Доказать, что подмножество предкомпактно тогда и только тогда

Задачи по теории метрических пространств (к экзамену за 2 семестр)
1. Доказать, что функция    ( x, y ) на метрическом пространстве ( X ,  ) непрерывна
по x при каждом фиксированном значении y .
2.
3.
4.
5.
Для каких метрик на плоскости шары являются квалратами?
Привести пример метрического пространства и двух шаров в нем таких, что первый из
них содержится во втором и имеет радиус больший, чем у второго.
Доказать, что любое открытое множество в сепарабельном метрическом пространстве
является не более чем счетным объединением связных открытых множеств.
Привести пример метрического пространства и замкнутых множеств A, B в нём таких,
что  ( A, B )  0 . Можно ли привести такой пример, если множества A, B компактны?
1
6.
Доказать, что функция
1 ( f , g )   f (t )  g (t ) dt
является метрикой во множестве
0
C (0,1) . Является ли множество C (0,1) с этой метрикой полным метрическим
пространством?
7.
Является ли последовательность функций x n (t )  t
n
фундаментальной в метрике
1
 ( f , g )  max f (t )  g (t ) ? А в метрике 1 ( f , g )   f (t )  g (t ) dt ?
t[ 0 ,1]
 n
8. Доказать, что   a k
 1

0
p
1
p

 n
    ak

 1


 n
9. Доказать, что lim   a k
p 
 1
q
1
q

 , 0  q  p.


1
p
p
  max a k .

1 k  n

10. Доказать, что композиция непрерывных отображений непрерывна: если
f : X  Y , g : Y  Z , f непрерывно в точке x , g непрерывно в точке f (x ) ,
то отображение g  f ( x)  g ( f ( x)) непрерывно в точке
x , где
X , Y , Z  метрические пространства.
11. Доказать «правило многоугольника»:
произвольного набора точек
 ( x1 , xn )   ( x1 , x2 )  ...   ( xn1 , xn )
для
x1 ,..., xn метрического пространства.
12. Доказать, что полное метрическое пространство без изолированных точек несчетно.
13. Доказать, что функция
 (m, n)  1 
1
является метрикой на множестве
mn
натуральных чисел, и полноту полученного метрического пространства.
14. Привести пример полного метрического пространства и последовательности
вложенных шаров в нем имеющей пустое пересречение.
15. Привести пример последовательности вложенных замкнутых выпуклых ограниченных
множеств в C (0,1) , диаметры которых стремятся к нулю, имеющей пустое
пересечение.
16. Для каких значений  гарантировано существование и единственность в C (0,1)
1
решения интегрального уравнения
1
f ( y)dy  t ?
2
1

t

y
0
f (t )   
2
17. Доказать, что в метрическом компакте любая последовательность вложенных
замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение.
18. Доказать, что в метрическом компакте любая последовательность вложенных
замкнутых подмножеств, диаметры которых стремятся к 0, имеет одноточечное
пересечение.
n  угольник. Обозначим x11 ,..., x n1 - середины его сторон.
Построим новый правильный многоугольник с вершинами в точках x11 ,..., x n1 .
Продолжая этот процесс по индукции, обозначим середины сторон k -го
многоугольника x1k ,..., x nk . Доказать, что последовательности x1k ,..., x nk сходятся к
19. Пусть дан правильный
общему пределу.
20. Доказать, что метрический компакт является полным метрическим пространством.
21. Доказать, что метрический компакт является множеством второй категории.
22. Доказать, что метрический компакт является сепарабельным метрическим
прстранством.
23. Доказать, что непрерывная на компакте функция достигает на нем своих наибольшего и
наименьшего значений.
24. Доказать, что в произвольном метрическом компакте K найдется пара точек x, y
таких, что
 ( x, y )  sup  (u, v)  diamK .
u ,vK
25. Доказать, что непрерывная на связном компакте функция принимает на нем все
значения между наибольшим и наименьшим.
26. Доказать, что отображение A : X  X метрического пространства X в себя,
удовлетворяющее условию: x, y  X ( x  y ) :  ( Ax, Ay )   ( x, y ) имеет не более
одной неподвижной точки.
27. Доказать, что что отображение A : X  X , где X - метрический компакт,
удовлетворяющее условию: x, y  X ( x  y ) :  ( Ax, Ay )   ( x, y ) , имеет ровно
одну неподвижную точку. Останется ли справедливым это утверждение, если заменить
в условии знак строгого неравенства на знак нестрогого?

x4  2y4
2x 4  y 4
28. Доказать, что система уравнений  x  1 
имеет
, y  1
18
33

единственное решение в квадрате [0,2]  [0,2].
x
29. Доказать, что уравнение
1
dt имеет единственное решение в
2
1

tf
(
t
)
0
f ( x)  
C (0,1) .
30. Привести пример полного метрического пространства X и отображения A : X
не имеющего неподвижных точек, но удовлетворяющего условию:
x, y  X ( x  y ) :  ( Ax, Ay )   ( x, y ) .
31. Доказать, что замкнутое подмножество компакта есть компакт.
32. Доказать, что образ компакта при непрерывном отображении в произвольное
метрическое пространство есть компакт.
X,
1
} является компактом в l2 .
2n
34. Является ли компактным единичный шар с центром в нуле в пространстве C (0,1) ? А в
n
пространстве R ?
35. Является ли компактным в C (0,1) множество
33. Доказать, что «гильбертов кирпич» K  {{xn } xn 
{  C (0,1)   дифф. на [0,1], max  (t )  K ,  (0)  0} ?
t[ 0,1]
{ (t )  t n , n  1,2,...} ?
37. Является ли компактным в C (0,1) множество { (t )  max{1  nx,0}, n  1,2,...} ?
36. Является ли компактным в C (0,1) множество
38. Доказать, что множество значений сходящейся в метрическом пространстве
последовательности вместе с предельной точкой является компактом.
39. Можно ли равномерно приблизить любую непрерывную вещественнозначную функцию
многочленами, у которых все члены нечетной степени, на отрезке [1, 2] ? А на отрезке
[1,1] ?
40. Можно ли равномерно приблизить любую непрерывную вещественнозначную функцию
многочленами, у которых все члены четной степени, на отрезке [1, 2] ? А на отрезке
[1,1] ?
41. Можно ли равномерно приблизить любую непрерывную вещественнозначную функцию
многочленами нечетной степени на отрезке [1, 2] ? А на отрезке [1,1] ?
42. Можно ли равномерно приблизить любую непрерывную вещественнозначную функцию
многочленами четной степени на отрезке [1, 2] ? А на отрезке [1,1] ?
43. Пусть  - непрерывная и строго монотонная на отрезке [ a, b] вещественнозначная
функция. Доказать, что квазимногочленами с вещественными коэффициентами:
n
a 
k 0
k
k
( x) - можно равномерно приблизить любую вещественнозначную
непрерывную на указанном отрезке функцию.