Контроль успеваемости [DOC, 162.5 КБ]

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации
 Контрольные вопросы и вопросы теоретического минимума:
1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Сила Лоренца.
2. Уравнения Максвелла в интегральной форме.
3.
Закон сохранения заряда и закон сохранения энергии в электродинамике ( в
дифференциальной форме).
4. Связь полей и потенциалов. Калибровка Лоренца и уравнения для потенциалов в
этой калибровке.
5. Лапласиан от скалярной функции в декартовых прямоугольных, цилиндрических и
сферических координатах.
6. Решение уравнений для потенциалов в виде запаздывающих потенциалов.
7.
Электрический дипольный
момент. Потенциал и напряженность
поля
электрического диполя в электростатике. Энергия диполя во внешнем поле.
8. Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал и напряженность поля
магнитного диполя в статике.
9. Свойства плоских электромагнитных волн. Связь векторов поля
H и
E ,
волнового вектора k и частоты w .
10.
Потенциалы, напряженности полей, интенсивность и угловое распределение
электрического дипольного излучения.
11. Сила радиационного трения в нерелятивистском приближении.
12. Преобразования Лоренца для координат-времени в 3-мерном виде.
13. Релятивистский закон сложения скоростей.
14. Преобразования Лоренца для четырехмерных векторов; примеры четырехмерных
векторов, используемых в электродинамике; их инварианты.
15.
Законы преобразования напряженностей электромагнитного поля. Тензор
электромагнитного поля и его инварианты.
16. Связь энергии, импульса, массы и скорости релятивистской частицы.
17.
Уравнения движения релятивистской заряженной
частицы во внешнем
электромагнитном поле.
18.
Выражения для плотности энергии, плотности импульса и потока энергии
электромагнитного поля.
19.
Функция Лагранжа релятивистской заряженной частицы во внешнем
электромагнитном поле. Уравнения движения в форме Лагранжа.
20. Уравнения Максвелла в веществе в дифференциальной и интегральной формах.
21. Уравнения для потенциалов в однородной изотропной среде.
22. Граничные условия для полей в кусочно-однородной среде.
23. Закон сохранения энергии в дифференциальной форме. Физический смысл каждого
из слагаемых.
24.
Постановка задачи (уравнения и граничные условия) для потенциалов в
электростатике.
25.
Квазистационарное приближение. Условия применимости. Уравнения второго
порядка для полей.
26. Глубина проникновения полей в проводниках. Толщина скин-слоя.
27. Основные уравнения магнитной гидродинамики.
28.
Записать уравнения для полей и материальные уравнения для движущихся
проводников и диэлектриков. Обобщенный закон Фарадея.
29. Комплексная диэлектрическая проницаемость, физический смысл ее действительной
и мнимой частей.
30. Диэлектрическая проницаемость разреженного нейтрального газа.
1
31. Плоские электромагнитные волны в слабопроводящем веществе.
32. Фазовая и групповая скорости.
33. Отражение и преломление электромагнитных волн на плоской границе раздела
прозрачных сред.
 Задачи контрольных и домашних заданий:
1. Записать уравнения магнитостатики div H=0, rot H=4\pi j/c, в цилиндрической
системе координат в общем случае и в случае аксиальной симметрии.
2. Записать уравнение Лапласа в произвольных ортогональных, в декартовых,
цилиндрических и в сферических координатах.
3. Написать выражение для плотности точечного заряда в декартовых и сферических
координатах.
4. Заряд q равномерно распределен по поверхности шара радиуса R . Записать
выражение для поверхностной и объемной плотности заряда.
5. Заряд q равномерно распределен по тонкому кольцу радиуса R . Записать
выражение для линейной и объемной плотности заряда.
6. Найти потенциал \phi (r) сферически симметрического распределения зарядов \rho
(r) 7. Найти потенциал плоского диска радиуса R, заряженного с поверхностной
плотностью S = q \sin (\phi )/ R^2, на больших расстояниях r >> R с точностью до
квадрупольного
приближения включительно.
8. Два коаксиальных равномерно заряженных
кольца
из тонкой проволоки
расположены в одной плоскости. Их радиусы a и b, заряды +q и -q . Найти
скалярный потенциал на больших расстояниях r >> b > a от такой системы зарядов с
точностью до квадрупольного приближения включительно.
9. Скалярный потенциал, создаваемый некоторым распределением электрического
заряда, на пространственной бесконечности убывает как 1/r^2. Означает ли это, что
электрический дипольный момент данного распределения зарядов отличен от нуля?
10. Найти энергию взаимодействия диполя
p и точечного заряда q. Найти силу и
момент сил, действующие на диполь.
11. Найти энергию и силу взаимодействия двух точечных диполей p_1 и p_2 ,
расположенных на большом расстоянии друг от друга.
12. Найти энергию взаимодействия точечного заряда q и квадруполя D_ ab ,
расположенных на большом расстоянии друг от друга.
13. Найти приближенно векторный потенциал и магнитное поле шара радиуса R,
равномерно заряженного по объему зарядом q и вращающегося с постоянной угловой
скоростью w вокруг оси, проходящей через центр, на больших расстояниях r,
r >> R .
13. Плоская монохроматическая электромагнитная волна распространяется в вакууме
вдоль оси
z . Записать выражения для Е(z,t), Н(z,t), если волна: а) линейно
поляризована, б) поляризована по кругу.
14. Найти плотность энергии и
плотность потока энергии
для
плоской
монохроматической электромагнитной волны, имеющей эллиптическую поляризацию;
волновой вектор к направлен по оси Z .
15. Радиус-вектор r точечного заряда q изменяется по заданному закону r = r_0(t).
Используя формулы для запаздывающих потенциалов, найти скалярный и векторный
потенциалы заряда.
16. Используя формулы для потенциалов Лиенара-Вихерта, найти скалярный и
векторный потенциалы равномерно и прямолинейно движущегося заряда q.
2
17. Заряд e совершает гармонические колебания вдоль оси Z с амплитудой a и
частотой w, ( a << c/w). Найти полную интенсивность и угловое распределение
излучения. Исследовать поляризацию.
18. Заряд е движется с постоянной угловой скоростью w по окружности радиуса R.
Найти угловое распределение и полную интенсивность излучения. Исследовать
поляризацию излучения.
19. Круговой контур радиуса a с постоянным током J вращается с постоянной
угловой скоростью w
вокруг оси, которая образует угол \alpha с нормалью к
плоскости контура. Найти угловое распределение и полную интенсивность излучения.
Указать тип поляризации.
20. Найти полную интенсивность и угловое распределение Е2 (электрического
квадрупольного) излучения линейного гармонического осциллятора. Какова частота
Е2 излучения? Сравнить с полной интенсивностью и частотой Е1 (электрического
дипольного) излучения.
21. Найти полную интенсивность, угловое распределение и частоту излучения
системы из двух одинаковых зарядов, вращающихся с угловой скоростью w по
окружности радиуса R и сдвинутых на угол \alpha = \pi (т.е. в противофазе).
22. Электрический диполь p гармонически колеблется вдоль своей оси (оставаясь
параллельным самому себе) с амплитудой а и частотой w. Найти частоту излучения
и энергию, излучаемую за период.
23. Частица с зарядом е и массой m налетает из бесконечности на неподвижный
кулоновский центр с зарядом q того же знака. Столкновение лобовое, скорость
частицы на
бесконечности равна v_0. Найти полную энергию, излученную частицей за все время
соударения.
24. Нерелятивистская частица с зарядом е, массой m рассеивается в кулоновском
поле бесконечно тяжелого силового центра (заряд Q) с прицельным расстоянием a,
обеспечивающим малость отклонения, mv_0^2 >> |eQ|/a (периферическое рассеяние).
Найти полную энергию, излученную во время соударения, если скорость частицы на
бесконечности равна v_0 .
25. Нерелятивистская частица с зарядом
е, массой
m движется в однородном
постоянном магнитном поле Н. Найти время, в течение которого энергия частицы
уменьшается в 10 раз вследствие излучения.
26. Линейно поляризованная плоская электромагнитная волна частоты w падает на
изотропный гармонический осциллятор с собственной частотой
w_0. Найти
дифференциальное и полное сечение рассеяния в зависимости от частоты с учетом силы
радиационного трения.
27. Изотропный гармонический осциллятор с зарядом е, массой m и собственной
частотой w_0 помещен в однородное магнитное поле
H. Определить движение
осциллятора. Исследовать частоты и поляризацию излучения в зависимости от
направления. Магнитное
поле считать слабым, eH/(mc) << w_0.
28. Учитывая силу радиационного трения, найти силу давления света на
нерелятивистский электрон.
29. Найти момент количества движения, который уносится за единицу времени
излучением от точечного заряда e , вращающегося с постоянной угловой скоростью w
по окружности радиуса R .
30. Получить формулы для преобразования радиуса-вектора r и времени t при
переходе из одной инерциальной системы в другую, имеющую относительно первой
произвольно направленную скорость V.
31. Используя инвариантность фазы и преобразования Лоренца, найти закон
преобразования частоты и волнового вектора.
3
32. На базе релятивистской теории дать объяснение явлению астрономической
аберрации.
33. На базе релятивистской теории дать объяснение результатам опытов Физо.
34. Покоящийся атом испускает фотон частоты
w. В каких пределах изменяется
частота излучения этого атома, если он движется со скоростью V ?
35. Найти зависимость между углом падения и углом отражения, а также закон
преобразования частоты при отражении света от зеркала, движущегося с постоянной
скоростью V.
36. Найти закон преобразования длины волны при переходе в систему координат,
движущуюся под углом \phi к направлению волнового вектора.
37. Найти скалярный и векторный потенциалы и напряженности полей точечного
заряда e, движущегося равномерно со скоростью V.
38. Найти потенциалы точечного диполя d, движущегося поступательно с постоянной
скоростью V.
39. Учитывая преобразования Лоренца и используя закон преобразования тензора
второго ранга, найти формулы преобразования компонент E и H при переходе от
одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой вдоль
оси х со скоростью V .
40. Обобщить закон преобразования векторов E и H при преобразовании Лоренца
на случай произвольного направления вектора относительной скорости V .
41. В лабораторной системе координат угол между напряженностями полей E и H
равен \phi . Найти систему координат, в которой они параллельны. Всегда ли задача
имеет решение? Единственно ли оно?
42. Электрон обладает спиновым моментом количества движения s , и связанным с
ним магнитным моментом \mu = e h s/(mc) . Оценить энергию взаимодействия
магнитного момента электрона в атоме водорода с кулоновским полем ядра.
43. При какой энергии частицы, имеющей массу покоя m , время ее распада в N раз
больше, чем в собственной системе отсчета?
44. Частица с массой m_1 и скоростью v_1 поглощается частицей массы m_2 ,
первоначально покоившейся. Найти массу M
и скорость
V
образовавшейся
частицы.
45. Покоящееся возбужденное ядро с энергией возбуждения E = h w_0 испускает
гамма-квант. Найти частоту гамма-кванта с учетом отдачи ядра. Масса покоя
невозбужденного ядра M, Mc^2 >> h w_0 .
46. Квант света с частотой w_0 рассеивается на покоящемся свободном электроне.
Найти зависимость частоты w рассеянного фотона от угла рассеяния \theta .
47. Частица с массой
m_1
налетает на покоящуюся частицу с массой
m_2.
Происходит реакция, в которой рождаются частицы с общей массой M > m_1 + m_2.
Найти энергетический порог реакции Т, т.е. минимальное значение кинетической
энергии налетающей частицы, начиная с которого реакция становится энергетически
возможной.
48. Частица из ускорителя, имевшая массу покоя
m
и полную энергию E_1 ,
движется к покоящейся частице-мишени той же массы.
Найти суммарную
кинетическую энергию T двух частиц в системе центра инерции.
49. Опираясь на законы сохранения энергии и импульса, показать, что невозможны ни
испускание, ни поглощение фотона свободным электроном.
50. \pi -мезон с массой покоя m , двигавшийся со скоростью v, распадается на два
гамма-кванта. Найти энергетический спектр гамма- квантов в лабораторной системе
координат.
51. Найти массу системы, состоящей из двух фотонов одинаковой частоты w, если
угол между их волновыми векторами равен \theta .
4
52. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется в однородном
электрическом поле Е. При t = 0 частица находилась в начале координат и имела
импульс p_0, перпендикулярный
E. Найти закон движения частицы - явную
зависимость r(t) и v(t).
53. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется в однородном
магнитном поле H . При t=0 частица находилась в начале координат и имела
начальную скорость v_0 . Найти закон движения частицы. Указать все интегралы
движения в данном случае.
54. Заряженная частица (заряд e, масса m) движется в поле силового центра точечного заряда q. Выписать все интегралы движения.
55. Найти полную интенсивность излучения релятивистской заряженной частицы,
переходя из сопутствующей системы координат в лабораторную. Выразить
интенсивность излучения: a) через скорость и ускорение; б) через внешние поля.
56. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется по круговой орбите
постоянного радиуса R. Найти зависимость мощности излучения от энергии частицы.
57. Точечный заряд q расположен на расстоянии a от поверхности бесконечно
протяженной заземленной проводящей пластины толщины
h . Найти скалярный
потенциал. Решение искать
методом изображений. Проверить, что решение
удовлетворяет уравнению и граничным условиям. Вычислить плотность поверхностных
зарядов S , энергию и силу взаимодействия заряда с пластиной. Найти полный
индуцированный заряд.
58. Точечный заряд
q
расположен внутри прямого угла, образованного двумя
бесконечными полуплоскостями, разграничивающими проводник и вакуум (в первом
квадранте).
Найти потенциал и плотность поверхностных зарядов.
59. Точечный диполь
p расположен в вакууме на расстоянии a от бесконечной
плоской границы заземленного проводника. Найти потенциал, плотность
поверхностных зарядов, энергию, силу и момент силы, действующие на диполь.
60. Точечный заряд
q
находится на расстоянии
a
от центра заземленного
проводящего шара радиуса R . Найти потенциал, плотность поверхностных зарядов и
полный заряд, индуцированный на шаре, энергию и силу взаимодействия.
61. Точечный заряд q расположен на расстоянии a от центра изолированного
проводящего шара радиуса R, на который нанесен заряд e . Найти потенциал,
плотность поверхностных зарядов, энергию и силу взаимодействия.
62. Найти зависимость емкости системы двух проводящих шаров с радиусами R_1 и
R_2 от расстояния L между ними, L >> R_1 , R_2 .
63. Равномерно заряженная тонкая нить (линейная плотность заряда k) расположена на
расстоянии a от оси проводящего незаряженного цилиндра радиуса R, a > R. Найти
потенциал результирующего электрического поля. Найти плотность поверхностных
зарядов на цилиндре, а также энергию и силу взаимодействия нити с цилиндром,
приходящиеся на единицу длины.
64. Доказать теорему взаимности.
65. Незаряженный проводящий шар радиуса R вносится в электрическое поле,
которое в отсутствии шара было однородным и равным Е_0 . Определить
результирующее поле Е и плотность поверхностных зарядов на шаре.
66. Проводящий шар радиуса R разрезан на два полушария, соединенные между собой,
и помещен во внешнее однородное поле
Е_0 , направленное перпендикулярно
плоскости разреза. Найти силу, действующую на каждое из полушарий.
67. Незаряженный проводящий цилиндр радиуса R помещен во внешнее однородное
5
электрическое поле
E_0 , перпендикулярное оси цилиндра. Найти потенциал
результирующего поля.
68. Найти емкость единицы длины коаксиального кабеля с внутренним радиусом a и
внешним радиусом b .
69. Заряд q расположен на расстоянии a от плоской границы раздела двух
полупространств, заполненных веществом с диэлектрическими проницаемостями
\epsilon_1 и \epsilon_2 , соответственно. Найти потенциал в каждой области и силу,
действующую на заряд.
70. Шар радиуса
R
с диэлектрической проницаемостью \epsilon
помещен в
однородное внешнее электрическое поле Е_0 . Найти потенциал.
71. Найти силу и потенциальную энергию взаимодействия незаряженного
диэлектрического шара радиуса R
и удаленного от его центра на расстояние a
точечного заряда q
(a >> R) .
72. В бесконечном диэлектрике с проницаемостью \epsilon имеется шаровая полость
радиуса R , в центре которой помещен точечный диполь p . Найти потенциал \phi .
73. В шаре радиуса R с диэлектрической проницаемостью \epsilon свободные
заряды распределены по закону: \rho=\rho_0 r cos( \theta). Найти потенциал.
74. Диэлектрический цилиндр длины L и радиуса R, (R <<L), с проницаемостью
\epsilon
помещен во внешнее поле Е_0, направленное под углом \theta к его оси.
Найти момент силы, действующей на цилиндр.
75. Найти высоту поднятия жидкости с плотностью массы \rho_m и диэлектрической
проницаемостью \epsilon между пластинами плоского конденсатора, опущенными в
жидкость, если между ними поддерживается постоянная разность потенциалов V , а
расстояние между пластинами равно d .
76. Найти закон преломления линий тока на границе раздела двух сред. Найти
плотность поверхностных зарядов.
77. Найти плотность объемных зарядов в неоднородном проводнике с током.
78. В плохо проводящую среду (например, электролит) опущены хорошо проводящие
стержни. Известны потенциал каждого стержня и полный стекающий с него ток. Найти
джоулево тепло, выделяющееся за единицу времени.
79. Найти сопротивление заземления между шарами с радиусами a и b ,
расположенными на большом расстоянии L, (L >>a, b) и помещенными в плохо
проводящую среду с проводимостью S .
80. Найти векторный потенциал и магнитное поле бесконечно длинного прямого
провода с током J, равномерно распределенным по сечению проводника (цилиндр
радиуса R). Найти также скалярный потенциал магнитного поля вне проводника.
81. Вычислить коэффициент самоиндукции единицы длины коаксиального кабеля.
82. Вычислить энергию взаимодействия прямого провода с током J_1, параллельного
оси x, и квадратной рамки с током J_2 . Провод параллелен двум сторонам рамки, но
лежит вне плоскости рамки. Длина стороны рамки 2а, ее центр масс имеет координаты
0, y_0, z_0. Найти взаимную индукцию L_ 12, силу и момент силы.
83. Вычислить индуктивность тороидального соленоида прямоугольного сечения;
кругового сечения при a << R .
84. Найти давление на поверхность и силу (на единицу угла), действующую на
обмотки тороидального соленоида с квадратным сечением, если по нему течет ток J , а
полное число витков N .
85. Найти взаимную индукцию тонких коаксиальных колец с радиусaми a и b ,
лежащих в параллельных плоскостях. Расстояние между плоскостями h . Рассмотреть
случай h >> а , b >> r , где r - толщина провода.
86. Проводящий шар (радиуса R , проводимостью S) помещен во внешнее однородное
магнитное поле Н_0 cos (w t). Найти магнитный момент шара m и интенсивность
излучения I , если d << R << c/ w , где d -- толщина скин-слоя.
6
87. Сравнить сопротивление единицы длины цилиндрического провода радиуса a в
случаях слабого и сильного скин-эффекта.
88. Тонкий провод с током J_0 cos(w t) расположен параллельно плоской поверхности
идеального проводника на расстоянии a от нее. Найти поле и распределение токов на
поверхности проводника.
89. Внутри проводника имеется цилиндрическая полость радиуса R , в которой по
тонкому прямому проводу параллельно оси на расстоянии d
от нее протекает
переменный ток J_0 cos (w t) . В приближении идеального (\delta << d<R) проводника
найти плотность тока на поверхности полости.
90.
Диэлектрический шар радиуса
R движется в однородном постоянном
электрическом поле E_0 cо скоростью v, v<< c. Найти создаваемое им магнитное
поле.
91. Нейтральный проводящий цилиндр радиуса R вращается с угловой скоростью w
в постоянном магнитном поле, ось вращения параллельна B. Определить разность
потенциалов между точкой на оси цилиндра и точкой на его боковой поверхности.
Найти распределение зарядов в цилиндре.
92. Идеально проводящая жидкость помещена между двумя плоскостями z = 0 и z = a
и находится в постоянном магнитном поле B_0, параллельном оси Z . Предполагается,
что в начальный момент времени поле внутри жидкости совпадает с внешним полем, а
начальная скорость направлена по оси X и равна v_0 sin(\pi z/ a) .
Определить
дальнейший закон движения жидкости.
93. Пользуясь соотношениями Крамерса-Кронига, найти действительную часть e_1(w )
диэлектрической проницаемости по ее мнимой части: e_2(w) = (e_0 - 1) w f / (w^2 +
f^2), где e_0 и f -- постоянные параметры.
94. Получить выражение для тензора диэлектрической проницаемости разреженного
газа из нейтральных одноэлектронных атомов, помещенного во внешнее однородное
постоянное магнитное поле B_0. Воспользоваться осцилляторной моделью.
95. Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси z в веществе, для
которого
ненулевые
компоненты
комплексного
тензора
диэлектрической
проницаемости имеют вид: \epsilon_11 =\epsilon_22 = e_ 1 ,
\epsilon_ 33 =e_ 2,
\epsilon_ 12 = -\epsilon_ 21 = i e_ 3. Найти фазовую скорость этой волны.
96. Плоская волна частоты w_0
падает из вакуума по нормали на границу
диэлектрика, движущегося с постоянной скоростью V перпендикулярно границе.
Найти коэффициент отражения и частоту отраженной волны.
 полный перечень вопросов к зачёту
Задачи 1-56 из списка задач для домашних и контрольных работ.
 полный перечень вопросов к экзамену:
1.1. Уравнения Максвелла и их физическое обоснование. Сила Лоренца.
1.2. Закон сохранения энергии в микроскопической электродинамике. Плотность энергии
электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга.
1.3. Потенциалы электромагнитного поля. Калибровочная инвариантность. Вывод
уравнений для потенциалов при калибровке Лоренца и Кулона.
1.4. Уравнения для потенциалов статических электрического и магнитного полей и их
решения.
1.5. Разложение потенциала электростатического поля по мультиполям (до квадруполя
включительно).
7
1.6. Электрический дипольный момент. Потенциал и напряженность поля электрического
диполя в статике. Энергия диполя во внешнем поле.
1.7. Энергия и сила электростатического взаимодействия двух удаленных систем зарядов.
Момент силы.
1.8. Магнитный момент токов. Векторный потенциал и поле магнитного диполя.
1.9. Уравнения для потенциалов и их решение в виде запаздывающих потенциалов.
1.10. Потенциалы Лиенара-Вихерта.
1.11. Физические условия применимости мультипольного разложения в задаче об
излучении.
1.12. Электрическое дипольное излучение. Полная интенсивность, угловое распределение,
поляризация.
1.13. Магнитное дипольное излучение. Полная интенсивность, угловое распределение,
поляризация.
1.14. Электрическое квадрупольное излучение. Угловое распределение и полная
интенсивность.
1.15. Сила радиационного трения (в нерелятивистском приближении).
1.16. Рассеяние электромагнитных волн на изотропном гармоническом осцилляторе.
2.1. Преобразования Лоренца для координат - времени. Интервал.
2.2. Релятивистская кинематика. Преобразование промежутка времени и
длины отрезка.
2.3. Релятивистский закон сложения скоростей. Преобразование углов.
2.4 Пространство Минковского. Примеры тензоров различных рангов.
2.5. Закон преобразования плотностей заряда и тока и его обоснование.
2.6. Ковариантная запись условия Лоренца и уравнений для потенциалов. Законы
преобразования потенциалов.
2.7. Тензор электромагнитного поля. Ковариантная запись уравнений Максвелла для
полей в вакууме.
2.8. Законы преобразования векторов поля E и H. Инварианты электромагнитного поля.
2.9. Инвариантность фазы. Законы преобразования частоты и волнового
вектора.
2.10. Астрономическая аберрация и эффект Допплера.
2.11. Принцип стационарного действия в электродинамике. Основные постулаты.
2.12. Вывод уравнений движения релятивистской заряженной частицы во внешнем
электромагнитном поле.
2.13. Лагранжиан для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле.
Уравнения Лагранжа второго рода. Интегралы движения.
2.14. Связь между энергией, импульсом, массой и скоростью релятивистской частицы.
Закон преобразования энергии и импульса частиц.
2.15. Функция Лагранжа для электромагнитного поля при заданном движении источников.
Получение уравнений Максвелла из принципа стационарного действия.
3.1. Усреднение микроскопических уравнений Максвелла. Векторы поляризации и
намагничения среды, их связь с плотностью связанных зарядов и токов.
3.2 Материальные уравнения для полей в покоящемся веществе.
3.3. Уравнения для потенциалов в однородном покоящемся веществе. Калибровочная
инвариантность. Решение в виде запаздывающих потенциалов.
3.4. Граничные условия для полей в покоящейся кусочно-однородной среде.
3.5. Закон сохранения энергии в электродинамике покоящихся сред.
3.6. Постановка задачи (основные уравнения и граничные условия) для электростатики
кусочно-однородной среды.
3.7. Силы в электростатике диэлектриков.
3.8. Энергия системы проводников. Силы в электростатике проводников.
8
3.9. Постановка задачи (уравнения и граничные условия) для стационарных токов в
кусочно-однородных проводниках.
3.10. Потенциал и магнитное поле стационарных токов.
3.11. Энергия магнитного поля стационарных токов. Магнитный поток. Коэффициенты
самоиндукции и взаимной индукции.
3.12. Квазистационарное приближение. Основные уравнения. Границы применимости.
3.13. Проникновение периодически меняющихся полей в проводник (в
квазистационарном приближении). Скин-эффект.
3.14. Обобщенный закон Ома для линейной цепи с индуктивностями и емкостями в
квазистационарном приближении.
3.15. Уравнения макроскопической электродинамики в ковариантном виде.
3.16. Материальные уравнения для движущихся диэлектриков.
3.17. Закон преобразования векторов поляризации Р и намагничения М в движущейся
среде.
3.18. Материальные уравнения для движущихся проводников. Плотность тока. ЭДС
индукции при движении контура в магнитном поле (oбобщенный закон Фарадея).
3.19. "Вмораживание" магнитного поля в движущийся идеальный проводник.
3.20. Основные уравнения магнитной гидродинамики идеально проводящей жидкости.
3.21 Магнитогидродинамические волны.
3.22. Дисперсия диэлектрической проницаемости для разреженных газов из нейтральных
атомов или молекул.
3.23. Дисперсия диэлектрической проницаемости для ионизированных газов.
3.24. Физический смысл мнимой части комплексной диэлектрической проницаемости.
3.25. Формулы Крамерса-Кронига.
3.26. Фазовая и групповая скорости света в диспергирующей среде.
3.27. Плоские электромагнитные волны в прозрачном веществе. Связь векторов поля H и
E , волнового вектора k и частоты w .
3.28. Распространение электромагнитных волн в проводящей среде.
4.1. Найти распределение заряда и полный заряд системы, потенциал которой равен phi
(r) = (A/ r) exp (-r/ b).
4.2. Найти потенциал плоского диска радиуса R, заряженного с поверхностной
плотностью S = q sin (\phi )/ R^2, на больших расстояниях r >> R с точностью до
квадрупольного приближения включительно.
4.3. Два коаксиальных равномерно заряженных
кольца
из тонкой проволоки
расположены в одной плоскости. Их радиусы a и b, заряды +q и -q .
Найти
скалярный потенциал на больших расстояниях r >> b>a от такой системы зарядов с
точностью до квадрупольного приближения включительно.
4.4. Найти энергию и силу взаимодействия двух точечных диполей
p_1 и
p_2 ,
расположенных на большом расстоянии друг от друга.
4.5. Найти энергию взаимодействия точечного заряда
q и квадруполя
D_ab,
расположенных на большом расстоянии друг от друга.
4.6. Найти приближенно векторный потенциал и магнитное поле шара радиуса
R ,
равномерно заряженного по объему зарядом q и вращающегося с постоянной угловой
скоростью w вокруг оси, проходящей через центр, на больших расстояниях r , r >> R .
4.7. Заряд е движется с постоянной угловой скоростью w по окружности радиуса R.
Найти угловое распределение и полную интенсивность излучения. Исследовать
поляризацию излучения.
4.8. Круговой контур радиуса a с постоянным током J вращается с постоянной угловой
скоростью w
вокруг оси, которая образует угол \alpha с нормалью к плоскости
контура.
9
Найти угловое распределение и полную интенсивность излучения. Указать тип
поляризации.
4.9. Найти полную интенсивность и угловое распределение Е2 (электрического
квадрупольного) излучения линейного гармонического осциллятора (заряд е , частота
w , амплитуда a,
a << c/w ) . Какова частота Е2 излучения? Сравнить с полной
интенсивностью и частотой Е1 (электрического дипольного) излучения.
4.10. Найти полную интенсивность и частоту излучения системы из двух одинаковых
зарядов, вращающихся с угловой скоростью
w по окружности радиуса
R
и
сдвинутых на
угол \alpha = \pi (т.е. в противофазе).
4.11. Электрический диполь
p гармонически колеблется вдоль своей оси (оставаясь
параллельным самому себе) с амплитудой а и частотой w. Найти частоту излучения и
энергию, излучаемую за период.
4.12. Частица с зарядом е и массой m налетает из бесконечности на неподвижный
кулоновский центр с зарядом q того же знака. Столкновение лобовое, скорость частицы
на
бесконечности равна v_0 . Найти полную энергию, излученную частицей за все время
соударения.
4.13. Нерелятивистская частица с зарядом е , массой m рассеивается в кулоновском
поле бесконечно тяжелого силового центра (заряд Q ) с прицельным расстоянием a ,
обеспечивающим малость отклонения, mv_0^2 >> |eQ|/a (периферическое рассеяние).
Найти полную энергию, излученную во время соударения, если скорость частицы на
бесконечности равна v_0 .
4.14. Нерелятивистская частица с зарядом е , массой m движется в однородном
постоянном магнитном поле Н. Найти время, в течение которого энергия частицы
уменьшается в 10 раз вследствие излучения.
4.15. Найти зависимость между углом падения и углом отражения, а также закон
преобразования частоты при отражении света от зеркала, движущегося с постоянной
скоростью V .
4.16. Найти потенциалы и напряженности полей точечного заряда e , движущегося
равномерно со скоростью V.
4.17. В лабораторной системе координат угол между напряженностями полей E и H
равен \phi . Найти систему координат, в которой они параллельны. Всегда ли задача
имеет решение? Единственно ли оно?
4.18. Покоящееся возбужденное ядро с энергией возбуждения E~=h w_0 испускает гаммаквант. Найти частоту гамма-кванта с учетом отдачи ядра. Масса покоя невозбужденного
ядра M, Mc^2 >> h w_0 .
4.19. Квант света с частотой w_0 рассеивается на покоящемся свободном электроне.
Найти зависимость частоты w рассеянного фотона от угла рассеяния \theta .
4.20. Частица с массой
m_1
налетает на покоящуюся частицу с массой
m_2 .
Происходит реакция, в которой рождаются частицы с общей массой M > m_1 + m_2 .
Найти энергетический порог реакции Т , т.е. минимальное значение кинетической
энергии налетающей частицы, начиная с которого реакция становится энергетически
возможной.
4.21. Частица из ускорителя, имевшая массу покоя m и полную энергию E _1 ,
движется к покоящейся частице-мишени той же массы. Найти суммарную кинетическую
энергию T двух частиц в системе центра инерции.
4.22. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется в однородном
электрическом поле Е . При t = 0 частица находилась в начале координат и имела
импульс
p_0 , перпендикулярный E . Найти закон движения частицы - явную
зависимость r(t) и v(t) .
10
4.23. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется в однородном
магнитном поле H. При t=0 частица находилась в начале координат и имела начальную
скорость v_0 . Найти закон движения частицы. Указать все интегралы движения в
данном случае.
4.24. Точечный заряд q расположен на расстоянии a от поверхности бесконечно
протяженной заземленной проводящей пластины толщины
h . Найти скалярный
потенциал.
Решение искать
методом изображений. Проверить, что решение
удовлетворяет уравнению и
граничным условиям. Вычислить плотность поверхностных зарядов S , энергию и силу
взаимодействия заряда с пластиной. Найти полный индуцированный заряд.
4.25. Точечный заряд
q
расположен внутри прямого угла, образованного двумя
бесконечными полуплоскостями, разграничивающими проводник и вакуум (в первом
квадранте).
Найти потенциал и плотность поверхностных зарядов.
4.26. Точечный заряд
q
находится на расстоянии
a
от центра заземленного
проводящего шара радиуса R . Найти потенциал, плотность поверхностных зарядов и
полный заряд, индуцированный на шаре, энергию и силу взаимодействия.
4.27. Точечный заряд q расположен на расстоянии a от центра изолированного
проводящего шара радиуса R, на который нанесен заряд e . Найти потенциал,
плотность поверхностных зарядов, энергию и силу взаимодействия.
4.28. Проводящий шар радиуса R разрезан на два полушария, соединенные между собой,
и помещен во внешнее однородное поле
Е_0 , направленное перпендикулярно
плоскости разреза. Найти силу, действующую на каждое из полушарий.
4.29. Незаряженный проводящий цилиндр радиуса R помещен во внешнее однородное
электрическое поле
E_0 , перпендикулярное оси цилиндра. Найти потенциал
результирующего поля.
4.30. Заряд
q расположен на расстоянии
a от плоской границы раздела двух
полупространств, заполненных веществом с диэлектрическими проницаемостями
\epsilon_1 и \epsilon_2 , соответственно. Найти потенциал в каждой области и силу,
действующую на заряд.
4.31. Шар радиуса
R
с диэлектрической проницаемостью \epsilon
помещен в
однородное внешнее электрическое поле Е_0 . Найти потенциал.
4.32. Найти сопротивление заземления между шарами с радиусами
a и
b ,
расположенными на большом расстоянии
L (L >> a, b), и помещенными в плохо
проводящую среду с
проводимостью S .
4.33. Найти векторный потенциал и магнитное поле бесконечно длинного прямого
провода с током J, равномерно распределенным по сечению проводника (цилиндр радиуса
R ). Найти также скалярный потенциал магнитного поля вне проводника.
4.34. Вычислить энергию взаимодействия прямого провода с током J_1, параллельного
оси x, и квадратной рамки с током J_2 . Провод параллелен двум сторонам рамки, но
лежит вне плоскости рамки. Длина стороны рамки 2а, ее центр масс имеет координаты
0, y_0, z_0 . Найти взаимную индукцию L_ 12 , силу и момент силы.
4.35. Вычислить индуктивность тороидального соленоида прямоугольного сечения;
кругового сечения при a << R .
4.36. Найти взаимную индукцию тонких коаксиальных колец с радиусaми a и b ,
лежащих в параллельных плоскостях. Расстояние между плоскостями h . Рассмотреть
случай h >> а, b >> r , где r - толщина провода.
4.37. Проводящий шар (радиуса R , проводимостью S ) помещен во внешнее однородное
магнитное поле Н_0 cos (w t) . Найти магнитный момент шара
m и интенсивность
излучения I , если d << R << c/ w , где d -- толщина скин-слоя.
11
4.38. Тонкий провод с током
J_0 cos(w t)
расположен параллельно плоской
поверхности идеального проводника на расстоянии a от нее. Найти поле и
распределение токов на поверхности проводника.
4.39. Пользуясь соотношениями Крамерса-Кронига, найти действительную часть e_1(w )
диэлектрической проницаемости по ее мнимой части: e_2(w) = (e_0 - 1) w f / (w^2 +
f^2),
где e_0 и f -- постоянные параметры.
12