Лекция 16 э-м колебания и волны

1
Лекция 16. Электромагнитные колебания.
[1] гл. 18
План лекции
1. Свободные незатухающие колебания в колебательном контуре.
2. Свободные затухающие электромагнитные колебания.
3. Вынужденные электромагнитные колебания. Электрический
резонанс.
1.Свободные незатухающие колебания в колебательном контуре.
Среди электрических явлений особое место занимают электромагнитные
колебания, при которых электрические величины (заряды, токи,
электрические и магнитные поля) изменяются периодически. Для
возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний требуются
определенные системы, простейшей из которых является колебательный
контур.
Колебательный контур - это цепь, состоящая из последовательно
соединенных катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C .
Рассмотрим процесс возникновения электромагнитных колебаний в
идеализированном колебательном контуре, в котором можно пренебречь
сопротивлением соединительных проводов. Для возбуждения в контуре
колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам
заряд q0 от внешнего источника (рис.1).
В заряженном колебательном контуре устанавливаются свободные
колебания, называемые электромагнитными. При этом колеблются значения
всех электрических и магнитных величин.
I0
В0
I0
+
-
T
4
В0
I0
+
T
2
t  0; T
t
q  q0
q0
q  q0
E0
U 0
E  E 0
U  U 0
E  E0
U  U0
WЭ 0  W Э 0
WЭ  0
I 0
B0
Wм  0
B  B0
Wм  Wмо
I0
t
WЭ 0  W Э 0
I  I0
I 0
B0
Wм  0
Рис.1
t
3T
4
q0
E0
U 0
WЭ  0
I  I 0
B  B 0
Wм  W мо
2
В контуре возникают электромагнитные колебания, при которых
происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного
поля и наоборот. Рисунок 2 представляет собой график зависимости заряда
конденсатора q от времени t , q  q(t ) , на котором значениям заряда в
моменты
времени
t  0;
T T 3T
; ;
; T
4 2 4
сопоставлены
соответствующие
состояния колебательного контура (а; б; в; г; д).
б)
а)
–
U0
q0 +
в)

В0  U 0

Е0
q
q0
0
+
 q0 –

 Е0

 В0
–

U0
Е0
q0 +
I0
I0
Т
4
д)
г)
Т
2
3Т
4
Т
t
 q0
Рис.2
Электромагнитные колебания во многом подобны механическим
колебаниям, т.е. подобны описывающие их уравнения и их решения.
Запишем для контура 2-е правило Кирхгофа для произвольного
момента времени: сумма падений напряжений равна сумме действующих в
контуре эдс. В контуре действует только одна эдс - эдс самоиндукции  S , а
падение напряжения происходит на конденсаторе, поэтому U C   S ,
q
, q - мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора.
C
dI
d  dq 
d 2q
 S  L  L    L 2 ,
dt
dt  dt 
dt
где U C 
q
d 2q
 L 2 ,
c
dt
2
d q
1

q  0.
2
LC
dt
3
Обозначим
1
  02 ;
LC
d 2q
  02 q  0 - дифференциальное уравнение свободных электромагнитных
2
dt
колебаний.
Решением этого уравнения является выражение q  q0 cos0 t   0  .
Таким образом, в идеальном колебательном контуре (рис.3) колебания заряда
происходят по гармоническому закону (рис.4).
q
q0
L
C
t
Рис. 3
Рис. 4
q q0
 cos0 t   0   U 0 cos0 t   0 ;
С С
dq


I
 q00 sin 0t   0    I 0 sin 0t   0   I 0 cos 0t   0   ,
dt
2

U
т.е. колебания тока опережают колебания заряда по фазе на

: когда ток
2
достигает максимального значения, заряд и напряжение обращаются в нуль (и
наоборот).
1
 собственная циклическая частота контура,
LC
2
Т
 2 LC  формула Томсона.
0
Т.к. 0 
Превращение энергии в колебательном контуре:
q 02
q 02
q2
2
Wэл 

cos  0 t   0 ,
Wэл 0 
,
2C 2C
2C
2
Lq 2 2
Lq 02
q
LI 2 LI 02
WM 

sin 2  0 t   0   0 0 sin 2  0 t   0  
sin 2  0 t   0   0 sin 2 ( 0 t   0 ),
2
2
2
2 LC
2C
2
2
LI
q
WM 0  0  0 ,
2
2C
W  WЭ  W M  W Э 0  W M 0 .
2. Свободные затухающие электромагнитные колебания.
Т.к. всякий проводник обладает сопротивлением, в процессе
прохождения тока в колебательном контуре выделяется джоулево тепло, т.е.
4
теряется энергия, поэтому свободные электромагнитные колебания в
реальном контуре (рис. 5) всегда затухающие. Для такого контура
U C  U R   S , где U R - падение напряжения на активном сопротивлении
контура.
q
dq
dI
d 2I
, U R  RI  R ,  S   L
 L 2 ,
C
dt
dt
dt
2
2
q
dq
d q
d q R dq
1
R
  L 2 или


q  0.
2
C
dt
dt
dt
L dt LC
R
1
Обозначим  2 ,  02 .
L
LC
2
d q
dq
 2
  02 q  0 - дифференциальное уравнение свободных затухающих
2
dt
dt
UC 
электромагнитных колебаний.
Решением этого уравнения является выражение q  q0 e  t cost   0  .
0 
1
 циклическая частота собственных незатухающих колебаний;
LC
  02   2  циклическая частота собственных затухающих колебаний;
qm  q0e t  закон убывания амплитуды (рис.6), где q 0 - амплитуда при t=0.
q
q0
q0 e   t
L
C
0
R
t
Рис. 6
Рис. 5
q q 0  t

e cost   0 ,
C C
U  U 0 e  t cost   0 .
U
Выясним физический смысл . Введем понятие времени реакции  времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз.
q0
 e, e   e1 ,   1,
 
q0 e
1
 .

Таким образом,  есть величина, обратная .
Логарифмический декремент затухания - натуральный логарифм
отношения 2-х амплитуд, отличающихся по времени на период.
  ln
q0
 T .
q 0 e  T
5
За время  система совершит N 

колебаний.
T

1

Т 
Т


1
,
N
N - число колебаний, за которые амплитуда уменьшается в е раз.
Добротность характеризует способность колебательного контура к
затуханию колебаний:
Q  N 

.

Добротность пропорциональна числу колебаний, за которые амплитуда
уменьшается в е раз.
Если Q велико, колебания затухают медленно (рис.7, Q1  Q2 ).
q
q
Q2
Q1
0
0
t
t
Рис. 7
3. Вынужденные электромагнитные колебания. Электрический
резонанс.
Свободные электромагнитные колебания происходят с частотой,
определяемой параметрами контура C , L и R , и в реальном колебательном
контуре со временем затухают из-за потерь энергии. Чтобы получить
незатухающие колебания, потери энергии необходимо компенсировать.
Таким образом, для получения незатухающих электромагнитных колебаний
необходимо ввести в контур э.д.с., периодически меняющуюся с течением
времени по гармоническому закону:
   0 cos t ,
где 0 – амплитуда э.д.с.;  – циклическая частота вынуждающей э.д.с.
Вынужденными называются электромагнитные колебания, которые
происходят под действием периодически изменяющейся эдс (рис.8).
Uc UR   s  ,
q
dI
 IR   L   0 cos t ,
c
dt
dq
dI d 2 q

т.к. I  ,
,
dt
dt dt 2
6
q
dq
d 2q
R
 L 2   0 cos t ,
c
dt
dt
2

d q R dq
1
1
R


q  0 cos t;
  02 ;
 2 ,
2
L dt LC
L
LC
L
dt

d 2q
dq
 2
  02 q  0 cos t - дифференциальное уравнение вынужденных
2
dt
L
dt
электромагнитных колебаний.
Можно доказать, что решением этого уравнения является выражение:
q  q0 cost    .
R
q
q0
L
C
t

~
Рис. 8
Рис. 9
Экспериментально установлено, что изменение заряда q отстает от
изменения э.д.с.
 – разность фаз колебаний q и .
Вынужденные колебания совершаются с такой же частотой , что и
колебания вынуждающей э.д.с.
На рис. 9 приведен график зависимости заряда конденсатора от времени
в случае установившихся вынужденных электромагнитных колебаний.
Вынужденные колебания совершаются с такой же частотой  , что и
вынуждающая э.д.с. Экспериментально установлено, что изменение q отстает
в своем изменении от изменений э.д.с  ;  - разность фаз колебаний q и  ,
сдвиг по фазе между изменением q и  .
Амплитудное значение q 0 заряда и tg определяются формулами:
0
q0 
 1

 L 
 c

2
,
 R2  
tq 
Т.к.
R
.
1
 L
c
q 0  q0 ( ), можно найти , при которой
dq0
 0   рез  02  2 2 ,
d
q0  q0 max :
7
0
q 0 max 
I
R  02   2
;
dq


  q0 sint     q0 cos t      I 0 cost    ,

dt
2
  
где

2
 сдвиг по фазе между изменениями I и  .
I 0  q 0 
0
 1

R2  
 L 
 С

2
,

1

tq  tq    ctq  

2
tq

I0
R0
R1  R2
0
 рез
Рис. 10

L 
R
1
С .
Электрический
резонанс
явление
резкого
возрастания
амплитуды вынужденных колебаний,
когда частота вынуждающей эдс 
приближается к собственной частоте
колебательного контура  0 .
Чем
больше
сопротивление
контура R, тем более полого
располагается резонансная кривая
(рис.10).