Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Дубинина Ю.А., Кирикович М.А., Цветянский А.Л., Пристромская М.C.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к курсу «Физика»
(колебания и волны)
для студентов факультета высоких технологий
часть 2
г. Ростов-на-Дону
2005г.
2
Печатается по решению учебно-методической комиссии физического
факультета
РГУ,
протокол
№______________от__________________________2005г.
Авторы:
Дубинина Ю.А., ассистент кафедры общей физики;
Кирикович М.А., ассистент кафедры общей физики;
Цветянский А.Л., доцент кафедры общей физики;
Пристромская М.С., студентка 2 курса физфака РГУ.
3
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Сплошная среда – среда, непрерывно распределенная в пространстве и
обладающая упругими свойствами.
Волновой процесс – процесс распространения колебаний в сплошной среде.
При распространении волны частицы колеблются около своих равновесных
положений.
Основное свойство всех волн: вместе с волной от частицы к частице среды
передается состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому
основное свойство всех волн, независимо от их природы, - перенос энергии
без переноса вещества.
Продольные и поперечные волны
Продольные волны – волны, в которых частицы среды колеблются в
направлении распространения волны. Продольные волны могут
распространяться в среде, где возникают упругие силы при деформациях
сжатия и растяжения, т.е. в твердых, жидкостях и газах.
Поперечные волны – волны, в которых частицы среды колеблются в
направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Поперечные упругие волны могут распространяться в среде, где возникают
упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах.
Плоские и сферические волны
Однородная среда – среда, физические свойства которой не изменяются от
точки к точке среды.
Изотропная среда - среда, физические свойства которой (например, скорость
распространения данной волны) одинаковы во всех направлениях.
Волновой фронт - геометрическое место точек, до которых доходят
колебания к моменту времени t.
Форма фронта волны определяется конфигурацией источника и свойствами
среды.
Волновая поверхность - геометрическое место точек, колеблющихся в
одинаковой фазе. В случае однородной и изотропной
среды волновой фронт является одной из
волновых поверхностей.
Луч - линия, касательная к которой в каждой точке
совпадает с направлением распространения волны.
В случае однородной и изотропной среды луч — прямая, перпендикулярная
волновой поверхности и совпадающая с направлением переноса энергии
волной.
Плоские волны - волны, для которых волновые
поверхности — совокупность
параллельных
плоскостей,
перпендикулярных
направлению
распространения волны. Лучи в данном случае —
параллельные
прямые,
совпадающие
с
направлением
скорости
распространения волны.
4
Сферические волны - волны, для которых волновые поверхности —
совокупность концентрических сфер. Лучи в данном случае направлены
вдоль радиусов сфер от центра, где расположен источник волны.
Гармоническая волна и ее описание
Гармоническая волна - упругая волна называется гармонической, если
соответствующие колебания частиц среды являются гармоническими.
График
гармонической поперечной
волны,
распространяющейся со скоростью v вдоль оси х.
Это зависимость между смещением ξ частиц
среды, участвующих в волновом процессе, и
расстоянием х этих частиц (например, частицы В) от
источника колебаний О для какого-то фиксированного
момента времени t. Рисунок задает мгновенную картину распределения
возмущения вдоль направления распространения, и его не следует
воспринимать как зримое изображение волны.
Отличие графиков гармонических волн и колебаний.
Эти графики различны по существу. Если график
волны определяет зависимость смещения всех частиц
среды от расстояния до источника колебаний в данный
момент времени, то график колебания — зависимость смещения данной
частицы от времени.
Длина волны – расстояние между двумя ближайшими частицами,
колеблющимися в одинаковой фазе. Длина волны равна расстоянию, на
которое распространяется определенная фаза колебания за период.
  vT
v  
Волновое число.
k
2


2 
 ,
vT v
где v — скорость волны; Т— период колебаний; ω— циклическая частота
волны.
Характеристики переноса энергии волнами
Бегущие волны - волны, которые переносят в пространстве энергию.
Поток энергии - количественная характеристика перенесенной энергии,
определяемая энергией, переносимой волнами через некоторую поверхность
в единицу времени.

dW
dt
Плотность потока энергии волны. Определяется потоком энергии,
переносимой волной через единичную площадку, расположенную
перпендикулярно направлению распространения волны.
U
d
 wv ,
dS
где v — скорость волны; w — объемная плотность энергии колебательного
движения.
5
Вектор Умова. Вектор плотности потока энергии, количественно
характеризует перенос энергии волнами. Направление вектора Умова
совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии,
переносимой волной за единицу времени через единичную площадку,
расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.


U  wv

Интенсивность волны - модуль среднего значения вектора Умова. U
Уравнение плоской и сферической волн. Волновое уравнение
Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного
направления оси х.
 

x
  v

 (x,t)  A cos(t  kx   0 ), ,
 (x,t)  A cos  t     0 ,
 (x,t)  Aei(tkx 
0)
где  (x ,t) — смещение точек среды с координатой x в момент времени t; А —
амплитуда волны; ω — циклическая (круговая) частота; v — фазовая
скорость;  0 — начальная фаза колебаний; k 
2


2 

- волновое число;
vT v
T – период колебаний.
Фазовая скорость - скорость перемещения фазы волны. Находится из
условия постоянства фазы волны


x
v
 t     0  const с последующим дифференцированием этого выражения
по t.
v
dx
dt
Дисперсия волн - зависимость фазовой скорости волн в среде от их частоты.
v

k
Уравнение сферической волны. В случае сферической волны даже в среде, не
поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а
убывает с расстоянием по закону 1/ r . Записанное уравнение сферической
волны справедливо для r (расстояние от центра волны до рассматриваемой
точки среды), значительно превышающих размеры источника (источник
колебаний тогда можно считать точечным).
 (x,t) 
A0
cos(t  kr   0 )
r
Волновое уравнение. Дифференциальное уравнение в частных производных,
описывающее распространение волн в однородной изотропной среде.
Решение этого уравнения — уравнение любой волны.
6
 2  2  2
1  2



x 2 y 2 z 2 v 2 t 2
или
1  2
v 2 t 2
2
2
2
где v — фазовая скорость;   2  2  2 - оператор Лапласа.
x
y
z
 
Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х.
 2
1  2
.

x 2 v 2 t 2
Решение – уравнение плоской волны  (x,t)  A cos(t  kx   0 ) .
Принцип суперпозиции (наложения) волн
Линейная среда - среда, в которой при одновременном распространении
нескольких волн ее свойства не изменяются под действием возмущений,
создаваемых волной.
Принцип суперпозиции (наложения) волн. При распространении в линейной
среде нескольких волн каждая распространяется так, как будто другие волны
отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент
времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы
среды, участвуя в каждом из независимых волновых процессов. Например,
если волны распространяются от двух источников, то они, доходя до какойто точки, вызывают ее колебания независимо друг от друга.
Волновой пакет. Групповая скорость
Волновой пакет - суперпозиция большого числа волн, мало отличающихся
друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени
ограниченную область пространства.
Простейшая группа волн.
 td  xdk 
 cos(t  kx)
2


  A 0 cos(t  kx)  A 0 cos  d t  (k  dk)x   2A 0 cos
Получается при наложении двух плоских волн с одинаковыми амплитудами и
близкими частотами и волновыми числами. Эта волна отличается от
гармонической тем, что ее амплитуда
 td  xdk 
A  2A 0 cos

2


есть изменяющаяся функция координаты х и времени t, т.е. является
негармонической.
Скорость распространения группы волн - скорость перемещения какой-то
точки, в которой амплитуда имеет фиксированное значение, в частности
максимальное.
Из условия td  xdk  const получим u 
dx d

(групповая скорость).
dt dk
Групповая скорость - скорость движения максимума огибающей группы
волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве
волновой пакет, или скорость движения центра волнового пакета.
7
Связь групповой и фазовой скоростей
u
 dv d  2
d d (vk)
dv
 dv dk 

vk
 v  k
:
  v  k :

dk
dk
dk
 d d 
 dk d  
 2
v  k  
 2

 

 dv
2  2  dv
dv

 

v
 v
  2  d
d
 d
где u - групповая скорость; v - фазовая скорость;  - длина волны; k 
волновое число. В недиспергирующей среде
2

-
dv
 0 и групповая скорость
d
совпадает с фазовой.
Интерференция волн
Когерентность - согласованное протекание во времени и пространстве
нескольких колебательных или волновых процессов.
Когерентные волны - волны, разность фаз которых остается постоянной во
времени. Когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую
частоту.
Интерференция волн - явление наложения двух (или нескольких)
когерентных волн, при котором в разных точках пространства получается
усиление или ослабление
результирующей волны в зависимости от
соотношения между фазами этих волн.
Интерференция на примере наложения сферических волн
Наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными
источниками S1 и S2.
1 
A0
A
cos(t  kr1  1 ),  2  0 cos(t  kr 2  2 )
r1
r2
1

1
2
A 2  A 02  2  2 
coskr1  r2   (1   2 ) ,
r1 r2 r1r2

где A 0 - амплитуда колебаний точечных источников;  — циклическая
частота; r1 и r2 - расстояния от источников волн до рассматриваемой точки;
k - волновое число; 1 и  2 - начальные фазы волн; A – амплитуда
результирующей волны.
Разность хода. Поскольку для когерентных источников разность начальных,
результат наложения двух волн в различных точках сит именно от разности
хода. Поскольку для когерентных источников разность начальных
1   2  const, результат наложения двух волн в различных точках сит
именно от разности хода.
  r1  r2
Условие интерференционного максимума.
k (r1  r2 )  (1   2 )  2m
(m  0,1,2....)
Амплитуда результирующего колебания
A
A0 A0
.

r1 r2
8
Условие интерференционного минимума.
k (r1  r2 )  (1   2 )  (2m  1)
(m  0,1,2....)
Амплитуда результирующего колебания
A
A0 A0
.

r1 r2
Уравнение стоячей волны и его анализ
Стоячие волны – волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн с
одинаковыми частотами и амплитудами (а в случае поперечных волн и
одинаковой поляризацией), распространяющихся навстречу друг другу.
Складываемые волны. Для обеих волн амплитуды и частоты одинаковы;
плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде
без затухания; начало координат выбрано в точке, в которой обе волны
имеют одинаковую начальную фазу; начало отсчета времени — в момент,
когда начальные фазы обеих волн равны нулю.
1  A cos(t  kx),
 2  A cos(t  kx)
Уравнение стоячей волны.
 2x 
 cos t
  
  1   2  2A cos kx cos t  2A cos
Амплитуда стоячей волны.
Aст  2A cos
2

x
В отличие от амплитуды A бегущей волны Aст зависит от координаты x.
Пучности стоячей волны.
Точки, в которых амплитуда стоячей волны максимальна (Aст = 2 A). Это
точки среды, для которых
2x

  m , (m  0,1,2...) .
Узлы стоячей волны.
Точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю (Aст = 0). Это точки
среды, для которых
2x
1

  m   , (m  0,1,2...)

2

Координаты пучностей и узлов
xп  m
x узл

, (m  0,1,2...)
2
1

  m   , (m  0,1,2...)
2 2

Расстояния пучность – пучность и узел – узел равны
– узел равно

.
4

. Расстояние пучность
2
9
Образование пучностей и узлов на границе отражения
Пучность или узел на границе отражения.
Отражение от менее плотной среды Отражение от более плотной среды
Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения
плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее
плотная, то в месте отражения возникает пучность; если более плотная, —
узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной
среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение
колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел.
Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не
происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами —
образуется пучность.
Энергия стоячей волны. В направлении распространения бегущей волны
переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны
переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой
амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.
Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной
между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний,
равных половине длины волны, происходят взаимные превращения
кинетической энергии в потенциальную и обратно.
Примеры решения задач.
Задача 1. Колеблющиеся точки, находящиеся на одном луче, удалены: от
источника колебания на 6 и 8,7м и колеблются с разностью фаз Зπ/4. Период
колебания источника 10-2с. Чему равна длина волны и скорость
распространения колебаний в данной среде? Составить уравнение волны для
первой и второй точек, считая амплитуды колебаний точек равными 0,5м.
Решение. Длину волны λ определяем из уравнения волны по разности фаз Δφ
и расстоянию точек от источника. Это уравнение может быть записано в
таком виде:
l

x  A sin  t  , или (1)
v

t l 
x  A sin 2   .
(2)
T  
t l
В уравнении (2) выражение 2    является фазой колебания. Запишем
T  
фазы для каждой из точек
10
t
T
1  2  
l1 
t l 
и 2  2   2  (3)

T  
Определим разность фаз
 l  l1 
  1   2  2  2
 (4)
  
Из уравнения (4) определяем длину волны

2 (l2  l1 )
.

Подставляя заданные значения, получим

2 (8,7  6,0)
 7,2( м ).
3

4
Скорость распространения волны находим из известной формулы v   T .
7, 2
 720( м с).
10  2
2
 200 (c 1 ).
Циклическая частота ω определяется из соотношения:  
T
Определяем числовое значение скорости: v 
Подставляя числовые значения в уравнение (1), получаем уравнения волны,
отображающие колебания первой и второй точек:
6 

x1  0,5 sin 200 t 
;
720 

8,7 

x 2  0,5 sin 200 t 
.
720 

Задача 2. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x  10 sin 0,5t см.
1) Найти уравнение волны, если скорость распространения колебаний 300м/с.
2) Написать и изобразить графически уравнение колебания для точки,
отстоящей на расстоянии 600м от источника колебаний. 3) Написать и
изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент t = 4с
после начала колебаний.
Решение. 1) Уравнение волны в нашем случае имеет вид
l 

x  10 sin  0,5t 
 см. (1)
6  10 4 

Таким образом x  f (t,l) , т. е. смещение точек, лежащих на луче, зависит от
времени t и расстояния l точки до источника колебаний.
2) Для точки, отстоящей от источника колебаний на 600м. уравнение (1)
примет вид x  10 sin 0,5t    см. т. е. при l =const мы получим x  f1 (t) —
смещение фиксированной точки, лежащей на луче, меняется со временем.
3) При t =4с уравнение (1) примет вид x  10 sin  2 

l 
 . В этом случае
6  10 4 
t =const и x  f2 (l) - различные точки, лежащие на луче, имеют различное
смещение в данный момент времени.
Задача 3. Два динамика расположены на расстоянии d=2,5м друг от друга и
воспроизводят один и тот же музыкальный тон на определенной частоте,
11
который регистрируется приемником, находящимся на расстоянии l =3,5м от
центра динамиков. Если приемник передвинуть от центральной линии
параллельно динамикам на расстояние x =1,55м, то он фиксирует первый
интерференционный минимум. Скорость звука v =340м/с. Определите
частоту звука.
Решение.
 min  s2  s1  (2m  1)
m  0,  min 

2

2
,
,
2
2
d
d


s1  l   x   , s2  l 2   x   ,
2
2


v
v
 
,
 2(s2  s1 )
v
v
 
.
2
2 


d
d


2 l 2   x    l 2   x   

2
2 




2
 =175 Гц.
Задача 4. Один конец упругого стержня соединен с источником
гармонических колебаний, подчиняющихся закону   A cos t , а другой его
конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления
стержня происходит от менее плотной среды, определите характер колебаний
в любой точке стержня.
Решение.
x

v

x

1  A cos  t  ,
v

x 
x 


 (x,t)  1   2  A cos t 
  A cos t 

v 
v 


x
x
x
x 

 A cos t  cos
 sin t  sin
 cos t  cos
 sin t  sin

v
v
v
v 

x
 2A cos
cos t,
v
2

,
T
  vT ,
x 2 T
2

x
x,
v
T 

2
 (x,t)  2A cos x cos t - уравнение стоячей волны.


При x   m , (m  0,1,2...) - пучности.
2
1  A cos  t  ,
12
1 
При x   m   , (m  0,1,2...) - узлы.

1
2
3
4
5
2 2
Задачи для самостоятельного решения
Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x  4 sin 600t см. Найти
смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии
75см от источника колебаний, через 0,01с после начала колебаний.
Скорость распространения колебаний 300м/с.
Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x  sin 2,5t см. Найти
смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки,
находящейся на расстоянии 20м от источника колебаний, для момента
t=1с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний равна
100 м/с.
Какую разность фаз будут иметь колебания двух точек, находящихся на
расстоянии соответственно 10 и 16м от источника колебаний? Период
колебаний 0,04с и скорость распространения колебаний 300м/с.
Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих
на расстоянии 2м друг от друга, если длина волны равна 1м.
Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника
колебаний на расстоянии l 

12
T
6
, для момента t  . Амплитуда колебания
А=0,05м.
6 Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии
4см от источника колебаний, в момент t 
7
8
9
10
11
12
T
равно половине амплитуды.
6
Найти длину бегущей волны.
Определите разность фаз Δφ колебаний двух точек, лежащих на луче и
друг от друга на расстоянии Δl =1м, если длина волны λ=0,5м.
Две точки лежат на луче и находятся от источника колебаний на
расстоянии x1=4м и x2=7м. Период колебаний Т=20мс и скорость V
распространения волны равна 300м/с. Определите разность фаз колебаний
этих точек.
Волна распространяется в упругой среде со скоростью V=150м/с.
Определите частоту ν колебаний, если минимальное расстояние Δx между
точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 0,75м.
Определите длину волны λ, если числовое значение волнового вектора k
равно 0,02512см-1.
Звуковые колебания с частотой ν=450Гц и амплитудой А=0,3мм
распространяются в упругой среде. Длина волны λ=80см. Определите:
1) скорость распространения волн; 2) максимальную скорость частиц
среды.
Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой,
совпадающей с положительным направлением оси х в среде, не
поглощающей энергию, со скоростью V=10м/с. Две точки, находящиеся
на этой прямой на расстоянии х1=7м и х2=10м от источника колебаний,
13
колеблются с разностью фаз  
3
5
. Амплитуда волны А=5см.
Определите: 1) длину волны λ; 2) уравнение волны; 3) смещение ξ2 второй
точки в момент времени t2=2с.
13 Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью
V=10м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А=5см, а период колебаний
Т=1с. Запишите уравнение волны и определите: 1) длину волны; 2) фазу
колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на
расстоянии х1 =9м от источника колебаний в момент времени t=2,5с.
14 Убедитесь, что волновому уравнению
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
 2
1  2
удовлетворяет плоская

x 2 v 2 t 2
волна  (x,t)  A cos (t  x v )   0  .
Выведите связь между групповой и фазовой скоростями.
Докажите, что в недиспергирующей среде групповая и фазовая скорости
равны.
Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой
ν=400Гц. Скорость распространения колебаний в среде V=1км/с.
Определите, при какой наименьшей разности хода, не равной нулю, будет
наблюдаться: 1) максимальное усиление колебаний; 2) максимальное
ослабление колебаний.
Два когерентных источника посылают поперечные волны в одинаковых
фазах. Периоды колебаний Т=0,2с, скорость распространения волн в
среде V=800м/с. Определите, при какой разности хода в случае наложения
волн будет наблюдаться: 1) ослабление колебаний; 2) усиление
колебаний.
По поверхности воды распространяются две волны, возбуждаемые двумя
точечными когерентными источниками. Какую форму имеют линии, на
которых лежат точки, имеющие одну и ту же постоянную разность хода?
Два динамика расположены на расстоянии d=0,5м друг от друга и
воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте ν=1500Гц.
Приемник находится на расстоянии l=4м от центра динамиков. Принимая
скорость звука V=340м/с, определите, на какое расстояние от центральной
линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он
зафиксировал первый интерференционный минимум.
Какую волну — продольную или поперечную — описывает уравнение
  a cos(t  kx) .
Упругая волна переходит из среды, в которой фазовая скорость волны
равна V, в среду, в которой фазовая скорость в 2 раза больше. Что
происходит при этом с частотой волны ω и длиной волны λ.
Вдоль оси х распространяется плоская волна с длиной λ. Чему равно
наименьшее расстояние Δx; между точками среды, в которых колебания
совершаются в противофазе?
На рисунке дана «моментальная фотография» смещений ξ частиц среды, в
которой распространяется вдоль оси х упругая
волна. Указать
14
направления скоростей частиц в точках А, В и С в случае: а) продольной
волны, б) поперечной волны, колебания в которой происходят в
плоскости рисунка.
25 Какие данные содержит в себе комплексная амплитуда А̂ ?
26 Два когерентных колебания одинакового направления характеризуются
комплексными амплитудами Aˆ 1  5 exp(i / 6) и Aˆ 2  6 exp(i / 3) . Найти
комплексную амплитуду А̂ результирующего колебания.
27 Исследование некоторой физической величины показало, что она
удовлетворяет уравнению
28
29
30
31
32
33
34
35
36
 2f 1  2f

, где а — постоянная величина,
x 2  l 2
числовое значение которой в Си равно 1,44∙108. 1) Определить из вида
уравнения размерность величины α. 2) Что можно утверждать
относительно величины f ?
Что описывает уравнение вида   f (t  kx) , где f — некоторая функция,
 и k — константы? Какой смысл имеет величина?
В упругой среде распространяется продольная плоская волна
  a cos(t  kx) Изобразить для t=0 один под другим примерные графики
зависимости смещения ξ от x и зависимости плотности среды ρ от x .
Найти положение узлов и пучностей и начертить график стоячей волны
для двух случаев: 1) отражение происходит от менее плотной среды,
2) отражение происходит от более плотной среды. Длина бегущей волны
12см.
Определить длину волны колебаний, если расстояние между первой и
четвертой пучностями стоячей волны равно 15см.
Образование стоячих волн обычно наблюдают при интерференции
бегущей и отраженной волны. Объясните, когда и почему на границе
отражения получается узел или пучность.
Объясните, где человек слышит более громкий звук: в пучности или в
узле стоячей волны.
Определите длину волны λ, если расстояние Δx между первым и
четвертым узлами стоячей волны равно 30 см.
СВЧ-генератор излучает в положительном направлении оси х плоские
электромагнитные волны, которые затем отражаются обратно точки М1 и
М2 соответствуют положениям двух соседних минимумов интенсивности
и отстоят друг от друга на расстоянии l=5см. Определите частоту
микроволнового генератора.
Один конец упругого стержня соединен с источником гармонических
колебаний, подчиняющихся закону   A cos t , а другой его конец жестко
закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня
15
происходит от более плотной среды, определите характер колебаний в
любой точке стержня.
37 На рисунке дан график смещений ξ в бегущей волне для некоторого
момента времени t. Нарисовать под этим графиком примерный график
плотности энергии ω для того же момента t.
38 В упругой среде плотности ρ бежит вдоль оси х волна   a cos(t  kx   ) .
Написать выражение для вектора Умова j (вектора плотности потока
энергии).
39 Что представляет собой поток вектора Умова через некоторую
поверхность S?
40 По трубе сечения S бежит плоская затухающая волна [амплитуда волны
убывает по закону exp( x ) ]. В сечении с координатой х1 среднее (по
времени) значение модуля вектора Умова равно j1. Какое количество
энергии W поглощается за время t, много большее периода волны, в
объеме, заключенном между сечениями с координатами x1 и х2?
41 По какому закону убывает с расстоянием r от источника интенсивность
затухающей 1) сферической, 2) цилиндрической волны?
42 На рисунке изображена картина смещений в стоячей волне для момента
времени t, когда смещения достигают максимальной величины.
1) Чему равно (нулю или отлично от нуля) мгновенное значение потока
энергии через каждую из поверхностей 1,2,3,…,9; а) в момент t , б) в
моменты времени, следующие за t?
2) Чему равен средний (по времени) поток энергии через те же
поверхности?
3) Как направлен вектор Умова в течение следующей за моментом t
четверти периода для поверхностей 2,4,6,8?
4) Тот же вопрос, что и 3, для последующей четверти периода.
ОТВЕТЫ
1
2
3
4
5
x  0,04 м
x  0 ;   7,85  10 2 м / с ; a  0
   ; точки колеблются в противоположных фазах
  4 ; точки колеблются в одинаковых фазах
x  0,025 м
16
6
7
8
9
10
11
12
13
15
  0,48 м
  4 ; точки колеблются в фазе
   ; точки колеблются в противофазе
  100 Гц
  2,5 м
d
1)   360 м / с ; 2)    0,848 м / с
 dt  max

1)   10м ; 2)  x, t   0,05 cos  2 t  x  , м ; 3)  2  5см
5 

5 

 x, t   5 cos  2 t  x  ,см ; 1)   10 м ; 2) 1  3,2 , 1  4см , 1  18,5см / с ,
 

2
1  160см / с
d
u  
d
 max  2,5 м ,  min  1,25 м
17
18 1)   80 2m  1, м m  0,1,2,... ; 2)   160m , м m  0,1,2,...
20 x  90,7см
21 Это уравнение может описывать с равным правом как продольную, так и
поперечную волну
22 Частота остается прежней, длина волны увеличивается в 2 раза
23 x 

2
25 Комплексная амплитуда Â содержит в себе данные об обычной
амплитуде A и начальной фазе колебаний 
26 Aˆ  11,1exp 0,785 i 
27 1) Размерность  совпадает с размерностью квадрата скорости;
2) изменения величины f в пространстве и времени могут иметь характер
плоской волны, бегущей вдоль оси x со скоростью, равной 1,20  10 4 м / с .
28 Уравнение такого вида описывают плоскую волну произвольной формы
(т.е. не обязательно гармоническую), распространяющуюся вдоль оси x
со скоростью    k .
30 1) положение узлов определяется координатами x  3,9,15,...см и положение
пучностей – координатами x  0,6,12,...см ; 2) положение узлов
x  0,6,12,18,...см , положение пучностей x  3,9,15,...см
31   0,1м
34   20 м
35   3 ГГц
36 положение узлов определяется координатами x   m

2
m  0,1,2,... и
1 
m  0,1,2,...
положение пучностей – координатами x   m  

2 2
17

38 j 
 a 2 3
k

sin 2  t  kx    e x
39 поток энергии, переносимый упругой волной через поверхность S
40 W  S j1 1  exp 2 x2  x1 
41 1)
1
exp  r 
r2
( r - расстояние от центра); 2)
1
exp  r 
r
( r - расстояние от
оси)
42 1) а) для всех поверхностей – нулю, б) для поверхностей 1,3,5,7,9 – нулю,
для поверхностей 2,4,6,8 – отлично от нуля ; 2) для всех поверхностей –
нулю; 3) для поверхностей 2 и 6 – вправо, для поверхностей 4 и 8 – влево;
4) для поверхностей 2 и 6 – влево, для поверхностей 4 и 8 – влево.
1.
2.
3.
4.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Н.И. Гольдфарб. Физика. Задачник. 9-11 классы. Дрофа. Москва –
2000.
И.Е. Иродов. Волновые процессы. ФИЗМАТЛИТ. Москва - СанктПетербург – 2000.
И.В. Савельев. Курс общей физики. Электричество и магнетизм.
Астрель – АСТ. Москва – 2001.
Т.И. Трофимова. Физика в таблицах и формулах. Дрофа. Москва –
2002.