I . Методические указания к решению задачи. ... Ф

чивающую силу I3W3.
Методические указания к решению задачи. По методу двух узлов
рекомендуется рассчитать и построить зависимости Ф1(UмАВ) и Ф2(UмАВ),
точка их пересечения определит величину UмАВ, а также Ф1 и Ф2, затем с
помощью второго закона Кирхгофа можно найти I3W3 (см. рис. 2.34).
UмАВ = I1W1 – Н1l1 – НВlВ, UмАВ = -I2W2 – Н2l2, I3W3 = UмАВ – Н3l3.
Ответы: Ф1 = Ф2 = -15,510-4 Вб, UмАВ = 690 А, Ф3 = -3110-4 Вб, I3W3 = 2140 А.
3. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
3.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Синусоидальным называется ток, изменяющийся во времени по
синусоидальному закону. Значение тока в некоторый момент времени
называется его мгновенным значением и обозначается малой буквой i. Ток
считается определённым, если известен закон изменения его мгновенного
значения и указано положительное направление. Для синусоидального тока
i = Imsin(ωt+ψ),
где: Im – максимальное значение или амплитуда тока;
ω = 2π/Т = 2πf – угловая частота;
T и f – период и частота тока;
ψ - начальная фаза.
Кроме амплитудного значения, он характеризуется еще и
средним
Iср = 2Im /π, а также
действующим I = Im/ 2 значениями.
Пассивными элементами цепи синусоидального тока являются
активное сопротивление R (учитывает преобразование электрической
энергии в другие виды), индуктивность L (учитывает наличие магнитного
поля и явление самоиндукции) и ёмкость C (учитывает наличие
электрического поля). Состояние этих элементов при подключении их к
напряжению u = Umsinωt характеризуется данными табл. 3.1.
Таблица 3.1
Элемент Мгновенное значение
Закон Ома для
Векторная
тока
действующих значений
диаграмма
R
U
U
U
i  m sin t
I
R
R
I
L
U
U
U
U
i  m sin( t  90  )
I

I
L
x L L
C
U
i  CU m sin( t  90  )
I
 CU
I
xC
U
Основные величины, имеющие место в цепи с последовательным
соединением R, L и C, если к ней подведено напряжение u = Umsinωt,
приведены в табл. 3.2.
При xL = xC, чего можно добиться, изменяя L, С или ω, в цепи R, L, С
69
возникает резонанс напряжений, и тогда UL = UС , UR = U,  = 0 (cos =1),
ток I = U/R имеет максимальное значение.
Таблица 3.2
Цепь
Мгновенное значение Закон Ома для
Векторная
тока
действующих
диаграмма при
значений
xL>xC
U
i = m sin(ωt-);
U
I x C I x L
Z
i R
I=
Z
U
u
L
Z = R 2  ( xL  xC )2 ;

I
C
x L  xC
 =arctg
I R
R
Если в цепи последовательно соединено по несколько R, L и С, то её
полное сопротивление
Z=
 R 2   xL   xC 2 ,
а угол сдвига фаз напряжения и тока  = arctg
 xL   xC .
R
При параллельном соединении ветвей, в каждой из которых может
быть включена любая комбинация R, L и С, токи раскладываются на
активные (совпадающие с напряжением) и реактивные (перпендикулярные
напряжению) составляющие. Для тока k-ой ветви Ikа= Ikcos k , Ikр = Iksin k ,
2
2
 I kр
Ik = I kа
. Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой
части цепи, соответственно: Iа=Ikа , Iр=Ikр .
При расчёте параллельного соединения часто пользуются проводимостями ветвей. Активная, реактивная и полная проводимости k-ой ветви:
x Lk  xCk
R
Rk
xLk  xCk
1
gk = k2 = 2
;
b
=
=
;
y
=
.
k
k
Zk
Z k2
Z k Rk  x Lk  xCk 2
Rk2  x Lk  xCk 2
В схеме параллельного резонансного контура с
I
потерями (рис. 3.1) при
bL = bC
или
R1 R2
L
1 /( C )
=
возникает резонанс токов.
R12  L 2 R22  1 /( C )2
U
При этом I1р = I2р,  = 0 (cos =1) и ток в неразL
C
ветвлённой части цепи имеет минимальное значение,
I1
I2
если R1 и R2 меньше L .
C
Рис. 3.1
В схеме смешанного соединения, используя
проводимости параллельно включенных ветвей, можно
заменить их одной эквивалентной ветвью. После этого цепь будет
представлять собой последовательное соединение, расчёт которого освещён
выше.
При синусоидальном токе различают следующие мощности:
- мгновенную
p(t) = u(t)i(t),
70
- активную (среднее за период значение мгновенной мощности)
P = UIcos = UIа = UаI = I 2R = U 2g,
- реактивную
Q = UIsin = ±UIр= ±UрI = ±I 2x = ±U 2b,
(здесь и далее в формулах верхний знак берётся в случае индуктивного
характера нагрузки и нижний – в случае ёмкостного характера),
- полную
S = UI = I 2Z = U 2y.
В электроэнергетике большое значение имеет коэффициент мощности
P/S = cos. При его повышении возрастает эффективность использования
оборудования и экономится электроэнергия. Для повышения используется
обычно резонанс токов, а именно: параллельно нагрузке, которая носит, как
правило, индуктивный характер, подключаются батареи статических
конденсаторов.
Широкое распространение для расчёта цепей синусоидального тока
получил комплексный (символический) метод, основанный на использовании
теории комплексных чисел. Связь между синусоидальной величиной
v(t)=Vmsin(ωt+ψ) и комплексами: v=Im[Vmej(ωt+ψ)]=Im[Vmejωtejψ]=Im[Vmejωt],
то есть (vV). Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме имеют точно такой же вид, как и при постоянном токе, нужно только использовать комплексы ЭДС, напряжений, токов и сопротивлений. В связи с этим цепи синусоидального тока можно рассчитывать всеми методами, основанными на законах
Ома и Кирхгофа и рассмотренными в разделе «Цепи постоянного тока».
Для любой ветви комплексное сопротивление
Z = R + j(xL – xC) = R  jx = Ze j.
Используется и комплексная проводимость ветви Y= 1/Z= ye-j= g  jb.
Комплексная мощность S = P + jQ = U I  , то есть P = Re[U I  ],
а Q = Im[U I  ]. В цепях синусоидального тока имеет место баланс не
только активных мощностей, но ещё и реактивных.
Явление наведения ЭДС в одном контуре или катушке при изменении
тока в другом контуре или катушке называется явлением взаимной индукции,
а возникающая ЭДС еМ – ЭДС взаимоиндуции. В расчётах чаще используется
напряжение, компенсирующее эту ЭДС: uМ = -еМ. Напряжение взаимной индукции на k-ом элементе UМk = jωMklIl = jxMklIl = ZMklIl. При составлении
уравнений по второму закону Кирхгофа знак напряжения определяется в соответствии со следующим правилом знаков: если направление обхода одной
катушки и ток другой катушки относительно одноимённых зажимов совпадают, напряжение взаимоиндукции берётся с «плюсом», иначе – с «минусом».
При последовательном соединении двух индуктивно связанных
элементов возможны их согласное и встречное включения. При согласном
включении (в обоих элементах ток направлен одинаково относительно
одноимённых зажимов) полное сопротивление цепи Zсогл = R + j(x + 2xМ), а
при встречном – Zвстр = R + j(x – 2xМ).
Сложные цепи при наличии взаимной индуктивности рассчитываются
путём решения уравнений, составленных по законам Кирхгофа, или методом
контурных токов, причём явление взаимной индукции учитывается через
71
напряжение UМk как указано выше. Применение метода эквивалентного генератора возможно только в случае, если искомая ветвь не имеет индуктивной
связи с ветвями двухполюсника. Остальные методы неприменимы.
При наличии общего узла у двух индуктивно связанных элементов
часто применяется развязка индуктивной связи (замена исходной схемы
эквивалентной, не содержащей индуктивной связи). Если к общему узлу
элементы подключены одноимёнными зажимами, то к сопротивлениям
элементов добавляется по –ZМ, а в общую ветвь включается +ZМ. Когда к
общему узлу элементы подключены разноимёнными зажимами, знаки
добавляемых сопротивлений меняются на противоположные.
Если токи в индуктивно связанных элементах I1 = I1ejψ1 и I2 = I2ejψ2
направлены относительно одноимённых зажимов одинаково, то
передаваемая через взаимную индуктивность активная мощность
РМ12 = -РМ21 = Re[UМ1 I 1 ] = Re[jωMI2 I 1 ] = ωMI1I2sin(ψ1 – ψ2).
Для измерения активной мощности всей цепи или её участка
применяются ваттметры. Условное обозначение и схема включения
ваттметра показаны на рис. 3.4, 3.5 (задачи 3.3, 3.4). По принципу действия
ваттметра его показание определяется напряжением UW на катушке
напряжения и током токовой катушки IW:
  

PW = UWIWcos UW , IW  = Re[UW  I W
].


3.2. РАСЧЁТ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ
3.2.1. Типовые примеры
U, В I, A
ЗАДАЧА 3.1. На рис. 3.2
400
приведены
осциллограммы
напряжения и тока. Требуется
200 1
записать выражения для их
i(t)
мгновенных
значений,
t1
t2
t
15
10
определить
действующие
0
-5
20 мс значения напряжения и тока.
5
Решение
По
осциллограммам
-1
u(t)
определяем период колебаний
Т = 20 мс, следовательно, час-400
Рис. 3.2
тота f =1/T = 50 Гц, а угловая
частота ω = 2f = 314 рад/с. Начальные фазы напряжения и тока в градусах,
соответственно:
ψu = -t1(360/T) = 1,67(360/20) = 30, ψi = -t2(360/T) = -2,5(360/20) = -45,
Амплитуды:
Um = 400 B, Im = 1,5 A.
Следовательно, u(t) = 400sin(314t+30) B, i(t) = 1,5sin(314t-45) A.
U
I
400
1,5
Действующие значения: U = m =
= 282 B, I = m =
= 1,061 A.
2
2
2
2
72
ЗАДАЧА 3.2. Цепь r, L с параметрами r = 35 Ом, L = 80 мГн питается
от источника синусоидального напряжения частоты f = 50 Гц. Амплитудное
значение напряжения питания Um= 200 B, а начальная фаза ψu = -20. Рассчитать мгновенное и действующее значения тока. Построить векторную
диаграмму цепи. Найти активную, реактивную и полную мощности цепи.
Построить треугольник мощностей.
Решение
Приведём расчётную схему цепи (рис. 3.3,а).
б)
в)
г)
а)
40 В
i
ur
125 BA
r
u
uL
10 Ом
L
U
 U
r
Z
UL
 r
хL
S
 P
Q
Рис. 3.3
Запишем мгновенное значение приложенного к цепи r, L напряжения:
u(t) = Umsin(ωt + ψu)= 200sin(ωt – 20) B.
Круговая частота ω = 2f = 250 = 314 рад/с.
Индуктивное сопротивление цепи xL= ωL = 3148010 -3 = 25,12 Ом.
По второму закону Кирхгофа для контура цепи u = ur + uL или в векторной форме U = Ur + UL. На основании этого уравнения строится векторная диаграмма напряжений (рис. 3.3,б).
Треугольник сопротивлений цепи приведен на рис. 3.3,в. Это – прямоугольный треугольник, из которого получаем
полное сопротивление цепи
Z = r 2  xL2 = 35 2  25,12 2 = 43,1 Ом
и угол сдвига фаз между током и напряжением
x
25,12
 = arctg L = arctg
= 35,67.
35
r
U
200
По закону Ома для амплитудных значений Im= m =
= 4,64 A.
43,1
Z
Начальная фаза синусоиды тока ψi = ψu –  = -20 – 35,67= -55,67.
Мгновенное значение искомого тока i(t) = 4,64sin(314t – 55,67) A.
I
4,64
Действующее значение тока
I= m =
= 3,28 A.
2
2
Действующие значения напряжений на участках:
- на резисторе
Ur = I r = 3,2835 = 115 B;
- на индуктивности
UL = I xL = 3,2825,12 = 82,4 B;
U
200
- на входе цепи (напряжение сети)
U= m =
= 141,4 B.
2
2
Активная мощность цепи P = UIcos = I 2r = 3,28235 = 376,5 Bт.
73
Реактивная мощность
Q= UIsin = I 2xL = 3,28225,12 = 270,2 вар.
Полная мощность
S = UI = 141,43,28 = 464 BA.
Треугольник мощностей приведен на рис. 3.3,г.
Отметим, что на основании любого из треугольников рис. 3.3 можно
рассчитать коэффициент мощности
r U
P 376,5
cos = = r = =
= 0,811 = cos35,67,
Z U S
464
полученный ранее на основании треугольника сопротивлений цепи.
ЗАДАЧА 3.3. В цепи рис. 3.4,а протекает синусоидальный ток
i(t) = 10sin(ωt +15) A частоты f = 400 Гц. Активные сопротивления r1 =
= 10 Ом, r2 = 20 Ом, ёмкость С = 10 мкФ.
Рассчитать мгновенное значение напряжения сети u(t) и напряжения на
конденсаторе uС(t). Найти показания вольтметра и ваттметра. Построить
векторную диаграмму цепи.
а)
i
*
r1
u2
u
б)
*
Ur1
Ur2

2
W
r2
V
uC
C
I
U2 UC
100 В
U
Рис. 3.4
Решение
1
10 6
Ёмкостное сопротивление xС =
=
= 39,81 Ом.
C 2  400  10
Амплитудное значение напряжения на ёмкости
UCm = Im xC = 1039,81 = 398,1 B.
Действующие значения
U
I
398,1
10
I= m =
= 7,07 A,
UC = Cm =
= 281,5 B.
2
2
2
2
Действующие значения напряжений на активных сопротивлениях
Ur1= I r1 = 7,0710 = 70,7 B, Ur2= I r2 = 7,0720 = 141,4 B.
II-й закон Кирхгофа в векторной форме при одном токе I имеет вид
Ur1+Ur2+UC = U, в соответствии с которым построена векторная диаграмма
цепи (рис. 3.4,б).
Из прямоугольного треугольника напряжений (наружный треугольник)
U=
Ir1  Ir2 2  U C2 = 70 ,7  141,42  281,52 = 352 B,
 UC
 281,5
= arctg
= -53.
212 ,2
U r1  U r 2
Мгновенное значение напряжения сети
u(t)= Umsin(ωt+ψi+) = U 2 sin(ωt+15+(-53)) = 352 2 sin(ωt – 38) B.
 = arctg
74
Напряжение на конденсаторе по фазе отстаёт от тока на 90, его
мгновенное значение uC(t)= 398,1sin(ωt – 75) B.
Напряжение на участке r2-C, приложенное к ваттметру и вольтметру,
рассчитаем по треугольнику напряжений U2-Ur2-UC:
U2 = UW = U r 2 2  U C2 = 141,4 2  281,52 = 315 B.
Вольтметр схемы рис. 3.4,а измеряет действующее значение напряжения U2 = 315 B.
  
Показание ваттметра: PW = UW IW cos UW , IW  .


В нашем примере IW = I, поэтому
PW = U2Icos 2 = I(U2cos 2)= IUr2= IIr2 = I2r2 = P2 – активная мощность,
потребляемая сопротивлением r2, и P2 = 7,07220 = 1000 Bт.
ЗАДАЧА 3.4. Найти токи и напряжения в электрической цепи рис. 3.5,а,
если: активное сопротивление катушки rк = 4 Ом, индуктивное сопротивление катушки хк = 6 Ом, активное сопротивление реостата R = 2 Ом, ёмкостное сопротивление конденсатора хС = 14 Ом, напряжение сети переменного
тока U = 50 В. Построить векторную диаграмму цепи.
IR
а)
I
U
*
A
*
б)
хк
rк
W
Uк
Ixк
Uк
UR
V
R
к Irк
V1
UC
Рис. 3.5
 <0
хС
UC=IxC
10 В
U
Решение
Ток цепи I, измеряемый амперметром А:
50
U
U
I=
=
=
= 5 А.
2
2
2
2
Z вх
4  2   6  14 
r  R   x  x 
к
к
C
xк  xC
6  14
= arctg
= -53,13 < 0.
rк  R
42
Вольтметр V измеряет входное напряжение U = 50 В.
Напряжение на катушке измеряется вольтметром V1:
Угол сдвига фаз цепи вх = arctg
Uк = Irк 2  Iхк 2 = IZк = I rк 2  хк 2 = 5 42  62 = 36 В.
Напряжение на реостате:
UR = IR = 52 = 10 В,
напряжение на конденсаторе UC = IхС = 514 = 70 В.
75
I
Векторная диаграмма цепи построена на рис. 3.5,б.
Ваттметр измеряет активную мощность цепи
Р = UIcosвх = I22(rк + R) = 52(4 + 2) = 150 Вт.
Обращаем внимание на то, что в последовательной цепи при наличии
разнородных реактивных элементов (индуктивного и ёмкостного), напряжение на реактивном элементе может быть больше напряжения сети:
UC = 70 В > U = 50 В.
ЗАДАЧА 3.5. В условиях задачи 3.4 при неизменном напряжении сети
и параметрах rк, хк, R в широких пределах изменяется сопротивление конденсатора хС(0).
Построить резонансные кривые I(хС), UL(хС), UС(хС).
Решение
Ток в последовательной цепи рис. 3.5,а:
50
U
I=
=
А,
2
2
2
2
rк  R   xк  xC 
6  6  xC 
напряжение на индуктивности UL = IхL = I6 В,
напряжение на ёмкости
U  xC
50  xC
UС = IхС =
=
В.
2
2
2
2
rк  R   xк  xC 
6  6  xC 
Результаты расчёта резонансных кривых сведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
хС, Ом
0
2
4
6
8
10
12 14 20
30

I, А
5,89 6,93 7,9 8,33 7,9 6,93 5,89 5 3,28 2,02
0
UL, В
35,4 41,6 47,4 50 47,4 41,6 35,4 30 19,7 12,1
0
UС, В
0
13,9 31,6 50 63,2 69,3 70,7 70 65,6 60,6 U = 50
В табл. 3.3 выделена колонка, когда хк=хС=6 Ом и в цепи наступает
резонанс напряжений UL=UС. При этом входное сопротивление цепи
минимальное
Zвх min = rк+R = 6 Ом,
U
50
а ток максимальный Imax =
= = 8,33 A.
Z вх min 6
Кривая напряжения UL повторяет по форме кривую тока, так как
хк=const, и тогда ULmax = Imaxхк = 8,336 = 50 В.
Найдём максимальное значение UСmax в зависимости от хС, исследовав
кривую UС(хС) на максимум.
Координата хС при UС = UСmax определится уравнением
dU C
1 xC  2  ( xк  xC )( 1 )
= 0 или rк  R 2  xк  xC 2 –
= 0,
dxC
2 r  R 2   x  x 2
к
(rк+R) +
хк2
хC2
хC2 =
к
– 2 хк хС +
+ хк хС –
0,
( rк  R )2  xк 2 62  62
откуда xC U U
=
=
= 12 Ом.
C
C m ax
xк
6
2
76
C
Резонансные кривые приведены на рис. 3.6.
I
B UA
80
60
UCmax
12
UC
UC=UL
40
8
20
4
UL
I
0
xC=xк 10
xC
20
Рис. 3.6
40 Ом
30
ЗАДАЧА 3.6. Определить показания приборов в схеме рис. 3.7,а,
мгновенное значение тока i1 в неразветвлённой части схемы, построить
векторную диаграмму, если:
u(t)= 200sin(ωt+25) В, r = 50 Ом, хС = 50 Ом.
б)
а)
1A
*
r
i1
A1
*
W
IW =I1
i3
i2
I2
xC

u
A2
A3
I3
U=UW
Рис. 3.7
Решение
Приборы реагируют на действующие значения величин.
Действующие значения токов параллельных ветвей
200
U
U
I2 = = m =
= 2 2 = 2,83 А,
xC
2  50
2 xC
200
U
I3 = =
= 2 2 = 2,83 А.
2  50
r
Так как ток в активном сопротивлении i3 совпадает по фазе с
напряжением, ток в ёмкости опережает по фазе напряжение на 90, а в
соответствии с І законом Кирхгофа i1 = i2 + i3, то треугольник токов на
векторной диаграмме (рис. 3.7,б) прямоугольный, откуда

2 
2
I1 = I 32  I 22 = 2 2  2 2 = 4 А.
угол сдвига фаз между током i1 и напряжением u на входе схемы
отрицательный и равен
77
 = -arctg
I2
= -arctg1= -45.
I3
Мгновенное значение тока
i1(t) = I1msin(ωt +u – ) = 4 2 sin(ωt + 70) A.
Показания амперметров
A1  I1 = 4 А,
A2  I2 = 2,83 А,
A3  I3 = 2,83 А.
Показание ваттметра
  
200
PW = UW IW cos UW , IW  = UI1cos =
4cos45 = 400 Вт.
2


Заметим, что по схеме рис. 3.7,а ваттметр измеряет активную мощность
части цепи, находящейся справа от ваттметра. Но по закону Джоуля-Ленца в
этой части расходуется мощность только в активном сопротивлении r3,
причём

2
Р3 = I32r3 = 2 2 50 = 400 Вт, что совпадает с показанием ваттметра.
ЗАДАЧА 3.7. Найти показания приборов в схеме рис. 3.8,а, построить
векторную диаграмму, если U = 200 В, r1 = 30 Ом, х1 = 40 Ом, r2 = 50 Ом.
Проверить балансы активных и реактивных мощностей.
а)
б)
*
* W
U
A
I
I1
I2
 I2
1 I1a
r1
I1p
I1
r2
I
U
1A
x1
A2
Рис. 3.8
A1
Решение
Токи параллельных ветвей рассчитаем по закону Ома и определим
соответствующие показания амперметров:
U U 200
I2 = = =
= 4 А,
 А2,
Z 2 r2 50
U
200
U
I1 = =
=
= 4 А,  А1.
Z1
r 2  x2
30 2  40 2
1
1
Ток i2 в активном сопротивлении совпадает по фазе с напряжением u,
ток i1 отстаёт на угол  1, так как в этой ветви имеется индуктивность, а сам
угол  1 определим из треугольника сопротивлений этой ветви
x
40
 1 = arctg 1 = arctg = 53,13.
r1
30
78
r1 30
x
40
= = 0,6, sin 1 = 1 = = 0,8.
Z1 50
Z1 50
Всё изложенное учтено при построении векторной диаграммы цепи
(рис. 3.8,б).
В рассматриваемом примере получен косоугольный треугольник токов
I1, I2, I. Задача расчёта косоугольного треугольника токов сводится к
прямоугольному, если систему векторов токов спроецировать на два взаимно
перпендикулярных направления: на направление вектора напряжения
(проекции векторов токов называются активными составляющими) и
направление, перпендикулярное вектору напряжения параллельного участка
(проекции называются реактивными составляющими).
При этом I2a = I2 = 4 A, I2p = 0,
I1a = I1cos1 = 40,6 = 2,4 A, I1p = I1sin1 = 40,8 = 3,2 A.
Из наружного прямоугольного треугольника определяется суммарный
ток параллельных ветвей, измеряемый амперметром А:
При этом cos 1 =
I=
 I a 2   I p 2 = 4  2,4 2  3,2 2 = 7,16 А.
Далее  = arctg
cos =
Ip
3,2
= arctg
= 26,57,
6 ,4
Ia
 I a = 6,4 = 0,447, sin =  I p = 3,2 = 0,224.
I
7 ,16
7 ,16
I
Показание ваттметра PW = UIcos = UIа= 2006,4 = 1280 Вт – это
активная мощность источника РГ.
Суммарная активная мощность потребителей рассчитывается по закону
Джоуля-Ленца: РП = I12r1 + I22r2 = 4230 + 4250 = 1280 Вт.
Так как для схемы РГ = РП, то баланс активных мощностей сходится.
Реактивные мощности:
- генератора
QГ = UIsin = UIp= 2003,2 = 640 вар;
- потребителей QП = I12х1 = 4240 = 640 вар,
то есть выполняется и баланс реактивных мощностей.
3.2.2. Задачи для самостоятельного решения
ЗАДАЧА 3.8. Действующее значение синусоидального напряжения
U = 220 В. Определите его среднее значение.
Ответ: Uср = 198 В.
ЗАДАЧА 3.9. Лампа накаливания с номинальными данными
РЛн = 15 Вт; UЛн = 127 В включена
последовательно с конденсатором
С = 2 мкФ и на вход этой цепи
подано напряжение U = 220 В.
Определить напряжение на лампе.
Сделать вывод о том, будет ли
r1
L1
L2
r2
V1
U
r4
C2
r3
Рис. 3.9
79
V2
C1
лампа нормально светить или нет.
Ответ: UЛ = 123,1 В; да, будет.
ЗАДАЧА 3.10. К цепи рис. 3.9 подведено напряжение U = 220 В. Параметры цепи: r1= r2 = r3 = r4 = 20 Ом; хL1= хL2= хC1= 100 Ом; хC2= 40 Ом.
Определить показания вольтметров.
Ответ: UV1 = 215,4 В; UV2 = 0.
I
Ir
L
U
ЗАДАЧА 3.11. В схеме рис. 3.10 известно:
r
U = 50 В; I = 0,13 А; Ir = 0,12 А.
Определить величину индуктивности L.
Рис. 3.10
Ответ: L = 0,318 Гн.
ЗАДАЧА 3.12. Три однофазных двигателя включены параллельно и к
ним подведено напряжение U = 400 В. Паспортные данные двигателей:
Р1 = 2,4 кВт, cos 1 = 0,6 ( 1 > 0); Р2 = 1,6 кВт, cos 2 = 0,8 ( 2 < 0); Р3 =
= 1,2 кВт, cos 3 = 1. Определите ток, потребляемый всеми двигателями
вместе.
Ответ: I = 14,85 А.
r1
ЗАДАЧА 3.13. В схеме рис. 3.11
C
требуется
определить
показание U
r3
L2
амперметра, если U = 100 В,
L1
r2
r1= 3 Ом, r2= 8 Ом, r3= 10 Ом,
хL1= 4 Ом, хL2= 5 Ом, хC = 6 Ом.
A
Ответ: I = 42,4 А.
Рис. 3.11
ЗАДАЧА 3.14. При изxL
*
менении индуктивного сопро* W
тивления в схеме рис. 3.12
I
r1
максимальное показание амr2
UL
V
перметра 2 А. При этом показаV2
ния остальных приборов сле- U
xC
дующие: вольтметра V  60 B,
вольтметра
V2  100 B,
A
Рис. 3.12
ваттметра W  40 Bт.
Определить параметры схемы r1, хL, r2, хС. Построить векторную диаграмму цепи. Построить резонансную
кривую
UL(хL) при изменении
*
хL(0…).
* W
Ответы: r1 = 20 Ом, хL = 49 Ом,
r1
r2
r2 = 10 Ом, хС = 49 Ом.
V
V1
3.2.3.
Задачи
повышенной U
x2
сложности
A
Рис. 3.13
80
ЗАДАЧА 3.15. По показаниям приборов цепи рис. 3.13 определить
параметры её элементов, если V  100 B; V1  20 B; W  80 Bт; А  2 А.
Ответы: r1 = 10 Ом, r2 = 20 Ом, х2 = 40 Ом.
ЗАДАЧА 3.16. В схеме
рис. 3.14 определить показание
ваттметра, если U = 100 В, а
показания приборов: А  1 А;
V1  150 B; V2  100.
Ответ: Р = 198,4 Вт.
*
*
W
V2
Рис. 3.14
ЗАДАЧА 3.17. В схеме цепи рис. 3.15
задано: r1= r3; Р = 300 Вт; I1 = 5 2 А;
I2 = 5 А; фазометр показывает нуль. Определить ток I, а также L и С. Частоту принять равной промышленной (f = 50 Гц).
Ответы: I = 15 А, L = 6,37 мГн,
С = 796,3 мкФ.
ЗАДАЧА 3.18. В схеме рис. 3.16
известно: U = 10 В; хL = 6 Ом; Р = 5 Вт.
Определить сопротивление R.
Решение
Используем следующие соотношения:
Р = RI 2 ; U = I R 2  xL2 .
U2
R 
2
x L2
; Р=
C
V1
U
A
Тогда: I 2 =
L
r
U2 R
R 
2
x L2
*
* 
I1
r1
I2 I3
x2
U
x1
r3
I
Рис. 3.15
I
U
R
xL
Рис. 3.16
или РR 2 – U 2R + РхL2 = 0.
U 2  U 4  4 P 2  x L2 10 2  10 4  4  5 2  6 2
Отсюда R1,2 =
=
= 10  8 Ом.
2P
25
Задача имеет два ответа R1= 18 Ом и R2 = 2 Ом.
3.3. РАСЧЁТ СМЕШАННОГО СОЕДИНЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ПРОВОДИМОСТЕЙ
*
3.3.1. Типовые примеры
* W
A
ЗАДАЧА 3.19. К цепи рис. 3.17
S
подведено напряжение U = 220 В. До
r
подключения
ёмкости С приборы
C
показывали: А  I=2 А; W  P=40 Вт. U
L
Требуется
определить
минимально
возможное показание амперметра после
I
81
Рис. 3.17
подключения ёмкости, а также величину последней.
Решение
До подключения ёмкости, используя показания приборов, определяем
полное, активное и индуктивное сопротивления ветви с r, L:
P 40
U 220
Z= =
= 110 Ом; r = 2 = 2 = 10 Ом;
I
2
I
2
xL = Z 2  r 2 = 110 2  10 2 = 109,5 Ом.
Минимальное значение тока в неразветвлённой части цепи будет иметь
место при резонансе токов в цепи после подключения ёмкости, и в этом
случае ток I будет иметь только активную составляющую: I = Ia = Ug, где
g – активная проводимость всей цепи, равная активной проводимости ветви
r
10
r, L, а именно: g = 2 =
= 2,2610 -4 См.
2
Z
110
Тогда I = Ug = 2202,2610 -4 = 0,182 А.
Величину ёмкости определим из условия, что её реактивная
проводимость должна равняться реактивной проводимости ветви r, L, т.е.
x
x
109 ,5
С = L2 , откуда С = L 2 =
= 2,8810 -5 Ф = 28,8 мкФ.
2
Z
 Z
314  110
ЗАДАЧА 3.20. Для схемы (рис. 3.18,а) определить токи во всех ветвях
и напряжения на всех участках, составить баланс активных и реактивных
мощностей, построить полную векторную диаграмму цепи, записать
мгновенные значения токов, если
u(t) = Umsin(t +u);
Um = 600 B; u = -90; r1 = 10 Ом, r3 = x2 = x3 = 20 Ом, x4 = 20 Ом.
a)
б) a
a
b
b
I1
r1
I2
I3
I1
r1
r23
r3
U
Ubd
x23
x3
x4
Ubd
U
c
x2
x4
d
d
e
e
Рис. 3.18
Решение
Заменим разветвлённый участок исходной схемы эквивалентной
ветвью с параметрами r23, х23, для чего рассчитаем активные и реактивные (с
учётом характера сопротивлений) проводимости параллельных ветвей:
r
x2
0
20
g2 = 2 2 2 =
=
0;
b
=
=
= 0,05 Cм (инд.);
2
r2  x2 0  20 2
r22  x22 0  20 2
r
x3
20
20
g3 = 2 3 2 = 2
=
0,025
Cм;
b
=
=
= 0,025 Cм (ёмк.);
3
r32  x32 20 2  20 2
r3  x3 20  20 2
g23 = g2 + g3 = 0 + 0,025 = 0,025 Cм;
82
b23 = |b2 – b3| = 0,05 – 0,025 = 0,025 Cм (инд.);
g 23
0,025
= 20 Ом;
2
2
g 23
 b23
0,025 2  0,025 2
b
0,025
x23 = 2 23 2 =
= 20 Ом (инд.).
g 23  b23 0,025 2  0,025 2
Эквивалентная схема, по которой рассчитаем ток в неразветвлённой
части цепи, приведена на рис. 3.18,б: i1(t) = I1msin(t +u –  вх);
Um
600
где I1m =
=
= 10 2 А;
2
2
2
2
r1  r23   x23  x4 
10  20   20  50 
x  x4
20  50
 вх = arctg 23
= arctg
= -45.
10  20
r1  r23
Следовательно, мгновенное значение тока
i1(t) = 10 2 sin(t – 90 + 45) = 10 2 sin(t – 45) А,
I
действующее значение тока I1 = 1m = 10 А.
2
Напряжение на параллельно включенных ветвях
ubd(t) = Ubdmsin(t +u –  вх +  23);
r23 =
=
2
2
Ubdm = I1m r23
= 10 2  20 2  20 2 = 400 B;
 x23
x
20
 23 = arctg 23 = arctg = 45,
20
r23
или ubd(t) = 400sin(t – 90 + 45+ 45) = 400sin(t) B.
Действующие значения напряжения эквивалентного участка и токов
параллельных ветвей
U
U
400
282
Ubd = bdm =
= 282 B;
I2 = bd =
= 14,1 А;
20
x2
2
2
U bd
282
I3 =
=
= 10 А.
2
2
2
2
r3  x3
20  20
Углы сдвига фаз напряжений и токов второй и третьей ветвей
x
x
20
 20
 2 = arctg 2 = arctg = 90,  3 = arctg 3 = arctg
= -45.
20
r2
r3
0
Мгновенные значения токов параллельных ветвей
i2(t) = I2 2 sin(t+ubd –  2) = 20sin(t – 90) А;
i3(t) = I3 2 sin(t+ubd –  3) = 10 2 sin(t + 45) А;
где ubd = u –  вх –  23 = -90 + 45 + 45 = 0.
Проверим баланс активных мощностей: UI1cos вх = I12r1 + I32r3.
600
10cos(-45) = 10210+10220 или 3000 Вт = 3000 Вт.
2
Проверим баланс реактивных мощностей:
где
83
UI1sin вх = I12(-x4) + I22x2 + I32(-x3).
600
10sin(-45)=102(-50)+(10 2 )220+102(-20) или -3000 вар = -3000 вар.
2
Вывод: балансы активных и реактивных мощностей сходятся,
следовательно, задача решена верно и можно переходить к построению
полной векторной диаграммы.
I1r1 I3r3
I3x3
Рассчитаем неизвестные напряжения на
I3
элементах электрической цепи.
Ubd
Uab = I1r1 = 1010 = 100 В; Ubc = I3r3 = 1020 = 200 В;
Uca = I3x3 = 1020 = 200 В; Ude = I1x4 = 1050 = 500 В.
I2 I1
Векторная диаграмма приведена на рис. 3.19. Её
100 В
построение начинается с выбора масштабов
напряжений и токов. Затем в произвольном U
10 А
I1x4
направлении строится вектор напряжения на
параллельно включенных ветвях Ubd, от которого под
Рис. 3.19
углами  2,  3,  23 строятся векторы токов I2, I3 и I1,
соответственно. При этом следует учесть, что I1 = I2 + I3.
Остальные
векторы a)
x4
напряжений
строятся
в a
I4 d I6
x2 m r 2
b
I2
соответствии с уравнениями
c
I1
x1
второго закона Кирхгофа и
I5 r 6
I3
порядком
расположения U
x3
x5
элементов
эквивалентной
r1
e
схемы (см. рис. 3.18,б):
f
Uab + Ubd + Ude = U.
x23
r23
a
c
ЗАДАЧА 3.21. Расb
б)
считать действующие значеI1
x1
ния напряжений и токов в
Ubc
U
x4
схеме рис. 3.20,а, проверить
x56
r1
r5
балансы активных и реакe
d
6
тивных мощностей, построf
ить полную векторную диагUde
Рис. 3.20
рамму напряжений и токов,
если: U = 300 B; r2 = 30 Ом, x2 = 10 Ом; x3 = 33,33 Ом; x4 = 2 Ом;
x5 = 20 Ом; r6 = 10 Ом; x1 = 8 Ом; r1 = 4 Ом.
Решение
В рассматриваемой схеме два разветвления: на участке bc параллельно
включены 2я и 3я ветви, которые могут быть заменены эквивалентной ветвью
r23-x23 (рис. 3.20,б); на участке de параллельно включены 5я и 6я ветви,
заменяемые последовательной эквивалентной цепью r56-x56. Замена
осуществляется на основании соотношений между активными и
реактивными проводимостями параллельных ветвей:
84
g2 =
r2
r22  x22
=
30
30 2  10 2
= 0,03 Cм;
g3 = 0;
x2
10
= 0,01 Cм (инд.);
r22  x22 30 2  20 2
1
1
b3 = =
= 0,03 Cм (инд.);
x3 33 ,33
b23 = b2 + b3 = 0,01 + 0,03 = 0,04 Cм (инд.);
b2 =
=
g23 = g2 + g3 = 0,03 + 0 = 0,03 Cм;
g
0,03
r23 = 2 23 2 =
= 12 Ом;
2
g 23  b23 0,03  0,04 2
b
0,04
x23 = 2 23 2 =
= 16 Ом (инд.).
2
g 23  b23 0,03  0,04 2
1 1
1 1
g5 = 0;
g6 = = = 0,1 Cм;
b5 = = = 0,05 Cм (ёмк.);
b6 = 0;
x5 20
r6 10
g56 = g5 + g6 = 0 + 0,1 = 0,1 Cм;
b56 = b5 + b6 = 0,05 + 0 = 0,05 Cм (ёмк.);
g
b56
0,1
0,05
r56 = 2 56 2 = 2
=
8
Ом;
x
= 2
= 4 Ом (ёмк.).
56 = 2
2
2
g 56  b56 0,1  0,05
g 56  b56 0,1  0,05 2
Входное сопротивление цепи по эквивалентной схеме (рис. 3.20,б)
Zвх =
r23  r56  r1 2  x1  x23  x4  x56 2
= 12  8  4 2  8  16  2  4 2 = 30 Ом;
r23  r56  r1 12  8  4
=
= 0,8;
30
Z вх
х  х23  х4  х56 8  16  2  4
sin вх = 1
=
= 0,6.
Z вх
30
U 300
Ток в общей части схемы I1 = I4 =
=
= 10 A,
Z вх 30
cos вх =
2
2
Ubc = I1 r23
= 10 12 2  16 2 = 200 B,
 x23
напряжения на разветвлениях
2
Ude = I1 r562  x56
= 10 82  4 2 = 40 5 B,
токи в остальных ветвях
U bc
200
I2 =
=
= 2 10 A,
2
2
2
2
r2  x2
30  10
I5 =
U de 40 5
=
= 2 5 A,
x5
20
U bc 200
U
40 5
=
= 6 A,
I6 = de =
= 4 5 A.
x3 33 ,33
r6
10
Проверим балансы мощностей. Баланс активных мощностей
представляется для схемы рис. 3.20,а выражением
UI1cos вх = I12r1 + I22r2 + I62r6,
I3 =

2
 2
300100,8 = 1024+ 2 10 30+ 4 5 30
или 3000 Вт = 3000 Вт - выполняется.
Баланс реактивных мощностей цепи
85
UI1sin вх = I12x1 + I22x2 + I32x3 – I42x4 – I52x5,

2
 2
300100,6 = 1028 + 2 10 10 + 6233,33 – 1022 – 2 5 20
или 1800 вар = 800 + 400 + 1200 – 200 – 400 вар - выполняется.
Так как оба баланса мощностей выполняются, задача расчёта цепи
решена верно, и можно переходить к построению векторной диаграммы.
Так как в схеме рис. 3.20,а имеется два разветвления, то сначала
строится векторная диаграмма для последовательной эквивалентной схемы
рис. 3.20,б и построение начинается с выбора произвольного направления
вектора тока I1 последовательной цепи (горизонтально, вправо) (рис. 3.21).
Уравнение по второму закону Кирхгофа запишем в векторной форме с
соблюдением принципа: падения напряжений на элементах схемы строго
следуют в соответствии с расположением элементов, и каждому вектору
напряжения присваиваются соответствующие индексы точек схемы:
U ab + I 1 r23 + I 1 x23 + U cd + I 1 r56 + I 1 x56 + U ef = U = U af .
При этом U ab = I 1 x1 =108 = 80 B и этот вектор напряжения опережает
ток I 1 на 90;
I1r23 = 1012 = 120 B,
I1x23 = 1016 = 160 B,
Ucd = I1x4 = 102 = 20 B,
I1r56 = 108 = 80 B,
I1x56 = 104 = 40 B,
I1r1 = Uef = 104 = 40 B.
На рис. 3.21 падения векторных напряжений I 1 r23, I 1 x23, I 1 r56, I 1 x56
построены пунктирно, так как эти напряжения отсутствуют в исходной
схеме.
Далее переходим к построению векторов токов I2 и I3. Ток I3
перпендикулярен напряжению Ubc, а ток I 2 = I 1 - I 3 .
Параллельно вектору Ude откладывается ток I6, а ток I 5 = I 1 - I 6 строится в соответствии с первым законом Кирхгофа.
Затем относительно тока I2 откладываются векторы падений
напряжений U bm = I 2 x2 и U mc = I 2 r2.
I1r23
I1x4 I1r56
I
1
 56
I2r2
I1x23
Ude
I1x56
I6
I3x3=Ubc
Umd
U
 23
I2x2
25 В
I1
2,5 А
I2
I1x1
I3
86
Рис. 3.21
I5 I1r1
Векторная диаграмма принимает окончательный вид рис. 3.21. На этой
векторной диаграмме указан также вектор напряжения U md .
ЗАДАЧА 3.22. В схеме рис. 3.22
A3
* I3
известно:
r3
* W
x3
U = 200 B; r1 = 30 Ом; x1 = 50 Ом;
x2 = 10 Ом; r3 = 5 Ом; x3 = 15 Ом.
A2
I2
x2
Определить показания приборов. U
x1
Решение
r1
I1
1. Заменяем параллельное соедиA1
нение ветвей 2 и 3 эквивалентным
Рис. 3.22
последовательным
соединением
сопротивлений r23 и x23:
1 1
g2 = 0;
b2 = = = 0,1 Cм; Z3 = r32  x32 = 52  152 = 250 = 5 10 Oм;
x2 10
r
x
5
15
g3 = 32 =
= 0,02 Cм;
b3 = 32 =
= 0,06 Cм;
Z 3 250
Z 3 250
g23 = g2 + g3 = 0 + 0,02 = 0,02 Cм; b23 = b2 – b3 = 0,1 – 0,06 = 0,04 Cм;
1
1
2
2
Y23 = g 23
= 0,02 2  0,04 2 = 0,02 5 Cм; Z23 =
=
= 10 5 Oм;
 b23
Y23 0,02 5
g
b23
0,02
0,04
r23 = 23
=
=
10
Ом;
x
= 20 Ом.
23 = 2 =
2
Y23 0,02 2  5
Y23 0,02 2  5
2. Входное сопротивление цепи и её коэффициент мощности:
Z=
r1  r23 2  x23  x1 2 = 30  10 2  20  50 2 = 50 Oм;
r1  r23 40
= = 0,8.
50
Z
Действующее значение тока в неразветвлённой части цепи (показание
U 200
первого амперметра): I1 = =
= 4 A.
Z 50
Напряжение на зажимах параллельных ветвей:
U23 = Z23I1= 10 5 4 = 40 5 B.
Показания второго и третьего амперметров:
U
U
40 5
40 5
I2 = 23 =
= 4 5 A;
I3 = 23 =
= 4 2 A.
x2
Z 3 5 10
10
3. Ваттметр включен на измерение активной мощности цепи. Его
показание:
P = UI1cos = 20040,8 = 640 Вт.
Активная мощность резисторов
cos =

2
PR = r1I12 + r2I22 = 3042 + 5 4 2 = 640 Вт
равна активной мощности источника, то есть налицо выполнение баланса
активных мощностей.
87
ЗАДАЧА 3.23. В схеме рис. 3.23,а известно: u(t) =100 2 sin(t+30) B;
r1 = 5 Ом; xC1 = 8 Ом; r2 = 3 Ом; xC2 = 10 Ом; xL = 4 Ом.
Определить токи, коэффициент мощности, построить полную
векторную диаграмму цепи. Задачу решить методом пропорциональных
величин. Дополнительно ответить на вопросы: при каком xC2 будет резонанс
токов? При каком xC1 будет резонанс напряжений?
1
I1
U
xC1
б)
a)
2
r2
r1
xC2
I2
U23
y
xL
3
x L I3
U
x
Рис. 3.23
I1
3
xC1I1
I3
I2
r1I1
r2I3
I3
Решение
1. Построим качественно векторную диаграмму (ВД) (рис. 3.23,б).
Построение следует начинать с самого дальнего от источника участка цепи
(это – третья ветвь). Поскольку здесь имеется последовательное соединение
сопротивлений, сначала строим вектор тока I3. Далее построение диаграммы
ведётся от конца схемы к началу (источнику) с соблюдением законов
Кирхгофа и правил построения ВД.
2. Расчёт выполняем в том же порядке, в каком строилась ВД.
Пусть I3 = 1 A, т.е. i3(t) = 2 sin(t) A. Тогда
U
5
Ur2 = r2I3 = 3 B, UxL = xLI3 = 4 B, I2 = 23 = = 0,5 A.
xC 2 10
Проекции векторов токов на оси х и у:
x
4
I3x = I3 = 1 A, I3y = 0;  3 = arctg L = arctg = 53,1,
3
r2
I2x = I2cos( 3 + 90)= 0,5(-0,8) = -0,4 A, I2y = I2sin( 3 + 90)= 0,50,6 = 0,3 A.
Определяем первый ток по проекциям:
I1x = I2x + I3x = -0,4 + 1 = 0,6 A,
I1y = I2y + I3y = 0,3 A,
I1 = I12x  I12y = 0,6 2  0,32 = 0,671 A.
I1 y
0 ,3
= 26,6.
0 ,6
I1 x
Определяем расчётное значение входного напряжения по проекциям:
UxC1 = xC1I1 = 80,671 = 5,36 B; Ur1 = r1I1 = 50,671 = 3,35 B,
Ux = UxC1cos( 90 – i1) + Ur1cos(i1) + Ur2 =
= 5,36cos(90 – 26,6) + 3,35cos(26,6) + 3 = 8,40 B,
Uy = UxC1sin(i1 – 90) + Ur1sin(i1) + UxL =
= 5,36sin(26,6 – 90) + 3,35sin(26,6) + 4 = 0,707 B,
Фаза первого тока i1 = arctg
= arctg
Uрасч = U x2  U y2 = 8,40 2  0,707 2 = 8,43 B,
88
Uy
0 ,707
= 4,8.
8,43
Ux
3. Коэффициенты пересчёта:
100
U
k=
=
= 11,86;  =U – Uрасч = 30 – 4,8 = 25,2.
U расч 8,43
Uрасч = arctg
= arctg
i1(t) = 7,96 2 sin(t + 51,8) A;
i2(t) = 5,93 2 sin(t + 168,4) A;
i3(t) = 11,86 2 sin(t + 25,2) A.
5. Условие резонанса токов: b2 = b3.
x
1
1 1 25
4
b2 =
; b3 = 2 L 2 =
См; хС2 = = = = 6,25 Ом.
xC 2
b2 b3 4
r2  x L 25
6. Условие резонанса напряжений хС1 = х23,
U
5
но Z23 = 23 =
= 7,46 Ом,
I1 0 ,671
х23 = Z23sin( 3 – i1) = 7,46sin(53,1 – 26,6) = 3,33 Ом.
Таким образом, резонанс напряжений наблюдается при хС1 = 3,33 Ом.
4. Получаем ответы
3.3.2. Задачи для самостоятельного решения
ЗАДАЧА 3.24. Рассчитать мгновенные
a
b
и действующие значения напряжений и
i1
x1
i3
токов схемы рис. 3.24, составить баланс
ubc
активных
и
реактивных
мощностей,
uab
r
2
построить полную векторную диаграмму u
x3
i2
напряжений и токов, если:
c
u(t) = 200sin(t +120) B;
Рис. 3.24
х1 = 28 Ом; х3 = 24 Ом; r2 = 24 Ом.
Ответы: i1(t) = 10sin(t + 66,87) A; uab(t) = 280sin(t +156,87) B;
ubc(t) = 120 2 sin(t +21,87) B; i2(t) = 5 2 sin(t +21,87) A;
i3(t) = 5 2 sin(t +111,87) A; P = 600 Вт; Q = 800 вар.
ЗАДАЧА 3.25. Методом проводимостей определить показания приборов электродинамической системы в
*
схеме рис. 3.25, если: U = 200 B;
* W
х1 = 8 Ом; х2 = 10 Ом; r3 = 5 Ом;
r3
х3 = 15 Ом; r1 = 6 Ом.
x1
Построить векторную диаграмx3
x2
V
му цепи.
U
Ответы: A1 10 A; V  224 B;
A3
A2
A2  22,4 A; A3  14,14 A;
r1
W  1000 Вт.
A1
Рис. 3.25
89
3.3.3. Задачи повышенной сложности решения
ЗАДАЧА 3.26. Опреx
*
делить напряжение и ток
* W
источника питания схемы
I
U1
I1
I2
рис. 3.26 и её параметры по
r2
известным показаниям приr1
V1
x2
V2
боров: V1 80 B; V2100 B;
U
A1  1 A; A2  1,6 A;
A1
A2
U2
W  180 Вт.
Построить векторную
Рис. 3.26
диаграмму цепи.
*
Ответы: U = 81,47 B; I = 2,27 A;
* W
r1 =100 Ом; х = 35,2 Ом; х2 = 54,13 Ом.
C
A1
ЗАДАЧА 3.27. Цепь рис. 3.27
R2
R1
находится в состоянии резонанса. U
L
Ваттметр показывает 100 Вт, амперA2
метры A1 и A2 – 4 и 5 А, R1 = R2.
Требуется определить хL, хC и показаA0
Рис. 3.27
ние амперметра А0.
Ответы: I0 = 11,33 A; хL = 2,205 Ом; хC = 1,41 Ом.
3.3.4. Применение ПЭВМ для решения задач на метод
проводимостей
1
ЗАДАЧА 3.28. В схеме рис. 3.28
i1
r1
C2
рассчитать все токи, составить баланс
C1
I4
r
2
активных и реактивных мощностей,
r3
если U = 200 B;
r4
U
L
r1 = r2 = 2 Ом; r3 = 4 Ом; r4 = 20 Ом;
хC1 = хC2 = 8 Ом; хL = 6 Ом.
U12
I3
I2
Программа решения задачи в системе
MathCAD
2
Рис. 3.28
Исходные данные
U := 200 r1 := 2 r2 := 2 r3 := 4 r4 := 20 хC1 := 8 хC2 := 8 хL := 6
Определяем полные сопротивления, а также активные и реактивные
проводимости параллельно включенных ветвей
r3
r2
1
Z2 := r 22  xL2
Z3 := r32  xC 22
g2 := 2
g3 := 2
g4 :=
r4
Z3
Z2
xL
xC 2
b2 := 2
b3 := 2
b4 := 0
Z2
Z3
Активная, реактивная и полная проводимости эквивалентной ветви
ge := g2 + g3 + g4 be := b2 – b3 + b4
ye := ge2  be2
Полное, активное и реактивное сопротивления эквивалентной ветви
Ze := ye -1
re := geZe2 xe := beZe2
90
Полное входное сопротивление цепи
Z :=
r1  re 2   xC1  xe 2
U
Z
Напряжение на параллельно включенных ветвях U12 := I1Ze
U 12
U 12
U 12
Токи в параллельно включенных ветвях I2 :=
I3 :=
I4 :=
Z2
Z3
r4
Ответы для токов в А I1 = 20 I2 = 20 I3 = 14.142
I4 = 6.325
Активная и реактивная мощности источника
r1  re
 xC1  xe
Pi := UI1
Qi := UI1
Pi = 3.2103 Qi = -2.4103
Z
Z
Активная и реактивная мощности приёмников
Pp := I12r1+I22r2+I32r3+I42r4
Qp := -I12xC1+I22xL-I32xC2
Pp = 3.2103 Qp = -2.4103
Следовательно, балансы мощностей сходятся.
Ток в неразветвлённой части цепи
I1 :=
3.4. КОМПЛЕКСНЫЙ (СИМВОЛИЧЕСКИЙ) МЕТОД
ЗАДАЧА 3.29. Решить задачу 3.2 комплексным методом.
Решение
Исходные данные представим комплексными числами:
комплексная амплитуда напряжения сети Um = Ume ju = 200e – j20 B;
комплексное сопротивление цепи r-L
Z = r + jL = 35 + j2508010-3 = 35 + j25,12 = 43,1e j35,67 Ом.
По закону Ома рассчитаем комплексную амплитуду тока

U m 200  e  j 20
Im =
=
= 4,64e –j55,67 А.

j
35
,
67
Z 43,1  e
Мгновенное значение тока

i(t) = Im I m  e jt = Im 4,64  e  j 55 ,67  e jt  =



= Im 4,64  e j( t 55 ,67 )  = 4,64sin(t – 55,67) A.


Комплексная мощность на входе цепи




U  I  200  e  j 20  4,64  e j 55 ,67
S= m m=
= 464e
2
2
j35,67
= 377 + j270,5 ВА = Р + jQ.
ЗАЛАЧА 3.30. В схеме рис. 3.29 определить действуюr
U
C
щее и мгновенное значение напряжения на ёмкости, если
U = 380 B; r = 1 кОм; С = 2 мкФ.
Рис. 3.29
Решение
Совместим вектор входного напряжения с вещественной осью. Тогда
U = U = 380 B.
Комплексное сопротивление цепи
91
1
1
= 1000 – j
= 1000 – j1592 = 1880e -j57,87 Ом.
6
C
314  2  10
По закону Ома определяем комплекс тока в цепи
380
U
I= =
= 0,202e j57,87 А.

Z 1880  e  j 57 ,87
Комплекс напряжения на ёмкости
UС = I(-jхС) = 0,202e j57,87(-j1592) = 321,8e –j32,13 В.
Мгновенное значение напряжения на ёмкости
uС(t) = Im 2U C  e jt = 455,1sin(t – 32,13) В.
Z = r – jхС = r – j


ЗАДАЧА 3.31. В схеме рис. 3.30 определить показание амперметра,
если u(t) = 300sin(t – 32,13) В; r1 = 12 Ом; r2 = хL1 = 16 Ом; хL2 = 20 Ом;
хC2 = 32 Ом; r3 = хL3 = 100 Ом; хC1 = 12,5 Ом.
Решение
Определим комплексные сопротивления параллельных ветвей
Z1 = r1 + jхL1 = 12 + j16 Ом;
Z2 = r2 + j(хL2 – хС2) = 16 – j12 Ом;
Z3 = r3 = 100 Ом; Z4 = -jхС1 = -j12,5 Ом; Z5 = jхL3 = j100 Ом.
Комплексная проводимость всей цепи
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Y= +
+
+
=
+
+
+
+
=
Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 12  j16 16  j12 100 j12 ,5 j100
= 0,08 + j0,06 = 0,1e j36,9 См.
Комплекс
входного
A
напряжения, соответствующий его
r1
xL2
синусоиде
xL3
300 –j30
r
3
U=
e
В.
u
2
xL1
r2
По закону Ома определяем ток
xC1
в неразветвлённой части цепи
xC2
j36,9 300
–j30
I = YU = 0,1e

e
=
Рис. 3.30
2
j6,9
= 21,21e
А.
Следовательно, амперметр будет показывать 21,21 А.
ЗАДАЧА 3.32. В условиях задачи 3.25 определить показания приборов
электродинамической системы, используя комплексный метод.
Решение
Направим по вещественной оси вектор входного напряжения, то есть
примем U = U = 200 B.
Определим комплексные сопротивления ветвей
Z1 = r1 – jх1 = 6 – j8 Ом;
Z2 = jх2 = j10 Ом;
Z3 = r3 – jх3 = 5 – j15 Ом.
Комплексное сопротивление всей цепи
j10  ( 5  j15 )
Z Z
Z = Z1 + 2 3 = 6 – j8 +
= 16 + j12 Ом.
Z2  Z3
j10  5  j15
92
U
200
=
= 8 – j6 = 10e –j36,9 А.
Z 16  j12
Токи параллельных ветвей
5  j15
Z3
I2 = I1
= 10e –j36,9
= 10 – j20 = 22,36e –j63,4 А;
Z2  Z3
5  j5
j10
Z2
I3 = I1
= 10e –j36,9
= -2 + j14 = 14,14e j98,1 А.
Z2  Z3
5  j5
Напряжение на параллельных ветвях (измеряется вольтметром и
подаётся на ваттметр)
UW = I2Z2 = 22,36e –j63,4·j10 = 223,6e j26,6 = 200 + j100 B.
Показание ваттметра
PW = Re[UW  I 1 ] = Re[223,6e j26,610e j36,9]= 1000 Bт.
Следовательно, показания приборов:
А1  10 А; А2  22,36 А; А3  14,14 А; V  223,6 B; W  1000 Bт.
Ток источника
I1 =
ЗАДАЧА 3.33. В схеме рис. 3.31,a известно: Е1 = Е2 = 100 В, причём Е2
опережает Е1 на 90 по фазе; J = 5 A, причём ток этого источника находится
в противофазе с Е2; r = хC = 10 Ом; хL = 20 Ом.
Требуется определить токи во всех ветвях, показание ваттметра,
составить баланс реактивных мощностей, построить топографическую
диаграмму для контура 1-2-3-1.
E2
a)
б)
*
1
I2
W *
+j
xC
3
j50
E1
4
II
xC
3
r
U12
I1
I3
1
III
IIII
xL
J
+1
-100
Рис. 3.31
2
2
Решение
Совместим с вещественной осью вектор Е1, тогда для источников
комплексы будут следующими:
Е1 = 100 В; Е2 = 100e j90 = j100 B; J = 5e -j90 = -j5 A.
Поскольку в схеме два узла, то расчёт токов рационально произвести
E Y  E 2Y 2  J
методом узлового напряжения U12 = 1 1
,
Y1  Y 2  Y 3
1 1
где комплексные проводимости ветвей: Y1 = = = 0,1 См;
r 10
1
1
1
Y2 =
=
=
= -j0,1 См;
jx L  jxC j 20  j10 j10
93
1
1
=
= j0,1 См.
 jxC  j10
100  0,1  j100  (  j 0,1 )  j5
Тогда U12 =
= j50 В.
0,1  j 0,1  j 0,1
По закону Ома определяем токи:
E  U 12 100  j 50
I1 = 1
=
= 10 – j5 А;
r
10
I 2 = (Е2 + U12)Y2 = (j100 + j50)(-j0,1) = 15 А;
I 3 = U12Y3 = j50j0,1 = -5 А.
Правильность определения токов проверим по первому закону
Кирхгофа для узла 1: -I 1 + I 2 + I 3 + J = 0 или -10 + j5 +15 – 5 – j5 = 0.
Показание ваттметра: PW = Re[U14(- I 1 )].
По второму закону Кирхгофа
U14 = -Е2 + I 2(-jхС) = -j100 + 15(-j10) = -j250 В.
Тогда PW = Re[-j250(-10– j5)] = -1250 Вт.
Баланс реактивных мощностей:
реактивная мощность источников
Qи = Im[Е1 I 1 + Е2 I 2 + (-U12) J  ]= Im[100(10+j5)+j10015 – j15j5]= 2000 вар;
реактивная мощность приёмников
Qпр = I22(хL – хС) + I32(-хС) = 15210 – 5210 = 2000 вар.
Следовательно, баланс реактивных мощностей соблюдается.
При построении топографической диаграммы примем, что
 2 = 0,
тогда  1 = I3(-jхС)= U12 = j50 В;  3 =  1 - Е1 = -100 + j50 В;  2 =  3 + I1r = 0.
На рис. 3.31,б приведена требуемая диаграмма.
Заметим, что расчёт токов в схеме можно было произвести методом
контурных токов, решив следующую систему уравнений
II(r – jхС) – III(-jхС) – J(-jхС) = Е1;
-II(-jхС) + III(jхL – 2jхС) + J(-jхС) = Е2.
Y3 =
ЗАДАЧА 3.34. В схеме рис.3.32
a
известно: Е1 = 380 В, Е2 = j100 В,
J = 10е j45 A, r1 = 10 Ом,
E2
х1= 14,29 Ом, r3 = 6 Ом, х2 = 3,3 Ом. E1
IIII
Рассчитать токи методом двух
II
c
e
r3
узлов,
выполнить
проверочный
x2
расчёт методом контурных токов,
III
r1
J
составить
баланс
мощностей,
Uab
d
I3
построить
топографическую
x1
I2
диаграмму цепи, совмещённую с
I1
векторной диаграммой токов.
b
Рис. 3.32
Решение
1. Сопротивления ветвей в комплексной форме:
Z1 = r1 – jх1 = 10 – j14,29 Ом;
Z2 = jх2 = j3,3 Ом;
Z3 = r3 = 6 Ом.
94
2. Расчёт токов методом двух узлов:
E1 Z 11  E 2 Z 2 1  J
Uab =
=
Z 11  Z 2 1  Z 3 1
380  ( 10  j14 ,29 )1  j100  ( j 3,3 )1  7 ,07  j 7 ,07
=
( 10  j14 ,29 )1  ( j 3,3 )1  6 1
= 83,60е j165,4= -80,89 + j21,09 В.
E  U ab 380  80 ,89  j 21,09
I1 = 1
=
= 26,45е j52,4= 16,14 + j20,96 А;
10  j14 ,29
Z1
E  U ab j100  80 ,89  j 21,09
I2 = 2
=
= 44,13е j33,7= 36,70 + j24,51 А;
j3,3
Z2
U
 80 ,89  j 21,09
I3 = ab =
= 13,93е j165,4= -13,48 + j3,52 А.
Z3
6
3. Система уравнений для контурных токов:
(Z1 + Z3)II + Z3III = Е1 - Z3J;
(10–j14,29+6)II + 6III = 380 - 6(7,07+j7,07);
Z3II + (Z2 + Z3)III = -Е2 - Z3J.
6II + (j3,3 + 6)III = -j100 - 6(7,07 + j7,07).
Решение системы с помощью определителей:
 = 112,1е –j17,1; I = 2966е j35,1; II = 4947е –j163,3;
=


I 2966  e j 35 ,1
II 4947  e  j163 ,3
j52,4
II = =
= 26,45е
А; III =
=
= -44,13е j33,8 А.



j
17
,
1

j
17
,
1
 112 ,1  e

112 ,1  e
Токи ветвей, вычисленные через контурные токи:
I1 = II = 26,45е j52,4 А;
I2 = -III = 44,13е j33,7 А;
I3 = II + III + J = 16,14 + j20,96 – 36,70 – j24,51 + 7,07 + j7,07 = -13,49 + j3,52 А.
4. Комплексная мощность источников:
Sи = Е1 I 1 + Е2 I 2 + Uab J  =
= 380(16,14 + j20,96) + j100(36,70 + j24,51) + (-80,89 + j21,09)(7,07 – j7,07)=
= 8162 – j3573 ВА.
Активная и реактивная мощности приёмников:
Pпр = I12r1 + I32r3 = 26,45210 + 13,9326 = 8160 Вт;
Qпр = I12(-х1) + I22х2 = -26,45214,29 + 44,1323,3 = -3571 вар.
Поскольку Pпр Re(Sи) и Qпр Im(Sи), то баланс мощностей выполняется.
+j
d
I1r1
e
-I1jx1
I
c
E2
E1
Рис. 3.33
I3
J
I1
I2
I2jx2
100 B
+
a
U
b
I3r3
95
10 A
I1 I2
Z1
Z2
Рис. 3.34
5. Вычислим значения комплексов потенциалов разных точек цепи.
Примем  b = 0, тогда  a = Uab = -80,89 + j21,09 В.
Остальные потенциалы  c =  a + Е2 = -80,82 + j121,09 В;
 e =  a – E1 = -460,89 + j21,09 В;
 d = -I1(-jх1) = 378,0е j142,4 В.
Диаграмма приведена на рис. 3.33.
3.4.2. Задачи для самостоятельного решения
ЗАДАЧА 3.35. Символическим методом решить задачу 3.3.
ЗАДАЧА 3.36. Определить токи во всех ветвях цепи рис. 3.34, если
U = 130 В; Z1 = 6 + j8 Ом; Z2 = 5 – j12 Ом.
Ответы: I = 11,71е -j5,73 А; I1 = 13е -j53,1 А; I2 = 10е j67,4 А.
ЗАДАЧА 3.37. Два электродвигателя с номинальными данными P1н =
= 20 кВт; U1н = 220 В; cos1н = 0,8 (1н >0); P2н = 30 кВт; U2н = 220 В;
cos2н = 0,6 (2н <0); включены параллельно и питаются через линию электропередачи, обладающей комплексным сопротивлением Zл = 3 + j4 Ом. Двигатели нагружены номинальной нагрузкой. Требуется определить напряжение
и полную мощность источника питания при условии, что напряжение на
двигателях номинальное.
Ответы: U1 = 217 В; S1 = 57,84 кВА.
I1
I5
r1
ЗАДАЧА 3.38. В схеме рис. 3.35 требуетC1
I3
ся определить все токи и входное напряжение,
U
L1
L2
если вольтметр показывает 50 В, а параметры
C
2
r2
цепи: r1= хС2= 5 Ом; хС1 = r2 = хL1= хL2 =10 Ом.
I2
I4
Ответ: если по вещественной оси
направить вектор напряжения вольтметра, то
Рис. 3.35
I1 = 10 + j10 A; I2 = 10 A; I3 = j10 A;
V
I4 = 5 + j5 A; I5 = -5 + j5 A; U = 100 В.
ЗАДАЧА 3.39. В схеме рис. 3.36
определить
показания
приборов,
построить
векторную
диаграмму,
проверить баланс мощностей. Задачу
решить методами проводимостей и
символическим. Известно:

u(t) = 6 10 sin(100t + ) B, L = 0,06 Гн,
4
*
A1
*
W
A3
A2
u
V
r2
L
r3
C
Рис. 3.36
r3 = 6 Ом, r2 = 10 Ом, C = 833 мкФ.
–j63,4
Ответы: Z3 = 6 5 e
Ом;
Z23 = 6 – j3 Ом; Z = 6 + j3 Ом;
I1 = 2e j18,4 A; I2 = 0,6 5 e –j8,2 A; I3 = 1e j55,3 A; PW = 24 Вт.
96
ЗАДАЧА 3.40. В схеме рис. 3.37 определить показания приборов,
построить
векторную
диаграмму,
проверить баланс мощностей. Задачу
*
решить
* W
A1
A3
методами проводимостей и символичеA2
ским. Известно:
u
r

u(t) = 40 10 sin(100t+ ) B, L = 0,1 Гн,
4
3
V
r1 = r3 = 10 Ом, C = 1000 мкФ.
Ответы: Z3 = 10 10 e –j45 Ом;
Z23 = 10 + j10 Ом; Z = 20 + j10 Ом;
I1 = 4e j18,4 A; I2 = 4 2 e –j26,6 A;
I3 = 4e j108,4 A; PW = 160 Вт.
L
C
r1
Рис. 3.37
*
*
A1
W
A3
ЗАДАЧА 3.41. В схеме рис. 3.38
определить
показания
приборов,
A2
u
r3
построить
векторную
диаграмму,
проверить баланс мощностей. Задачу
V
решить методами проводимостей и
r2
L
символическим. Известно:
r1
u(t) = 12 5 sin(100t + 90) B, L = 0,12
Рис. 3.38
Гн, r1 = 3 Ом, r2 = 10 Ом, r3 = 6 Ом.
Ответы: Z3 = 6 5 e j63,4 Ом; Z23 = 6 + j3 Ом; Z = 9 + j3 Ом;
I1 = 2e j71,7 A; I2 = 0,6 5 e j98,1 A; I3 = 1e j34,7 A; PW = 24 Вт.
ЗАДАЧА 3.42. В схеме рис. 3.39
определить токи, построить топографическую
диаграмму,
совмещённую
с
векторной
диаграммой токов, проверить баланс мощностей.
Параметры цепи:
J = 10 A; х1 = х2 = х3 = r4 = 10 Ом; r5 = 5 Ом.
Ответ: если по вещественной оси направить вектор тока источника, то
I1 = -j30 A; I2 = -j10 A; I3 = 10 + j30 A;
I4 = 10 + j10 A;
I5 = -j20 A.
x1
x3
x2
r5
r4
J
Рис. 3.39
*
*
r1
W
e1
ЗАДАЧА 3.43. В схеме рис. 3.40
x2
e2
определить токи, построить топографическую
x3
диаграмму, совмещённую с векторной диаграммой токов, найти показание ваттметра и опреРис. 3.40
делить его физический смысл. Параметры цепи:
e1(t) = 200 2 sint В, e2(t) = 200 2 sin(t – 90) В; r1 = х2 = х3 = 20 Ом.
Ответы: I1 = -30 A; I2 = -10 – j20 A; I3 = j20 A; PW = -4000 Вт.
97
Ваттметр измеряет активную мощность, поступающую из первой ветви
в остальные. Знак «минус» у мощности означает, что направление мощности
обратное, то есть от остальных ветвей в первую.
ЗАДАЧА 3.44. Определить токи во всех ветвях и показание ваттметра
в схеме рис. 3.41, если Е = 100 2 В и она опережает J на 45 по фазе;
J = 10 A; хL = r = 10 Ом; хC = 20 Ом.
Ответ: если по вещественной оси
I2
направить вектор J, то I = 7,5 + j12,5 A;
I1 = -j10 A; I2 = 10 + j10 A; I3 = 7,5 + j2,5 A;
L
I4 = -2,5 + j2,5 A; PW = -1250 Вт.
J
C
3.4.3. Применение ПЭВМ для
I1
решения задач комплексным методом
* W
ЗАДАЧА 3.45. Решить задачу 3.28
*
комплексным методом с помощью ПЭВМ.
I4 C
Программа решения задачи в системе
r
r
MathCAD.
I3
Исходные данные
I
U := 200 r1 := 2 r2 := 2 r3 := 4 r4 := 20
E
хC1 := 8 хC2 := 8 хL := 6 j :=  1
Рис. 3.41
Решение
Определяем комплексные сопротивления ветвей
Z1 := r1 – jхC1 Z2 := r2 + jхL Z3 := r3 – jхC2 Z4 := r4
Эквивалентное сопротивление параллельных ветвей


1
Ze := Z 2 1  Z 31  Z 4 1
U
Ze
Ze
Ze
Токи в ветвях I1:=
I2:= I1
I3:= I1
I4:= I1
Z1  Ze
Z2
Z3
Z4
Ответы для токов
I1 = 16+12.i I2 = 19.2-5.i I3 = -6.8+12.i
I4 = 3.6+5.2i
Комплексная мощность источника
Si := U I1
Si = 3.2103 – 2.4i103
Активная и реактивная мощности приёмников
Pp := (|I1|)2r1 + (|I2|)2r2 + (|I3|)2r3 + (|I4|)2r4 Pp = 3.2103
Qp := (|I1|)2Im(Z1)+(|I2|)2Im(Z2)+(|I3|)2Im(Z3)+(|I4|)2Im(Z4) Qp = -2.4103
Следовательно, балансы мощностей сходятся.
ЗАДАЧА 3.46. В схеме рис. 3.31 определить токи во всех ветвях и
показания ваттметров, если Е1 = 380 В, Е2 = 220е –j120 В, J = 10е j120 A,
r1 = 10 Ом, r2= 20 Ом, L = 50 мГн, C = 150 мкФ.
Программа решения задачи в системе MathCAD.
Исходные данные
j :=  1 Е1 := 380 Е2 := 220е –j120deg J = 10е j120deg
r1 := 10 r2 := 20 L := 0.05 C := 1510-5 ORIGIN := 1
98
Решение
Определим величины реактивных сопротивлений
1
 := 100
xL := L xC :=
xL = 15.708 xC = 21.221
 C
Расчёт токов произведём методом контурных токов (см. рис. 3.31) с
учётом того, что третий контурный ток равен току источника J.
Матрицы контурных сопротивлений и контурных ЭДС
r1  j  ( xL  xC )  j  xL 
 E1  E 2  j  J  ( xL  xC )
Rk := 
Ek
:=


 j  xL
r 2  j  xL 
E 2  j  J  xL



 20.595  10.082i 
Контурные токи Ik := Rk -1Ek
Ik = 

  11.184  11.506i 
Токи ветвей
I1 := Ik1 I2 := Ik2 I3 := J + Ik1 I4 := -J – Ik1 + Ik2 I5 := -Ik1 + Ik2
I1 := 20.595 +10.082i I2 = -11.184+11.506i I3 := 15.595+18.742i
I4 := -26.779-7.237i I5 := -31.779+1.423i
Показания ваттметров
U1 := E1 - I1r1 P1 := Re(U1 I1 ) P1 = 2.568103
U2 := I2r2
P2 := Re(U2 I 2 ) P2 = 5.149103
99