Электромагнитные волны

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВГОРОДСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО
Самолюк Н.П.
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Учебно–методическое пособие для студентов
физико-математических и инженерных специальностей
Великий Новгород
2011 г.
2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВГОРОДСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО
Самолюк Н.П.
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Учебно–методическое пособие для студентов
физико-математических и инженерных специальностей
Великий Новгород
2011
3
УДК 53 (0765)
Самолюк Н.П.
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
Учебно–методическое пособие для студентов физико-математических и
инженерных специальностей. ФГБОУ «Новгородский государственный
университет им. Ярослава Мудрого», Великий Новгород, 2011 г. - 21 с.
Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент Витова Л.З.
В учебном пособии подробно рассмотрены уравнения электромагнитных волн,
доказывается поперечность электромагнитных волн, а также плотность потока
энергии электромагнитной волны. Пособие предназначено для студентов
инженерных и физико-математических специальностей. Учебное пособие
соответствует программе курса общей физики для физико-математических и
инженерных специальностей.
© Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования Новгородский государственный
университет имени Ярослава Мудрого, 2011
©
Н.П.Самолюк: составление, 2011
4
Электромагнитные волны
1. Общие понятия и экспериментальные факты
Уравнения Максвелла указывают, что электрическое и магнитное поле
существуют одновременно и их совместное существование представляет
собой электромагнитное поле.
Процесс распространения в пространстве электромагнитного поля
называется электромагнитной волной. В отличие от механических волн,
которые могут распространяться только в упругих средах, электромагнитные
волны могут распространяться и в вакууме. В электромагнитной волне
изменяются во времени и в пространстве напряженность электрического
поля E и напряженность магнитного поля H , то есть колеблются вектора
E и H.
Предположение о возможности существовании электромагнитных волн
высказал в 1832 году Фарадей. Максвелл в 1865 году создал теорию
электромагнетизма, в основе которой лежит система уравнений. Одним из
следствий
системы
уравнений
Максвелла
является
утверждение
о
существовании электромагнитных волн, которые распространяются в
пространстве со скоростью света. В 1888 году Герц получил с помощью
вибратора электромагнитные волны с длиной волны
   0, 6  10  м .
Работа, изобретенного Герцем вибратора основана на следующих
принципах:
1. Излучать электромагнитную волну может только ускоренно движущийся
заряд;
2. Интенсивность электромагнитной волны, излученной колеблющимся
зарядом, пропорциональна четвертой степени частоты колебаний;
5
3.
Наиболее
доступным
является
ускоренное
движение
зарядов
в
колебательном контуре. Другими словами, для получения электромагнитных
волн можно использовать электромагнитные колебания колебательного
контура. При этом необходимо внести такие изменения в его конструкцию,
которые позволяли бы получать большую частоту колебаний;
4. Частота свободных затухающих колебаний колебательного контура с
малым активным сопротивлением определяется формулой  
1
L C
, где
L - индуктивность колебательного контура, а C - емкость. Тогда для того
чтобы увеличить частоту колебаний, можно уменьшить емкость C , что
можно сделать, если раздвинуть пластины конденсатора и уменьшить
площадь его пластин. Кроме того, можно уменьшить индуктивность L , для
чего необходимо уменьшить число витков.
В результате этих требований получается просто кусок провода,
который представляет собой открытый колебательный контур.
Вибратор герца, с помощью которого он получил электромагнитные
волны, состоит из двух таких кусков провода или из двух стержней,
разделенных искровым промежутком. При подаче высокого напряжения,
например, от индукционной катушки, в искровом промежутке проскакивает
искра, которая закорачивает стержни, в которых возникают затухающие
колебания. За время проскакивания искры успевает произойти много
колебаний, в результате которых излучаются электромагнитные волны.
Превращение колебательного контура в вибратор и схема его работы
представлены на рисунке 1.
В 1896 году А.С.Попов – основоположник радиотехники – передал
слова «Генрих Герц» на расстояние 250 метров.
В зависимости от частоты или длины волны электромагнитные волны
располагаются в шкалу электромагнитных волн:
2 0
1.  -лучи: длина волны    10 A ;
6
2. Рентгеновские лучи  10 A    10 A
2
0
2
0
3. Ультрафиолетовые лучи  10 A    4 10 A
0
3
0
4. Видимый свет  4  10 A    7, 6  10 A
3
0
3
0
5. Инфракрасное излучение  7, 6  10 A    10 A
3
0
6
0
6. СВЧ волны  10 A    10 A
6
0
10
0
7. Ультракороткие волны  10 A    10 A
10
0
11
0
8. Короткие волны  10 A    10 A
11
0
12
0
9. Средние волны  10 A    10 A
12
0
13
0
10 Длинные волны  10 A    10 A
13
0
14
0
11. Сверхдлинные волны  10 A    10 A
14
0
15
0
1A0  1010 м
Рис. 1. Открытый колебательный контур и вибратор Герца
7
2. Волновое уравнение для электромагнитных волн
Распространение электромагнитного поля в пространстве определяется
решением системы уравнений Максвелла применительно к конкретной среде,
в которой распространяется электромагнитное поле:

B
rotE


;


t

divD   ;

divB  0;

rotH  j  D
t

(2.1)
Рассмотрим, как будут выглядеть эти уравнения при условии, что на
среду, в которой распространяется электромагнитное поле, накладываются
следующие условия:
1. Среда является изотропной. Тогда D || E; B || H , а диэлектрическая
проницаемость среды

и
магнитная

проницаемость
являются
D   0 E и
скалярными величинами. Тогда, используя определения
B  0  H , получаем уравнения Максвелла в следующем виде:


rotE



H ;
0

t

 0 div  E   ;


 0 div  H  0; div  H  0;

 E

rotH

j


0

t

 
 


 

(2.2)
2. Среда является однородной. Тогда для всех точек среды диэлектрическая
проницаемость и магнитная проницаемость не зависят от координат, то есть:
8
  const  r 
(2.3)
  const  r 
При этом условии система уравнений Максвелла будет иметь вид:


rotE



H ;
0

t

 0 divE   ;

divH  0;

 E
rotH  j  
0
t



(2.4)
 
3. Среда не является сегнетоэлектрической. Тогда диэлектрическая
проницаемость среды  не зависит от времени, то есть
  const  t  . Тогда
получаем:
0
     E ;
 E
t
t
E
rotH  j   0
t
0
(2.5)
4. Среда не является ферромагнитной или ферритной. Тогда магнитная
проницаемость среды  не зависит от времени, то есть
  const  t  . Тогда
получаем:

H
 H  0 
;
t
t
H
rotE   0 
t
0


(2.7)
5. Среда не заряженная. Тогда   0 и, следовательно,
divE  0
(2.8)
6. Среда не проводит электрический ток (непроводящая). Тогда   0 и,
следовательно:
9
j   E  0;
E
rotH   0
t
(2.9)
При этих условиях система уравнений Максвелла будет иметь вид:

H
;
rotE   0 
t

divE  0;

divH  0;

rotH   0 E
t

(2.10)
Проанализируем эту систему уравнений с целью получения волнового
уравнения. Для этого применим операцию rot к первому уравнению
системы (2.10). При этом правая часть этого уравнения преобразуется,
согласно свойству векторных операций и двойного векторного произведения,
к виду:


rot rotE       E        E  2 E  E
(2.11)
Здесь учтено второе уравнение системы (2.10), согласно которому


divE  0;   E  0 , а также понятие оператора Лапласа:
2
2
2
  2  2  2
x
y
z
2
(2.12)
Операция rot , примененная к правой части первого уравнения
системы (2.10), приводит к выражению:


E 
2 E
0 
rotH  0    0
  0  0 2
t
t 
t 
t


(2.13)
Подставляем формулы (2.11) и (2.13) в первое уравнение системы
(2.10) и получаем:
10
2 E
2E
E   0  0 2 : E  0  0 2
t
t
Формула
(2.14)
представляет
собой
(2.14)
волновое
уравнение
для
напряженности электрического поля.
Если применить операцию rot к четвертому уравнению системы
(2.10), то получим волновое уравнение для напряженности магнитного поля:
2 H
H  0  0 2
t
Таким
образом,
(2.15)
электромагнитная
волна
представляет
собой
распространение в пространстве электрического и магнитного полей, которое
происходит согласно волновым уравнениям, имеющим вид:
2 E
E  0  0 2 ;
t
2 H
H  0  0 2
t
(2.16)
Форма этих уравнений совпадает с формой волнового уравнения в
механике. При этом коэффициент перед второй производной по времени
равен:
0  0 
1
V2
(2.17)
Здесь V - скорость распространения электромагнитных волн. Эта величина
получается и по проверке размерности названного коэффициента. Теперь
волновое уравнение для электромагнитных волн имеет вид:
1 2 E
1 2 E
E  2  2 ; E  2  2  0
V t
V t
1 2 H
1 2 H
H  2  2 ; H  2  2  0
V
t
V
t
Из
формулы
(2.17)
электромагнитных волн в среде:
найдем
(2.18)
скорость
распространения
11
V
1
(2.19)
 0 0 
  1;   1, тогда скорость электромагнитных волн в
В вакууме
вакууме будет величиной постоянной, которая определяется формулой:
c
Волновое
1
 0 0
 3 108
уравнение
м
с
(2.18)
(2.20)
является
уравнением
в
частных
производных. Эти уравнения решаются методом Фурье или методом
Даламбера. Применение этих методов показывает, что решением такого
волнового уравнения является функция, которая имеет вид:


E  E0  cos t  kr   ;

H  H 0  cos t  kr  
Здесь  
2
 2 - циклическая частота, T - период колебаний,  =
T
частота колебаний. Вектор k 
  V T 

(2.21)
V

2

 n0 называется волновым вектором. Здесь
- длина волны, которая показывает, на какое расстояние
распространяется волна за время, равное периоду. Вектор n0 по модулю
равен единице, а по направлению совпадает с направлением распространения
волны.
Формула
(2.21)
показывает
значение
векторов
напряженности
электрического и магнитного поля в момент времени t в точке, радиусвектор
которой
равен
r . Это уравнение называется уравнением
монохроматической волны, которая распространяется в направлении любого
радиус-вектора r .
12
Волны
характеризуются
волновой
поверхностью.
Волновой
поверхностью называется поверхность, все точки которой колеблются в
одинаковой фазе, то есть уравнение волновой поверхности имеет вид:
t  kr    const
Волна
называется
(2.22)
плоской,
если
ее
волновые
поверхности
представляют собой плоскости. Волна называется сферической, если ее
волновые поверхности представляют собой сферы.
Кроме
понятия
волновой
поверхности,
используется
понятие
волнового фронта. Волновым фронтом называется последняя волновая
поверхность, до которой дошла волна в данный момент времени. Волновой
фронт делит все пространство на две части, в одной из них волна уже
распространилась, а в другой – еще нет.
3. Поперечность электромагнитных волн
Волны любой природы принято делить на продольные волны и
поперечные волны. Это два предельных случая распространения колебаний.
Волна
называется
материального
объекта
продольной,
(частиц,
если
полей)
направление
совпадает
с
колебаний
направлением
распространения волны или с направлением распространения колебаний.
Типичным
примером
продольных
волн
являются
звуковые
волны,
распространяющиеся в твердых, жидких и газообразных телах. Если
рассматривать механические волны, то продольные волны связаны с
деформацией растяжения и сжатия упругой среды, в которой волны
распространяются
Волна
называется
поперечной,
если
направление
колебаний
материального объекта (частиц, полей) перпендикулярно направлению
распространения волн или направления распространения колебаний. Если
рассматривать механические волны в упругой среде, то такие волны связаны
с деформацией сдвига. Такие волны возможны в твердых и жидких телах. В
13
качестве примера поперечных волн можно привести волны на поверхности
воды, хотя, если учесть все особенности этих волн, то строго поперечными
их считать нельзя.
Вопрос о продольности или поперечности электромагнитных волн
можно решить при проверке правильности решения волнового уравнения.
Как
указано
в
предыдущем
параграфе,
волновое
уравнение
для
электромагнитных волн имеет вид:
1 2 E
1 2 E
E  2  2 ; E  2  2  0
V t
V t
1 2 H
1 2 H
H  2  2 ; H  2  2  0
V
t
V
t
(3.1)
Решения этих уравнений имеют вид:


E  E0  cos t  kr   ;

H  H 0  cos t  kr  
(3.2)

Выясним, удовлетворяют ли
уравнениям Максвелла указанные
выражения для напряженностей электрического и магнитного полей. Для
этого подставим формулы (3.2) в первое уравнение формулы (2.10):
rotE   0 
H
t
(3.3).
Представим операцию rotE в скалярном виде:
i

rotE 
x
Ex
j

y
Ey
k
 E y Ex 
  Ez E y 
 Ex Ez 



i



j




k


z  y
z 

z

x

x

y




Ez
(3.4)
Запишем вектор напряженности электрического поля в координатном виде:
14

cos t   k x  k y  k z      j 
cos t   k x  k y  k z      k



E  E0  cos t  kr    E0 x cos t   k x x  k y y  k z z     i 
 E0 y
 E0 z
x
y
z
x
y
z
(3.5)
Эта
формула
позволяет
записать
проекции
вектора
напряженности
электрического поля на координатные оси и найти производные от этих
проекция, необходимые для формулы (3.4):


Ex  E0 x cos t   k x x  k y y  k z z    ;

Ex
 E0 x  sin t   k x x  k y y  k z z   
y


   k  
y

 E0 x k y sin t   k x x  k y y  k z z    ;

Ex
 E0 x  sin t   k x x  k y y  k z z   
z


 E0 x k z sin t   k x x  k y y  k z z   
(3.6)
   k  
z




может быть внесена в
   , а величина
2
2


постоянную начальную фазу  , что не изменяет сущность описания
Так как sin    cos 
колебаний и волн, тогда получаем:
Ex
  E0 x k y cos t   k x x  k y y  k z z      E x k y ;
y
Ex
  E0 x k z cos t   k x x  k y y  k z z      E x k z
z



Здесь  

2
Аналогично

(3.7)
   const .
найдем
другие
производные
напряженности электрического поля:
от
проекций
вектора
15


E y  E0 y cos t   k x x  k y y  k z z    ;
E y
x
E y
z
  Ey kx ;
(3.8)
  Ey kz


Ez  E0 z cos t   k x x  k y y  k z z    ;
Ez
  Ez k x ;
x
Ez
  Ez k y
y
(3.9)
Подставляем формулы (3.7), (3.8) и (3.9) в формулу (3.4):
i

rotE 
x
Ex
j

y
Ey
k
  Ez E y 
 Ex Ez



i




z  y
z 
x
 z
Ez
 E y Ex 


j



k 


x

y



   Ez k y  E y k z   i    Ex k z  Ez k x   j    E y k x  Ex k y   k   E  k 
(3.10)
Прежде чем подставить формулу (3.10) в формулу (3.3), найдем
производную по времени от вектора напряженности магнитного поля. Для
этого воспользуемся вторым выражением в формуле (3.2):


H  H 0  cos t  kr   ;

H
 H 0  sin t  kr  
t
При
записи

формулы
(3.11)
(3.11)
    H  
использовали
такие
же
свойства
тригонометрической функции «синус», как и при получении производных по
координатам от проекций вектора напряженности электрического поля.
Подставляем формулы (3.10) и (3.11) в формулу (3.3):
 E  k    0  H     0   H


(3.12)
16
В формуле (3.12) k - волновой вектор, его можно выразить через
единичный вектор направления распространения волны n :
k
2

n 
2

n  n
V T
V
(3.13)
Подставляем формулу (3.13) в формулу (3.12) и получаем:
  
 E  V  n    0  H     0   H ;


1
 E  n    0   H
V
Используем
формулу
электромагнитных волн: V 
(2.19)
(3.14)
для
1
 0 0 
скорости
распространения
, тогда формулу (3.14) можно
записать в виде:
1
 E  n    0   H ;
V
 0 0   E  n    0   H ;
H 
(3.15)
 0
 0
  E  n  
  n  E 
0 
0  
Из формулы (3.15) следует, что вектор напряженности магнитного поля
определяется векторным произведением единичного вектора скорости
распространения волн и вектора напряженности электрического поля. Это
означает, что эти векторы перпендикулярны:
H  n;
H E
(3.16)
Если провести аналогичные выводы, используя четвертое уравнение
системы (2.10), то получим следующее выражение для напряженности
электрического поля:
17
E
0 
  H  n 
 0 
(3.17)
Отсюда следует, что в электромагнитной волне:
E  n;
EH
(3.18).
Обобщая результаты, представленные в формулах (3.16) и (3.18),
получаем, что если электромагнитная волна распространяется в однородной
и
изотропной
среде,
не
обладающей
сегнетоэлектрическими
и
ферромагнитными свойствами, а также не проводящей электрический ток,
так что векторы напряженности электрического и магнитного поля и
единичный
вектор
направления
распространения
волны
взаимно
перпендикулярны:
EH n
(3.19)
Это говорит о том, что в указанных условиях электромагнитные волны
являются поперечными волнами. В общем случае, электромагнитные волны
могут быть и продольными, например, если электромагнитная волна
распространяется в плазме. В других средах векторы напряженностей
электрического и магнитного полей могут колебаться под углами, не
равными
900.
Таким
образом,
при
изучении
распространения
электромагнитных волн важную роль играют свойства среды, в которой они
распространяются.
4. Плотность энергии электромагнитных волн. Вектор Пойнтнга
Основным свойством волн любой природы является то, что волна
переносит на расстояние энергию. Поэтому найдем плотность энергии,
которую несет электромагнитная волна. Для решения этой задачи запишем
первое и четвертое уравнение из системы (2.10):
18

H
rotE




;

0
t

rotH    E
0

t
(4.1)
Умножим первое из этих уравнений скалярно на вектор H , а второе –
на вектор E :

H
H

rotE





H


0
t

 E  rotH     E  E
0

t
(4.2)
Теперь вычитаем из первого уравнения формулы (4.2) второе
уравнение:
H
E
  0  E 

t
t

H
E 
   0   H 
  0  E 


t

t


H  rotE  E  rotH   0   H 
(4.3)
Рассмотрим подробно правую часть формулы (4.3):
H  rotE  E  rotH  H    E   E    H     E  H   div  E  H  ;
 div  E  H   H    E   E   H     H    E   E    H  
(4.4)
Выражение в скобках в формуле (4.4) приведено для доказательства
справедливости предложенной векторной операции.
Рассмотрим правую часть выражения (4.3):

H
E 
  0   H 2  0  E 2 
  0   H 
  0  E 


 

t

t

t
2
2




Подставляем формулы (4.4) и (4.5) в формулу (4.3):
(4.5)
19
  0   H 2  0  E 2 
div  E  H    


t 
2
2 
(4.6)
Из электростатики известно, что плотность энергии электрического
поля определяется формулой:
wэл 
 0  E 2
2

 0 E  E
2

ED
2
(4.7)
При изучении магнитного поля также было получено, что плотность
энергии магнитного поля определяется формулой:
wмагн 
0   H 2
2

0  H  H
2

BH
2
(4.8)
Тогда плотность энергии электромагнитного поля определяется
формулой:
E  D B  H E  D  B  H  0 E 2  0  H 2  0 E 2   0  H 2
w





2
2
2
2
2
2
(4.9)
Подставляем формулу (4.9) в формулу (4.6):
div  E  H   
w
t
(4.10)
Найдем связь между плотностью энергии магнитного поля и
плотностью энергии электрического поля в электромагнитной волне:
wэл 
 0  E 2
2

 0 E  E
2
2

 0   0 
0   H 2

  H  n   
 wмагн


2   0
2

(4.11)
Формула (4.11) выведена с учетом формулы (3.15), а также с учетом того, что
модуль вектора n равен единице, то есть n  1. Кроме того, учтено, что
векторы E , H , n в электромагнитной волне взаимно перпендикулярны.
Из этой формулы следует, что в бегущей электромагнитной волне
плотность энергии магнитного поля равна плотности энергии электрического
20
поля. Это естественный вывод, который отражает закон сохранения энергии.
В случае, если волны распространяются в проводящей среде это условие
выполняться не будет.
С учетом формулы (4.11) плотность энергии магнитного поля можно
записать в виде:
E  D B  H E  D  B  H  0 E 2  0  H 2
w





2
2
2
2
2
 0 E 2   0  H 2

  0 E 2   0  H 2
2
(4.12)
Формула (4.10) показывает, какова скорость плотности энергии волны,
распространяющейся в пространстве. Справа формулы (4.10) содержится
величина, которая определяется формулой:
S   E  H 
(4.13)
Эта величина называется вектором Пойнтинга. Согласно формулам (3.15) и
(3.17), вектор Пойнтинга направлен по направлению распространения волны,
то есть по направлению вектора n . Вектор Пойнтинга определяет плотность
потока энергии электромагнитного поля.
Найдем модуль этого вектора:
S   E  H   E  H  n  E 
 0
 0
  n  E   n 
 E2  n 
0 
0 
 0  E
 H
n  0
 n  w V  n  w V
 00 
 00 
2
2
(4.14)
Формула (4.14) получена с учетом формулы (4.12).
Если ввести обозначение показателя преломления среды, nnp 
тогда вектор Пойнтинга можно выразить через скорость света:
S  w V  n  w V 
wc
n
nnp
(4.15)
 ,
21
СОДЕРЖАНИЕ
1. Общие понятия и экспериментальные факты…………………………….4
2. Волновое уравнение для электромагнитных волн……………………….7
3. Поперечность электромагнитных волн…………………………….…….12
4. Плотность энергии электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга…… 17