1 - А-13-08
advertisement
1. Матрицы. Операции сложения матриц и умножения матриц на число. Транспонирование матриц. Операция умножения матриц и её свойства. Определение. Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. А числа ai j i 1..m, j 1..n называются элементами матрицы А. A ai j a11 a2 1 ... a m1 a12 a2 2 ... am 2 a1n ... a2 n , i 1,2,3...m; j 1,2,3...n. ... ... ... am n ... Операции над матрицами. 1) Сложение матриц def Пусть A ai j , ai j R и B bi j , bi j R, тогда С A B ci j , ci j ai j bi j i 1..m, j 1..n mxn mxn mxn Свойства: A B B A A B C A B C A O A O нулевая матрица A A O 2) Умножение матрицы на число def Пусть A ai j , ai j R и R, тогда С A ci j , ci j ai j i 1..m, j 1..n mxn mxn Свойства: 1 A A A A A A A A B A B 3) Умножение матриц def n Пусть A ai j , ai j R и B bi j , bi j R, n k тогда С A B ci j , ci j ai S bS j i 1..m, j 1..l mxn kxl mxl Свойства: AB BA ABC ABC AB C AB AC 4) Транспонирование матриц def Пусть A ai j , ai j R, тогда С A ci j , ci j a j i i 1..m, j 1..n T mxn Свойства: A B T AT B T AT AT AB T B T AT mxn S 1 Виды матриц. 1) A ai a1 a2 ... an – матрица-строка (столбец); A , m n – квадратная матрица; 2) mxn 3) 4) 5) 6) AT A – симметрическая матрица; AT A – кососимметричная матрица; Omxn oi j : oi j 0i 1..m, j 1..n – нулевая матрица; B A – противоположная матрица; 1 0 ... 0 0 1 ... 0 7) A ai j – единичная матрица. ... ... ... ... 0 0 ... 1 2. Перестановки и подстановки, их свойства. Определение. Всякое расположение чисел 1, 2, 3...n в некотором определённом порядке называется перестановкой из n чисел (символов). Общий вид перестановки i1 , i2 , i3 ...in . Всякое взаимно однозначное отображение A множества первых n натуральных чисел на i , i , i ... i n себя называется подстановкой. Общий вид подстановки A 1 2 3 . , , ... i i i i n 1 2 3 Свойства перестановок и подстановок. 1) Число различных перестановок из n символов равно n! 2) Все n! перестановок из n символов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая будет получаться из предыдущей одной транспозицией, причём начинать можно с любой перестановки. 3) Всякая транспозиция меняет чётность перестановки. 4) При n 2 число чётных перестановок из n символов равно числу нечётных, т.е. 1 n! 2 5) Число подстановок n-й степени равно числу перестановок из n символов, т. е. равно n! 6) Число чётных подстановок n-й степени равно числу нечётных, т.е. 1 n! 2 7) Подстановка А будет чётной, если общее число инверсий в двух строках любой её записи чётно, и нечётной – в противоположном случае. 8) Произведение любой подстановки А на тождественную подстановку Е, а также произведение Е на А, равно А. 3. Определитель порядка n. Определитель транспонированной матрицы. Определение. A называется число, которое ставится в Определителем (или детерминантом) матрицы nxn соответствие этой матрице и может быть вычислено по её элементам по формуле A nxn a1n a11 a12 a21 a2 2 a2 n def 1S 1 , 2 , 3 ...n a11 a22 a33 ...ann 1 , 2 , 3 ... n an 2 a n n an1 , , ... – перестановка из чисел 1, 2, 3...n S , , ... – число инверсий в перестановке , , ... 1 2 1 3 2 n 3 n 1 n 1 A a n2 A n3 a11 A a21 a12 a2 2 a31 a3 2 a11 a21 2 3 n a12 a11a2 2 a12 a21 a2 2 a13 a2 a2 3 a11 2 a3 2 a33 a2 3 a2 a12 1 a33 a31 a2 3 a2 a13 1 a33 a31 a2 2 a3 2 Определитель транспонированной матрицы. При транспонировании матрицы её определитель не меняется, т. е. AT A . Отсюда следует, что любое утверждение, справедливое для столбцов, будет справедливо и для строк определителя матрицы. Доказательство. a11 a2 A 1 nxn a n1 a1n a2 n 1S 1 , 2 , 3 ...n a11 a22 a33 ...ann 1 , 2 , 3 ... n an n a12 a2 2 an 2 a11 a1 AT 2 nxn a1n a n1 an 2 1S 1 , 2 , 3 ...n a11a2 2 a3 3 ...an n 1 , 2 , 3 ... n an n a21 a2 2 a2 n Рассмотрим чётность перстановок 1 2 3 ... n 1 2 3 ... n 1 2 3 ... n ... 1 2 3 n AT ai* j , ai* j a j i A , 1 , 1 2, 2, 3 ... n 3 ... n 1S , , ... a* a* a* ...a* 1 3 1 2 2 3 3 2 3 n , 1 n 1 n 3 1S , , ... a1 a2 a3 ...an 2 n 1 1 2 n 2, 2 3 1 n 2 3 n 1S , , ... a1 a2 a3 ...an AT 3 ... n 1 1 , , ... 1 1S , , ... a 1a 2 a 3 ...a n 2 3 2 3 n n 1 2 3 n 4. Свойства определителя. 5. Свойства определителя: 1) При перестановке двух строк матрицы её определитель меняет знак на противоположный; ai1 ai 2 a j1 A a j1 ai n i a j2 a jn j ai1 nxn a j2 a jn j ai 2 ai n i Доказательство. ai 2 ai n i 1S 1 , 2 , 3 ...i ... j ...n a11 a22 a33 ...aii ...a j j ...ann a j 2 a j n j 1 , 2 , 3 ... n ai1 A nxn a j1 Если мы поменяем i ую и j ую строки местами Увеличится число транспозиций на 1 S ' 1 , 2 , 3 ... j ... i ... n S 1 , 2 , 3 ... i ... j ... n 1 a j2 a jn j 1S 1 , 2 , 3 ...i ... j ...n 1 a11 a22 a33 ...a ji ...ai j ...ann A ai 2 ai n i 1 , 2 , 3 ... n a j1 A' nxn ai1 2) Если все элементы какой-либо строки матрицы умножить на какое-то число, то её определить умножится на это число; a11 a12 A ai1 ai 2 nxn a n1 an 2 a11 a1n ai n i ai1 ai 2 an 2 an n an n a n1 a12 a1n ai n i Доказательство. a11 a12 a1n 1S 1 , 2 , 3 ...n a11 a22 a33 ... aii ...ann A ai1 ai 2 ai n i nxn 1 , 2 , 3 ... n an1 an 2 an n Т . к. будет присутствовать во всех слагаемых суммы можно вынести за знак суммы A nxn , 1 2 , 3 ... n 1S , , ... a1 a2 a3 ...ai ...an 1 2 3 n 1 2 3 i n A 3) Если какая-либо строка матрицы представляет собой сумму двух строк, то определитель этой матрицы можно представить в виде суммы двух определителей. ai 1 A ai 1 a j 1 nxn a j1 Доказательство. ai 1 A ai 1 a j 1 nxn , 1 2, ai 2 ai 2 a j 2 a j2 i ai 2 ai n ai 2 a j 2 ai n a j n a j2 a jn 2 3 , 1 1 2 , 3 ... n 2 3 ai 2 ai 2 a j2 ai n ai 1 ai n a j 1 a j n a j1 ai 2 a j2 a j2 ai n a jn a jn n 1 2 3 i i j ...a n n , 1 ai 1 ai 2 ai n ai 1 ai 2 ai n ai 1 ai 2 ai n a j 1 a j1 1S , , ... a1 a2 a3 ...ai ... ai n 1 a j2 a jn 2 3 i i a j ...a j ...a n n j j j a j1 i ai1 ai n ai 1 ai n a j n a j n j a j1 1S , , ... a1 a2 a3 ...ai ...ai ...a j 1 3 ... n a j1 2, 3 ... n 1S , , ... a1 a2 a3 ...ai ...a j 1 2 3 n 1 2 3 i j ...a j ...a n n j a j2 a jn a j2 a jn 4) Если матрица имеет две одинаковые строки или содержит строку, состоящую из нулей или соответствующие элементы двух её строк пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю. i ai1 a11 ai 2 ai n A 0 nxn j ai1 ai 2 ai n A i 0 nxn a n1 a1n 0 0 0 a12 i A nxn ai1 ai 2 ai n 0 j ai1 ai 2 ai n an 2 an n 5) Если к одной строке прибавить соответственно другую строку, умноженную на некоторое число, то определитель не изменится. i A nxn ai1 ai 2 ai n a j j 1 ai1 i ai1 ai 2 ai n a j 2 ai 2 a j n ai n j a j1 a j 2 a j n 6. Миноры. Теорема о произведении минора на его алгебраическое дополнение. Определение. Минором матрицы k-ого порядка называется определитель матрицы, состоящей из элементов, расположенных на пересечении k строк и k столбцов ( 1 k n 1 ) данного определителя d порядка n. ai1 j 1 i1 i2 i3 ... ik ai2 j 1 A j j j ... j k 1 2 3 aik j 1 ai1 j ai1 j ai2 j ai2 j aik j aik j 2 k 2 k 2 k Пусть в определителе d n-ого порядка взят минор M k-ого порядка. Если вычеркнуть те строки и столбцы, на пересечении которых стоит этот минор, то останется минор M’ (n– k)-ого порядка, который называется дополнительным минором для минора М. a j1 i 1 j1 j2 j3 ... jnk a j2 i 1 A i i i ... i nk 1 2 3 a jnk i 1 a j1 i a j1 i a j2 i a j2 i a jnk i nk 2 nk 2 a jnk i 2 nk Если минор k-ого порядка расположен в строках с номерами i1 , i2 , ..., ik и столбцах с номерами j1 , j2 , ..., jk , то алгебраическим дополнением минора М является дополнительный минор М’, взятый со знаком 1i i ...i j j ... j . 1 a j1 i 1 j1 j2 j3 ... jn k a j2 i 1 A i i i ... i nk 1 2 3 a j nk i 1 a j1 i a j1 i a j2 i 2 a j2 i 2 a j nk i 2 2 k 1 2 k nk nk a j n k i nk 1 1 i i 2 i3 ... i n k j1 j 2 j3 ... j n k Теорема. Произведением любого минора k-ого порядка матрицы А на его алгебраическое дополнение состоит из слагаемых, представляющих собой члены определителя матрицы А с правильным знаком. Доказательство. 7. Теорема Лапласа. Теорема. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), 1 k n 1 . Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d. 8. Разложение определителя по строке или столбцу. Умножение элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки. Определение. a11 Разложение определителя d ... a1 j ... a1n a21 ... a2 j ... a2 n ... ... ... ... an1 ... an j ... n по j-ому столбцу d ak j Ak j . k 1 ... an n Теорема. Сумма произведений всех элементов некоторого столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другого столбца (строки) равна нулю, т. е. n a k 1 kj Ak f 0 . 9. Правило Крамера. Пусть дана система, определитель которой не равен нулю, вида a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a2 2 x2 ... a2 n xn b2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a x a x ... a x b n2 2 nn n n n1 1 X матрица решений системы AX B, X A1 B Правило Крамера. Система (1) однозначно разрешима при любых правых частях тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен нулю. Это решение определяется формулой xi i , где – определитель матрицы системы, i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i-ого столбца столбцом свободных членов. Доказательство. x1 A11 b1 x2 b 1 X A1 2 A1i xi b n A 1n x n A21 An1 b1 b A2 i An i 2 , где Аi j алг. дополнение к элементу ai j b A2 n An n n a11 1 1 a21 xi A1i b1 A2 i b2 ... An i bn a n1 i b1 b2 bn a1n a2 n раскроем определитель по i ому столбцу an n 1 b1 A1i b1 b2 A2i ... bn An i i Докажем , что А 0 1 0 AX 1 B1 0 0 0 1 AX 2 B2 0 0 0 0 AX 3 B3 1 0 ... 0 0 AX n Bn 0 1 Составим матрицу U , столбцами которой являются матрицы столбцы X 1 , X 2 , X 3 ... X n U X 1 X 2 X 3 X n 1 0 AU ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 En U A1 A 0 ... 1 10. Обратная матрица. Определение. Матрица B (A–1) называется обратной к матрице А, если АВ=ВА=Е (единичная матрица). Теорема. A1 A 0 1. A1 A1 A E A1 A E 1 A1 A 1 A 0 2. Пусть А* Аi j присоединённая матрица по отношению к матрице А, тогда * T AA a11 a1n A11 An1 a n1 an n A1n An n 11. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Определение. Ранг матрицы А r A det 1. Существует минор порядка r , не равный нулю r 2. Любой минор порядка выше r равен нулю Определение. Минор, определяющий ранг матрицы, называется базисным минором. Строки и столбцы, формирующие базисный минор, называются базисными строками и столбцами. Определение. Система столбцов A1 , A2 , A3 ... Ar называется линейно зависимой 1 , 2 ...r , не все равные 0 нулю, и такие, что 1 A1 2 A2 ... r Ar 0 Теорема. 1) Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно-независимую систему. 2) Любой столбец матрицы линейно выражается через столбцы базисного минора. r A j 1 , 2 ... r : A j 1 A1 2 A2 ... r Ar i Ai i 1 Доказательство. a1 j a2 j A'r a3 j БМ A'1 A'2 БМ A ar j ai r ai j Ar А1 A2 A3 ai1 ai 2 ai 3 1. Предположим противное, т.е. система A1 , A2 , A3 ... Ar линейно зависима , т.е. 1 , 2 ...r , не все 0 0 равные нулю, и такие, что 1 A1 2 A2 ... r Ar i Ai r i 1 0 r система коротких базисных 1 2 3 r 0 столбцов, входящих в длинные, А'1 , A'2 , A'3 ... A'r линейно зависима Базисный минор А 1 2 3 r Получили противоречие, т.к. БМ 0. r 2. j фиксирован ное i любое (r i m) r 1 2 3 r ai j ai k Ak , где А k 1 1 2 3 r r A ai j ai k k , где k k k 1 i 1, a1 j a111 a12 2 a13 3 ... a1r r i 2, a2 j a211 a2 2 2 a23 3 ... a2 r r i 3, a3 j a311 a32 2 a33 3 ... a3r r ............................................................................. i n, an j an11 an 2 2 an 3 3 ... an r r A A A A ... A A r j 1 1 2 2 3 3 r r i 1 i i 12. 13. Следствия из теоремы о базисном миноре. Следствия. а) Равенство определителя нулю. A 0 Система строк столбцов матрицы А линейно зависима Доказательство. 1. По свойствам определителя. 2. A 0 rA n строка, не входящая в базисный минор По теореме о базисном миноре эта строка линейно выражается через остальные строки А Строка линейно зависима Система строк матрицы А линейно зависима б) Линейная зависимость системы из (n+1) столбца размером из n элементов. nx n1 A A1 A2 A3 An1 Система столбцов высотой n в колличестве k n 1 линейно зависима. Доказательство. a11 a12 a1n1 a21 a2 2 a2 n1 A rA n столбец, не входящий в базисный минор an an an 2 n 1 1 По теореме о базисном миноре этот столбец линейно выражается через остальные столбцы А Столбец линейно зависим Система столбцов матрицы А линейно зависима в) Линейная независимость системы из k столбцов, линейно выражающихся через l столбцов. Система столбцов A1 , A2 , A3 ... Ak линейно независима , которая линейно выражается через столбцы B1 , B2 , B3 ...Bl , тогда k l. Доказательство. 1 A1 a11 B1 a12 B2 ... a1l Bl 2 A2 a21 B1 a2 2 B2 ... a2 l Bl k Ak ak 1 B1 ak 2 B2 ... ak l Bl ; A ai j a11 a2 1 a k1 a12 a1l a2 2 a2 l ak 2 ak l Предположим противное, т.е. система строк A1 , A2 , A3 ... Ak линейно зависима , т.е. 1 , 2 ...k , не все k равные нулю, и такие, что 1 B1 2 B2 ... k Bk j B j k 0 0 0 j 1 противоречие, т.к. система строк линейно независима. 14. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной зависимости системы столбцов. Теорема. Ранг матрицы А равен числу столбцов (строк), входящих в максимальную линейно независимую подсистему. Доказательство. A ai j A1 , A2 , A3 ... An система столбцов матрицы А. Ai1 , Ai2 , Ai3 ... Aik максимальн ая линейно независимая подсистема A j , Ai1 , Ai2 , Ai3 ... Aik линейно зависимая система, т.е. 0 , 1 , 2 ... л , не все равные нулю, k и такие, что 0 A j 1 Ai1 2 Ai2 ... k Aik 0 A j i Aik r i 1 15. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы. Теорема. Пусть минор k-ого порядка матриц А отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, тогда ранг матрицы А равен k. Доказательство. k k A ai j M ai S AS ai j S ai S , i 1,2,3...m, j 1,2,3..n M S 1 S 1 k A A j S A S M S 1 jk j1 j2 A A ... A линейно выражаются через столбцы БМ С другой стороны все столбцы БМ линейно выражаются через A j1 A j2 ... A jk Т .о. rA k rA rA k . 16. Элементарные преобразования, не изменяющие ранга матрицы. Теорема. Элементарные преобразования, не изменяющие ранга матрицы: 1. Умножение любой строки (столбца) на число отличное от нуля. 2. Перестановка любых двух строк (столбцов). 3. Прибавление к одной строке другой, умноженной на число. 4. Вычёркивание или приписывание нулевой строки. Доказательство. Пусть ранг матрицы A равен r. 1) ~ A A Все миноры порядка r 1 матрицы А равны нулю ~ Все миноры порядка r 1 матрицы А равны нулю rA~ rA ~ A A ~ Все миноры порядка r 1 матрицы А равны нулю Все миноры порядка r 1 матрицы A равны нулю rA rA~ rA~ rA rA~ rA rA~ 2) ~ A A Все миноры порядка r 1 матрицы А равны нулю ~ Все миноры порядка r 1 матрицы А равны нулю rA~ rA ~ A A ~ Все миноры порядка r 1 матрицы А равны нулю Все миноры порядка r 1 матрицы A равны нулю rA rA~ rA~ rA rA~ rA rA~ 3) ~ A A A Bi B j B j , т.к. Bi 0 миноры порядка r 1 матрицы А равны нулю rA~ rA rA~ rA rA~ 17. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса. Суть метода Гаусса заключается в привидении матрицы А к трапециевидной матрице путём зануления столбцов. a11 a12 a13 a21 a2 2 a2 3 a a3 2 a33 3 A 1 a m1 a m 2 a m 3 a11 a12 a13 0 a2 2 a2 3 0 0 a33 0 0 0 0 0 0 a1n a11 a12 a2 n 0 a2 2 a3 n 0 a3 2 am n 0 am 2 a1n a2 n a3 n , r rA ar n 0 0 a13 a2 3 a33 am 3 a1n a11 a12 a2 n 0 a2 2 a3 n 0 0 am n 0 0 a13 a2 3 a33 am 3 a1n a2 n a3 n am n 18. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема. a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a2 2 x2 ... a2 n xn b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a x a x ... a x b mn n m m1 1 m 2 2 Система линейных уравнений совместна имеет решения rA rA~ , a11 a2 A 1 a n1 a1n a11 a2 2 a2 n ~ a2 , A расширенная матрица 1 an 2 an m ak 1 a12 a12 a1n a2 2 a2 n ak 2 ak n b1 b2 bm Доказательство. 1. Пусть x1 1 , x2 2 ,..., xn n некоторые решения системы. a111 a12 2 ... a1n n b1 a211 a2 2 2 ... a2 n n b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a ... a b mn n m m1 1 m 2 2 a11 a12 ~ a21 a2 2 A a k 1 ak 2 2. r rA rA~ a1n a2 n ak n a1 j b1 a2 j b Aj , B 2 , j 1,2...n 1 A1 2 A2 ... n An B b am m j b1 a11 a12 b2 a21 a2 2 bm ak 1 ak 2 n 0 a11 a12 0 a21 a2 2 ak n 0 an1 an 2 a1n a2 n a1n a2 n rA~ rA an m B 1 Ai1 2 Ai2 ... r Air j A j x1 1 , x2 2 ,..., xn n некоторые решения системы. j 1 23. Однородные системы линейных алгебраических дополнений: свойства решений, эквивалентное уравнение системы. a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a2 2 x2 ... a2 n xn b2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a x a x ... a x b mn n m m1 1 m 2 2 Решение X 0 0 0 0 ...0 называется правильным нулевым решением. В случае m n применимо правило Крамера. Определение. Урезанная система – система, из которой отброшены уравнения, у которой соответствующие им строки матрицы системы не входят в базисный минор. Утверждение. Урезанная система эквивалентна исходной системе, т. е. любые решения исходной системы равны решениям урезанной системы, и наоборот. Пример: x y z 0 x y z 0 x y z 0 x y z 0 Доказательство.
