МУ к практ.зан. - Новгородский государственный университет

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»
Институт электронных информационных систем
Кафедра «Проектирование и технология радиоаппаратуры»
Техническая электродинамика
Дисциплина по направлению 210200 - «Проектирование и технология ЭС»
и специальности 210201 – «Проектирование и технология РЭС»
Методические указания для практических занятий
2
УДК 621.372.85 Техническая электродинамика: Метод. указ./ Сост.
М.И.Бичурин, НовГУ - Новгород, 2005.
Изложена программа и методические указания для практических занятий
по направлению 210200 и специальности 210201.
Табл. 4 , библиогр. 19 назв.
Одобрено к изданию на заседании кафедры ПТР
Протокол №
от
2005 г.
Зав.кафедрой
М.И.Бичурин
Новгородский государственный университет,2005
3
Введение
Целью данного методического пособия является практическое
освоение теоретических вопросов, излагаемых в первой части курса
«Техническая электродинамика». Пособие выполнено в виде ряда задач по
основным темам следующих разделов « Основы теории электромагнитного
поля» и «Распространение электромагнитных волн в линиях передачи». Перед
каждой темой приводится пример решения типовой задачи и дана сводка
необходимых формул.
Поскольку решение задач является необходимой практической
основой при изучении курса «Техническая электродинамика»,то здесь уместно
привести высказывание известного ученого Д.Пойи : «Крупное научное
открытие дает решение крупной проблемы ,но и в решении любой задачи
присутствует крупица открытия …. Если вы решаете её собственными силами,
то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться
твердостью победы».
Задачи пособия изображены таким образом,чтобы студент в
результате их решения:
- освоил размерности основных электромагнитных параметров;
- проверил основные теоретические положения лекционного курса ;
- мог применять конкретные знания при проектировании устройств СВЧ.
4
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1 Уравнения Максвелла …………………………………………... 3
Тема 2 Поля на границах раздела сред ………………………………… 6
Тема 3 Электростатика ………………………………………………….. 7
Тема 4 Магнитостатика …………………………………………………. 9
Тема 5 Переменное электромагнитное поле …………………………... 11
Тема 6 Прямоугольные волноводы …………………………………….. 13
Тема 7 Полосковые линии передачи …………………………………… 16
Список литературы ………………………………………………………. 19
5
Тема 1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Основные формулы:
D
div D  
 j,
– уравнения Максвелла в
t
дифференциальной форме
B
,
rot E  
div B  0
t
где H – вектор напряжённости магнитного поля;
E – вектор напряжённости магнитного поля;
D     0  E – вектор электрической индукции;
rot H 
B     0  H – вектор магнитной индукции;
 – относительная диэлектрическая проницаемость
 – относительная магнитная проницаемость
 0  8,85  10 12 Ф/м – относительная диэлектрическая проницаемость вакуума
 0  4 10 9 Гн/м – относительная магнитная проницаемость вакуума
j – вектор плотности тока смещения.
E
,
t
H
,
rot E    0
t
rot H   0
где
– I и II уравнения Максвелла
для вакуума
 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума ( 8,85  10 12 ф/м);
 0 – магнитная проницаемость вакуума ( 1,257  10 6 гн/м);

где
 div j  0 ,
– уравнение непрерывности тока
t
 – объёмная плотность заряда.
2 Е
 0,
t 2
– волновые уравнения
2 H
2
 H   0 0
 0,
t 2



где   i  j  k – вектор Набла или оператор Гамильтона.
x
y
z
2 Е   0 0
Элементы векторного анализа:
Пусть  х1 , х2 , х3  – скалярное поле ,
А  Ах х1 , х2 , х3   Аy х1 , х2 , х3   Аz х1 , х2 , х3  – векторное поле, тогда:



j
k
– градиент скалярного поля 
x
y
z
A Ay Az
– дивергенция векторного поля А
div A  x 

x
y
z
grad  i
6
i

rot A 
x
Ax
j

y
Ay
div rot A  0 ;
k

– ротор (изменение) векторного поля А
z
Az
grad div A  0 ;
 
 
rot  , A  grad  , A   rot A ;
grad 1 , 2   1 grad 2   2 grad1 ;
rot grad  0 ;
 
 
div A, B  A rot B  B rot A ;
div  , A  grad  , A   div A ;
rot rot A  grad div A   2 A   2 A .
Задачи:
Задача 1.
Показать, что уравнение непрерывности тока вытекает из I и II уравнений
Максвелла.
Задача 2.
Показать, что из уравнений Максвелла для вакуума вытекают волновые
уравнения.
Задача 3.
Вывести из уравнений Максвелла в дифференциальной форме уравнения
Максвелла в декартовой системе координат.
Задача 4.
Ток в среде распределён с плотностью j0 . Опыт показывает, что с
приложением постоянного магнитного поля ( H 0  const ) возникает
дополнительная составляющая плотности тока, определяемая: j  k E , H 0 , k –
постоянная Холла. Описать электропроводность среды, полагая, что магнитное
поле приложено по оси z.
/

kH 0
Ответ: ~   kH0
0

0 .
0

0
Задача 5.
Ток в среде распределён с плотностью j0 . Опыт показывает, что с
приложением постоянного магнитного поля ( H 0  const ) возникает
дополнительная составляющая плотности тока, определяемая: j  k E , H 0 , k –
постоянная Холла. Описать электропроводность среды, полагая, что магнитное
поле приложено по оси х.
/

Ответ: ~  0
0
0

 kH 0
0
kH 0 .

7
Задача 6.
Некоторый ЭМ процесс характеризуется тем, что все составляющие полей
зависят лишь от координаты z. Показать, что на основании уравнений
Максвелла при этом будут отсутствовать продольные составляющие Ez и Hz.
Задача 7.
Дано электромагнитное поле с неизменным направлением E . Показать, что
вектор напряжённости электрического поля E перпендикулярен вектору
магнитной индукции В .
Задача 8.
Найти электрическую индукцию на расстоянии r от точечного заряда q.
Ответ: D 
q
4 r 2
.
Задача 9.
Какова напряжённость магнитного поля на расстоянии 1м от постоянного
прямолинейного тока в 1А?
Ответ: H 
I
2 r
 0,16 А/м.
Задача 10.
Можно ли создать в пространстве электрическое поле с напряжённостью
Е  а  r , где а - постоянный вектор.
Ответ: нельзя.
8
Тема 2. ПОЛЯ НА ГРАНИЦАХ РАЗДЕЛА СРЕД
Основные формулы:
Нормальные составляющие:
Dn1  Dn 2  
где
 – поверхностная плотность свободного заряда
Bn1  Bn 2
Dn1  Dn 2 – для диэлектриков (   0 )
H n1  2
En1  2


H n 2 1
En 2  1
Тангенциальные составляющие:
E 1  E 2
H1  H 2
D 1  1

D 2  2
B 1 1

B 2  2
– если на границе раздела нет
поверхностного тока (   0 )
Задачи:
Задача 1.
Имеется плоская граница раздела двух сред
обладающих относительными диэлектрическими
проницаемостями  1 и  2 . Силовые линии
электрического поля в I среде образуют угол  1 с
направлением нормали. Найти ориентацию силовых
линий поля во II среде.
Ответ: tg 2 
 21
tg 1 .
1
Задача 2.
Электрическое поле с амплитудой Em  100 В/м
падает перпендикулярно на границу раздела двух
диэлектрических сред. Найти амплитуду электрического
поля во II среде.
Ответ: En 2 
1
E n1  10 В/м.
2
Задача 3.
Среды разделены заряженной поверхностью, и в одной из них поле
отсутствует. Каково электрическое поле в другой среде?


Ответ: E1  n 0 .
Задача 4.
Среды разделены плоской границей, несущей поверхностный ток. Поле в
одной среде отсутствует. Показать, что в другой среде магнитное поле
параллельно границе и связано с плотностью поверхностного тока 
соотношением: n 0 , H 0    . Пояснить этот результат рисунком.
9
Тема 3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Основные формулы:
rot E  0
 Ed l  0
E   grad

l
div D  

q    dV

 Dd S  q
V
 S
 D    0 E
q

– потенциал точечного заряда
40 r
1
1
W 
E 2 dV    dV – энергия электростатического поля

8
2
Задачи:
Задача 1.
Найти потенциал  и напряжённость E электрического поля шара,
равномерно заряженного по объёму. Радиус шара R, заряд q.
q  3 r2 
1 r     2 
R  2 2R 
q
 2 r  
r
Ответ: при r  R
при r  R
E1 
qr
R3
E2 
qr
.
r3
Задача 2 .
Найти потенциал  и напряжённость E электрического поля сферы
радиуса R, равномерно заряженного по поверхности. Заряд сферы q.
q
R
q
 2 r  
r
 1 r  
Ответ: при r  R
при r  R
E1  0
E2 
qr
.
r3
Задача 3 .
Внутри шара радиуса R, равномерно заряженного по объёму с плотностью
 , имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой R1, а центр
отстоит от центра шара на расстояние а ( a  R1  R ). Найти электрическое поле
E в полости.
4
3
4
3
4
3
Ответ: E    r    r  a     a .
Задача 4.
Найти энергию электростатического поля W для распределения зарядов,
указанного во второй задаче. Провести вычисления двумя способами (см.
формулу энергии электростатического поля).
Ответ: W 
3q 2
.
5R
10
Задача 5.
Найти энергию электростатического поля W для распределения зарядов,
указанного в третьей задаче. Провести вычисления двумя способами (см.
формулу энергии электростатического поля).
Ответ: W 
q2
.
2R
Задача 6.
На одной прямой в вакууме расположены
три точечных заряда: q1  1 мкКл, q2  23 мкКл,
Определить
напряжённость
q3  5 мкКл.
электрического поля в точке 0.
Ответ: Е  55,8  10 3 В/м.
Задача 7.
Заряженный металлический шар радиусом 5см находится в воздухе.
Известно, что электрический пробой в воздухе наступает при напряжённости
поля 30 кВ/см. Определить предельно допустимый заряд шара,
обеспечивающий отсутствие пробоя.
Ответ: qпр.доп  8,3 10 7 Кл.
Задача 8.
Бесконечно длинный цилиндр радиусом 5см равномерно заряжен с
поверхностной плотностью 10-5 Кл/м2. Пространство, окружающее цилиндр,
заполнено воздухом. Определить напряжённость поля, создаваемого
цилиндром на расстоянии 10м от его оси. Задачу решить с помощью уравнений
Максвелла в интегральной форме.
Ответ: Е  5,65 кВ/м.
Задача 9.
Имеются 2 бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с радиусами
а  2 см и b  5 см, выполненные из металла. Пространство между цилиндрами
заполнено воздухом. Потенциал внутреннего цилиндра составляет 5В,
потенциал наружного цилиндра равен нулю. Определить напряжённость поля
на окружности r  4 см.
Ответ: Е  136 В/м.
11
Тема 4. МАГНИТОСТАТИКА
Основные формулы:
rot H  j
 Hdl  0


 l
H   grad  м   0 
div B  0


 Bd S  0
 S
 B    0 H
I
H
 l 0 – напряжённость магнитного поля одиночного проводника с током
2r
Ф   Bd S – магнитный поток пронизывающий контур
S
WM 
1
  0 H 2 dV – магнитная энергия электромагнитного поля

2V
Задачи:
Задача 1.
Симметрично относительно оси прямолинейного тока I в
воздухе расположен тор, магнитная проницаемость которого
весьма велика (    0 ). Вычислить магнитную энергию
системы, полагая, что она сосредоточена внутри тора, ввиду его
большой магнитной проницаемости.
Ответ: W М 
ФI
.
2
Задача 2.
Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b
находится коаксиальный с ней провод радиуса a. По этим проводам текут
постоянные токи одинаковой величины I в противоположных направлениях.
Определить магнитное поле H, создаваемое такой системой во всех точках
пространства.
 Ir
 2a 2 при r  a,

I
Ответ: H r  H z  0 , H a  
при a  r  b,
2

r

0 при r  b.


Задача 3.
По бесконечному цилиндрическому проводу радиусом a протекает
постоянный ток с плотностью j. Определить напряжённость магнитного поля
внутри и вне проводника.
 jr
 2 при r  a,
Ответ: H   2
 ja при r  a.
 2r
12
Задача 4.
Решить вторую задачу, предположив, что плотность тока изменяется по
закону j  j0 r a .
 j0 r 2
при r  a,

 3a
Ответ: H   2
 j0 a при r  a.
 3r
Задача 5.
Индукционная катушка представляет собой одиночный виток,
расположенный на кольцевом сердечнике. Размеры сердечника: внутренний
диаметр d1  2a , внешний диаметр d 2  2b , высота сердечника h. Сердечник
выполнен из ферромагнитного материала   1 . Вывести формулу для расчёта
индуктивности такой катушки.
Ответ: L 
  0 Ih  b 
 ln  
2
a
13
Тема 5. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Основные формулы:
.
. .

rot H  i  E
, – уравнения Максвелла в комплексной форме

.
. .
rot E  i  H

.
 

     i  – комплексная диэлектрическая проницаемость  tg  
  

.

 
     i  – комплексная диэлектрическая проницаемость  tg м  
  

где
.
.
 2 .
2

H

k
H
0

– волновые уравнения

.
. .
 2 E  k 2 E  0

.
. .
k     – волновое число (постоянная распространения)
zc 
vф 
 0

– волновое сопротивление среды ( z 0  120 Ом)
 z0
 0


.
c – фазовая скорость
k
с
  – длина волны
f
Задачи:
Задача 1.
Плоская электромагнитная волна с частотой 10-9 Гц распространяется в
среде с параметрами   2,4 , tg  0,1 ,   1 . Определить фазовую скорость и
длину волны.
Ответ: vф  1,94  108 м/с,   0,194 м.
Задача 2.
Определить длину и фазовую скорость электромагнитной волны,
распространяющейся в среде без потерь с относительными проницаемостями
    10 , если частота волны 10 МГц.
Ответ:   3 м, vф  3107 м/с
Задача 3.
Волновое сопротивление среды равно 1508 Ом, относительная
диэлектрическая проницаемость   16 . Определить относительную магнитную
проницаемость среды.
Ответ:   1
14
Задача 4.
В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с частотой 30
МГц. Определить расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2700 и
25200.
Ответ: Х 1  7,5 м, Х 2  70 м
15
Тема 6. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ВОЛНОВОДЫ
Основные формулы:
0
  кр , – условие распространения конкретной волны в волноводе

с
где 0  – длина волны генератора (с – скорость света, f - частота)
f
 кр – критическая длина волны, которая определяется размерами и формой
поперечного сечения волновода
 кр 
Еmn:  кр
Нmn:  кр
где
2
2
2
– критическая длина волны для прямоугольного
m n
волновода для волн типа Emn и Нmn
   
 a  b
2a

– критическая длина волны для круглого волновода
 mn
2a

(а – радиус волновода)
 mn
a, b – размеры поперечного сечения волновода
 mn – n-й корень уравнения Бесселя J m x   0 (см. табл. 1)
 mn – n-й корень уравнения Бесселя J m x   0 (см. табл. 2)
ф 
в 
с

1 
1  0
   кр




2
– фазовая скорость
0
– длина волны в волноводе
ф
Таблица 1 – Значения корней функций Бесселя J m x 
n
m
1
2
3
0
2,405
5,520
8,654
1
3,832
7,016
10,173
2
5,136
8,417
11,620
3
6,380
9,761
13,015
4
7,588
11,065
14,373
Таблица 2 – Значения корней функций Бесселя J m x 
n
m
1
2
0
3,832
7,016
1
1,841
5,331
2
3,054
6,705
3
4,200
8,017
4
5,317
9,284
4
11,792
13,324
14,796
16,223
17,616
3
10,174
8,536
9,965
11,403
12,626
16
Задачи:
Задача 1.
Какие типы волн могут распространяться в круглом волноводе диаметром
см, заполненном диэлектриком с относительной магнитной
d 3
проницаемостью   3,2 ? Частота колебаний f  10 ГГц.
Ответ: Е01, Е02, Е11,Е21, Н01, Н11, Н12, Н21, Н31, Н41.
Задача 2.
Какие типы волн могут распространяться в заполненном воздухом
прямоугольном волноводе сечением 10х4 см при частоте f  5 ГГц.
Ответ: Е11,Е21, Н10, Н20, Н30, Н01, Н11, Н21.
Задача 3.
Какие типы волн могут распространяться в квадратном волноводе со
стороной 1 см при частоте f  10 ГГц? Волновод заполнен диэлектриком с
относительной проницаемостью   2,6 .
Ответ: Е11, Н10, Н20, Н01, Н02, Н11.
Задача 4.
Какие типы волн могут распространяться в заполненном воздухом круглом
волноводе диаметром 3 см при частоте 7,5 ГГц?
Ответ: Е01, Е11, Н01, Н11, Н21, Н31.
Задача 5.
В прямоугольном волноводе сечением 3х4 см распространяется волна типа
Н11. Волновод заполнен пенополистеролом с диэлектрической проницаемостью
  1,15 . Частота колебаний f  8 ГГц. Определить фазовую скорость и длину
волны в волноводе.
Ответ:  ф  4,084 108 м/с, в  5,105 см.
Задача 6.
Прямоугольный волновод сечением 23х10 мм заполнен диэлектриком с
относительной проницаемостью   2,25 . Частота колебаний 8,4 ГГц.
Определить фазовую скорость и длину волны в волноводе.
Ответ:  ф  2,34 108 м/с, в  2,78 см.
Задача 7.
При каком диаметре круглого волновода в нём может распространяться
только один тип волн при частоте колебаний 10 ГГц?
Ответ: 17,58 мм  d  22,96 мм .
17
Задача 8.
Определить критическую длину волны, критическую частоту и длину
волны в прямоугольном волноводе для волны типа Е11. Размеры поперечного
сечения 4х3 см. Частота колебаний 10 ГГц.
Ответ:  кр  4,8 см, f кр  6,25 ГГц, в  3,84 см.
Задача 9.
Определить критическую частоту и фазовую скорость волны в круглом
волноводе диаметром 5 см при частоте 5 ГГц.
Ответ: f кр  3,516 ГГц,  ф  4,219 108 м/с.
Задача 10.
Определить радиус круглого волновода, если фазовая скорость волны типа
Е01 при частоте поля 10 ГГц равна 5  108 м/с.
Ответ: r  14,34 мм.
18
Тема 6. ПОЛОСКОВЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
Основные формулы:
Волновое сопротивление
если
b
 2 , то
d
zв  k
 1 t d
 1 b d
если
b
 2 , то
d
zв  k


МПЛ
1
1
b 1 


d  1  t d 
СПЛ
где k  314 – для микрополосковой линии
k  216 – для симметричной полосковой линии
z в  L1 C1 – волновое сопротивление
Погонная емкость:
если t d  1, b d  0,6 , то
C1  k 1  b d 
1 b d
C1  k
1 t d
если b d  2 , то

b  1 
 
C1  k 1  
 d 1 t d 
- для МПЛ и k  1,54  10 11 - для СПЛ
если b d  2 , то
где k  1,06  10 11
Предельная мощность:
Рпред  16,88  10  4
Рпред  5,4  10 3
 2
Е предtdrB – в МПЛ

 2 2
Е пред d 0,1  t d 4  b d  – в СПЛ

Коэффициент ослабления волны в линии передачи:
   Д М ,
где
1
2
1
2
 Д    а  а tg Э  

3  108
tg Э – коэффициент учитывающий потери в
диэлектрике
М 
RS
120d
 ln rA k H 2
 ln rB rA 
М 
RS
120d
7  50 t d  b d

– коэффициент учитывающий потери в
 3,20,1  t d 4  b d  металле для СПЛ
– коэффициент учитывающий потери в
металле для МПЛ
19
Задача 1
Рассчитать волновое сопротивление, погонные емкость и индуктивность, а
также предельную передаваемую мощность в микрополосковой линии
передачи с воздушным заполнением. Параметры линии: ширина проводника
b  5 мм, расстояние между проводником и заземлённой пластиной d  1 мм,
t  0,025 мм,
толщина проводника
предельно допустимое значение
напряжённости электрического поля в воздухе Е пред  30 кВт/см.
Ответ: z в  52,333 Ом, С1  63,6 пФ/м, L1  0,173  10 6 Гн/м, Рпред  5,53 кВт.
Задача 2
Рассчитать коэффициент ослабления в симметричной полосковой линии
передачи с твёрдым диэлектриком. Параметры линии: ширина проводника
b  1,2 мм, расстояние между проводником и заземлённой пластиной d  1 мм,
толщина t  0,05 мм. Проводники выполнены из меди. Параметры диэлектрика:
  1 ,   2,55 , tg Э  8  10 4 . Рабочая частота   6  10 9 Гц.
Ответ:   0,1777 м-1.
Задача 3
Рассчитать волновое сопротивление, погонные индуктивность и емкость
микрополосковой линии передачи, заполненной диэлектриком. Параметры
линии: ширина токонесущей полоски b  7 мм, расстояние между токонесущей
полоской и заземлённой пластиной d  1 мм, толщина токонесущей полоски
t  0,05 мм. Диэлектрик – фторопласт. Потерями в линии пренебречь.
Ответ: z в  26 Ом, L1  0,126 мкГн/м, С1  186,3 пФ/м.
Задача 4
Определить погонные параметры симметричной полосковой линии
передачи с твёрдым диэлектриком, если известно, что её волновое
сопротивление 50 Ом, а фазовая скорость распространения волны 2  108 м/с.
Ответ: L1  0,25 мкГн/м, С1  100 пФ/м.
Задача 5
Определить волновое сопротивление микрополосковой линии передачи,
если известно, что в качестве диэлектрика используется материал с
относительной диэлектрической проницаемостью   2,55 , а погонная емкость
линии 60 пФ/м
Ответ: z в  88,7 Ом
Задача 6
Построить зависимость волнового сопротивления симметричной
полосковой линии с воздушным заполнением от отношения ширины
центрального проводника b к расстоянию между проводником и заземлённой
пластиной d для трёх значений t/d (0,01; 0,1; 0,2), где t – толщина проводника.
Отношение b/d изменять от 1 до 6.
20
Задача 7
Определить волновое сопротивление микрополосковой линии передачи с
твёрдым диэлектриком, если известно, что длина волны в линии 10 см, а
погонная емкость 100 пФ/м. Рабочая частота 2 ГГц.
Ответ: z в  50 Ом
21
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М.И. Бичурин, В.М. Петров Техническая электродинамика: конспект
лекций. – Новгород: НовГУ им. Ярослава Мудрого, 1999. – 122с.
2. С.И. Баскаков, В.Г. Карташев, Г.Д. Лобов Сборник задач ко курсу
«Электродинамика и распространение радиоволн». – М.: Высшая школа, 1981.
– 208с.
3. В.В. Никольский Теория электромагнитного поля. – М.: Высшая
школа, 1961. – 370с.
4. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин Сборник задач по электродинамике. –
М.: Наука, 1970, 503с.