )  
0 , x  0
(1.8)
С характеристиками
M=
1

, 2 
1
2
,Kv  1
(1.9)
Значения α, β параметров гамма-распределения находятся методом
моментов путем приравнивания теоретических моментов (математического
ожидания и дисперсии) их выборочным значениям - статистическим оценкам:
~  ,
m
n
~n2    2
(1.10)
Решения системы (1.10) имеют вид:
~ 2 ~
m
~
   ~ n   K v2 ;
n 
~ ~
~
m
(1.11)
n
Полученные оценки отличаются от истинных значений параметров α, β,
однако при n->  их пределы равны точным значениям. Подстановка
~
оценок ~ , в формулы (1.4), (1.6) или (1.8) дает параметрические оценки
плотности.
Значение коэффициента CГ в выражении (1.3) для гамма-распределения
вычисляется по формуле
CГ=
1

3
6  4 1 Г 2  
,
  1 Г 2  3
  1.5
(1.12)
В табл. 1.1 представлены числовые значения, рассчитанные по формуле
(1.12)
для
целых
значений
параметра
(распределение
Эрланга).
Асимптотически при    гамма-распределение переходит в нормальный
закон. Поэтому
lim CГ(α)=3.49
 
Табл.1.1
α
2
3
4
6
8
10
CГ
2.03
2.64
2.88
2.93
3.01
3.07
3.49
15
1. 3. Указание к выполнению лабораторной работы N1 «Статистический
анализ транспортных процессов».
Индивидуальные задания (30 вариантов) приведены в Приложении №1.
Исходными данными являются выборки (для каждого варианта своя),
полученные в процессе эксплуатации транспортных средств. Приведены в
основном два типа данных: время разгрузки судов различных типов в речном
порту и интервалы времени между прибытиями транспортных средств
(самолетов, грузовых поездов, автосамосвалов) под разгрузку.
Требуется провести статистическую обработку выборки:
1. Получить оценки математического ожидания и дисперсии.
2. Построить гистограмму.
3. Подобрать параметры законов распределения и сравнить гистограмму с
параметрической оценкой плотности.
В табл. 1.2 приведены примеры оценок параметров распределения
времени разгрузки судна для различных объемов выборки.
Табл.1.2.
~,ч
m
~n , ч
α
β
10
19.5
5.56
12
0.63
100
17.1
5.05
11
0.67
1000
19.8
6.03
11
0.54
Объем
выборки
Отчет по работе должен содержать:
1. Исходные данные.
2. Алгоритмы обработки.
3. Полученные оценки.
4. Графики гистограмм и параметрических оценок плотности.
16
1.4. Моделирование пуассоновского и связанного с ним потоков.
Рассмотрим сначала
простейший
пуассоновский поток. Пусть
моделируется, например, поток автотранспортных средств, прибывающих под
разгрузку на грузовой двор. Задана интенсивность потока  = 5 грузовиков в
час. Требуется получить реализации потока длительностью Т=8 час в течение
N= 22 рабочих дней календарного месяца.
На языке теории моделирования параметр N называется числом
независимых
реализаций,
Т
-
длина
реализации.
Моделирование
осуществляется с помощью алгоритмов, изложенных в [1,2,5]. Алгоритмы
базируются
на
датчиках
случайных
чисел
с
равномерным
законом
распределения на промежутке [0,1]. Величины моделируются с помощью
алгоритма показательного распределения:
1
 k   ln  k ,  k~ Rav[ 0 ,1 ]

(1.13)
Потоки Эрланга k-го порядка моделируются по той же схеме, но только
реализация вычисляется по алгоритму распределения Эрланга
1
   1   2  ...   k   ln (  1 , 2 ... k ) ,

(1.14)
С помощью потоков Пуассона и Эрланга моделируются потоки более
сложной структуры. Пусть в рассмотренной задаче поток грузовиков
формируется из двух потоков - грузовики без прицепов (поток П1)
интенсивности 1 грузовиков в час и грузовики с прицепом (поток П2)
интенсивности 2 грузовика в час. Требуется получить N реализаций
смешанного потока.
Моделирующий
алгоритм
несколько
усложнится.
моделировать две последовательности случайных величин:
 1( 1 ) , 2( 1 ) ,..., k( 1 )
 1( 2 ) , 2( 2 ) ,..., k( 2 )
Необходимо
17
и соответственно две последовательности моментов прибытия.
Здесь верхние индексы отнесены соответственно к потокам П1, П2.
Появятся также два счетчика заявок и несколько усложнятся условия перехода.
1.5.
Статистическая обработка потоков, контроль моделирования.
Статистическая обработка реализаций потоков является отправной
точкой для построения математической модели потока, проверки гипотез о
типе потока, оценивании его параметров. Обработка реализаций, полученных
на компьютере (в ходе выполнения лабораторной работы №2) и сравнение
полученных оценок с заданными параметрами позволяет осуществить контроль
моделирования.
Рассмотрим кратко методику контроля моделирования пуассоновского
потока грузовиков интенсивности  = 5 груз/ч.
Контроль
осуществляется
путем
прогонки
на
ЭВМ
реализации
достаточной длины Т (теоретически должно быть Т = ). Практически Т
выберем из условия
  T  n0
(1.15)
где n0 = 100-500 достаточный объем независимой выборки. Величина λТ
гарантирует в среднем n0 значений заявок. В нашем случае
n0 =100; T=100/5=20 часов,
Полученные значения
τ1, τ2, …, τn
записываются в массив и подвергаются обработке методами разд.1.
Далее:
1. По формулам (1.1) проводится оценивание математического ожидания и
среднеквадратического отклонения. Оценка интенсивности вычисляется по
формуле
~
~
n  1 / m
n
18
2. Осуществляется проверка независимости τ1 .
С этой целью оценивается коэффициент корреляции
j 
M  k  j  M k  j  k  M k 
 [ k  j ]   [ k ]
между величинами τk+j, τk.Здесь j=1,2,... -параметр сдвига. При j=1 проверяется
наличие корреляции между соседними значениями τk, при j=2 корреляция через
1 и т.д. Величина ρj оценивается по формуле
~   m
~ 
  k  j  m
n
k
n
n j
~ j  k 1
~n2
.
Теоретическое значение ρj=0. Если величины ρj малы, то величины τk некоррелированы и можно предполагать их независимость. В лабораторной
работе достаточно принять j=1.
3. Строится гистограмма выборки τk и сравнивается с теоретическим законом
распределения (показательным законом с λ =5 груз/час).
Близость оценок и теоретических значений дает основание считать
алгоритм и программу надежно проверенными.
1.6.Указания к выполнению лабораторной работы №2 «Моделирование
характеристик обслуживающих аппаратов, транспортных потоков».
Индивидуальные задания приведены в Приложении №1. Условия вариантов
- те же, что и в лабораторной работе № 1. Исходными данными являются
значения параметров
α, β, полученные в ЛР №1. Для упрощения
моделирования значение α
округлить до ближайшего целого числа.
Округленное значение принять в качестве параметра k распределения Эрланга.
19
В работе требуется получить на ЭВМ реализации потоков транспортных
средств (самолетов, грузовых поездов, автосамосвалов), прибывающих под
разгрузку и времени разгрузки судов. Полученные реализации должны быть
статистически эквивалентны выборке, приведенной в условиях ЛР №1 каждого
варианта. Задачи ЛР №2 по существу являются обратными задачам ЛР №1.
Требуется:
1.
Промоделировать
реализации
потоков.
Алгоритмы
моделирования
приведены в п.4.
2. Провести контроль моделирования по алгоритмам п.1-4.
3. Привести числовые оценки, подтверждающие достоверность моделирования
и первые 5-10 значений, промоделированных величин.
Отчет по лабораторной работе выполняется аналогично ЛР №1.
20
ГЛАВА 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕССОВ В ПРОСТЕЙШИХ
ТИПОВЫХ СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
2.1. Характеристики многоканальной СМО без накопителя.
Исходными характеристиками СМО являются:
- n – число обслуживающих аппаратов;
-  - интенсивность входного потока заявок;
-  - интенсивность обслуживания.
Модель обслуживания заключается в следующем. Если в момент
появления очередной заявки имеются свободные обслуживающие аппараты, то
заявка становится на обслуживание в одном из свободных ОА. В противном
случае заявка покидает систему, получая отказ в обслуживании.
Здесь и далее в настоящей главе предполагается, что входной поток заявок
является пуассоновским простейшим потоком, а время обслуживания имеет
показательный закон распределения.
Вероятность Р0 того, что в СМО в заданный момент времени отсутствуют
заявки (система свободна) вычисляется по формуле:
  2
n 
 ...  
Р0 = 1  
n! 
 1! 2!
где  
1
(2.1)

- относительная интенсивность.

Вероятность Рк того, что в СМО в данный момент времени на
обслуживании находится К заявок равна:
Рк =
к
к!
* Р0 , к = 1, 2, 3,…, n.
Вероятность отказа заявке в обслуживании равна:
n
Ротк = Рn =
P0
n!
Вероятность обслуживания заявки равна:
.
(2.2)
21
Робсл = 1-Ротк
Пропускная способность СМО и интенсивность потока отказов находится
по формулам:
А = *Робсл,
Аотк = *Ротк .
(2.3)
Здесь пропускная способность А определяется как среднее число заявок,
получивших обслуживание за единицу времени, а интенсивность потока
отказов – как среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании за
единицу времени. Вероятность Рк того, что в СМО в данный момент времени
заняты обслуживанием К обслуживающих аппаратов определяется формулами
(2.1),(2.2). Среднее число загруженных ОА вычисляется по формуле:
K загр ОА = ρ Робсл .
Пример 2.1. Расчет характеристик службы приема заявок. Транспортная
компания имеет службу приема заявок. Среднее время приема заявок   5 мин,
заявки поступают с интенсивностью   5 заяв/час. Требуется определить
характеристики СМО, предполагая, что обслуживание происходит без
устройств накопления.
Решение. Исходные данные для данной задачи равны:
n=1,   5 заяв/час,  
1


1 заяв
заяв
 12
5 мин
час
Вычисляя относительную интенсивность

 5
 ,
 12
находим по формулам (2.1), (2.2) вероятности состояния:
1

12


 0.706 ,
1      17


5
Р1 


 0.294 .
1      17
Р0 
22
Вероятности отказа и обслуживания равны
Ротк  Р1  0.246 ,
Робс  0.706 ,
Пропускная способность, интенсивность потоков отказов принимают значения
А  Робс  3.5 заяв / час
Аотк  Ротк  1.5 заяв / час,
К заг рОА  Робсл  Р1  0.294
Видно, что в данном случае компания теряют около 30% обращающихся
заявок, не смотря на то, что обслуживающий аппарат загружен в среднем на
30%. Обслуживание может считаться неудовлетворительным.
Задача. Насколько улучшится обслуживание, если компания увеличит
количество приемщиков заявок до n =2 и n =3 единиц?
2.2. Оптимизация параметров автостоянки по критерию максимума
средней прибыли.
Автостоянка является типичным примером СМО без накопителя.
Примем, что доход компании формируется в виде платы Q [$/место сут] за одно
место стоянки в течение суток, а расходы – только в виде арендной платы
собственнику земли по тарифу q [$/сут м²] за каждый квадратный метр
площади, отнесенный к одним суткам работы, S а
– площадь одного
стояночного места, Т=1 сут – время работы.
Максимальный доход компания получит. если в течении суток все n мест
будут заняты:
Д max  nTQ
Расходы и прибыль составят величину
С=n q S а T ,
П max  Д max  C  nT ( Q  qS a )  nTqS a (   1 ) ,
где параметр
23

Q
1
qSa
характеризует превышение доходов с одного стояночного места над расходами.
Фактически доходы и прибыль имеют случайный характер. Они
определяются
входным
потоком
и
случайным
временем
загрузки.
Математическое ожидание дохода равно
МД = Q T К загрОА   Робсл Q T
Среднее значение получаемой прибыли определяется формулой
МП = МД-С = T q S a (  Робсл   n )
(2.4)
Оптимальное число n стояночных мест находится из условия максимум
целевой функции
z  МП  f ( n )  max ,
как функция от числа n обслуживающих аппаратов при заданных значениях
остальных параметров.
В приложении 2 приведены индивидуальные задания по расчету значения
n . Для расчетов необходимо составить таблицу зависимости средней прибыли
(за одни сутки работы стоянки) и вероятности отказа в обслуживании от числа
стояночных мест.
2.3. Характеристики системы массового обслуживания с конечной
емкостью накопителя.
Емкость накопителя m определяется как максимальное количество
заявок, которое может быть в нем размещено.
Вероятность того, что в момент времени t в системе (т.е. в накопителе
или в обслуживающих аппаратах) находится К заявок равна
24



P 
k


k
k 0 ,1,...,n;
P ,
k! 0

(2.5)
n
P0 q l , k  n  l , l 1,...,m ,
n!
где =/μ; q = ρ /n, Pо - вероятность того, что СМО свободна (т.е. заявки
отсутствуют, как в очереди, так и в обслуживающем аппарате), вычисляемая по
формулам:
P 
0
1
.

n n
1 
 ...

S
1! 2!
n! n!
2
(2.6)
Здесь S – сумма геометрической прогрессии
S= q + q2 + q3 +…+ qm ,
определяемая формулами
m , если q  1,
S = 
m
q (1 - q ) / ( 1  q ),
если
q  1.
Вероятность отказа в обслуживании равна
P
 Pn m  q
отк
m
n
P.
n! 0
Отсюда определяется вероятность обслуживания Pобсл  1  Pотк .
Пропускная способность и интенсивность потока отказов вычисляются
по формулам (2.3).
Очередь в СМО представляет собой случайную дискретную величину,
закон распределения которой характеризуется таблицей
Табл. 2.1.
Число
заявок в
очереди
0
Вероятности
Р0  Р1  ...  Рn
1
Р n 1
2
…
m
Рn  2
…
Рn  m
25
Средняя длина очереди является математическим ожиданием закона
распределения табл. 2.1. Вычислить ее значение можно по формуле:
= 1*Pn+1 +2* Pn+2 +3* Pn+3 +… + m*Pn+m
L
оч
или по формуле:
Lоч 

q n P0 1( m 1 )q m  mq m  1
n! ( 1 q )2
.
(2.7)
Вычислив значение средней длины очереди, определяем значения
среднего времени ожидания обслуживания t
ож
заявок в очереди и среднее
время пребывания t пр в СМО
t пр  tож  Pобсл / 
t ож  Lоч /  ,
,
Характеристики загрузки каналов обслуживания – среднее число Кзагр
занятых каналов и простаивающих аппаратов Кпрост определяются по формулам
К загр  p1  2 p2  ...  ( n  1 ) pn 1  n( Pn  Pn  1  ...  Pn  m );
(2.8)
K прост  n  К загр .
Характеристики загрузки накопителя - вероятность того, что накопитель
простаивает свободным Рпрост.н , среднее число занятых Кзагр.н и свободных
Кпрост.н мест накопителя вычисляются так:
Pпрост.н  P0  P1  ...  Pn ;
K загр .н 1Pn  1  2 Pn  2  ... mPn  m ;
(2.9)
K прост.н  m  K загр .н .
В приложении 3 приведены варианты индивидуальных заданий по
расчетам характеристик обслуживания потоков автомобилей на АЗС.
Пример.
2.2.
Рассмотрим
автозаправочную
станцию
с
n=2
бензоколонками, обслуживающую поток автомашин интенсивности   12
авт/час. Среднее время обслуживания одной машины – 5 мин. На подъездных
путях АЗС может размещаться не более m=3 автомашин. Машина, прибывшая
26
в момент, когда подъездные пути заняты полностью – покидает АЗС. Требуется
найти вероятностные характеристики процесса обслуживания:
 вероятности состояния АЗС;
 вероятность отказа в обслуживании;
 вероятность обслуживания;
 пропускную способность АЗС;
 среднее число занятых каналов;
 среднее число автомашин в очереди;
 среднее время ожидания обслуживания и пребывания на АЗС;
 характеристики загрузки бензоколонок и подъездных путей;
Решение:
Состоянием
S к АЗС
является
число
 автомобилей,
находящихся на обслуживании. Система имеет 1+n+m=1+2+3=6 возможных
состояний: S 0 – отсутствуют автомобили; S 1 – в СМО находится 1 автомобиль
(на заправке); S 2 – на заправке 2 автомобиля (очередь отсутствует); S 3 S 4 S 5 –
заправляются 2 автомобиля и очередь составляет соответственно 1 автомобиль
(состояние S 3 ), 2 автомобиля (состояние S 4 ) и 3 автомобиля (состояние S 5 ). В
состоянии S 5 заняты полностью все подъездные пути. Других состояний АЗС
не имеет.
Параметры системы равны:
1
авт
 авт 
n  2; m  3;  

 12
,

час
 час  5 мин

 12

 1;
 12
q 

n
 0.5  1
Вероятность Р0 состояния S 0 определяется по формуле(2.6)

 2  2 S
Р0  1   


2
2 

1
1 7 

 1  1  0.5 
2  8 

1

16
.
47
Здесь S = q + q2 + q3 = 7/8
Вероятности других состояний вычисляются с помощью формул (2.5)
27
Р1 

1!
Р2 
Р3 
Р4 
Р5 
Р0  Р0 
2
2!
16
47
Р0  0.5 Р0 
3
2!2
4
2!4
5
2!8
8
47
Р0  0.25Р0 
4
47
Р0 
1
2
Р0 
8
47
Р0 
1
1
Р0 
16
47
Эти расчеты показывают, что за промежуток Т=47 час работы АЗС в
среднем в течение 16 час будут простаивать обе бензоколонки, в течение 16 час
– ровно 1 бензоколонка. В течении оставшихся 15 час будут загружены обе
колонки, при этом в течение 8 час отсутствует очередь; очередь из одной, двух
и трех машин буде наблюдаться в течении 4 час, 2 час и одного часа
соответственно.
Вероятности отказа в обслуживании и обслуживания автомобиля равны
Ротк  Р5 
1
;
47
Робсл  1  Ротк 
46
47
Средняя длина очереди вычисляется по формуле (2.7)


1  4   3 
3
 Р0
4 ( 1  4  0.5 3  3  0.5 4 ) 11
2
2





2
2  2!
47
47
1  0.5 2


1  
2

3

L оч
4
Среднее время ожидания в очереди равно
t ож 
Lоч


11
11  60
час 
мин  1.2 мин
47  12
47  12
Среднее время пребывания автомобиля на АЗС находится по формуле:
t СМО  1.2 
46  60
 6.2 мин
47  12
28
Пропускная способность АЗС и среднее число автомобилей, получивших отказ
равны
А  Робсл  
46
авт
12  11.75
47
час
Аотк  Ротк  
1
авт
12  0.25
.
47
час
Характеристики загрузки бензоколонок и подъездных путей выражаются
через вероятности состояний с помощью формулы (2.8), (2.9). Средние
значения загруженных БК и мест на подъездных путях равны
К заг р  1  Р1  2( Р2  Р3  Р4  Р5 ) 
К заг р.н  Lоч 
46
1
47
11
 0.22
47
Отсюда находится среднее число простаивающих колонок и мест на
подъездных путях.
К прост  n  К загр  2  1  1
К прост .н  m  К загр.н  3  0.22  2.78
Вероятность того, что подъездные пути не используются равна
Рпрост .н  Р0  Р1  Р2 
40
47
т.е. в течение 40 час из Т=47час времени работы АЗС подъездные пути
остаются не использованными.
Пример 2.3. Расчеты, выполненные в предыдущем примере, показывают,
что АЗС работает с недогрузкой. Менеджер компании может попытаться
уменьшить число работающих бензоколонок до n=1. Найти характеристики
АЗС в этом случае.
Решение. Число состояний уменьшаются до 5. Вероятность Р 0 того, что в
АЗС отсутствует на обслуживании автомобили, находится (т.к. q =  / n  1,
S=3) по формуле (2.6):
29
Р0  { 1     2  3 } 1 
1
5
Вероятности состояний S 1  S 5 равны
Р1    Р0 
1
5
1
Р2  Р3  Р4  Р0  .
5
Вероятности отказа в обслуживании и обслуживания изменяются так:
1
Ротк  Р4  ;
5
Робсл  0.8
Для расчета средней длины очереди воспользуемся формулой (2.7)
Lоч 
 2 Р0
1
m
( m  1) 1
4 6
 3 
2
5
2 5
Среднее время ожидания и пребывания автомобиля на АЗС увеличилось
t ож 
6
 6 мин
5
t СМО  6  0.8  5  10 мин
Уменьшилась пропускная способность
А=0.8  12=9.6 авт/час
и увеличился поток автомобилей, получивших отказ
Аотк  12  9.6  2.4 авт/час.
Увеличилась загрузка бензоколонок и подъездных путей
К загр  0.8
К заг р.н  Lоч 
6
5
Вероятность, того, что подъездные пути не используются (накопитель
свободен), уменьшилась
Рпрост .н  Р0  Р1 
2
5
30
Т.о. уменьшив число бензоколонок, менеджер увеличит загрузку каналов
АЗС, однако увеличится и поток автомобилей, получивших отказ в
обслуживании. Поэтому качество обслуживания только ухудшится.
Как найти оптимальные значения параметров СМО (в частности, числа
бензоколонок)?
Ответ
на
вопрос
зависит
от
того,
какой
критерий
оптимальности принять. В следующем параграфе рассматривается задача
оптимального выбора параметров n и m по критерию максимума прибыли.
2.4. Выбор оптимального числа обслуживающих аппаратов и емкости
накопителя в СМО с конечной емкостью.
С
помощью
приведенных
формул
определяются
экономические
показатели СМО - математические ожидания прибыли П, дохода Д и затрат З за
принятое расчетное время Т = nмес месяцев:
П  Д  З;
Д С
А n ;
кл мес мес
З  ( С0  nCОА  mCн  С )  n мес ,
(2.10)
где Скл ($/клиент) - средний доход, приносимый одним клиентом за
обслуживание, Амес[1/мес] – пропускная способность за месяц, СОА - затраты на
содержание в течение месяца одного канала обслуживания, СН - затраты на
содержание в течение месяца одного места в накопителе, Со- постоянная часть
затрат, не зависящая от числа каналов и емкости накопителя.
Модель (2.10) при условии ΔС = 0 предполагает, что затраты не зависят
от того загружены ли ОА или простаивают, свободен накопитель или нет. В
том случае, если часть затрат определяется фактическим (случайным) числом
занятых ОА или мест в накопителе, то вводятся дополнительные слагаемые:
31
k
С   Ci ;
i 1
С1  C загр K загр .н ;
(2.11)
С2  С загр .н K загр .н .
В формулах (2.11) величины ΔСi учитывают возрастание затрат за счет
дополнительных факторов; к - число факторов; Сзагр, Сзагр.н - дополнительные
затраты за счет фактической загрузки каналов обслуживания и мест
накопителя.
Если компания, заинтересованная в притоке клиентов, предложит,
например, компенсацию Скомп за каждый отказ в обслуживании, то появляется
дополнительное слагаемое
С  С
P .
комп отк
з
(2.12)
Подстановка формул (2.3), (2.5) в (2.10) приводит к следующему
выражению для средней прибыли
 

 nm 

П  С кл  1 
Р


С

С
n

С
m


С
 n мес
0
ОА
н
m 0  мес
n
!
n

 

(2.13)
Здесь  м ес - интенсивность входного потока за 1 месяц. Величина средней
прибыли
зависит
 мес ,    /  , n, m
согласно
и
формуле
(2.13)
стоимостных
от
параметров
СМО:
коэффициентов
-
С кл , С 0 , СОА , С н , С загр , С загр.н , Qком п .
Таким образом, выражение (2.13) является полностью замкнутым.
Оптимальное значение параметров n, m находятся численным методом, исходя
из условия
П  П (n, m)  max
максимальной прибыли. Проиллюстрируем методику с помощью примера.
Пример.2.4. Найдем оптимальное число n бензоколонок и вместимость m
подъездных путей для АЗС. Интенсивность потока автомашин и обслуживания
равны
    6 авт/час
32
Среднее значение дохода приносимого одним обслуженным клиентом
С кл  1$ ; значение других стоимостных параметров:
С0  300 $ / мес ,СОА  100 $ / мес ,С н  50$ / мес , С  0.
В месяц АЗС работает 300 час. Интенсивность месячного потока машин равна:
 мес  6 авт час  300 час  1800 автомобилей
При заданных значениях параметров выражение (2.13) прибыли (в
долларах), получаемой за месяц работы АЗС принимает вид
Р 

П  1800 1  0 m   300  100n  50m,
n! n 

Здесь величина Р 0 равна
 
 
1

m 


1
1 1 

n   , n  2
1 1
1

 1    ...  

Р0   1! 2!
n! n  n! 1  1 

n



1
2  m 

,n  1
В табл.2.2 представлены значение вероятности отказа в обслуживании
Ротк 
Р0
n!n m
(индекс “отк” – опущен) и месячной прибыли при различных значениях n
и m. Из таблицы следует, что оптимальным является n=2 бензоколонки и
емкость подъездных путей, рассчитанная на m=2 автомобиля. При этих
значениях
параметров
достигается
наибольшее
значении
прибыли
П max  1121 $ в месяц.
Заметим, что при фиксированном числе бензоколонок существует
оптимальное значение
mопт емкости подъездных путей. Из таблицы 2.2
следует, что величина mопт равна 4 для n=1, двум для n=2 и единице (для n  3).
Табл.2.2.
n
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
33
Р
П
Р
П
Р
П
Р
П
Р
П
1
1
3
750
1
4
850
1
5
890
1
6
900
1
7
890
2
1
11
1085
1
23
1121
16
47
1100
1
95
1092
1
192
1041
3
1
49
1113
1
148
1087
0.002
1045
0
1000
0
950
4
96
261
1043
0.003
995
0
950
0
900
0
850
2.5. Условие того, что СМО справляется с обслуживанием потока.
Это условие имеет вид неравенства:
 < n  ,
(2.14)
где  -интенсивность входного потока заявок, n – число обслуживающих
аппаратов,  - интенсивность обслуживания.
Здесь произведение n характеризует суммарную производительность
обслуживающих аппаратов - среднее количество заявок, которое могут
обслужить все n обслуживающих аппаратов. Условие (2.14) означает, что
суммарная производительность ОА должна быть выше среднего числа заявок,
поступающих в единицу времени на обслуживание.
Выражение (2.14) называется также условием конечности очереди. Если
это условие не выполняется, в СМО наблюдается неограниченный рост
очереди.
Пример.2.5. Агентство по продаже авиабилетов располагает n=2 кассами.
Среднее время продажи билетов одним кассиром равно γ = 3 мин,
интенсивность входного потока равна =3 пас/мин.
1.
Справляется ли агентство с обслуживанием пассажиропотока?
34
Какое
2.
число
касс
минимально
необходимо,
чтобы
агентство
справлялось с обслуживанием?
Решение. Интенсивность обслуживания равна:
 =
1
_


1
пас/мин
3
Условие того, что система массового обслуживания справляется с
обслуживанием, имеет вид неравенства (2.14). Поскольку правая часть
неравенства равна 2/3, то, очевидно, что неравенство не выполняется. Таким
образом, агентство при n=2 работающих касс не справляется с обслуживанием
пассажиропотока заданной интенсивности.
Минимально необходимое число касс должно удовлетворять неравенству:
n >

3

 9
1

3
Следовательно, минимально необходимо n=10 касс.
Характеристики СМО с неограниченной емкостью накопителя.
2.6.
Если СМО справляется с обслуживанием потока, т.е. при выполнении
неравенства (2.14) или равносильного ему условия:
q = ρ / n < 1,
вероятности состояния определяются теми же самыми формулами (2.5), что и
для СМО с конечной емкостью накопителя, где, однако, надо положить
m=∞,
S = q / (1 – q ).
(2.15)
Вероятности обслуживания и отказа равны соответственно единице и нулю.
Интенсивность потока отказов равна нулю, а пропускная способность равна
интенсивности входного потока. Остальные характеристики – те же, что и в
п.2.3.
35
Пример 2.6. Рассчитаем характеристики АЗС с двумя бензоколонками
при интенсивности потока автомашин
  12 авт час и среднее время
обслуживания одной машины   5 мин . В примере 2.2 эта задача решалась
нами при емкости подъездных путей, не более m=3 автомобилей. Найдем
теперь характеристики АЗС при неограниченной емкости.
Решение. Параметры системы равны
n  2 ,   12 авт
Поскольку
обслуживанием
выполнено
потока
час
,   1, q  1
условие
автомашин
(2.14),
заданной
то
2
 1 ..
АЗС
справляется
интенсивности.
с
Найдем
вероятности состояний. По формуле (2.5.)получаем

11 
Р0  1  1  0.5 
41  0.5 

1

1
3
Вероятности того, что на АЗС находятся в заданный фиксированный
момент времени к машин равны
1
Р1   Р0  ;
3
Р3 
Р4 
Р5 
3
2!2
4
2!4
5
2!8
Р2 
Р0  0.25Р0 

2
2!
Р0 
1
;
6
1
;
12
1
1
Р0 
;
8
24
Р0 
1
1
Р0 
;
16
48
Мы видим, что полученные вероятности очень близки к значениям
примера 2.2 .
Средняя длина очереди находится по формуле (2.7):
Lоч 
1
1
3

2
3
2  2! 1  0.5 
Среднее время ожидания в очереди на заправку и пребывания автомобиля
на АЗС равны
36
t ож 
5
мин;
3
t СМО 
5
 5  6.7 мин
3
Вероятность того, что все бензоколонки загружены равна
1
Р заг р  1  Р0  Р1  .
3
В среднем загружена
к загрОА  1 Р1  2 Pзагр  1
одна бензоколонка. Вероятность возникновения очереди равна
Роч  Рзаг р  Р2 
1
.
6
Поскольку в данном примере интенсивность потока слабая (q=0.5)
емкость накопителя не используется в полной мере. Поэтому результаты
расчетов характеристик СМО с конечной и бесконечной емкостью накопителя
практически совпали.
2.7.
Расчет параметров кассового зала железнодорожного вокзала.
Средние характеристики очереди. Железнодорожный вокзал имеет n=3
кассы К 1 , К 2 , К 3 продажи билетов на пригородные электрички. Каждая касса
продает билеты на все направления. Кассы должны обеспечить продажу
билетов всем желающим их приобрести. Потери заявок исключены. В
результате статистического обследования установлено, что среднее время
продажи билета одни кассиром равно
  45сек  0.75 мин
Поток
пассажиров
имеет
интенсивность
  3 пасс мин .
Найдем
характеристики очереди пассажиров:
 среднюю длину очереди;
 среднее время ожидания в очереди и пребывания пассажиром в
кассах;
Величина интенсивности обслуживания равна
37

1


4
мин 1
3
По условию кассы являются системой массового обслуживания без
потерь. Проверим, будет ли очередь ограниченной. Воспользуемся условием
(2.14) в форме
n   
Поскольку оно
выполняется



3
 2.25 . .
43
(величина
n=3), то
неограниченное
возрастание очереди исключается. Заметим, что если бы работали только две
кассы (например, в случае болезни одного из кассиров), то в нашем случае
очередь пассажиров стала бы бесконечной.
Само по себе выполнение неравенств (2.14) не гарантирует качества
обслуживания. Нужны более основательные расчеты.
Значение параметра q равно q =0.75. Вероятность отсутствия заявок (см.
формулу (2.6))равна

2.25 2 2.253 2.253  0.75 

Р0   1  2.25 


2
!
3
!
3
!

0
.
25


1
 0.075
С помощью формулы (2.7) вычисляем среднюю длину очереди
Lоч 
2.25 4  0.75
3  3! 1  0.75
2
 1.7 пасс
и среднее время ожидания
t ож  1.7  0.57
3
Среднее время пребывания пассажиров в кассе равно
t СМО  0.57  0.75  1.33 мин
Мы видим, что средние значения характеристик, очереди имеют вполне
приемлемые значения.
Вместимость
кассового
зала.
Рассчитанная
нами
величина
Lоч  1.7 определяет лишь только то значение, относительно которого длина
очереди будет колебаться, отклоняясь в большую или меньшую сторону.
38
Поскольку вероятности состояния Рк отличны от нуля, то в принципе не
исключаются (и даже будут происходить) отдельные выбросы. Например, с
положительной вероятностью очередь может достигнуть значения 20 или даже
100 человек. Зал должен быть рассчитан на то, чтобы с вероятностью
Рвм  1  
,
близкой к единице вмещать всех желающих. Здесь  - заданное малое число –
параметр. Значение  может быть равным 0.01 или 0.001.
Математически это означает, что искомая вместимость N должна быть
найдена из условия
Р0  Р1  ...  Р N  Рвм
(2.16)
Конечно, нас интересует наименьшее значение параметра N при котором
условие (2.16) выполняется. Если положить
N  n  L,
где n – число пассажиров, покупающих билеты (т.е. обслуживающихся у касс),
а L – искомая расчетная длина очереди, то неравенство (2.16) может быть
переписано так

РL1  РL 2  ...   Рк   .
к  L 1
Данное неравенство в нашем случае решается аналитически. Подставим
формулы (2.5):

 n Р0
к  L 1
n!
 Рк 

q
k
к  L 1
и воспользуемся, как это уже не раз было, формулами суммы
геометрической прогрессии

 Рк 
к  L 1
 n Р0 q L1
n! 1  q
 .
Отсюда логарифмируя, находим величину L из неравенства:
L  1
  (1 - q)  n! 
1

 ln
ln q  P 0  n 
(2.17)
39
В нашем примере при ε = 0.01 неравенство (2.17) имеет вид
L1
1
 0.01  0.25  3! 
 ln
  14.05
ln 0.75  0.075  2.25 3 
и расчетная длина очереди равна L=14. С учетом того, что n=3 человека
покупают билеты вместимость зала нужно рассчитывать на N=17 человек.
Проведенные расчеты означают следующее. Если в течении заданного
времени Т (например, T =8 час  60мин=480мин), поток пассажиров будет
сохранять неизменное, принятое при расчетах значение   3 час мин , то в
течение
  Т  0.01  480  4.8 мин
кассовый зал будет переполнен. Такое превышение вместимости ввиду малости
времени считается допустимым. В течение остального времени количество
пассажиров, покупающих билеты будет не более 17 человек. В частности, в
течение промежутка
Р0  Т  0.075  480  36 мин
зал будет полностью пустым.
Если значение 4.8 мин является слишком большим, то необходимо
повторить расчеты при других значения параметра  . Приняв  =0.001 (что
соответствует интервалу переполнения зала 0.48 мин) получаем значении
параметров
L=22 пас,
N=25 пас.
Критическое значение интенсивности пассажиропотока.
Простейшие наблюдения показывают, что пассажиропоток на железной
дороги не является стационарным. Его интенсивность зависит от сезона, дня
недели, времени суток. Летом наблюдается большие значения интенсивности,
чем зимой, в праздничные и предвыходные дни поток также возрастает. Это и
понятно. Ведь люди стремятся ехать на дачу, в лес, отдохнуть на природе.
Развитие городского строительства и рост городского населения также
увеличивает пассажиропоток. Поэтому при проектировании кассовых залов, а
40
также и других систем массового обслуживания, необходимо проводить
расчеты при различных значениях параметра  .
Критическим кр назовем то значение интенсивности входного потока,
при котором начинается неконтролируемый рост очереди в СМО. Из формулы
(2.14) следует, что величина кр определяется следующим равенством
кр  n .
В нашем случае получаем
кр =3  4 3  4 пасс мин .
Определение числа кассовых аппаратов, исходя из заданного
среднего времени ожидания. В связи с застройкой нового микрорайона отдел
планирования мэрии прогнозирует увеличение интенсивности пассажиропотока
до уровня  =5.5 пасс мин . Какое количество касс нужно запланировать,
чтобы обеспечить необходимое качество обслуживания при продаже билетов?
Найдем необходимое количество кассовых аппаратов. Во первых, нужно,
чтобы очередь была ограниченной. Поэтому число касс должно удовлетворять
неравенству
n 
 5.5

 4.125 .
 43
Округляя в большую сторону, получаем неравенство n ≥ 5. Значение
параметра n выберем из того, чтобы среднее время ожидания пассажиров в
очереди не превосходило
t ож  t   1.2 мин
заданного значения t  , которое гарантирует достаточно быстрое обслуживания.
Используя формулу (2.7) получаем неравенство
 n 1 Р0   , n 
f   ,  , n 
 t
  n  n! 1  q 2
(2.18)
41
для определения n. Здесь нужно помнить, что в левой части вероятность Р0
зависит также от n (см. формулу (2.6)).
Поскольку функция f  ,  , n  в левой части неравенства (2.18) стремится
к нулю при n   , достаточно быстро убывая, то искомое значение n всегда
найдется.
Алгоритм определения n представлен на рис.2.1, где функция Ц(x)
означает целую часть числа x. Алгоритм заключается в последовательном
переборе значений n=5,6,…; вычислении значения функции
f  ,  , n  и
проверке выполнения неравенства (2.18), по которому осуществляется выход из
цикла.
Ввод  ,  ,t
n:=ц ( х )  1
Вычисление
f  ,  , n
f   t
КОНЕЦ
Рис.2.1.
n:=n+1
42
В табл. 2.3.
представлены результаты расчетов функции
f  (ее
размерность – мин) при различных n. Ясно, что в данном случае значение n=5,
при котором среднее время ожидания ровно tож  0.51мин является искомым.
Табл. 2.3.
Число касс n
Время ожидания f(·),
5
6
0.51
0.126
мин
Планирование числа работающих касс.
В табл. 2.4 представлен пример данных по интенсивности (пас/мин)
пассажиропотока в различное время года и дни недели. Видно, что
интенсивность меняется на порядок.
Табл. 2.4
Время года
Будни дни
Выходные
дни
Зима
0.5
3
Лето
2.2
5.5
Для обслуживания пикового потока интенсивности  max  5.5 пасс мин
(лето, выходные дни) требуются, как мы только что видели, n=5 касс. Ясно, что
нет необходимости в работе всех касс при малых потоках. Возникает задача
планирования числа работающих касс, исходя из заданных характеристик
пассажиропотока.
Эта задача решается по схеме изложенной выше. Для различных
значений  , представленных в табл. 2.4, проводились расчеты параметра n из
условия (2.17). Результаты расчетов приведены в табл.2.5.
43
Табл. 2.5.
Время года
Будни дни
Выходные
дни
Зима
1
3
Лето
2
4
2.8. Морские и речные порты как системы массового обслуживания.
Расчет характеристик, оптимизация количества причалов.
Порт (морской или речной) является с точки зрения теории массового
обслуживания многоканальной СМО без потерь заявок. Входной поток заявок
образует поток судов, прибывающих в порт на разгрузку. Для применения
аналитических формул, приведенных выше, предположим, что поток судов
обладает
свойствами
пуассоновского
потока
и
имеет
интенсивность
 суд сут . Функция обслуживания заявки заключается в разгрузке судов;
обслуживающими
аппаратами
являются
причалы,
укомплектованные
погрузочно-разгрузочным оборудованием – кранами. Порт имеет n причалов.
Время разгрузки каждого судна – случайная величина. Ее закон распределения
примем показательным со средним значениям  [ сут ].
Если в момент прибытия очередного судна имеются свободные причалы,
то судно поступает на один из них под разгрузку. В противном случае оно
становится на рейд, где дожидается своей очереди.
Рассчитаем в качестве примера характеристики порта с n=3 причалами
при разгрузке потока судов интенсивности   0.8 суд сут . Среднее время
разгрузки   1.5 суток .
Значения интенсивности обслуживания причала  и параметра  равны
  1   2 3 ;      0 ,8  3 2  1.2
Величина
q
n  1,2 3  0.4  1
44
гарантирует конечность очереди судов на рейде, ожидающих обслуживания.
Вероятность того, что в порту отсутствуют суда (причалы и рейд простаивают)
определяется выражением
Р0 
1
1.2 1.2 2 1.2 3
1


1!
2!
3!
0.4 

 1 

 1  0.4 

1
 0.294
3.4
Вероятности Р к загрузки причалов вычисляем по формулам (2.5 ):
Р1  Р0  1.2  0.294  0.352
Р2 
Р3 

2

3
Р1  0.6  0.352  0.211
Р2  0.4  0.211  0.0847
Вероятность наличия очереди судов на рейде равна
Роч  1  Р0  Р1  Р2  Р3   0.058
С помощью формул (2.7), (2.8) находим:
 среднюю длину очереди
Lоч
1.2 4  0.294

 0.094 ,
2
3  3!( 1  0.4 )
 среднее время ожидания
t ож 
0.094
 0.118сут  2.8час ,
0.8
 среднее число загруженных причалов
K загрОА  1  0.352  2  0.211  3( 1  P0  P1  P2 )  1.2.
 среднее время пребывания в порту (ожидание на рейде и разгрузка)
t сист  1.5  24  2.8  38.8час
Вместимость рейда находится из условия (2.17), означающего, что
вероятность очереди более L судов должна быть не более заданного малого
уровня  . По формуле (2.17) при  =0.001 находим:
45
 0.001 0.6  6 
n

0.294  1.2 3 

L1
 5.4
n0.4
Т.о. с вероятностью Р=0.999 длина очереди менее или равна 5 судов.
Оптимальное число причалов.
Введем следующие экономические показатели, характеризующие затраты
на обслуживание судов в порту:
пр
 С заг
р $ сут  - стоимость суточной эксплуатации одного причала при
выполнении погрузочно-разгрузочных работ;
пр
 С прост
$ сут - стоимость суток простоя причала;
суд
 С прост
$ сут - стоимость суток простоя одного судна на рейде.
Тогда средние суточные затраты характеризует критерий:
суд
пр
пр
С    t ож  С прост
 К загр  С загр
 n  К загр С прост
(2.19)
Здесь величины t ож , К заг р определяется с помощью формул (2.5)-(2.9) по
входным параметрам  ,  , n . Если значения параметров  и  - заданы, то
нетрудно рассчитать зависимость затрат
С=С(n)
от числа причалов. Оптимальное число причалов n опт находится из условия
C(n)  min
минимума функции (2.19), где n >  .
В табл. 2.6 приведены суммарные затраты и отдельные составляющие для
рассмотренного выше примера при следующих значениях параметров
суд
С прост
 1000$ сут ;
пр
пр
С прост
 1000$ сут С загр
 2000$ сут .
46
Табл.2.6.
Количество
причалов
Составляющие затрат
Суммарные
затраты
Простой
Эксплуат.
Простой
судна
причала
причала
2
675
2400
800
3875
3
95
2440
1780
4320
4
15
2400
2800
5210
Поскольку должно быть выполнено условие n    1.2 , то оптимальное
число причалов отыскивается среди значений n=2,3,… . С ростом n
уменьшаются затраты на простой судов, но возрастают издержки, связанные с
простоем причалов. Поскольку в данном примере простой судов обходится
значительно дешевле эксплуатации причала, то оптимальное значение n равно
двум.
В табл.2.7 представлены результаты расчетов при более высокой
стоимости простоя судна, где принято
суд
С прост
 2000$ сут. Значения
остальных параметров – те же, что и в табл.2.6. Поскольку относительный вес
затрат на простой судов увеличился, то стало выгодным уменьшать очередь на
обслуживание, что достигается увеличением числа причалов. Оптимальное
число причалов стало равным трем.
Табл.2. 7.
Количество причалов
Затраты на простой
Суммарные затраты
судов
2
1350
4540
3
190
4390
4
22
5220
47
ЛИТЕРАТУРА
1.
Палагин Ю.И. Моделирование случайных величин. С.-Петербург,
Академия ГА,1994
2.
Шалыгин А.С.,Палагин Ю.И.
Прикладные методы статистического
моделирования . Л:Машиностоение,1986
3.
Капитонов Ю.А., Палагин Ю.И., Шалыгин А.С. Анализ точности
непараметрических
методов оценивания
плотности
распределения.
Изв. АН ССР. сер. Технич. кибернетика, 1987, N6, с.191-197
4.
Вентцель Е.С. Исследование операций. М.Сов.радио.1972.
5.
Палагин Ю.И., Теплых Н.В. Обработка и моделирование транспортных
потоков/Академия ГА. С.-Петербург,1997.
6.
Палагин Ю.И. Анализ процессов обслуживания в единой транспортной
системе: Методические указания к выполнению курсовых работ и
дипломных проектов /Академия ГА. С.-Петербург, 1997.
7.
Палагин Ю. И., Семенюта А. А., Тарамыко А. Е. Оптимизация
транспортных процессов в логистических системах: Учебное пособие /
Академия ГА. С - Петербург, 2001. 90с.
.
48
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Индивидуальные задания по лабораторным работам № 1,2
ВАРИАНТ 1
Продолжительность
интервалов
(мин)
между
прибывающими
и
отправляющимися самолетами на Парижском аэродроме Орли за вторую
половину дня 4 мая была зарегистрирована следующая:
1, 8, 10, 13, 9, 8.5, 6, 5, 4, 2, 2.5, 7, 1.5, 1.8, 2.3, 6.5, 1.5, 1.8, 4.2,
2.2, 4.5, 6.5, 3.5, 2.9, 1.7, 8.8
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 2
Проводились статистические исследования работы северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности (час)
выгрузки
на
берег
круглого
леса
из
речных
самоходных
судов
грузоподъемностью 2700 т. портальными кранами:
30.5, 23.5, 20.0, 22.8, 19.8, 15.4, 20.5, 19.2, 18.1, 20.3, 22.6, 19.4, 18.5
14.0, 23.4, 22.5, 20.6, 35.2, 16.1, 16.4, 16.6, 21.8, 19.3, 28.2, 24.9, 16.5
25.2, 20.1, 20.4, 16.3
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
49
ВАРИАНТ 3
Результаты наблюдения интервалов (сек) между прибытием автомобилейбензовозов под погрузку на Выхтинскую перевалочную нефтебазу Москвы:
1.1, 41.0, 0.3, 48.3, 64.1, 44.2, 41.1, 32.7, 26.4, 19.3, 12.5
5.6, 34.2, 3.8, 2.2, 6.7, 10.5, 33.0, 7.8, 5.7, 19.7, 1.0
24.6, 32.1, 18.0, 13.4, 5.5, 39.9, 4.4, 3.2
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 4
Проводятся статистические исследования работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности (час)
выгрузки
на
берег
круглого
леса
из
речных
самоходных
судов
грузоподьемностью 600-700 т портальными кранами:
22.9, 24.2, 8.6, 9.4, 14.1, 9.8, 16.2, 9.7, 16.7, 9.3
9.6, 15.8, 6.7, 6.5, 13.5, 6.3, 14.2, 5.0, 18.4, 10.6,
10.0, 4.8, 13.9, 11.7, 10.1, 11.8, 8.1, 6.1, 7.7, 6.8
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 5
Промежутки времени (мин) между последовательным прибытием
самолетов на аэродром Дюссельдорф в течение суток составили:
2.0, 71.8, 0.5, 84.6, 112.3, 77.5, 71.9, 57.2, 46.2, 33.8
50
21.9, 9.8, 60.0, 6.6, 3.8, 11.8, 18.4, 57.8, 13.7, 9.7
34.5, 1.9, 43.0, 56.3, 31.5, 23.6, 9.9, 69.9, 7.7, 5.7
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 6
Продолжительность интервалов (сек) между моментами поступления
автосамосвалов под погрузку на базу минерально-строительных материалов
станции Москва-2-Курская Московской дороги наблюдалась следующая:
8, 261, 2.0, 308, 408, 282, 262, 209, 168, 123, 80, 36, 218, 24,
14, 43, 67, 210, 50, 36, 125, 7, 157, 205, 116, 86, 36, 254, 28, 21
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
.ВАРИАНТ 7
Проводятся статистические исследования работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности (час)
выгрузки
на
берег
круглого
леса
из
речных
самоходных
грузоподъемностью 600-700 т портальными кранами:
9.9, 36.6, 23.3, 8.7, 9.4, 11.7, 7.7, 13.5, 8.6, 11.1
6.4, 24.7, 10.0, 3.3, 23.0, 2.9, 14.0, 11.8, 11.9, 14.1
6.6, 7.8, 3.8, 19.1, 4.8, 5.7, 11.2, 14.9, 1.9, 6.3
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
судов
51
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 8
Продолжительность интервалов (мин) между прибытием на станцию
Расторгуево (с 1 по 15 апреля) грузовых поездов, имеющих вагоны с углем для
Московского коксохимзавода, наблюдалась следующая:
13.7, 479.0, 3.8, 564.4, 748.7, 516.8, 479.8, 381.7, 308.1, 225.3, 146.1,
65.5, 400.0, 44.5, 25.9, 79.2, 123.2, 385.6, 91.8, 65.4, 230.0, 12.6,
287.3, 375.3, 210.0, 157.4, 66.1, 466.3, 51.7, 38.4
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 9
Продолжительность интервалов ( мин) между прибытием на станцию
Расторгуево ( с 1 по 15 апреля) грузовых поездов, имеющих вагоны с углем для
Московского коксохимзавода, наблюдалась следующая:
14.7, 513.2, 4.0, 604.7, 802.2, 553.7, 514.0, 409.0, 330.1
241.4, 156.6, 70.2, 428.6, 47.7, 27.7, 84.9, 132.0, 413.1, 98.4
70.1, 246.4, 13.5, 307.8, 402.1, 225.0, 168.7, 70.9, 499.6, 55.4, 41.1
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
52
ВАРИАНТ 10
Промежутки времени (мин) между последовательным прибытием
самолетов на аэродром Дюссельдорф 12 октября составили:
2.1, 75.6, 0.6, 89.1, 118.2, 81.6, 75.7, 60.2, 48.6, 35.5, 23.0
10.3, 63.1, 7.0, 4.0, 12.5, 19.4, 60.8, 14.5, 10.5, 36.3, 2.0
45.3, 59.2, 33.1, 24.8, 10.4, 73.6, 8.1, 6.0
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 11
Продолжительность интервалов (мин) между прибывающими самолетами
на Парижском аэродроме Орли за первую половину дня 4 мая была
зарегистрирована следующая:
0.8, 9.4, 0.1, 11.1, 14.8, 10.2, 9.5, 7.5, 6.1, 4.4, 2.8, 1.2
7.9, 0.8, 0.5, 1.5, 2.4, 7.6, 1.8, 1.4, 4.5, 0.6, 5.6, 7.4
4.1, 3.1, 1.3, 9.2, 1.0, 0.7
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 12
Проводится статистическое исследование работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности (час)
выгрузки
на
берег
круглого
леса
из
речных
самоходных
грузоподъемностью 5000 т (типа "Волго-Дон") портальными 5-т кранами:
судов
53
88.1, 37.7, 37.8, 53.3, 45.9, 36.4, 41.2, 38.8, 27.5, 29.3
57.5, 24.4, 47.0, 33.1, 36.0, 26.7, 29.4, 37.5, 38.2, 27.6
27.7, 41.8, 40.3, 24.5, 39.7, 36.3, 34.9, 30.1, 49.2, 42.3
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 13
Продолжительность
интервалов
(мин)
между
прибывающими
самолетами на Парижском аэродроме Орли за первую половину дня 2 мая
была зарегистрирована следующая:
10, 2, 12, 8, 2.2, 2.1, 5, 0.1, 6, 19, 8.1, 0.2, 1, 2.3, 3, 1.1
6.1, 6.2, 1.2, 2.4, 7, 2.5, 6.3, 4, 2.6, 2, 4.1, 1.3, 2.7, 1.4, 2.8, 19.1,0.3, 7.1
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 14
Проводятся статистическое исследование работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности (час)
выгрузки
на
берег
круглого
леса
из
речных
самоходных
грузоподъемностью 5000т (типа "Волго-Дон") портальными 5-т кранами:
57.9, 23.5, 28.5, 23.3, 32.1, 26.7, 27.5, 25.8, 28.0, 13.4, 23.4
31.4, 28.2, 19.4, 24.8, 29.1, 14.9, 18.0, 13.8, 30.3, 19.1, 25.7
18.8, 19.7, 32.6, 17.6, 14.4, 26.2, 24.0, 28.3, 21.5, 38.0, 72.0, 24.5
1.Требуется провести обработку наблюдений:
судов
54
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 15
Проводится статистическое исследование работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности (час)
выгрузки
на
берег
круглого
леса
из
речных
самоходных
судов
грузоподъемностью 2700 т портальными кранами:
9.9, 36.6, 23.3, 8.7, 9.4, 11.7, 7.7, 13.5, 21.3, 8.6, 11.1, 6.4
24.7, 10.0, 3.3, 23.0, 2.9, 17.6, 14.0, 11.8, 11.9, 14.1, 6.6, 7.8
3.8, 19.1, 13.7, 4.8, 5.7, 11.2, 14.9, 1.9, 6.3 , 4.7, 12.1, 21.5
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 16
Промежутки времени (мин) между последовательным прибытием 32
самолетов на аэродром Дюссельдорф в течение суток составили:
2.0, 71.8, 0.5, 84.6, 112.3, 77.5, 71.9, 57.2, 40.2, 46.2, 33.8
21.9, 9.8, 60.0, 6.6, 3.8, 11.8 , 5.0, 18.4, 57.8, 13.7, 9.7
34.5, 1.9, 43.0, 56.3, 31.5, 23.6, 9.9, 69.9, 7.7, 5.7
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
55
ВАРИАНТ 17
Проводятся статистические исследования работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности (час)
выгрузки
на
берег
круглого
леса
из
речных
самоходных
судов
грузоподъемностью 2300 т портальными кранами:
11.0, 11.5, 12.5, 12.6, 13.5, 13.6, 13.7, 14.5, 14.6, 15.5, 16.0
16.1, 16.5, 16.6, 17.5, 17.7, 18.0, 18.5, 19.0, 19.1, 19.5, 19.3
24.0, 26.5, 27.0, 43.5
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 18
Проводятся статистические исследования работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности
интервалов (час) между моментами прибытия под разгрузку самоходных судов
с лесом:
47.5, 74.5, 46.0, 30.0, 43.0, 20.2, 78.2, 25.0, 38.6, 52.3, 15.8, 83.8
55.5, 41.2, 4.00, 10.7, 20.0, 13.8, 27.8, 8.25, 58.9, 20.7, 34.9, 7.0
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 19
Результаты наблюдения интервалов (сек) между прибытием автомобилейбензовозов под погрузку на Выхтинскую перевалочную нефтебазу Москвы:
56
51, 382, 40, 101, 27, 7, 133, 113, 91, 22, 487, 31, 49
25, 124, 262, 96, 31.1, 27, 366, 11 , 240, 16, 168, 238, 8, 125
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 20
Проводятся статистические исследования работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности (час)
выгрузки
на
берег
круглого
леса
из
речных
самоходных
судов
грузоподъемностью 600-700 т портальными кранами:
1.5, 4.8, 5.0, 6.5, 7.0, 9.0, 9.1, 11.5, 12.0, 12.5, 14.0, 16.0
16.5, 17.5, 17.0, 12.1, 13.8, 12.8, 13.9, 13.7, 13.6, 13.5, 15.0, 2.9, 3.0
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 21
Проводится статистическое исследование работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности (час)
выгрузки
на
берег
круглого
леса
из
речных
самоходных
судов
грузоподъемностью 5000 т (типа "Волго-Дон") портальными 5-т кранами:
21.5, 34.0, 56.7, 45.7, 12.7, 21.4, 14.7, 14.6, 13.2, 39.6, 50.0
46.7, 12.8, 42.7, 13.4, 23.9, 11.7, 14.0,33.0, 39.8,13.8,34.1
22.7, 21.8, 56.8, 38.1, 14.9, 21.5, 38.0, 72.1, 48.0, 24.0, 39.0, 50.1, 28.5, 33.1
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
57
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 22
Продолжительность
интервалов
(мин)
между
прибывающими
и
отправляющимися самолетами на Парижском аэродроме Орли за первую
половину дня 5 мая была зарегистрирована следующая:
10, 2, 12, 23, 3, 2.1, 5, 0.1, 6, 19, 2.2, 2.3, 3, 3.1
18, 11, 2.4, 2.5, 7, 3.2, 5.1, 2.6, 2.7, 12.1, 4, 6.1, 1, 0.2
2.8, 3.3, 6.2, 11.1, 7.1, 2.9, 12.2
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 23
Продолжительность интервалов (сек) между моментами
поступления
автосамосвалов под погрузку на базу минеральных строительных материалов
станции Москва-2-КурскаяМосковской дороги наблюдалась следующая:
12, 127, 57, 40, 93, 27, 1, 97, 141, 187, 178, 113, 102
34, 222, 1.2, 227, 65, 390, 47, 121, 2, 69, 10, 457, 8, 102.1
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
.
58
ВАРИАНТ 24
Проводятся статистические исследования работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности (час)
выгрузки
на
берег
круглого
леса
из
речных
самоходных
судов
грузоподъемностью 2700 т портальными кранами:
14.0, 16.5, 14.8, 15.9, 16.7, 16.9, 17.4, 17.5, 17.8, 17.0
13.7, 12.0, 17.1, 22.0, 23.9, 24.8, 24.9, 25.9, 26.0, 23.0
12.9, 23.8, 21.0, 20.9, 13.8, 19.0, 13.9, 12.9, 16.2, 15.8
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 25
Продолжительность интервалов (мин) между прибытием на станцию
Расторгуево (с 1 по 15 апреля) грузовых поездов, имеющих вагоны с углем для
Московского коксохимзавода, наблюдалась следующая:
165, 185, 265, 140, 30, 5, 256, 149, 65, 105,
625, 320, 135, 100, 40, 7, 413, 899, 28, 111
469, 345, 135.1, 78, 23, 7.1, 459, 123, 45, 674
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 26
59
Промежутки времени (мин) между последовательным прибытием
самолетов на аэродром Дюссельдорф в течение суток составили:
15, 15.1, 5, 5.1 10, 5.2, 50, 5.3, 30, 10.2, 5.4, 25,
10.3, 35, 5.5, 20, 10.4, 20.4, 0.3, 15.5, 50.4, 40, 70, 5.6
15.7, 5.7, 30.6, 5.8, 15.8, 0.5, 85, 5.9, 5.25, 5.15, 10.6
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами
и выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 27
Продолжительность интервалов (мин) между прибывающими самолетами
на Парижском аэродроме Орли за первую половину дня 5 мая была
зарегистрирована следующая:
10, 2, 12, 8, 2.1, 1.8, 1, 2.2, 3, 2.3, 1.2, 8.1, 3.1
12, 2.4, 1.3, 8.2, 0.3, 4, 2.5, 4.1, 3.1, 4.2, 1.4, 2.6
0.4, 2.7, 3.2, 4.3, 2.8, 2.9, 19, 0.5, 7, 1.5, 2.25, 5, 1.6, 6, 6.1
1.7, 4.4, 3.3, 3.4, 7.1, 10.1, 6.2, 19.5, 0.9, 1.9, 2.15, 3.5
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 28
Продолжительность интервалов (мин) между прибытием на станцию
Расторгуево (с 15 по 30 апреля) грузовых поездов, имеющих вагоны с углем для
Московского коксохимзавода, наблюдалась следующая:
137, 98, 10, 160, 910, 65, 45, 123, 456, 23
60
134, 56, 78, 382, 185, 23.5, 45.5, 341, 564, 78.4
234, 65.5, 67, 812, 122, 43, 34, 124, 453, 67.7
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
ВАРИАНТ 29
Результаты наблюдения интервалов (сек) между прибытием автомобилейбензовозов под погрузку на Выхтинскую перевалочную нефтебазу Москвы:
305, 134, 258, 61, 92, 3, 538, 68, 144, 17, 364
152, 109, 121, 160, 83, 13, 489, 22, 23, 143, 234
154, 234.5, 5, 231, 56, 145, 14, 15, 231.5, 135, 12
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
.ВАРИАНТ 30
Проводятся статистические исследования работы Северного порта
Москвы. Получены следующие выборочные данные продолжительности
интервалов (час) между моментами прибытия под разгрузку самоходных судов
с лесом:
75, 0.1, 35, 83, 35.5, 65, 25, 5, 17, 4, 25.6, 40, 0.2, 76
0.3, 146, 25.5, 62, 0.4, 65.6, 5.3, 23, 5.4, 66, 33, 99, 16, 0.5
38, 5.8, 71, 0.6, 19, 5.9, 11, 0.7, 110, 67, 4.1, 25.2, 173
1.Требуется провести обработку наблюдений:
а) получить оценки математического ожидания и дисперсии;
61
б) подобрать параметры закона распределения, построить гистограмму.
2. Промоделировать закон распределения с подобранными параметрами и
выполнить контроль моделирования.
62
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Индивидуальные задания по теме «Характеристики процессов
обслуживания без накопителя».
Определить оптимальное число мест автостоянки по критерию прибыли
за 1 сутки. В таблице даны:
- интенсивность входного потока
 [авт/час];
- среднее время стоянки Т [час];
- коэффициент превышения тарифа арендной платы .
Арендная плата составляет q=0.1 $/ m2 сут; площадь одного места Sa = 6m2 ;
Дать таблицу зависимости средней прибыли и вероятности отказа в
обслуживании от числа мест автостоянки.
Табл. Исходные данные для расчетов.
№

Т

№

Т

1
2
1
2
26
1.5
2
6
2
2
1
3
27
1.5
3
6
3
2
1
4
28
1.5
1
6
4
2
1
5
29
1.5
2
6
5
2
2
2
30
1.5
3
6
6
2
2
3
31
5
4
2
7
2
2
4
32
5
4
3
8
2
2
5
33
2
4
4
9
2
3
2
34
2
4
5
10
2
3
3
35
2
4
6
11
2
3
4
36
1.5
4
2
12
2
3
5
37
1.5
4
3
13
1.5
1
2
38
1.5
4
4
14
1.5
1
3
39
1.5
4
5
63
15
1.5
1
4
40
1.5
4
6
16
1.5
1
5
41
3
4
2
17
1.5
2
2
42
3
4
3
18
1.5
2
3
43
3
4
4
19
1.5
2
4
44
3
4
5
20
1.5
2
5
45
3
4
6
21
1.5
2
5
46
3
3
2
22
1.5
2
5
47
3
3
3
23
1.5
2
5
48
3
3
4
24
1.5
2
5
49
3
3
5
25
1.5
2
5
50
3
3
6
64
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Индивидуальные задания по теме «Характеристики процессов
обслуживания с конечной емкостью накопителя. Системы без отказов в
обслуживании».
Определить
характеристики
процесса
обслуживания
потока
автотранспортных средств на АЗС. В таблице даны:
- интенсивность потока λ [авт/час];
- интенсивность обслуживания μ [авт/час];
- число бензоколонок (БК)
n;
- емкость накопителя
m.
Найти:
- вероятности состояний, отказа в обслуживании, вероятности обслуживания;
- характеристики загрузки бензоколонок и накопителя;
- время ожидания, обслуживания, пребывания транспортного средства на АЗС.
Провести аналитические расчеты характеристик АЗС, используя модель без
отказов в обслуживании (с бесконечной емкостью накопителя). Дать сравнение
со случаем конечной емкости накопителя.
Табл. Исходные данные для расчетов.
№
λ
μ
n
m
№
λ
μ
n
m
1
10
12
2
2
26
15
6
2
3
2
10
12
2
3
27
15
6
2
4
3
10
12
2
4
28
15
6
3
2
4
10
12
3
2
29
15
6
3
3
5
10
12
3
3
30
15
6
3
4
6
10
12
3
4
31
8
12
2
2
7
5
12
2
2
32
8
12
2
3
8
5
12
2
3
33
8
12
2
4
9
5
12
2
4
34
8
12
3
2
65
.
10
5
12
3
2
35
8
12
3
3
11
10
10
3
3
36
8
12
3
4
12
10
10
3
4
37
3
12
2
2
13
10
6
2
2
38
3
12
2
3
14
10
6
2
3
39
3
12
2
4
15
10
6
2
4
40
3
6
2
2
16
10
6
3
2
41
3
6
2
3
17
10
6
3
3
42
3
6
2
4
18
10
6
3
4
43
5
6
2
2
19
15
12
2
2
44
5
6
2
3
20
15
12
2
3
45
5
6
2
4
21
15
12
2
4
46
5
6
3
2
22
15
12
3
2
47
5
6
3
3
23
15
12
3
3
48
5
6
3
4
24
15
12
3
4
49
5
6
2
1
25
15
6
2
2
50
5
6
2
0