Программа по аналитической геометрии и топологии

МОАИС 1 курс, 2 семестр.
Программа по аналитической геометрии и топологии.
Раздел I: Векторная алгебра.
Вектора, операции над ними, свойства операций.
Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек).
К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого
совпадают.
Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом
вектора.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или
параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой
они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все
компланарные векторы коллинеарны.
Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены
и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему
началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие
общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор
имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на
число.
Суммой векторов является вектор - c  a  b .
Произведение - b   a ; b   a , при этом a коллинеарен b . Вектор a
сонаправлен с вектором b , если   0 . Вектор a противоположно направлен с
вектором b , если   0 .
Свойства векторов:
1) a  b = b  a - коммутативность.
2) a  (b  c) = (a  b)  c .
3) a  0  a .
4) a  (1)a  0 .
5) (ab)a  a (b a ) - ассоциативность
6) (a  b)a  a a  b a - дистрибутивность
7) a (a  b)  a a  ab
8) 1* a  a
Проекция вектора на ось и ее свойства.
Проекцией точки M на ось l называется точка P пересечения оси с прямой MP,
перпендикулярной l.
Рассмотрим вектор M 1M 2 и ось l, расположенные в одной плоскости.
Проекцией вектора M 1M 2 на ось l называется величина вектора P1 P2 от
проекции P1 точки M 1 до проекции P2 точки M 2 на ось l:
M 1M 2 = P1 P2 , если направление P1 P2 совпадает с направлением l,
M 1M 2 =  P1 P2 , если направление P1 P2 противоположно направлению l.
a
Проекцию вектора a на ось l обозначают l .
Вектор P1 P2 называют составляющей вектора M 1M 2 в направлении оси l.
Поэтому можно сказать, что проекция вектора на ось - это величина его
составляющей в направлении данной оси.
Линейно зависимые и независимые системы векторов на
плоскости и в пространстве.
Векторы
называются линейно зависимыми, если существует такая
линейная комбинация
, при не равных нулю
одновременно ai , т.е.
. Если же только при ai = 0
выполняется
независимыми.
, то векторы называются линейно
Свойство 1. Если среди векторов
есть нулевой вектор, то эти векторы
линейно зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или
несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда
один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот,
любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот,
любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.
Понятие базиса, аффинной системы координат, координат
точки.
Действия над векторами в координатах.
Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат a( xa , ya , za ) и
b( xb , yb , zb ) , тогда a  b = c( xa  xb , ya  yb , za  zb ) ;  a = c(xb , yb , zb ) .
Скалярное произведение векторов, его свойства, выражение в
координатах.
Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное
произведению длин этих сторон на косинус угла между ними a  b  a b cos  .
Свойства скалярного произведения:
2
1) a  a  a ;
2) a b  0 , если a  b или a = 0 или b = 0.
3) a  b  b  a ;
4) a  (b  c)  a  b  a  c ;
5) (ma )  b  a  (mb)  m(a  b) ;
Если рассматривать векторы a( xa , ya , za ) и b( xb , yb , zb ) в декартовой
прямоугольной системе координат, то a  b  xa xb  y a yb  z a zb ;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла
x x  y a yb  z a z b
между векторами: cos   a b
;
ab
Векторное произведение векторов, его свойства, выражение в
координатах.
Векторным произведением векторов a и b называется вектор c ,
удовлетворяющий следующим условиям:
1) c  a  b sin  , где  - угол между векторами a и b ,
2) вектор c ортогонален векторам a и b ;
3) a , b и c образуют правую тройку векторов.
 
Обозначается: c  a  b или c  a, b .
Свойства векторного произведения векторов:
1) a  b  b  a ;
2) a b  0 , если a b или a = 0 или b = 0;
3) (ma)  b  a  (mb)  m(a  b) ;
4) a  (b  c)  a  b  a  c ;
;
5) Если заданы векторы a( xa , ya , za ) и b( xb , yb , zb ) в декартовой прямоугольной
i
системе координат с единичными векторами i, j , k , то a  b  xa
j
ya
k
za ;
xb
yb
zb
Смешанное произведение векторов, свойства, выражение в
координатах.
Смешанным произведением векторов a , b и c называется число, равное
скалярному произведению вектора a на вектор, равный векторному
произведению векторов b и c . Обозначается ( a, b, c ) .
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а)хоть один из векторов равен нулю;
б)два из векторов коллинеарны;
в)векторы компланарны.
2) (a  b)  c  a  (b  c) ;
3) ( a, b, c ) = (b, c, a ) = (c, a, b) =  (b, a, c ) =  (c, b, a ) =  ( a, c, b) ;
4) (a1  a2 , b, c) =  (a1 , b, c)   (a2 , b, c) ;
xa y a
5)Если a( xa , ya , za ) , b( xb , yb , zb ) и c( xc , yc , zc ) , то a, b, c  xb yb


xc
yc
za
zb .
zc
Геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного
произведений.
Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного
произведения векторов численно равен площади параллелограмма,
построенного на векторах a и b как на сторонах.
Геометрическим смыслом смешанного произведения векторов является
объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c .
Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a , b и c , равен
1
a , b, c .
6
Условия коллинеарности, ортогональности, компланарности
векторов.
Векторы, лежащие на праллельных или совпадающих прямых, называются
коллинеарными.
Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они
пропорциональны, т.е. существует число   0 такое, что a   b .
Если угол между векторами равен
ортогональными.

, то векторы называются
2
Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное
произведение равно нулю.
Векторы, лежащие в праллельных или совпадающих плоскостях, называются
компланарными.
Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только
тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Двойное векторное произведение.
Пусть вектор a умножается векторно на вектор b , после чего полученный
вектор ab умножается снова векторно на вектор c . В результате получается
 
  
  
так называемое двойное векторное произведение ab c (ясно, что ab c -
 
вектор). Умножая вектор a векторно на b c , получим двойное векторное
  
Вообще говоря, ab c   abc .
произведение a bc .
Докажем, что имеет место тождество
ab c  b(ac)  a(bc) .
  
Доказательство. Введем декартову (прямоугольную) систему координат.
Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а
именно: ось Ох направим по вектору a , ось Оу поместим в плоскости векторов
a и b (считая, что векторы a и b приведены к общему началу).
В таком случае будем иметь
,
Теперь находим
С другой стороны
,
.
,
,
.
,
,
.
Следовательно,
.
Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем ab c  b(ac)  a(bc) , что и
требовалось доказать.
  
Раздел II: Системы координат.
Преобразования аффинных систем координат на плоскости и в пространстве.
Поворот и параллельный перенос декартовой системы координат: формулы
преобразования координат. Понятие алгебраической линии на плоскости, ее
порядок. Инвариантность порядка кривой при замене координат. Полярная
система координат.
Раздел III: Прямая на плоскости.
Аффинная теория.
Направляющий вектор прямой, вывод уравнения прямой, проходящей через
заданную точку с заданным направляющим вектором, общее уравнение
прямой.
Общее уравнение
Ax + By + C (
Вектор
> 0).
= (А; В) - нормальный вектор прямой.
Параметрическое, каноническое уравнение прямой, уравнение прямой с
угловым коэффициентом, уравнение прямой проходящей через две точки,
уравнение прямой в отрезках.
Векторно-параметрическое уравнение прямой:
r  r0  at , где M 0 (r0 )  M 0 ( x0 ; y0 ) - фиксированная точка, лежащая на прямой;
a  (l ; m) - направляющий вектор.
В координатах (параметрические уравнения):
 x  x0  lt ;

 y  y0  mt.
x  x0 y  y0

m .
Каноническое уравнение прямой: l
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту:
y  y0
y  y0  k ( x  x0 ) или y  kx  b , где k  tg 
, b - величина отрезка,
x  x0
отсекаемого прямой на оси Oy.
.
Уравнение прямой по двум точкам:
x  x0
y  y0

.
x1  x0 y1  y0
x y
 1
Уравнение прямой в отрезках: a b
, где a, b - величины отрезков,
отсекаемых прямой на осях координат.
Полуплоскости определяемые прямой.
Условия совпадения, параллельности прямых.
Прямые
и
:
пересекаются
параллельны (но не совпадают)
совпадают
Прямые
и
:
пересекаются
параллельны (но не совпадают)
совпадают
Прямые
и
:
пересекаются
параллельны (но не совпадают)
совпадают
Нахождение координат точки пересечения прямых.
Пучок прямых, уравнение пучка.
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется
пучком прямых с центром в S.
Если
и
- уравнения двух прямых,
пересекающихся в точке S, то уравнение  ( A1 x  B1 y  C1 ) +  ( A2 x  B2 y  C2 ) =
0, (1)
где  ,  - какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет
прямую, также проходящую через точку S.
Более того, в уравнении (1) числа  ,  всегда возможно подобрать так, чтобы
оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через
точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение
вида (1) называется уравнением пучка (с центром в S).
Если   0 , то, деля обе части уравнения (1) на  и полагая
( A1 x  B1 y  C1 ) +  ( A2 x  B2 y  C2 ) = 0. (2)

  , получим

Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром S, кроме
той, которая соответствует   0 , то есть кроме прямой
A2 x  B2 y  C2 .
Метрическая теория.
Нормаль к прямой, вывод уравнения прямой проходящей через заданную
точку с заданной нормалью.
Нормальное уравнение прямой.
Отклонение точки от прямой.
 = x0 cos  + y0 sin   p или  
Ax0  By 0  C
, где знак перед корнем
 A2  B 2
противоположен знаку C, если C  0 , и выбран произвольно, если C = 0.
Нахождение расстояния от точки до прямой.
Ax0  By 0  C
d
d  x0 cos   y0 sin   p
A2  B 2
,
Нахождение расстояния между параллельными прямыми.
Если прямые заданы уравнениями Ax  By  C1  0 и Ax  By  C2  0 , то
C  C1
d 2
,
A2  B 2
а если уравнениями r  r0  at и r  r1  at , то d 
a, r1  r0
.
a
Нахождение угла между прямыми.
n n
A1 A2  B1 B2
cos   1 2
2
n1 n2
k k
A A  B1 B2
A  B12 A22  B22
= 1
, tg  2 1 = 1 2
.
1  k1k 2
A1 A2  B1 B2
Уравнения биссектрис и медиан треугольника, заданного своими вершинами.
Раздел IV: Прямая и плоскость в пространстве.
Аффинная теория.
Направляющие вектора плоскости,
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум
данным векторам
В векторном виде: (r  r0 )ab  0
В координатах:
x  x0
y  y0
z  z0
l1
l2
m1
m2
n1
n2
=0.
Параметрическое уравнение плоскости
В векторном виде: r  r 0  u a  vb , а не параллельно b.
В координатах:
x  x0  l1u  l 2 v
y  y0  m1u  m2v
z  z0  n1u  n2v
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
В векторном виде: (r  r 0 )r 1  r 0 )( r 2  r 1 )  0 .
x  x0
y  y0
В координатах: x1  x0
y1  y0
y 2  y0
x2  x0
x
y
z
x
z1  z0 =0 или 0
x1
z1  z0
x2
y0
y1
y2
z0 1
= 0.
z1 1
z2 1
z  z0
1
Общее уравнение плоскости
Ax  By  Cz  D  0 , где A2  B 2  C 2  0 ; n  ( A; B; C ) - нормальный вектор
плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках.
x y z
   1 , где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях
a b c
координат.
Расположение плоскости относительно системы координат.
Расположение точек относительно плоскости.
Взаимное расположение плоскостей условия параллельности, совпадения и
пересечения плоскостей.
Если n1  r  D1  0 , n 2  r  D2  0 , то они:
1) пересекаются
2) параллельны (но не совпадают)  n1   n2 ,
3) совпадают  n1   n2 , D1  D2 .
(n1 n 2 ) D1  D
,
.
Если плоскости заданы уравнениями A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 и
A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 то случаи 1 - 3 имеют место, когда:
A
B C 
1)  1  1  1  ,
 A2 B2 C2 
A1 B1 C1 D1



A
B
C
D2 ,
2
2
2
2)
A1 B1 C1 D1



A
B
C
D2 .
2
2
2
3)
Пучок плоскостей.
A
 A x  B1 y  C1 z  D1  0
B C 
Если  1
,  1  1  1  есть ось пучка, то уравнение
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0  A2 B2 C2 
пучка   A1 x  B1 y  C1 z  D1  +   A2 x  B2 y  C2 z  D2  = 0,  2   2  0 .


Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному
вектору.
Уравнение прямой, проходящей через две точки, общее уравнение прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости условия принадлежности,
пересечения, параллельности.
Плоскость n  r  D  0 и прямая r  r0  at :
1) пересекаются  n  a  0 ;
2) прямая лежит в плоскости  n  a  0 , n  r 0  D  0 ;
3) параллельны  n  a  0 , n  r 0  D  0
Если r 0  ( x0 ; y0 ; z0 ) , a  (l , m, n) , n  ( A; B; C ) , то случаи 1 - 3 имеют место,
когда:
1) Al  Bm  Cn  0 ;
2) Al  Bm  Cn  0 , Ax0  By 0  Cz0  D  0 ;
3) Al  Bm  Cn  0 , Ax0  By 0  Cz0  D  0 .
Взаимное расположение двух прямых.
Если прямые заданы уравнениями
1) параллельны (но не совпадают)
2) совпадают
3) пересекаются
4) скрещиваются
и
то они:
Если a1  (li ;mi ; ni ) , ri  ( xi ; yi ; zi ) , i=1,2 , то случаи 1 - 4 имеют место, когда ( 
- знак отрицания условия):
 l
l
m
n
m1
n1 
 ;
1) 1  1  1 ,  1 

l2 m2 n2
 x2  x1 y2  y1 z2  z1 
l
m
n
l1
m1
n1


2) 1  1  1 ,
;
l2 m2 n2 x2  x1 y2  y1 z 2  z1
l
m
n 
3)  1  1  1  ,
 l2 m2 n2 
4)
l
m
n 
 1  1  1  ,
 l2 m2 n2 
x2  x1
y2  y1
z2  z1
l1
l2
m1
m2
n1
n2
x2  x1
y2  y1
z2  z1
l1
l2
m1
m2
n1
n2
=0;
 0.
Метрическая теория
Уравнение плоскости с данной нормалью.
Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую перпендикулярно
данной плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно
пересекая данную прямую.
Уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.
Расстояние от точки до плоскости
d | x0 cos  + y0 cos  + z 0 cos   p | ;
Расстояние между параллельными плоскостями
Угол между плоскостями.
n n
A1 A2  B1 B2  C1C2
cos   1 2
2
n1 n2
A  B12  C12 A22  B22  C22
= 1
расстояние от точки до прямой, угол между прямой и плоскостью,
Угол между прямыми.
l1l2  m1m2  n1n2
a a
.
cos   1 2 =
2
a1 a2
l1  m12  n12 l22  m22  n22
Расстояние между параллельными прямыми
(r2  r1 a1
( r2  r1 a2
d
=
.
a1
a2




В координатах
2
y2  y1 z 2  z1
z 2  z1
+
d =(
m1
n1
n1
.
x2  x1
l1
2
+
x2  x1
y2  y1
l1
m1
2
)
1
2
l
2
1
 m12  n12

1
расстояние между скрещивающимися прямыми.
Раздел V: Квадратичные формы.
Матрица квадратичной формы. Преобразования матрицы при изменении базиса.
Ранг квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные
квадратичные формы.
Раздел VI: Теория кривых второго порядка.
Эллипс, гипербола, парабола определение, вывод канонического уравнения,
изучение свойств по каноническому уравнению. Основные параметры кривых.
Директориальные свойства эллипса и гиперболы. Уравнения эллипса,
гиперболы и параболы в полярных координатах.
Общее уравнение линии второго порядка. Пересечение линий второго порядка с
прямой. Асимптотические направления линий второго порядка. Центр линии
второго порядка. Касательная к линии второго порядка. Диаметры линий
второго порядка. Сопряженные направления относительно линии второго
порядка. Главные направления линии второго порядка. Ортогональные
инварианты уравнений второго порядка. Классификация кривых второго
порядка. Упрощение уравнений кривых второго порядка с помощью
инвариантов. Преобразование уравнения кривой второго порядка путем
поворота Д.с.к. Геометрический смысл корней характеристического уравнения.
Упрощение уравнения кривой второго порядка путем переноса начала
координат.
Раздел VII: Поверхности второго порядка.
Цилиндрические поверхности. Канонические уравнения цилиндров второго
порядка. Поверхности вращения. Конические поверхности. Конусы второго
порядка, заданные каноническими уравнениями: изучение свойств по
каноническому уравнению.
Конические сечения. Эллипсоиды: изучение свойств по каноническому
уравнению.
Эллипсоиды вращения. Однополостной гиперболоид: изучение свойств по
каноническому уравнению. Двуполостной гиперболоид: изучение свойств по
каноническому уравнению. Эллиптический параболоид: изучение свойств по
каноническому уравнению. Гиперболический параболоид: изучение свойств по
каноническому уравнению. Линейчатые поверхности. Поверхности второго
порядка, не являющиеся линейчатыми. Дважды линейчатые поверхности
второго порядка. Образующие гиперболического параболоида и
однополостного гиперболоида. Классификация поверхностей второго порядка.
Раздел VIII: Топология.
Топологическое пространство. Подпространство, индуцированная топология.
Дискретная и тривиальная топология, топология Фреше, топология Евклида.
Метрическое пространство, метрическая топология. Замкнутые множества и их
свойства. Связность, компоненты связности. Отделимость. Примеры
хаусдорфовых и нехаусдорфовых пространств. Компактность. Характеристика
компактов в евклидовом пространстве. Непрерывные отображения.
Гомеоморфизмы.