Математика и искусство

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 27» г. Перми
«Математика и искусство»
выполнила: Пигасова Э., 16 лет,
ученица 10 класса МБОУ «СОШ №27»
город Пермь, Россия
Руководитель: Кустова Т. С.,
учитель математики МБОУ «СОШ №27»
2013
Введение
У людей обычно складывается впечатление, что математика занимается
исключительно числами и измерениями. Однако, на самом деле, математика
– это нечто гораздо большее, чем просто наука для счетоводов и кассиров.
Математика и искусство: сегодня эти две великие сферы культуры многими
воспринимаются как два полюса или даже как две противоборствующие
духовные силы, тогда как на самом деле они тесно переплетены крепкими
незримыми узами.
Цель работы – рассмотреть взаимодействие математики с разными видами
искусства.
Данная цель реализуется через решение задач:
рассмотреть взаимодействие математики и музыки, математики и
изобразительного искусства, математики и архитектуры, математики и
литературы.
Математика в музыке
Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии
звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и
дополняют друг друга.
Музыка математична, а математика музыкальна. В обоих случаях числа
выступают конечным способом описания происходящего. В ладах есть
определенное число ступеней, которые характеризуются определенными
зависимостями и пропорциональными отношениями; ритм делит время на
единицы и устанавливает между ними числовые связи; музыкальная форма
основана на идее сходства и различия, тождества и контраста, которые
восходят к понятиям множества.
Параллели в музыке
Параллели в музыке встречаются в нотах. Прежде всего, это 5 прямых,
образующих нотный стан. В древности музыканты записывали музыку поразному: при помощи букв, графическими знаками. Они передавали общее
направление интонации, но они не могли выразить длительность звучания,
изменение по высоте вверх или вниз. Ведь музыканту надо знать, насколько
одна выше или ниже другой. Измерить высоту нам как раз помогают
параллельные линейки.
Параллельные линии не только в нотном стане, но даже и во внешней форме
некоторых музыкальных инструментов: например, струны арф, органные
трубы. Параллели находим не только в нотной записи, но и в самом звучании
музыки. Например, одну и ту же мелодию можно исполнить одновременно
двумя голосами, то есть в унисон.
Высота звука
Вообще говоря, высота звука, издаваемого струной, определяется
несколькими параметрами - длиной и толщиной струны, плотностью
материала, из которого она изготовлена, натяжением и т.д.
Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так
называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление
обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части
струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или
высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый
натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны
тоже называются гармоническими.
Математическое описание этого явления было дано значительно позже
усилиями д'Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа.
Симметрия в музыке
Симметрия часто используется в музыке. Ряд музыкальных форм строится
симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр. –
круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь
эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех
раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это
напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от
которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше
прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой, и наоборот.
Ритмы
Слово «ритм» изначально принадлежало музыке, хотя сегодня
неудивительно, что оно может быть известно человеку совершенно из других
источников. Даже в словаре Ожегова «ритм» определяется как равномерное
чередование каких-нибудь элементов. Музыкальный ритм дается как пример,
а не как определение. Таким образом, «ритм» можно назвать общим
понятием в области науки и искусства.
Математика также заимствовала данное слово. Исследуя математические
закономерности и числовые последовательности, часто можно обнаружить
ритмичность. В частности, «простейшими» примерами математических
ритмов являются периодические дроби (кстати, слово «период» также
знакомо музыкантам).
Математика в изобразительном искусстве
Многогранники
Одной из частых тем математического искусства является использование
многогранников, которые были изучены достаточно давно. Платон (427-348
до н.е.) описал пять правильных многогранников, которые также иногда
называются телами Платона. Однако открыты они были раньше Платона, и
детали открытия правильных многогранников остаются загадкой. Платон
соотносил эти тела с четырьмя элементами: огонь - тетраэдр, воздух октаэдр, вода - икосаэдр, земля - куб. Далее, он писал, что существует пятая
комбинация, которой Бог ограничил Мир, это додекаэдр. Архимед (290/280212/211 до н.э) описал 13 полуправильных многогранников. Так же как
правильные многогранники называют Платоновыми, полуправильные
многогранники называют архимедовыми. Записи Архимеда об этих
многогранниках были утеряны вместе с фигурами многогранников. Они
были открыты вновь лишь в эпоху Ренессанса, и описание всех 13
многогранников было впервые опубликовано в книге Иоганна Кеплера в
1619 году, почти через две тысячи лет после смерти Архимеда.
Невозможные фигуры
Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким
способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при
более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не
может существовать в трехмерном пространстве.
Лента Мебиуса
Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону.
Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один
концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом.
Искаженные и необычные перспективы
Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие
точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также
относится родственная область - анаморфное искусство. К анаморфным
относятся изображения настолько сильно искаженные, что разобрать их без
специального зеркала бывает невозможно. Такое зеркало иногда называют
анаморфоскопом. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение
"формируется снова" в узнаваемую картину. Европейские художники
раннего Ренессанса были очарованы линейными анаморфными картинами,
когда вытянутая картина становилась снова нормальном при обзоре под
углом.
Фракталы
Фрактал - это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах,
которые связаны математическим способом. Фракталы формируются
итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект
высокой сложности с множеством мелких деталей.
Художники
Леонардо да Винчи (1452-1519) известен своими достижениями в качестве
изобретателя и художника. В его записных книгах содержатся первые из
известных примеров анаморфного искусства, использующего искаженные
сетки перспективы. Его наклонные анаморфные изображения представляют
объекты, которые должны рассматриваться по углом, чтобы они выглядели
неискаженными.
Пит Мондриан (1872-1944) - голландский художник, известный своими
геометрическими абстракциями; несколько его работ изображают цветные
блоки, разделенные черными линиями.
Сальвадо Дали (1904-1989) - яркий и парадоксальный испанский художник
использовал математические идеи в некоторых своих картинах. На картине
"Распятие" (1954) изображен гиперкуб.
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot) (1924-...) - математик, в
значительной степени ответственный за формализацию и популяризация
концепции фракталов. Он открыл множество Мандельброта, наиболее
известный фрактальный объект. Он также изобрел термин "фрактал".
Математика в скульптуре
Пропорции
Скульптура древних цивилизаций была основана на теории пропорций.
Пропорциями называются размерные соотношения элементов или частей
формы между собой, а также между различными объектами.
В Древнем Египте для изображения человеческой фигуры был разработан
специальный канон — то есть такая система пропорций человеческой
фигуры, которая делила изображение на части и позволяла по части
определить целое и по одной части тела определить другую. Известно, что
египтяне положили в основу деления фигуры 21 '/4 части. В это число
входили 19 равных частей разделения самой фигуры, а 2 '/4 части
приходились на изображение традиционного головного убора.
Египтяне пользовались и специальными сетками-таблицами, которые
наносили на поверхность каменной плиты или стены для создания рельефа
или росписи.
Объём
Главное средство выражения в скульптуре – ее объем. Она смотрится со всех
сторон: возможен круговой осмотр или восприятие с нескольких точек
зрения. Главный предмет изображения в скульптуре – человек. Но
скульптура не обращена к обыденной, случайной, будничной жизни. Она
увековечивает и запечатлевает все самое прекрасное, возвышенное,
героическое в человеке. Скульптура может правдиво показать фигуру, лицо,
сложные переживания, настроения, характер, порывы, мечты и надежды
человека. Часто она тяготеет к образу-символу с открытым историческим или
философским содержанием. Таковы скульптуры Микеланджело, Коненкова,
Мухиной и др.
Математика в архитектуре
Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об
их прочности. Прочность связана и с долговечностью. На возведение зданий
люди тратили огромные усилия, а значит, были заинтересованы в том, чтобы
они простояли как можно дольше. Кстати, благодаря этому, до наших дней
дошли и древнегреческий Парфенон, и древнеримский Колизей. Прочность
сооружения обеспечивается не только материалом, из которого оно создано,
но и конструкцией, которая используется в качестве основы при его
проектировании и строительстве. Прочность сооружения напрямую связана с
той геометрической формой, которая является для него базовой.
Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются
египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных
четырехугольных пирамид. Самым прочным архитектурным сооружением с
давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют
форму правильных четырехугольных пирамид.
Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость
за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды
обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей.
Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в
условиях земного тяготения.
На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система. С точки зрения
геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если
мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда
поставить еще один прямоугольный параллелепипед.
Это одна из первых конструкций, которая стала использоваться при
возведении зданий и представляет собой сооружения, которые состоят из
вертикальных стоек и покрывающих их горизонтальных балок. Первым
таким сооружением было культовое сооружение – дольмен. Оно состояло из
двух вертикально поставленных камней, на которые был поставлен третий
вертикальный камень. Кроме дольмена, до нас дошло еще одно сооружение,
представляющее простейшую стоечно-балочную конструкцию – кромлех.
Это также культовое сооружение, предположительно предназначенное для
жертвоприношений и ритуальных торжеств. Кромлех состоял из отдельно
стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями. При этом
они образовывали две или несколько концентрических окружностей.
Геометрические формы в разных архитектурных стилях
Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура.
Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью,
вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят
из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе
определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются
комбинациями различных геометрических тел.
Здание клуба имени И.В.Русакова в Москве построено в 1929 г. по проекту
архитектора К.Мельникова. Базовая часть здания представляет собой прямую
невыпуклую призму. Призма является невыпуклой, благодаря выступам,
которые заполнены вертикальными рядами окон. При этом гигантские
нависающие объемы также являются призмами, только выпуклыми.
Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи,
когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических
фигур. Так, здание военного ведомства США носит название Пентагон, что
означает пятиугольник. Связано это с тем, что, если посмотреть на это здание
с большой высоты, то оно действительно будет иметь вид пятиугольника. На
самом деле только контуры этого здания представляют пятиугольник. Само
же оно имеет форму многогранника.
В Спасской башне Московского кремля в основании можно увидеть прямой
параллелепипед, переходящий в средней части в фигуру, приближающуюся к
цилиндру, завершается же она пирамидой. При более детальном
рассмотрении и изучении деталей можно увидеть: круги – циферблаты
курантов; шар – основание для крепления рубиновой звезды; полукруги –
арки одного из рядов бойниц на фасаде башни и т.д. Таким образом, можно
говорить о пространственных геометрических фигурах, которые служат
основой сооружения в целом или отдельных его частей, а также плоских
фигурах, которые обнаруживаются на фасадах зданий.
Церковь Ильи Пророка в Ярославле была построена в середине XVII века.
При ее создании зодчие использовали как шатровые покрытия, так и купола в
виде луковок.
Рассмотрим еще один яркий архитектурный стиль – средневековая готика.
Готические
сооружения
были
устремлены
ввысь,
поражали
величественностью, главным образом за счет высоты. И в их формах также
широко использовались пирамиды и конусы, которые соответствовали общей
идее – стремлению вверх. Характерными деталями для готических
сооружений являются стрельчатые арки порталов, высокие стрельчатые окна,
закрытые цветными витражами.
Математика в литературе
Древнейшее стиховедение практически сводилось к математике, разумеется,
крайне простой. Античные стиховеды устанавливали количественные
отношения (долгий слог равен двум кратким), находили простейшие
единицы измерения - стопы, затем единицы высшего порядка - стихи,
строфы.
Сама природа стихотворной речи - ритм. В этой речи с большей или меньшей
степенью регулярности повторяются и строятся в ряды чем-то подобные
элементы. В разное время и в разных языках эти элементы могут быть
различными (например, сочетания слогов долгих и кратких или же ударных и
безударных), но суть дела от этого не меняется. Поэтому средневековые
стиховеды так свободно черпали понятия и термины у античных, а
Тредиаковский и Ломоносов - у античных, французских и немецких.
Поэтому и мы, определяя основные категории стихотворной речи (размер,
строфу и т. д.), не можем обойтись без счета, то есть простейшей математики.
Математика и размеры стиха
Двусложные размеры
Хорей - двусложный размер с ударением в стопе на первом слоге (схема
стопы хорея —È), а в строчке в целом - на первом, третьем, пятом, седьмом и
т.д.
В небе тают облака,
И, лучистая на зное,
В искрах катится река,
Словно зеркало стальное.
—È —È —È —
—È —È —È —È
—È —È —È —
—È —È —È —È
Ямб - двусложный размер с ударением в стопе на втором слоге (схема стопы
ямба È—), а в стихе в целом - на втором, четвертом, шестом, восьмом,
десятом и т.д.
Опять стою я над Невой,
И снова, как в былые годы,
Смотрю и я, как бы живой,
На эти дремлющие воды
È— È— È— È—
È— È— È— È— È
È— È— È— È—
È— È— È— È— È
Заключение
Математика важна во всех направлениях искусства. С давних пор человек
стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода
жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную
цель - служить хранилищем воды, оружием на охоте и т.д., демонстрируют
стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития
человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является
красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции
родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония.
Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в
определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет
истину в красоте, а ученый - красоту в истине.
Интернет-ресурсы
1.http://festival.1september.ru/articles/583335/
2.http://vp-ch.ru/Muzyka-i-matematika
3.http://im-possible.info/russian/articles/vis_math_art/
4.http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%BF
%D0%BE%D1%80%D1%865.%D0%B8%D0%B8_(%D0%98%D1%81%D0%B
A%D1%83%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE)
6.http://reihorn.narod.ru/skul.html
7.http://festival.1september.ru/articles/575866/
8.http://otherreferats.allbest.ru/languages/00092987_0.html