Курс лекций по функциональному анализу

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
_____________________________________________________________________________
Н.Б. Иткина
Курс лекций по функциональному анализу
Утверждено Редакционно-издательским советом в качестве курса лекций для студентов
факультета прикладной математики и информатики (направление - прикладная
математика и информатика 010500)
Новосибирск
2005
1
Метрические пространства
Называя некоторое множество пространством, в функциональном анализе обычно
наделяют его одним или несколькими свойствами обычных пространств, изучаемых в
элементарной геометрии. Основные свойства пространства – это:
1) в пространстве определено расстояние между любыми двумя точками;
2) из любой точки пространства можно непрерывно (не выходя из этого
пространства) перейти в любую другую точку; при этом каждую точку можно
заключить
в
некоторую
как
угодно
малую
«окрестность»
этой
точки,
представляющую собой подмножество множества всех точек этого пространства;
3) в пространстве определено понятие вектора (элемента) пространства и операции
сложения элементов (векторов) пространства и умножения вектора на число.
Наделяя абстрактное пространство каким-нибудь одним, или любыми двумя, или тремя
из этих свойств, мы получаем различные типы пространств, которые изучаются в
функциональном анализе. Опираясь на известные свойства расстояния между точками в
трехмерном пространстве аналогично введем понятие расстояния между двумя точками в
любом пространстве.
Опр. На множестве X определена структура метрического пространства, если задана
функция пары аргументов  : X  X  R1 , которая обладает следующими свойствами:
1)  ( x, y )  0;  ( x, y )  0  x  y ;
2)  ( x, y )   ( y, x) ;
3)  ( x, z )   ( x, y )   ( y, z ) ;
Функция  ( x, y ) называется метрикой или функцией расстояния между точками x и y.
Тогда пара ( X ,  ) образует метрическое пространство.
Примеры метрик:
1) Множество n – мерных векторов ( x1 , x2 ,..., xn ) с метрикой:
 n

 ( x, y )    ( xi  yi ) 2 
 i 1

1
2
образует метрическое пространство;
2) Множество n – мерных векторов ( x1 , x2 ,..., xn ) с метрикой:
 ( x, y )  max xi  yi образует метрическое пространство.
i 1,.., n
2
Замечание. Одно и то же множество с различными метриками образует различные
метрические пространства.
Открытые и замкнутые множества
Опр.
Открытым
шаром
радиуса
r
с
центром
в
точке
называется
x
Br ( x)  B(r , x)  { y :  ( x, y)  r} Замкнутый шар: B(r , x)  { y :  ( x, y )  r} .
Опр. Окрестностью точки xX называется любое открытое множество, содержащее эту
точку. Обозначение: N  x  - окрестность точки x; N  x  - окрестность точки x радиуса  .
Опр. Пусть Y  X , тогда точка x  X называется предельной точкой множества Y , если
каждая окрестность точки x содержит по крайней мере одну точку y: y  Y , y  x .
Опр. Точка y  Y называется изолированной точкой множества Y, если существует
окрестность точки y, не содержащая ни одной точки из Y кроме самой точки y.
Опр. Точка y  Y  X называется внутренней, если она содержится в
Y вместе с
некоторой своей окрестностью.
Опр. Множество в метрическом пространстве называется замкнутым, если оно содержит
все свои предельные точки.
Опр. Множество в метрическом пространстве называется открытым, если все его точки
внутренние.
Опр. Замыкание множества Y (обозначение: Y ) – есть пересечение всех замкнутых
множеств, содержащих Y, т.е. замыкание – это наименьшее из всех замкнутых множеств,
которое содержит Y.
Опр. Пусть ( X ,  ) - метрическое пространство, на
множестве
Y, принадлежащем
метрическому пространству X, определена та же метрика  , (поэтому Y тоже будет
метрическим пространством) тогда пара (Y ,  ) называется подпространством ( X ,  ) .
Опр. Множество A X называется ограниченным, если существует такой элемент x0  X и
постоянная c  0 , что   x, x0   cx  X .
Опр. Множество X называется связным, если его нельзя представить в виде суммы двух
непустых замкнутых (или двух непустых открытых) непересекающихся подмножеств.
Опр. Пусть A и B – два множества в метрическом пространстве X. A называется плотным в
множестве B, если B  A и всюду плотным в пространстве X, если A  X .
Опр. Пространство, в котором существуют счетные, всюду плотные множества,
называется сепарабельным.
3
Пример
сепарабельного
пространства:
Пространство
Rn ,
с
метрикой
1
 n
2
 ( x, y )    | xi  yi |2  . В метрическом пространстве Rn
 i 1

счетное, всюду плотное
множество – это множество точек, у которых все координаты – рациональные числа.
Опр. Множество A называется нигде не плотным в метрическом пространстве X, если
любое открытое множество этого пространства содержит другое открытое множество,
целиком свободное от точек множества A.
Опр.
Множество
A,
расположенное
в
метрическом
пространстве
называется
совершенным, если оно замкнуто и если каждая точка этого множества является его
предельной точкой.
Опр. Объединение открытых множеств

G такое, что A 

G называется открытым
покрытием множества A. Множество A называется компактным, если любое его открытое
покрытие содержит конечное покрытие (подпокрытие).
Замечание: Всякое компактное множество ограничено.
Замечание: Всякое компактное множество замкнуто.
Замечание: Обратное утверждение, в общем случае неверно.
Сходимость и непрерывность отображений в метрическом пространстве
Опр. Последовательность {xn } точек метрического пространства X называется сходящейся
к точке xX, если любая окрестность точки x: N  x  содержит все точки этой
последовательности, начиная с некоторого номера, (за исключением конечного их числа),
т.е.  ( xn , x)  0, n   .
Опр. Последовательность
{xn } элементов метрического пространства называется
фундаментальной, если для нее выполняется условие Коши:  ( xn , xm )  0, при n, m   .
Замечание. Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве является
фундаментальной, но не всякая фундаментальная последовательность элементов
метрического пространства будет
сходящейся в этом
пространстве.
В любом
конечномерном пространстве Rn условие Коши является не только необходимым, но и
достаточным для сходящейся последовательности. В общем случае в функциональных
пространствах это не так.
Пример. Рассмотрим в качестве пространства ( X ,  ) интервал X  (0,1) с метрикой
 ( x, y)  x  y .
Последовательность
1 
  , n  1, 2,...
n
фундаментальная,
т.к.
4
1 1  1 1
    0 , при n, m   , но эта последовательность
n m n m
 ,
не сходится ни к
одному элементу пространства ( X ,  ) , так как элемент, к которому она сходится x=0 не
принадлежит пространству X.
Опр. Отображение g одного метрического пространства R  ( X ,  ) в другое R0  (Y , 0 ) :
называется непрерывным в точке x, если для любой окрестности точки g ( x ) - N  g ( x) 
найдется такая окрестность точки x - N  x  , что будет выполнено: g ( N ( x))  N ( g ( x)) .
Если отображение
g непрерывно в каждой точке пространства R  ( X ,  ) , то оно
называется непрерывным на R .
Лемма. Отображение g : R  R0 непрерывно тогда и только тогда, когда полный прообраз
любого открытого множества открыт.
Лемма. Пусть отображение
g : R  R0 - отображение метрического пространства
R  ( X ,  ) в метрическое пространство R0  (Y , 0 ) . Непрерывность g эквивалентна
следующему свойству: если x0 , xn  X , n  1, 2,... и xn  x0 , то и g ( xn )  g ( x0 ) .
Пополнение метрических пространств
Опр. Метрическое пространство ( X ,  )
называется полным, если в нем всякая
фундаментальная последовательность сходится к элементу данного пространства.
Замечание. Не всякое метрическое пространство является полным.
Замечание. Две метрики на множестве элементов пространства X называются
эквивалентными, если сходимость элементов по одной из них означает сходимость и по
другой.
Опр. Взаимнооднозначное отображение одного метрического пространства ( X ,  )
другое метрическое пространство (Y , 0 ) -
g : ( X , 
) Y( 0,
в
называется
изометрией,
)
если  x1 , x2 X выполняется  ( x1 , x2 )  0 ( g ( x1 ), g ( x2 )) . В этом случае ( X ,  ) и (Y , 0 )
называются изометричными друг другу.
Во многих прикладных задачах функционального анализа целесообразно иметь дело с
полными пространствами. Поэтому естественно возникает вопрос о возможности
расширения неполного метрического пространства
(пополнения)
до полного.
Рассмотренный пример, указывает путь, который во многих случаях приводит к цели, включить в данное пространство дополнительные элементы, представляющие собой
пределы всех фундаментальных последовательностей, принадлежащие некоторому
пространству, содержащему данное пространство, с той же метрикой, что и данное
пространство.
5
Опр. Полное метрическое пространство (Y , 0 ) называется пополнением метрического
пространства ( X ,  ) (с той же метрикой), если ( X ,  ) является подпространством
пространства (Y , 0 ) и замыкание ( X ,  )
совпадает с пространством (Y , 0 ) . Значит,
любое метрическое пространство можно пополнить, т.е. оно может быть вложено в другое
полное метрическое пространство Y такое, что в метрическом пространстве Y существует
всюду плотное подпространство X 0 изометричное исходному пространству X .
Теорема. Если X  Y , X плотно в Y и каждая фундаментальная последовательность
точек пространства X
имеет в Y предел, то пространство Y представляет собой
пополнение пространства X .
Теорема. Для любого метрического пространства ( X ,  ) существует его пополнение
(Y , 0 ) , причем это пополнение единственно с точностью до изометрии.
Теорема (принцип вложенных шаров). Для того чтобы метрическое пространство было
полным,
необходимо
и
достаточно,
чтобы
в
нем
всякая
фундаментальная
последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых
стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
Доказательство: Необходимость. Пусть ( X ,  ) - полное метрическое пространство,
B1 (r1 , x1 )  B2 (r2 , x2 )  ... вложенные друг в друга замкнутые шары. Последовательность
центров этих шаров будет фундаментальной, так как
 ( xn , xm )  rn , rn  0, m  n .
Поскольку пространство полное, то существует элемент x  lim xn , xX. Покажем, что
n 

x
n 1
Bn .Действительно:  n точка x – предельная точка для шара Bn . А так как все шары
замкнуты, то x Bn  n, а значит, x

Bn .
n 1
Достаточность. Покажем, что если {xn } - фундаментальная последовательность, то её
lim xn  x  X. Выберем точку xn1 :  ( xn , xn1 ) 
n 
1
 n > n1 . Пример точку xn1 за центр
2
замкнутого шара с радиусом r  1 , т.е. B1 (1, xn1 ) . Выберем точку xn 2 :  ( xn , xn 2 ) 
1

4
1

n  n2  n1 и B2  , xn 2  . Пусть уже построены точки: xn1 , xn 2 ,..., xnk , где xnk - центр
2

1
 1

Bk  k 1 , xnk  и  ( xn , xnk )  k ,  n  nk  nr 1  ...
2
2

6
В итоге получили последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы
которых стремятся к нулю. По предположению, существует точка x – общая для всех
шаров. Расстояние  ( xnk , x)  0, nk   . Т.о. для фундаментальной последовательности
{xn } существует подпоследовательность {xnk } , которая сходится к элементу метрического
пространства
А
X.
значит,
к
этому
же
элементу
будет
сходиться
и
сама
последовательность. Т.е. пространство X – полное, так как любая фундаментальная
последовательность сходится к пределу x из пространства X.
Замечание. Все условия теоремы являются существенными – полнота пространства,
замкнутость шаров, условие вложенности шаров и то, что их радиусы стремятся к нулю.
Можно привести пример, когда не соблюдение одного из условий приводит к тому, что
пересечение вложенных шаров оказывается пустым.
Пример: Пусть дано метрическое пространство (N,  ), где N – множество натуральных

1 
чисел и   n, m   


1
,n  m
. Определим последовательность вложенных шаров с
nm
0, n  m
центром в точке n и радиуса 1 
1  
1
1

: B 1  , n   m :   m, n   1   , n  1,2,... . Шары
2n 
2n
 2n  
1 

B 1  , n  замкнуты и вложены друг в друга, пространство (N,  ) – полно, так как
 2n 
каждая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве. Но условие
стремления к нулю радиусов шаров нарушено, поэтому пересечение вложенных шаров
пусто.
Опр.
Отображение
g :( X ,  )  ( X ,  ) называется
сжимающим
отображением
или
сжатием, если существует такое число  (0,1), что  ( g ( x), g ( y ))   ( x, y), где x,yX.
Теорема (принцип сжимающих отображений): Всякое сжимающее отображение полного
метрического пространства ( X ,  ) самого в себя имеет одну и только одну неподвижную
точку, т.е. такую точку xX: g ( x )  x .
Линейные пространства
Исследуя метрические пространства, мы изучили вопросы, связанные с понятием
расстояния, сходимости, непрерывности. Однако при рассмотрении многих конкретных
множеств мы видим, что к элементам этих множеств (функциям, числам и т.д.) можно
применять две алгебраические операции: можно складывать элементы друг с другом и
умножать элементы множества на числа, получая при этом элементы того же множества.
Опр. Множество E элементов x,y,z… называется линейным пространством, если в нем
определены две операции:
7
1. x, y  E поставлен в соответствие элемент x  y  E , который называется суммой
элементов;
  R поставлен в соответствие элемент  x  E , который называется
2. x  E и
произведением элемента и числа. Для элементов линейного пространства выполнены
следующие аксиомы:
1. x  y  y  x ;
2. x  ( y  z )  ( x  y )  z ;
3. существует нулевой элемент 0 такой, что x  0  x ;
4.  (  x)  ( ) x , где  ,   R ;
5.  ( x  y )   x   y ;
6. существует противоположный элемент  x такой, что x  ( x)  0 .
Примеры линейных пространств: C  a, b - пространство непрерывных на отрезке  a, b
функций, C n  a, b - пространство n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке  a, b
функций.
Опр. Пусть X – линейное пространство и x1 , x2 ,..., xn ,... элементы пространства X . Всякая
сумма вида:
m
a x
i 1
i i
, где ai - вещественные числа, называется линейной комбинацией
элементов x1 , x2 ,..., xm .
m
Опр. Элементы x1 , x2 ,..., xm называются линейно независимыми, если
a x
i 1
i i
 0 , причем не
все ai =0.
m
Если равенство
a x
i 1
i i
 0 возможно только при ai =0, i=1,…,m , то элементы x1 , x2 ,..., xm
называются линейно независимыми.
Опр. Линейное пространство называется m- мерным, если в нем существуют m линейно
независимых элементов, а всякие (m+1) элементов линейно зависимы.
m
Опр. Представление любого элемента x   ai ei называется разложением элемента x по
i 1
базису
ei  .
Набор любых m линейно независимых элементов называется базисом в
линейном пространстве X. Числа ai называются координатами элемента в базисе ei  .
Опр. Линейное пространство называется бесконечномерным, если  n  N в этом
пространстве существует n линейно независимых элементов.
8
Пример: Пространство
C  a, b - бесконечномерное, последовательность функций
1, t , t 2 ,..., t n ,... будет линейно независимой n .
Опр. Множество X называется линейным многообразием, если x,y  X
x  y  X ,
 ,   R.
Пример: Пространство C k [a, b] будет линейным многообразием для пространства C [a, b]
Опр. Пусть L – линейное многообразие из линейного пространства X. Зафиксируем точку
x0 L. Тогда множество вида x0  L  x0  u, u  L называется аффинным многообразием
в пространстве X. В случае конечномерного пространства X размерность L называется
размерностью аффинного многообразия.
Опр. Рассмотрим два линейных пространства X и X и пусть каждому xX соответствует
определенный x  X , т.е. x  J ( x ) или x  J ( x ) . Будем говорить, что X и X линейноизоморфны, если функция J ( x ) линейная и взаимно-однозначная.
Опр. Пусть X – линейное пространство. Отрезком, соединяющим точки x1 , x2 , называются
совокупность всех точек x  (1  t ) x1  tx2 , t [0,1] – скалярный параметр.
Опр. Множество W из X называется выпуклым, если из того, что точки x1 , x2 W следует,
что отрезок их соединяющий, принадлежит W.
Нормированное пространство
В некоторых линейных пространствах удается ввести метрику, задавая норму элемента,
понятие нормы эквивалентно понятию длины вектора в конечномерном пространстве. В
пространствах с нормой метрика   x, y  будет инвариантна относительно сдвига, т.е.
  x, y     x  z, y  z  x, y, z  X , а само пространство X будет линейным метрическим
пространством.
Опр. Линейное пространство X называется нормированным пространством, если любому
xX поставлено в соответствие ||x|| так, что для ||x|| выполнены следующие аксиомы:
1)|| x ||  0; || x ||  0  x  0 ;
2)||  x ||  |  ||| x || ;
3)|| x  y ||  || x ||  || y || .
Замечание. В нормированном пространстве можно ввести понятие расстояния между
элементами следующим образом:  ( x, y )  || x  y || и, значит, метрическое пространство
можно считать обобщением нормированного.
9
Опр. Множество M  X называется ограничением, если его можно заключить в некоторый
шар, т.е. если  c > 0: xM ||x|| < c = const.
Примеры нормированных пространств:
1) Пространство Rn . В нем можно ввести норму следующим образом:
n
x 1   xi ;
а)
i 1
1
 n
 2
б) x 2    xi2  ;
 i 1 
в) x
2)

 max xi .
i
Пространство ограниченных числовых последовательностей m или l . Это
множество
sup x
i
бесконечных
последовательностей
x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) ,
которых
  . Норму в этом пространстве можно ввести как: x  sup xi .
i
i
3)
Пространство l p - это множество всех последовательностей x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) ,

x
таких, что ряд
i 1
x
для
p
 
p
   xi 
 i 1

1
p
i
- сходится. Норма в l p вводится следующим образом:
p
.
4) Пространство непрерывных функций C [a, b] . Норма в этом пространстве вводится
следующим образом: f  max f (t ) .
ta ,b
5) Пространство k раз непрерывно дифференцируемых функций C k [a, b] . Норма в
k
этом пространстве вводится следующим образом: f   max
i 0
t[a,b]
f (i) (t )
.
6) Пространство C2 [a, b] - пространство непрерывных функций с нормой:
b

f    f 2 (t )dt 
a

1
2
.
Опр. Пусть X - линейное пространство и в X введены две нормы: || x ||1 , || x ||2 .Нормы
|| x ||1 ,|| x ||2 называются эквивалентными, если   ,   0 :x  X  || x ||1  || x ||2   || x ||1 .
10
Опр. Две нормы || x ||1 ,|| x ||2  X. Норма || x ||1 называется подчиненной норме || x ||2 , если 
  0 , то x  X || x ||1   || x ||2
Замечание. Если каждая из норм подчинена другой, то нормы эквивалентны.
Эквивалентность норм в конечномерных пространствах
Теорема. Во всяком конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны.
Доказательство: Пусть дано пространство X, m = dim X, тогда {e1 , e2 ,..., em } - базис
m
пространства и любой элемент из X представим в виде: x    k ek . Введем в X норму k 1
|| x ||C 
m

k 1
2
k
. Пространство с введенной таким образом нормой будет евклидовым.
m
m
k 1
k 1
Рассмотрим еще одну норму ||x||. Получим оценку: || x ||  ||   k ek ||   |  k ||| ek || . Если
1
1
 m
2  m
2
|| ek ||  1 , то  |  k ||| ek ||     k 2    || ek ||2    || x ||c . Значит, норма ||x|| подчинена
k 1
 k 1
  k 1

m
евклидовой норме || x ||c . Покажем, что || x ||c подчинена || x || . Рассмотрим норму || x || как
функцию, заданную на сфере, имеющей единичный радиус в норме
|| x ||c  1 .
Воспользуемся неравенством для норм: || x  y ||  ||| x ||  || y ||| и соответствующей оценкой
для подчиненных норм || x ||   || x ||c . Получим: ||| x ||  || x |||  || x  x ||   || x  x ||c . Отсюда
следует непрерывность функции || x ||  f ( x) . Сфера единичного радиуса в пространстве X
- это ограниченное и замкнутое множество, т.е. компакт. Функция, непрерывная на
замкнутом, ограниченном множестве, ограничена на нем и достигает на нем своей
верхней и нижней граней. Значит, x0 : || x0 ||   и   inf || x || ,   0, x0  0 . Тогда,
|| x||c 1
||
x
||   , || x ||   || x ||c . Таким образом, норма || x || эквивалентна норме || x ||c , т.е. все
|| x ||c
нормы в конечномерном пространстве эквивалентны сферической норме. Так как
отношение эквивалентности обладает свойствами
рефлексивности, симметричности и
транзитивности, то все нормы эквивалентны между собой.
Подпространства в нормированном пространстве
Опр. Замкнутое линейное многообразие в нормированном пространстве X называется
подпространством.
Определим расстояние от точки x до подпространства L следующим образом:
 ( x, L)  inf || x  u || .
uL
11
Лемма. Если xL, то  ( x, L)  0 . Если xL, то  ( x, L)  0 .
Доказательство: Если xL, то выберем u  x и получим x  u  0 , т.е.  ( x, L)  0 .
Пусть x  L . Допустим, что  ( x, L)  0 . Тогда по определению точной нижней грани
n  N найдется
элемент un  L , такой что
un  x 
1
. Тогда последовательность
n
элементов u n сходится к элементу x . Так как подпространство L - замкнуто, то предел
последовательности xL , но по условию xL. Противоречие доказывает лемму.
Теорема: Пусть L – конечномерное подпространство нормированного пространства X.
Тогда xX существует (возможно, не единственный) элемент u*  L :  ( x, L)  || x  u* || .
Доказательство: Пусть x  L , тогда  ( x, L)  d  0 (по лемме). Пусть {e1 , e2 ,..., em } - базис
m
подпространства L , тогда разложение элемента u по базису имеет вид u   i ei . Введем
i 1
m
2
на подпространстве L две нормы: x c    i 
 i 1

1
2
и ||x||. Так как подпространство L
конечномерное, то по теореме нормы будут эквивалентны, т.е. найдутся такие числа
 ,   0 :  || u ||c  || u ||  || u ||c . Обозначим линейное подпространство L с нормой
c
:
Lm . Рассмотрим в пространстве Lm функцию x  u . Эта функция непрерывна в Lm , так
как u , u  Lm выполняется:
x  u  x  u  u  u   u  u . Покажем, что inf || x  u ||
uL
c
может достигаться только на шаре u c  r , где r   1  d  1  x  . Действительно, если
u c  r , то:
x  u  u  x   u c  x   r  x  d  1 , и, значит, вне шара
точная нижняя грань функции x  u достигаться не может. Так как шар
замкнутое ограниченное множество (компакт), а функция
x u
u c r
u c  r в Lm
непрерывна, то на
подпространстве Lm будет достигаться наименьшее значение функции x  u .
Опр. Пространство X называется строго нормированным, если в этом пространстве
равенство || x  y ||  || x ||  || y || возможно только при y   x,   0 .
Теорема: В строго нормированном пространстве X xX и каждого подпространства L
может существовать не более одного наилучшего элемента приближения x элементами
подпространства L.
Опр. Линейное многообразие L из нормированного пространства X называется плотным в
X, если xX, и   0 найдется элемент u такой, что || x  u ||   , u  L .
12
Примеры плотных множеств: 1) В пространстве C  a, b с нормой f  max f (t ) плотно
ta ,b
линейное многообразие тригонометрических полиномов.
2) В пространстве C  a, b с нормой
f  max f (t )
плотно линейное многообразие
ta ,b
алгебраических полиномов.
Опр. Функция x(t), t[a,b] называется финитной, если
найдется отрезок
[ a ', b ' ],
содержащийся внутри отрезка [a,b], вне которого x(t) = 0.
Функция финитна на промежутке (, ) , если она равна нулю вне некоторого отрезка.
3) Линейное многообразие непрерывных и финитных на [a,b] функций плотно в Lp  a, b ,
где Lp  a, b - это пространство непрерывных на отрезке  a, b функций с нормой:
1
x y
p
b
p
   ( x(t )  y (t )) p dt  , p  1 .
a

Пространства со скалярным произведением
Опр. Вещественное пространство называется евклидовым, если x,yX можно поставить
в соответствие вещественное число (x,y), которое называется скалярным произведением,
для которого выполняются аксиомы:
1) ( x, x)  0; ( x, x)  0  x  0 ;
2) ( x, y )  ( y, x) ;
3) (  x, y )   ( x, y ) ;
4) ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ) .
Замечание:
Евклидово пространство можно превратить в нормированное, определив
норму - || x ||  ( x, x) .
Свойства скалярного произведения:
1) Непрерывность скалярного произведения
Пусть xn  x, yn  y, n   . Тогда ( xn , yn )  ( x, y) .
Доказательство:
Рассмотрим ( xn , yn )  ( x, y)  ( xn  x, yn  y)  ( x, y  yn )
По неравенству Коши – Буняковского:
| ( xn , yn )  ( x, y) |  | ( xn  x, yn )  ( x, y  yn ) |  || xn  x ||  || yn ||  || x || || y  yn || 0 при n   .
Значит, скалярное произведение будет непрерывной функцией.
2) Равенство параллелограмма:
Во всяком пространстве со скалярным произведением справедливо равенство:
13
|| x  y ||2  || x  y ||2  2 || x ||2  || y ||2  .
Доказательство:
|| x  y ||2  || x  y ||2   x  y, x  y    x  y, x  y   2 || x ||2  || y ||2  .
Банаховы пространства (B)
Опр. Полное нормированное пространство называется банаховым.
1
 n
 2
Примеры банаховых пространств: 1) Пространство R с нормой x 2    xi2  ;
 i 1 
m
2) Пространство C [a, b] с нормой f  max f (t ) .
ta ,b
Теорема. Банахово пространство со счетным базисом будет сепарабельным.
Гильбертовы пространства (H)
Опр. Гильбертово пространство – это пространство со скалярным произведением, полное
в норме, порожденной данным скалярным произведением.
Примеры гильбертовых пространств: 1) Евклидово пространство R m полно в евклидовой
1
m
 m
 2
норме x 2    xi2  , порожденной скалярным произведением  x, y    xi yi .
 i 1 
i 1
2) Пространство l2 бесконечных последовательностей x  ( x1, x2 ,..., xn ,...) , таких что ряд
1

x
i 1
i
2
сходится, с нормой
2
 
2
x 2    xi  , порожденной скалярным произведением
 i 1


 x, y    xi yi .
i 1
Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества
Рассмотрим задачу наилучшего приближения в гильбертовом пространстве H. H –
полное пространство и для его элементов
можно ввести понятие ортогональности.
Поэтому и задачу о наилучшем приближении в H можно решить полностью. Пусть в H
задано множество M, точка xH. Определим расстояние от точки x до множества
M
следующим образом:  ( x, M )  inf || x  u ||
uM
Теорема: Пусть M – замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве H и
точка xM. Тогда существует единственный элемент yH:  ( x, M )  || x  y || .
Свойства:
1) Если  ( x, M )  || x  y ||, тогда ( x  y )  M .
2) xH: x = y+z; yL, z L ,причем такое представление единственно.
14
3) L - подпространство в H. L  { y : ( x, y)  0, x L} .
4) Если L – линейное многообразие в H, то L плотно в H тогда и только тогда, когда
L  {0} .
Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
Опр. Если в бесконечномерном пространстве X со скалярным произведением существует
ортогональная система функций {k }, k  0, k  1, 2,...
(k ,  j )  0, k  j , тогда ряд вида

 
k 1
k k
называется рядом по ортогональной системе
функций {k } , или рядом Фурье, при условии, что  k вычисляются следующим образом:
k 
( x, k )
,k
|| k ||2
 1, 2, .... .
( x, k )
( x, k )
, k  1, 2,... .Коэффициенты  k - коэффициенты
 , k 
2 k
|| k ||2
k 1 || k ||

Если xX, то x  
Фурье. Конечная сумма
n
 
k 1
k k
называется многочленом Фурье.
Лемма: Пусть система функций {k } ортогональна в пространстве X со скалярным
произведением, т.е. (k ,  j )  0 при j  k . Ln  {1 ,..., n } - подпространство в X, натянутое
n
на n базисных функций, тогда расстояние d n   ( x, Ln )  || x    kk ||, x  X , где
k 1
n
d n 2  || x ||2  |  k |2 || k ||2 ,  k  коэффициенты Фурье элемента x по системе функций {k } .
k 1

Опр. Ортогональная система {k } из H называется полной, если xH, x    kk .
k 1
Опр. Полная ортогональная система называется ортогональным базисом в H.
Опр. Пусть в линейном пространстве X задана конечная или бесконечная система
элементов {k } . Множество
n
L всевозможных линейных комбинаций
 
k 1
k k
для
различных n называется линейной оболочкой системы {k } .
Лемма: Ортогональная система {k } из H будет полной тогда и только тогда, когда ее
линейная оболочка всюду плотна в H, т.е. L  H .
Доказательство:
 Пусть {k } - полная система. Если L  H , то  x0  ( L) , x0  0 .
15
Но тогда
( x0 , k )  0 , k  1, 2,... Значит,  k  0, k  1, 2,... Вследствие полноты системы
вектор x0    kk  0 . Получили противоречие, значит, L  H .
k 1
 Пусть L  H . По определению плотности L в H    0 x  L :|| x  x ||   . Т.к. x  L ,
n
N
k 1
k 1
то x    kk , т.е.  N = N ( ) : x    kk - конечная линейная комбинация системы
N
{k } . По минимальному свойству коэффициентов Фурье: || x    kk ||  x  x   .
k 1
Т.е.  N
> n
выполняется:
n
N
k 1
k 1
|| x    kk ||  || x    kk || x  x   .
Значит,
n

k 1
k 1
  0 N  N ( ) такое, что  N > n || x    kk ||  . А это означает, что x    kk , а
т.к. x – произвольный элемент H, то такое представление доказывает полноту системы
{k } .
Опр. Сходимостью по норме в H называется следующая сходимость:
xn  x, если
|| xn || || x || . В гильбертовом пространстве H такая сходимость называется сильной
сходимостью.
Опр. Последовательность {xn } из H называется слабо сходящейся к элементу xH, если
( x, f )  lim( xn , f ) f  H .
n 
Свойства:
1) ( x, y ) - непрерывная функция аргументов x и y.
2) {xn } не может слабо сходиться к различным элементам из H.
3) Если последовательность {xn } сильно сходится к элементу x, то она сходится к x слабо.
4) Если последовательность {xn } слабо сходится, то она ограничена.
5) Если {xn } слабо сходится к x, а {|| xn ||} || x ||, n   , то {xn } сходится сильно к x.
6) H строго нормировано.
Оснащенное банахово пространство
Пусть B – банахово пространство и в этом пространстве введена норма || x || . Для
некоторых пространств, как для линейных пространств, можно наряду с уже введенной
нормой ввести норму, порождаемую скалярным произведением, т.е. ( x, y) || x ||c  ( x, x)
16
Предположим, что || x ||  || x ||c .Если    0 : || x ||c   || x || x  B , т.е. || x ||c  подчинена
норме || x || . В этом случае говорят, что B – это оснащенное банахово пространство.
Если || x ||c не эквивалентна норме || x || , то в банаховом пространстве B существуют два
вида сходимости: сходимость по норме || x || , которая называется равномерной
сходимостью и сходимость по || x ||c , которая называется сходимостью в среднем.
Замечание. Из равномерной сходимости следует сходимость в среднем.
Характеристическое свойство евклидовых пространств
Теорема: Для того, чтобы нормированное пространство X было евклидовым, необходимо
и достаточно, чтобы x,yX выполнялось: || x  y ||2  || x  y ||2  2(|| x ||2  || y ||2 ) .
Теорема:
Во
всяком
сепарабельном
гильбертовом
пространстве
H
существует
ортогональный базис из конечного или счетного числа элементов.
Пространства Лебега и Соболева
Теорема: Всякое нормированное пространство X можно рассматривать как линейное
многообразие, плотное в некотором банаховом пространстве X . Тогда X называется
пополнением пространства X.
Доказательство: Рассмотрим всевозможные фундаментальные последовательности
{xn } X. Две последовательности {xn } и {xn '} будем называть эквивалентными, если
|| xn  xn ' ||  0, n   . Множество всех фундаментальных последовательностей разобьем
на непересекающиеся классы, т.е. на классы эквивалентности. В данном случае {xn } и
{xn '} принадлежат одному классу. Множество всех классов эквивалентности обозначим
X , а сами классы эквивалентности x, y,... Покажем, что X - пространство. Т.е.:
1)
Введем операцию x  y . Такой класс содержит все элементы вида {xn  yn } ,
{xn }  x, { yn }  y
2)
Введем операцию умножения на число  x . Элементы этого класса - { xn }
Значит, X - пространство.
Введем в X норму:
Пусть класс эквивалентности x  {xn } . Предположим, что || x || X  lim || xn || X . Такой предел
n 
существует, т.к. по определению {|| xn ||} фундаментальна и не зависит от выбора
представителя класса эквивалентности x , т.е. ||| xn ||  || xm |||  || xn  xm || . Значит,
X - это
нормированное пространство.
Покажем, что:
17
1) исходное пространство X можно отождествить с некоторым линейным многообразием
в X;
2) X плотно в X ;
3) X  B .
1) Рассмотрим элемент xX. Будем отождествлять этот элемент с классом, содержащим
стационарную последовательность {x}  {x, x,..., x,...} .
Такой класс обозначим x, x X . Рассмотрим  x ;  x  { x}  X - это класс, содержащий
 x .
Тогда
x  y  {x  y} X .
Значит,
множество
всех
классов,
содержащих
стационарные последовательности, будет линейным многообразием в X . Обозначим
множество этих классов X.
2) Рассмотрим класс xX. По построению класса x,
|| x || X  || x || X .
Пусть есть x  X . Покажем, что  {xn }  X: такая, что || x  xn ||X  0, n   .Этим мы
в X . Пусть {xn }  x . Из фундаментальности {xn } следует, что
докажем плотность X
   0 N : n, m  N :|| xn  xm || X 
устремим
m :
lim || xn  xm || X  || xn  x || X 
m 

2
. В последнем соотношении зафиксируем n и
lim || xn  xm ||X  xn  x
n

2
X
.
С
другой
стороны
. Значит, xn  x, n   , т.е. X плотно в X .
3) Пусть дана фундаментальная последовательность {xn }  X . Т.к. X плотно в X , то
 {xn }  X : || xn  xn || X 
1
. Докажем, что
n
{xn }  X будет фундаментальной. Оценим
|| xn  xm || X  || xn  xn || X  || xn  xm || X  || xm  xm || X 
стремится к нулю при
1 1
  || xn  xm || X   .
m n
Эта
n, m   . Так как {xn } фундаментальна в
норма
X , то она
фундаментальна и в X. Т.е. || xn  xm || X  || xn  xm || X . Значит, существует такой класс x ,
который
содержит
фундаментальные
последовательности
xn  x, n   . Оценим || xn  x || X  || xn  xn || X  || xn  x || X 
{xn }.
Покажем,
что
1
 || xn  x || X  0, n   .
n
Последовательность xn фундаментальна и сходится к x .
Замечание:
Пополнение
пространств
со
скалярным
произведением
происходит
аналогично. Если исходное пространство X - это пространство с введенным скалярным
произведением, то будем пополнять его как нормированное пространство с нормой,
18
порожденной этим скалярным произведением. Тогда мы получим банахово пространство
X . Тогда X - это пространство со скалярным произведением, и вследствие своей
полноты – гильбертово пространство.
Пространство Лебега
Определим банахово пространство L[ a, b] как пополнение линейного нормированного
пространства C1[a, b]  L1[a, b] , т.е. пространство непрерывных функций, определенных на
b
отрезке [a,b] с нормой || x ||   | x(t ) | dt . Пусть {xn (t )} и {xn (t )} - две последовательности
a
непрерывных на [a,b]
функций. Если последовательность {xn (t )  xn (t )} является
бесконечно малой в C1[a, b] , т.е. при n   , || xn (t )  xn (t ) ||  0 , то последовательности
{xn (t )} и {xn (t )} будем называть эквивалентными в C1[a, b] или эквивалентными в
среднем.
Пусть последовательность {xn (t )}  C1[a, b] , тогда она будет фундаментальна в C1  a, b ,
если она фундаментальна в среднем, т.е. выполняется:
b
  0 N : n, m  N :|| xn (t )  xm (t ) ||  xn (t )  xm (t ) dt   .
a
Согласно теореме о пополнении пространство Лебега L[ a, b] состоит из элементов x(t ) ,
являющихся классами эквивалентных в среднем и фундаментальных в среднем
последовательностей непрерывных функций.
b
x
L a ,b 
 lim xn (t ) dt  lim xn (t ) C a,b .
n  a
n 
1

Пример: Иррациональные числа можно трактовать как некоторые идеальные элементы,
сколь угодно хорошие приближения к которым получаются с помощью рациональных
чисел.
Следовательно, элементы пространства Лебега можно рассматривать как некоторые
идеальные функции, к которым всегда можно приблизиться в соответствующей метрике с
помощью фундаментальных
последовательностей составленных из непрерывных
функций.
Пример: Пусть X - пространство многочленов, определенных на отрезке [a,b] с метрикой
 ( f ( x), g ( x))  max f ( x)  g ( x) . Это пространство неполно. Так как
X лежит всюду
xa,b
плотно в полном пространстве C[a, b] (по теореме Вейерштрасса), то пополнение X есть
пространство изометричное C[a, b] .
19
Замечание: Пополнение пространств L p (a, b) будем обозначать L (a, b) - пространства
p
Лебега.
Интеграл Лебега
Опр.Интегралом Лебега от функции f ( x) будем называть предел:
b
( L)

a
b
f ( x)dx  ( R) lim  f n ( x)dx , где f n ( x)  Lp [a, b] - любая фундаментальная в L (a, b)
p
n 
a
последовательность, сходящаяся к функции f ( x) ; в формуле слева – интеграл Лебега от
функции f ( x) , справа – интеграл Римана.
Некоторые идеальные элементы из L p (a, b) можно отождествлять с
разрывными
функциями. Значит, L содержит непрерывные и разрывные функции, отличающиеся от
класса непрерывных в конечном числе точек. Можно рассматривать разрывные функции
как предел в метрике C1 фундаментальных последовательностей непрерывных функций.
Пространство Лебега для функций многих переменных
1
Пусть Lp () - пополнение пространства C p ( ) по норме x
Скалярное
произведение
L2 ()
в
определяется
p

p
   | x |p d  .


следующим
образом:
(u, v)  lim(un , vn )  lim  un ( x)vn ( x)d , un,vn  C2 () , где скалярное произведение есть m n
n

кратный интеграл Лебега.
Для комплекснозначных функций -
(u, v)  lim  un ( x)v n ( x)d  . Интеграл Лебега для
n 

комплекснозначных функций: ( L)  u ( x)v( x)d   ( R) lim  un ( x)v n ( x)d  .

n 

Область  - это область с достаточно гладкой границей, односвязная и при этом функции,
определенные на открытой области  , остаются непрерывными при стремлении точек
области к границе.
Норма, порождаемая скалярным произведением в L2 () , имеет вид:
u
p
 lim  un ( x)u n ( x)d  . Для приложений функционального анализа это пространство
n

очень важно.
Замечание: Пополнение пространства C p ( ) формально осуществляется переходом от
интеграла Римана к интегралу Лебега.
20
Опр. Говорят, что нормированное пространство X вложено в нормированное пространство
X , если всюду на X задана линейная функция xˆ  ( x ) , причем существует такая
положительная константа  , что || ( x) ||   || x || x  X .
Если, в частности, пространства X и X̂ получены введением разных норм в некотором
линейном пространстве E и в его линейном многообразии D и в качестве функции
( x ) выбирают соответствие, отождествляющее элементы x и x̂
как элементы одного
линейного пространства E, то говорят о естественном вложении X
в X̂ . Если
|| ( x) ||  || x || , то говорят, что это вложение изометрично и изоморфно.
Пример: Евклидово пространство Rk вложено в Евклидово пространство R m при k  m .
Опр. Множество M на [a,b] называется множеством меры нуль, если    0 существует
конечная или счетная система отрезков {[ n ,  n ]} , что для нее выполняются два свойства:
[ n ,  n ] ;
1) M 
n
2)
| 
n
 n |   .
n
Опр. Если какое-нибудь утверждение справедливо t  [ n ,  n ] , за исключением точек
меры нуль, то говорят, что это утверждение верно почти всюду.
Замечание. Если последовательность {xn (t )} сходится к элементу x(t ) , то она сходится
почти всюду. Обратное не верно.
Замечание: Таким образом, пространство Лебега составляют классы функций из Lp () ,
эквивалентные заданной функции и отличающиеся от нее на множестве точек меры ноль.
Теорема: Множество непрерывных функций плотно в Lp () при любом   R m , в
частности при   R m .
Из данной теоремы следует, что любая функция из
Lp () представляет собой предел
последовательности непрерывных функций из Lp () , которые принадлежат также
нормированному пространству непрерывных функций
C p ( ) с нормой, определенной
1
соотношением
интеграл
x
p

p
   | x | p d   , причем интеграл в этой формуле понимается как


Римана.
пространство C p ( ) ,
Таким
образом,
пространство
пополненное
пределами
L p ()
всех
представляет
собой
фундаментальных
последовательностей функций из C p ( ) . В данном случае операция пополнения
21
пространства формально осуществляется переходом от интеграла Римана к интегралу
Лебега.
Пример: Рассмотрим метрическое пространство C2[-2,2] непрерывных на отрезке [-2,2] с
1
2
 2
2
метрикой  ( f , g )    | f (t )  g (t ) | dt  . Определим следующую последовательность
 2

функций:
1

0, t  1  ;

2n

1
1
1

f n (t )  n 1  t   ,1 
 t  1  ; n  1, 2,...
2
2n
2n

1

1, t  1 

2n

Эта последовательность фундаментальна в введенной метрике. Однако сходится она к
функции:
1, t  1
f (t )  
0, t  1
А предельная функция не принадлежит пространству непрерывных функций C2[-2,2] .
Пространство Соболева
Естественным обобщением лебеговых пространств
L p ()
являются пространства
Соболева, имеющие большое значение в приложениях функционального анализа. Чтобы
подойти к определению пространства Соболева, рассмотрим линейное пространство
скалярных функций, непрерывных вместе со своими производными до порядка l
включительно, на отрезке [a,b] (ограниченном, замкнутом множестве). Введем в этом
пространстве
норму:
b


p
 l

f     f ( k )  t  dt 
 a k 0



1
p
, p  1,
где
интеграл
естественно
понимается как интеграл Римана, получим нормированное линейное пространство,
которое будем обозначать
C lp [a, b] . Это пространство не полно (доказательство
аналогично рассмотренному выше примеру, только вместо кусочно-линейных функций
нужно исследовать функции, составленные из отрезков гладких кривых, например,
полиномов степени
l). Для того чтобы пополнить пространство C lp [a, b] необходимо
обобщить понятие производной. Рассмотрим фундаментальную последовательность
функций  f n  t   C lp  a, b . Для этой последовательности
22
fn t   fm t 
p
b l
p
   f n ( k )  t   f m( k )  t  dt  0, n, m   .
a k 0
Отсюда следует, что каждая из последовательностей
f
(k )
n
 t  k  0,1,..., l
фундаментальна
в Lp [a, b] . И в силу полноты пространства Lp [a, b] имеет предел f ( k )  t  , k  0,1,..., l .
Предельные функции f   t  ,..., f (l )  t   L p  a, b называется обобщенными производными
предельной функции f  t   Lp  a, b в смысле Соболева.
Опр. Множество функций из Lp [a, b] , имеющие обобщенные производные в смысле
Соболева
до
порядка
l-го
b


p
 l

f     f ( k )  t  dt 


 a k 0

1
p
включительно
с
нормой,
определяемой
как
, p  1 , в которой интеграл понимается как интеграл Лебега,
называется пространством Соболева Wp  a, b .
l
Аналогично определяется пространство Соболева Wl p ()
для любой замкнутой
ограниченной области  пространства R m с достаточно гладкой границей.
Пространство Соболева для функций многих переменных
Пусть в R m задана замкнутая ограниченная область  . Рассмотрим вещественное
линейное пространство функций u :   R1 , причем эти функции l раз непрерывно
дифференцируемы на  .
Дифференцируемость на замкнутой области можно понимать по-разному. В нашем случае
будем предполагать, что функция u ( x) l раз непрерывно дифференцируема на открытой
области  , причем каждая частная производная функции u ( x) имеет предел при
стремлении точки x к границе области  , т.е. существует lim0
x x
u ( x)
, i  1,..., m и
xi
продолжения частных производных функции u ( x) на границу области  будут тоже
непрерывными функциями. Граница области  -  предполагается достаточно гладкой,
сама область – односвязной.
1

p
p
| |
p
Введем норму: || u ||    | u ( x) | d    | D u ( x) | d  


1  l


(1)
23
Здесь сумма по индексу  - это

l
| D| |u ( x) | p 
0  l

k1 , k2 ,...km  0
 k1  k2 ... km u ( x)
,
x1k1 x2k2 ...xmkm
  k1  k2  ...  km .
Пространство с такой нормой обозначается Wp l ()
Wl p () и называется
Пополнение этого пространства в норме (1) обозначается
пространством Соболева.
В частном случае p=2 пространство W2 ()  H l () представляет собой Гильбертово
l
пространство со скалярным произведением:
|l |
(u, v)   u ( x)v( x)d     D|k |u ( x) D|k |v( x)d  .
k 1 

Понятие обобщенной производной, или производной в смысле Соболева, вводится для
пространства H 1 (a, b) .
b
b
a
a
Рассмотрим H 1[a, b] со скалярным произведением (u, v)   u ( x)v( x)dx   u '( x)v '( x)dx
(2)
1
b
b
2
и нормой || u ||    u 2 ( x)dx   (u '( x)) 2 dx 
a
a

(3)
Тогда пространство H 1 (a, b) будет пополнением пространства H 1 (a, b) в норме (3).
Элементами
пространства
H1
будут
являться
классы,
которые
состоят
из
последовательности элементов, фундаментальных в среднем в H 1 .
По определению пространства L2 [a, b] найдутся такие функции v( x), u ( x)  L2 [a, b] , что
существуют
фундаментальные
последовательности
{un ( x)}  u ( x), {vn ( x)}  v( x) ,
причем, vn ( x)  u 'n ( x) . Данная сходимость – по норме L2 (в среднем).
Опр. Пусть последовательность {un ( x)}  H 1 (a, b) , тогда в пространстве L2 [a, b] определен
элемент u ( x) , который будет представителем класса эквивалентности un ( x) и в L2 [a, b]
определен элемент v ( x ) , который является представителем класса эквивалентности
{u 'n ( x)} , тогда элемент v ( x ) называется обобщенной производной или производной в
смысле Соболева.
Пусть дано C10 [a, b] - множество всех непрерывно дифференцируемых на [a,b] финитных
функций v(x), при этом, v(a) = v(b) = 0. Пусть u(x) – непрерывно-дифференцируемая на
[a,b] функция, тогда можно определить обобщенную производную для u(x), т.к. для v(x) и
u(x) справедливо следующее интегральное тождество:
24
b
b
a
a
 u( x)v '( x)dx   u '( x)v( x)dx
(4)
Соотношение (4) доказывает, что u '( x) - полностью определена. Допустим, что кроме
любых финитных функций из C10 [a, b] существует некоторая функция w(x), для которой
b
b
a
a
выполняется  u ( x)v '( x)dx    w( x)v( x)dx
(5)
b
Вычтем из (4) – (5):
  u '( x)  w( x)  v( x)dx  0 .
a
Т.к. множество C10 [a, b] будет плотным в пространстве C1[a, b] получим, что w( x)  u '( x) .
По аналогии определим обобщенную производную в m- мерном пространстве. Определим
пространство C0l    - нормированное пространство l раз непрерывно дифференцируемых
в  функций с нормой пространства C l    , обращающихся в нуль в некоторой
окрестности (различной для различных функций) границы  . Пусть C l ,    обозначает
пространство для функций из C l    , l – ые производные которых удовлетворяют
условию Гельдера с показателем     0,1  , с нормой:
u
C l ,
 u
Cl
 max sup
D  u ( x)  D  u ( y )
 l x, y
x y
x y
,

где  означает евклидову норму в пространстве R m .
Пусть u  C l    , а  - любая функция из пространства C0l    . Применим k раз
1  k
 l  формулу интегрирования по частям, получим что
 D u d    1  uD  d 
k

k
k
(6)

Формула (6) определяет обобщенную производную порядка k от функции u  Lp   ,
если для любой функции   C0l    выполнено соотношение (6).
Из определения пространства Соболева непосредственно следует, что каждая функция
пространства Wp l () представляет собой
элемент пространства C lp   (точнее класс
функций, эквивалентных некоторой функции из C lp   ), или предел фундаментальной
последовательности элементов из C lp   . Таким образом, множество C lp   плотно в
25
Wp l () . Кроме того, каждая фундаментальная последовательность из
C lp   по
определению имеет предел в Wp l () . Следовательно, пространство Wp l () - пополнение
пространства C lp   . Это пополнение построено по тому же принципу, что и
пространство Лебега. Формально процедура пополнения сводится к замене производных
обобщенными производными и переходом от интеграла Римана к интегралу Лебега.
Теорема вложения: Пространство H 1 (a, b) вложено в пространство C[a,b].
Линейные функционалы
Опр. Пусть X – вещественное нормированное пространство. Линейное отображение
f : X  R1 называется линейным функционалом. Обозначается или f ( x), или  f , x  .
Линейность функционала означает, что:
1) D ( f ) - линейное пространство;
2) f ( x   y )   f ( x)   f ( y )  ,   R1 , x, y  X .
Опр.
Функционал
называется
положительно
однородным,
если
f ( x)   f ( x)   0, x  X
Опр.
Выпуклый
функционал
называется
однородно
выпуклым,
если
f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) x, y  X
Примеры функционалов: 1) В пространстве R n , элементы которого x   x1, x2 ,..., xn 
n
функционалом будет f ( x)  i xi .
i 1
b
2) В пространстве C[a, b] линейным функционалом будет f ( x)   x(t )dt .
a
Опр. Функционал
f , D ( f )  X называется непрерывным, если  x0  X и
  0 
N ( x0 ) :| f ( x)  f ( x0 ) |   x  N ( x0 ) .
Замечание. Если X – конечномерное пространство, то линейный функционал,
определенный на X, будет непрерывным.
Лемма: Если линейный функционал непрерывен в какой-нибудь одной точке X, то он
непрерывен всюду на на X.
Доказательство: Пусть y – произвольная точка в пространстве X и
  0 . Выберем
окрестность N точки x так, чтобы выполнялось: | f ( x)  f ( y ) |   x  N ( x) . Тогда сдвиг
26
этой окрестности N ( x)  N ( x)  ( y  x) будет искомой окрестностью точки y, так как если
z  N , то и z  x  y  N и, следовательно, f ( z)  f ( y)  f ( z  y  x)  f ( x)   .
Замечание: Таким образом, проверять непрерывность линейного функционала достаточно
в одной точке, например, в точке х=0.
Для непрерывных линейных функционалов, заданных на нормированном пространстве,
можно ввести понятие нормы:
f  sup
x 0
f ( x)
x
. Эта величина удовлетворяет всем
аксиомам нормы. Поэтому пространство функционалов можно наделить структурой
нормированного пространства.
Ограниченность функционала означает, что:
|| f ||  sup
xÎX
| f , x |

|| x ||
(1)
Из (1) следует: | f , x |  || f |||| x || (2)
Теорема: Для того, чтобы линейный функционал был непрерывен на X необходимо и
достаточно, чтобы в X существовала такая окрестность точки х=0, на которой функционал
ограничен.
Следствие: В нормированном пространстве линейный функционал непрерывен тогда и
только тогда, когда его значения на единичном шаре в совокупности ограничены.
Сопряженные пространства
Для функционалов f1 ( x) и f 2 ( x) можно определить операции сложения функционалов и
умножения на число. Результат этих операций – тоже функционалы.
Если f1 и f 2 непрерывны на X, то их линейная комбинация  f1   f 2 тоже непрерывна на
X, т.е. совокупность всех непрерывных на X функционалов образует линейное
пространство
L  X , R1  . Это пространство называется сопряженным к линейному
пространству X и обозначается X * . Пусть X – нормированное пространство, тогда
X * будет банаховым пространством линейных ограниченных на X функционалов. Так как
пространства X и X * линейны, то для любых чисел 1 ,  2 , 1 ,  2 и f1 , f 2 , f и x1 , x2 , x
будут справедливы следующие свойства:
1)  1 f1   2 f 2 , x   1  f1 , x   2  f 2 , x  ;
2)  f , 1 x1  2 x2   1  f , x1   2  f , x2  .
(3)
27
Пространство
можно
X * - банахово пространство, значит, на элементах этого пространства
в свою очередь определить линейные функционалы, построив таким образом
сопряженное к X * пространство, которое будем обозначать X ** .
Замечание. Если X *  X с точностью до изометрии, тогда X **  X .
Пусть
X *  X . Определим из каких элементов будет состоять
функционалы  f , x  , в которых зафиксируем элемент xX
X ** . Рассмотрим
и будем менять f  X * .
Тогда по свойству (3) это будут линейные функционалы, определенные на элементах X * ,
норма которых не превосходит || x || (равна) по свойству (2). Каждому линейному
 f,x 
функционалу
однозначно
соответствует
xX,
элемент
следовательно,
пространство X изоморфно и изометрично некоторому подпространству X '  X ** . Значит,
с точностью до изометрии X  X ** .
Замечание. Метод построения сопряженных пространств можно использовать для
конструирования
идеальных
элементов,
как
аппарат
фундаментальных
последовательностей в случае конструирования пространства Лебега.
Опр. Если X **  X , то банахово пространство X называется рефлексивным.
Замечание.
Рефлексивные
пространства
играют
важную
роль
в
приложениях
функционального анализа.
Пример сопряженного пространства:
Определим линейные функционалы {g1 ,..., gn }
следующим образом:
g j (ei )   ij ,
где ортонормированный единичный базис {e1 ,..., en } -
в линейном
пространстве Rn . Тогда g j ( x)  x j , так как элемент пространства Rn представим в виде n
n *
n *
x   x j e j . Элементы g j линейно независимы и образуют базис в ( R ) , т.е. ( R ) - это nj 1
мерное линейное пространство.
Опр. Базис {g1 ,..., gn } в ( Rn ) * называется двойственным по отношению к базису
{e1 ,..., en } в Rn .
В пространствах X
и X * можно определить новый тип сходимости – слабую
сходимость.
Опр. Последовательность {xn }  X слабо сходится к элементу xX, если f X * :
 f , xn  f , x  при n   .
Опр. Последовательность { f n }  X * сходится к элементу
f  X * слабо, если xX:
 f n , x  f , x  при n   .
28
Определим понятие сильной сходимости в линейном пространстве функционалов.
Опр.
Последовательность
{ f n }  L( X , R1 )
сходится
сильно
к
f ,
если
||  f n , x    f , x  ||  |  f n , x    f , x  |  0, n   x  X .
Замечание. Общее понятие сильной сходимости, применяемое к линейным функционалам,
эквивалентно понятию слабой сходимости функционалов.
Для слабо сходящихся последовательностей элементов из пространств X и X * верны
следующие утверждения:
1) Если {xn }
- слабо сходящаяся последовательность в нормированном
пространстве, то существует такое постоянное число С, что xn  C , т.е. всякая
слабо
сходящаяся
последовательность
в
нормированном
пространстве
ограничена.
2) Последовательность {xn } элементов нормированного пространства X слабо
сходится к элементу xX, если: 1)
xn  C - нормы {xn }
ограничены в
совокупности; 2) f Q :  f , xn  f , x  , где Q – некоторое множество,
линейная оболочка которого всюду плотна в X * .
3) Если { f n } - слабо сходящаяся последовательность линейных функционалов на
банаховом пространстве, то существует такое постоянное число С, что f n  C ,
т.е. всякая слабо сходящаяся последовательность элементов пространства,
сопряженного банахову пространству, ограничена по норме.
4) Последовательность линейных функционалов { f n } элементов нормированного
пространства
X*
слабо сходится к элементу
f  X * , если: 1) если
f n  C ; 2) соотношение
последовательность { f n } ограничена по норме
 f , xn  f , x  выполнено x Q , где Q – некоторое множество, линейная
оболочка которого всюду плотна в X .
Опр. Элементы x  X , f  X * называются биортогональными, если  f , x   0
Опр. Пара последовательностей {xn }  X , { f n }  X * называются биортогональными, если


i 1
i 1
 fi , x j    ij . Тогда, если x  X , f  X * , то x   ai xi , f   bi f i - представимы в виде
рядов Фурье. Тогда,  fi , x   ai ,  f , xi   bi т.е. ряды Фурье можно переписать в виде:


i 1
i 1
x    fi , x  xi , f    f , xi  f i (4)
29
Соотношение (4) – это ряды Фурье по биортогональным последовательностям {xn },{ f n } .
Теорема Банаха – Штейнгауза: Пусть X – банахово пространство, а { f n } - система
линейных функционалов из X * . Для того, чтобы последовательность { f n } слабо
сходилась к элементу f  X * необходимо и достаточно, чтобы:
1) последовательность норм || f n || была ограничена;
2)  f n , x   f , x  слабо сходилась x X ' , где множество X ' всюду плотно в X.
Замечание. Теорему Банаха – Штейнгауза можно
использовать для приближенного
b
вычисления определенных интегралов: I ( f )   f ( x) w( x)dx,
f ( x)  C[a, b] , где функция
a
w( x)
- интегрируемая, положительная на (a,b) весовая функция. Для вычисления
N
пользуются квадратурными формулами, имеющими вид: I N ( f )   AkN f ( xkN ) . Если для
k 1
любой функции f ( x)  C  a, b последовательность I ( f ) сходится к I ( f ) , то говорят что
N
квадратурный процесс сходится. Здесь I ( f ) и I ( f ) - линейные функционалы,
N
определенные на функциях пространства C  a, b  .
Теорема Рисса: Пусть H – гильбертово пространство. Для любого линейного
ограниченного функционала f , заданного всюду на H, существует единственный элемент
yH, такой, что: || f ||  || y ||, x  H :  f , x   ( y, x)
(5)
Доказательство: Рассмотрим множество L  ker f  {x  H :  f , x   0} . Множество L
либо состоит из одного нулевого элемента x = 0, либо является линейным
подпространством в H. Если L = H, то || f ||  0 и можно выбрать y = 0.
Пусть
L  H , тогда существует хотя бы один элемент vH:  f , v   0 . Т.к. H –
гильбертово пространство, то любой элемент может быть представлен в виде: v  z  q ,
z  L, q  L , справедливо равенство :  f , v    f , q   0 . Если
выбрать q  v . Для xH получим:  f , x 
этот элемент ортогонален q  L , т.е. (q, x 
 f , x 
( q, x )
 f , q   ( y, x) ,
( q, q )
где
yq
L  {x  0} , то можно
 f ,x 
 f,x 
q   0 , значит, x 
qL и
 f ,q 
 f ,q 
 f ,x 
 f ,x 
q)  0  (q, x) 
(q, q) . Отсюда,
 f ,q 
 f ,q 
 f ,q 
.
 q, q 
Проверим,
что
|| y ||  || f || .
По
определению, | f , x |  | ( y, x) |  || y |||| x ||
30
Из (2) || f ||  || y || .
 f , y   ( y, y)  || y ||2  || f |||| y || || y ||  || f || || f ||  || y ||
Докажем единственность. Пусть существует y  H , y  y , для которого  f , x   ( y, x) .
Тогда
( y  y, x)  0x  H ,
т.е.
 y, x   ( y, x)  y  y .
Полученное
противоречие
доказывает теорему.
Следствие: Гильбертово пространство H является самосопряженным пространством,
т.е. H  H * с точностью до изометрии.
Теорема Хана – Банаха: Пусть L - замкнутое подпространство в банаховом пространстве
X. Если f  линейный непрерывный функционал, определенный на L , то существует
линейный функционал g , определенный на X и являющийся продолжением f на X с
той же нормой, что и f , т.е. || g ||x  || f ||L
(6) ,  g , x    f , x  x  L .
Обобщенные функции
Для математического описания таких физических явлений, как массы, или электрические
заряды, или силы, или другие физические величины,
сосредоточенные в точках, на
линиях, на поверхностях или мгновенно действующие, английский физик Дирак ввел
понятие импульсной дельта-функции (  -функции), которая не является функцией с точки
зрения классического математического анализа. С точки зрения физики эта функция
представляет собой, например, плотность вещества в точке, в которой это вещество
сосредоточено. Ясно, что если отличная от нуля масса сосредоточена вся в одной точке, то
плотность вещества в этой точке бесконечна, и равна нулю на любом множестве, не
содержащем
эту
точку.
Поэтому
Дирак
ввел
 -функцию
как
абстрактную
математическую модель, описывающую сосредоточенные физические процессы:
  ( x)d   1 , содержащего точку
x  0 ,  (0)   ,  ( x)  0x  0 . Т.е. функция Дирака –

это функция, которая принимает бесконечно большое значение в начале координат, равна
нулю всюду кроме начала координат и интеграл Лебега от этой функции (интеграл по
мере Лебега) по любому множеству, содержащему начало координат равен единице. В
классическом математическом анализе интеграл, как непрерывная функция множества, по
которому производится интегрирование относительно той меры, по которой производится
интегрирование (в данном случае меры Лебега), стремится к нулю при стремлении к нулю
меры множества  . Поэтому дельта-функция представляет собой класс особых функций,
появление которых потребовало обобщения понятий функции на
производные.
Поскольку понятие
 -функции
–
это
некоторая
 -функцию и ее
математическая
идеализация реальных физических процессов, то один из подходов к определению
обобщенных функций состоит в следующем: обобщенная функция определяется
как
31
предельный переход классических функций при неограниченном уменьшении множества,
на котором эти функции определены. Второй подход к определению обобщенных
функций основан на том факте, что в результате всех действий над  -функциями и их
производными они всегда входят в итоговые соотношения как сомножители некоторого
подынтегрального выражения. А поскольку интеграл от произведения двух функций
всегда представляет собой линейный функционал от любой из этих функций, то и  функцию
и
ее
производные
можно
отождествить
с
некоторыми
линейными
функционалами. Такой подход приводит к определению обобщенной функции как
линейного функционала,
действующего на некотором функциональном пространстве.
Если первый подход более характерен для математического анализа, то второй
естественен для функционального анализа. С математической точки зрения оба подхода
эквивалентны.
Пример: Задача описания распределения массы вдоль прямой: эту задачу можно решить,
воспользовавшись плотностью распределения массы. Но, если на прямой есть точки,
несущие некоторую положительную сосредоточенную массу, то мы не можем
воспользоваться классическим понятием функции. Поэтому класс функций может быть
расширен путем введения обобщенных функций.
Основой для их введения служит понятие сопряженного пространства.
Пусть f - фиксированная функция, заданная на прямой, интегрируемая на каждом
конечном интервале. А  - финитная функция. Тогда каждой финитной функции  с
помощью
( f ,) 


функции
f
можно
сопоставить
некоторый
функционал:
f ( x) ( x) dx (1)

Т.е. функцию f можно рассматривать как линейный функционал, действующий на
некотором пространстве финитных функций.
Пространство основных функций
В современной теории обобщенных функций рассматриваются различные пространства
основных функций, с помощью которых определяются обобщенные функции.
Рассмотрим заданные на прямой финитные функции  , имеющие производные всех
порядков. Замыкание множества, на котором финитная функция отлична от нуля
называется носителем функции. Само множество всех скалярных финитных функций,
непрерывных вместе со своими производными всех порядков, называется пространством
финитных функций. Обозначим это линейное пространство {}  K .
Опр. Финитные функции {n }  K сходится к   K , если:
32
1) существует интервал, вне которого все n  0 ;
2)последовательность производных финитных функций {n ( k ) } сходится на этом интервале
к  ( k ) равномерно.
Тогда пространство финитных функций K с такой сходимостью будем называть
основным пространством, а элементы пространства K - основными функциями.
Опр. Обобщенной функцией, заданной на промежутке (, ) называется непрерывный
функционал T ( ) , заданный на основном пространстве K . При этом непрерывность
функционала понимается в смысле слабой сходимости T (k )  T ( ) , если n  
в
основном пространстве K .
T f ( ) 


f ( x) ( x)dx (2) - регулярная обобщенная функция.

Функции, не представимые в виде (2) называются сингулярными.
T ( )   (0)
Пример:
непрерывный
-
пространстве K и T ( ) 

  ( x) ( x)dx
линейный
функционал,
определенный
на
(3),  ( x )  0, x  0


В точке x  0  (0)  , причем   ( x)dx  1

 -функция – сингулярная функция.
Действия над обобщенными функциями
Для обобщенных функций, т.е. для линейных и непрерывных функционалов, заданных на
пространстве основных функций K , определены операции сложения и умножения на
число. В пространстве обобщенных функций можно также ввести операцию предельного
перехода, т.е. будем говорить, что { f n }  f , если   K ( f n ,  )  ( f ,  ) , т.е. сходимость
последовательностей
обобщенных
функций
определяется
как
сходимость
этой
последовательности на каждом элементе K . Пространство обобщенных функций будем
обозначать K * .
Если дана бесконечно дифференцируемая функция  ( x ) , то можно определить
произведение  ( x) f ( x) следующим образом: ( ( x) f ( x),  ( x))  ( f ( x),  ( x) ( x)) .
Замечание: Произведение двух обобщенных функций не вводится, но можно ввести
операцию дифференцирования для обобщенных функций.
Пусть
dT f ( )
dx
задан




линейный
функционал
Tf ( )  K * .
Вычислим

f '( x) ( x)dx    f ( x) '( x)dx .
Это
соотношение
мы
получили,

33
воспользовавшись формулой интегрирования по частям и свойством основной функции 
обращаться в нуль вне некоторого конечного интервала.
Опр. Производная
dT f ( )
dx
обобщенной функции T есть функционал, определяемый
следующим соотношением (4) T f '( )  T ( '( x)) . Этот функционал линеен и непрерывен
и, значит, является обобщенной функцией.
Свойства:
1) Всякая обобщенная функция имеет производные всех порядков.
2) Если последовательность обобщенных функций { f n } сходится к обобщенной функции
f, то последовательность производных обобщенных функций
{ f n '}
сходится к
производной обобщенной функции f  .

Пример: Рассмотрим ряд:
sin nx
n
n 1

f ( x ) . Сумма этого ряда - функция, имеющая период
2 и определенная на промежутке   ,   :
  x
 2 ,0  x  

  x
f ( x)  
,   x  0
2

0, x  0


Тогда обобщенная производная от функции f ( x) равна:

1
f '( x)       ( x  2 k ) . С другой стороны, если почленно продифференцировать
2
k 
ряд

sin nx
, то мы получаем расходящийся в классическом смысле ряд
n
n 1

смысле сходимости обобщенных функций этот ряд сходится к

 cos nx .
В
n 1
f '( x) . С такими
обстоятельствами (расходящиеся ряды и интегралы в качестве решения задачи) часто
сталкиваются при решении даже довольно простых задач математической физики
методом Фурье.
Линейные операторы. Непрерывность и ограниченность.
Пусть X,Y – некоторые линейные пространства, множество D  X .
34
Опр. Если каждому элементу xD можно поставить в соответствие определенный элемент
yY, то говорят, что задан оператор
y  F ( x) , при этом, множество D – область
определения оператора F: D(F).
Опр. Множество R( F )  { y : y  F ( x)} называется областью значений оператора F,
элемент y называется образом элемента x, элемент x называется прообразом.
Опр. Два оператора F : X  Y и  : X  Y называются равными, если D( F )  D() и
если x  D : F ( x)  ( x) .
Опр. Оператор  называется расширением оператора
F
( F сужение  ), если
D()  D( F ) и ( x)  F ( x) x  D( F ) .
Опр. Оператор
y  F ( x)
называется взаимнооднозначным, если каждому образу
y  R ( F ) отвечает единственный прообраз x  D( F ) , при этом x  F 1 ( y) .
Опр. Если F - взаимнооднозначный оператор, то x  F 1 ( y) полностью определяет
оператор F 1 , для которого D( F 1 )  R( F ) и R( F 1 )  D( F ) .
y0  Y
Опр. Элемент
называется пределом оператора
F ( x)
при
x  x0 , если
  0  ( )  0 || x  x0 ||   || F ( x)  y0 ||   .
Опр. Оператор
F : X  Y , определенный в окрестности точки
x0 , называется
непрерывным в точке x0 , если F ( x)  F ( x0 ), x  x0 .
Опр. Пусть F ( x) - оператор с D( F )  X , R( F )  Y , X , Y  нормированные пространства.
Оператор
F
называется ограниченным, если он переводит всякое ограниченное
множество из D( F ) во множество ограниченное в Y .
Опр. Оператор A : X  Y с областью определения D ( A) и областью значений R( A)
называется линейным, если:
1) D ( A) - линейное многообразие;
2) A( x   y )   Ax   Ay .
Замечание: Судить о непрерывности оператора в различных точках пространства X
можно по его непрерывности в точке ноль пространства X .
Опр. Линейный оператор с D( A)  X  B, R( A)  X  B называется ограниченным, если
он ограничен на единичном шаре B1 (0) , т.е. если ограничена величина {|| Ax ||, || x || 1}
С другой стороны, если
A ограничен, то c  0 : x  B1 (0), || x || 1 для которой
выполняется: || Ax ||  c (1)
35
Теорема: Оператор A ограничен тогда и только тогда, когда выполняется оценка
|| Ax ||  c || x || (2) , x  X , c  const .
Доказательство: При x = 0 справедливость (2) очевидна.
 Пусть x  0 . Рассмотрим элемент x 
x
, || x || 1 .
|| x ||
 x 
Поэтому, из (1) следует, что || Ax ||  c , значит, A 
. Так как норма аддитивна, а
 x   c


оператор А линеен, то получаем: || Ax ||  c || x || .
 Если верно (2), то тогда в замкнутом шаре B1 (0) : || Ax ||  c .
Значит, оператор A ограничен.
Следствие: Если A - ограничен, то он ограничен на любом шаре.
Теорема (Об эквивалентности понятий ограниченности и непрерывности линейного
оператора): Пусть A : X  Y ,
оператора A -
X , Y - банаховы пространства. Область определения
D( A)  X . Для того, чтобы A был непрерывен необходимо и достаточно,
чтобы он был ограничен.
Доказательство:  Пусть A непрерывен. Предположим, что A - неограничен. Значит,
A( B1 (0)) будет неограниченно: n  xn  X с нормой || xn || 1 , такой что
Введем элемент xn 
При этом || Axn || 
|| Axn ||  n .
xn
1
, || xn ||   0, n   .
n
n
1
Axn 1 . А из непрерывности следует, что || Axn ||    0, n  
n
Противоречие доказывает теорему.
 Пусть A ограничен, значит, выполнено (2) и при x  0 A( x)  0 . Т.е. получим, что
A непрерывен в точке x  0 и, значит, A - непрерывен на D( A)  X .
Примеры линейных операторов: 1) В пространстве Rn равенство y  Ax , где A - матрица
(n  n) задает некоторый линейный оператор.
b
2) Интегральное выражение
y ( x)   K ( x, s ) x( s )ds , где
K ( x, s)  C a, b  a, b
может
a
определять различные интегральные операторы A : X  Y , где, например, пространство
X  C  a, b , Y  C  a, b или пространство X  L2  a, b  , Y  L2  a, b  .
Пространство линейных операторов
Пусть A,B,C,… - линейные операторы, определенные на нормированном пространстве X
со значениями в нормированном пространстве Y. На множестве операторов можно ввести
36
операции умножения оператора на вещественное число и операцию сложения операторов:
 A, A  B . Тогда данное множество будет линейным пространством операторов,
обозначение - L( X , Y ) - линейное пространство операторов.
В линейном пространстве операторов определено понятие нормы: || A ||  sup || Ax || (3)
|| x|| 1
По свойствам ограниченного оператора и из определения нормы получается:
|| Ax ||  || A |||| x || (4)
Для (3) выполняются все аксиомы норм. Поэтому L( X , Y ) - линейное нормированное
пространство.
Опр. Пусть последовательность операторов { An }  L( X , Y ) последовательность операторов
сходится
в
пространстве
An  A, n  
операторов
равномерно,
если
|| An  A ||  0, n   .
Теорема:
Чтобы
последовательность
операторов
сходилась
An  A
равномерно
необходимо и достаточно, чтобы An ( x)  A( x), n   равномерно по x в шаре B1 (0) ,
|| x || 1 .
Доказательство:  Из неравенства (4) следует:
|| An ( x)  Ax ||  || ( An  A) x ||  || An  A |||| x ||  || An  A || .
Если || An  A ||  0 , то   0 N : n  N || An  A ||   . Тогда || An x  Ax ||   x  B1 (0) .
Это означает равномерную сходимость An x  Ax .
 Пусть   0 N : n  N || An x  Ax || 
Значит, || An  A ||  

2
x  B1 (0) . Тогда sup || An x  Ax || 
|| x|| 1

2
 .
x  B1 (0) , т.е. An x  Ax равномерно.
Опр. Дана последовательность { An }  L( X , Y ) . { An }
сильно сходится к оператору
A  L( X , Y ) , если x  X || An x  Ax ||  0, n   .
Замечание: Если An  A равномерно, т.е. по норме пространства L( X , Y ) , то
An  A
сильно. Но эти два вида сходимости не эквивалентны. Сильную сходимость иногда
называют поточечной сходимостью.
Теорема
(Принцип
равномерной
ограниченности):
Если
последовательность
{ An ( x)} ограничена при каждом фиксированном x, то последовательность || An || тоже
ограничена.
Теорема Банаха – Штейнгауза: Пусть { An }  L( X , Y ) . Для того, чтобы { An }  A сильно,
( A  L( X , Y ) ), необходимо и достаточно, чтобы:
37
1) {|| An ||} была ограничена;
2) An  A сильно на некотором линейном многообразии X  X плотном в X .
Доказательство:
 Из условия, что An x  Ax следует, что || An x || || Ax || . Поэтому, {|| An ||} будет
ограничена (из принципа равномерной ограниченности). В данном случае можно
рассматривать X  X .
 Пусть дан x  X , x  X . Зададим   0 и найдем x  X такое, что || x  x ||   . Пусть
c  sup || An ||, A  A0 .
Покажем,
что
{ An }  A
сильно.
Для
этого
оценим:
n
|| An x  Ax ||  || An x  An x  An x  Ax  Ax  Ax ||  || An x  An x ||  || An x  Ax ||  || Ax  Ax || 
 || An ( x  x) ||  || An x  Ax ||  || A( x  x) ||  || An |||| x  x ||  || An x  Ax ||  || A |||| x  x || 
2c  || An x  Ax || . Из условий сходимости
{ An x}  Ax
N n  N: | | nA x A |x| .
Тогда || An x  Ax || (2c  1) .
Теорема (о продолжении линейного оператора по непрерывности): Пусть X –
нормированное пространство, Y – банахово пространство, A – линейный оператор с
D( A)  X , R( A)  Y , причем, D( A)  X
и на D ( A) оператор A ограничен. Тогда
ˆ  Ax x  D( A) и || Aˆ ||  || A || .
существует линейный оператор Ax
Обратные операторы
Опр. Множество N ( A)  {x : Ax  0} xD(A) называется ядром оператора A.
Замечание: N ( A) всегда содержит нулевой элемент.
Теорема 1: Оператор A – взаимнооднозначный тогда и только тогда, когда N ( A)  {0} .
Теорема 2: оператор A1 существует и ограничен на R( A) тогда и только тогда, когда для
m>0 и xD(A) выполняется равенство || Ax ||  m || x || (1)
Доказательство:
 Пусть A1 существует и ограничен на D( A1 )  R( A) . Это значит, что существует c > 0
yR(A) будет выполняться || A1 y ||  c || y || (из определения ограниченности). Т.к.
y  Ax , то получаем формулу (1).
 Если выполняется (1), то Ax  0 , если x  N ( A), x  0 . Покажем, что N ( A)  {0}
По теореме 1 существует A1 , который однозначно действует из R(A) в D(A). Если
x  A1 y в (1), получим ограниченность A1 на R(A).
38
Опр. Линейный оператор A : X  Y называется непрерывно обратимым, если R( A)  Y ,
оператор A обратим и A1  L( X , Y ) , т.е. A1 ограничен.
Теорема 3: Оператор A непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A) = Y и для
m > 0 и xD(A) выполняется (1).
Теорема 4: Если A – линейный ограниченный оператор, A : X  Y . X , Y - банаховы
пространства и оператор A взаимнооднозначный, тогда A1 ограничен.
Левый и правый обратные операторы
Опр. Оператор Ar1  L( X , Y ) называется правым обратным к оператору A , если AAr1  IY ,
где IY - тождественный оператор в пространстве Y.
Опр. Оператор Al1  L( X , Y ) называется левым обратным к оператору A , если Al1 A  I x ,
где I X - тождественный оператор в пространстве X.
Лемма 1: Если существует правый обратный оператор Ar1 , то уравнение Ax = y (2) имеет
решение x = Ar1 y. Если существует левый обратный оператор Al1 , то уравнение (2)
имеет не более одного решения.
Доказательство: По определению
A( Ar1 y )  ( AAr1 ) y  y , т.е.
x  Ar1 y
обращает
уравнение (2) в тождество и, следовательно, x- решение.
Пусть существует Al1 .
Рассмотрим ядро оператора
A -
N ( A), x  N ( A), Ax  0 .
Подействуем оператором Al1 на равенство Ax  0 , получим Al1 Ax  x  Al1 0  0 . Таким
образом, x  0 . Значит, ядро оператора A - N ( A)  {0} содержит только нулевой элемент.
Следовательно, A -
взаимнооднозначный и для (2) справедливо условие теоремы
единственности.
Лемма 2: Пусть для A  L( X , Y ) существуют Ar1 , Al1 , тогда существует A1 и для него
выполняются:
1) Ar1  Al1  A1 ;
2) D( A1 )  Y ; R( A1 )  X ;
3) Ar1 , Al1 - единственны.
Сопряженные и самосопряженные операторы
Пусть оператор A  L( X , Y ) . Рассмотрим скалярное произведение ( Ax, f ), x  X , f  Y * .
Определим функционал  ( x)   x,    ( Ax, f ) (1)
Исследуем свойства функционала (1):
39
1) D ( )  X ;
2)  - линейный (из линейности оператора);
3)  - ограниченный, |  ( x) |  | ( Ax, f ) |  || Ax |||| f ||  || A |||| x |||| f || , т.е.   X * .
Каждому f  Y * мы поставим в соответствие   X * . Это значит, что мы определили
линейный непрерывный оператор   A* f ,
Оператор A*  L(Y * , X * ) - сопряженный к
оператору A .
Лемма: Если оператор A  L( X , Y ) , то || A* ||  || A || .
Доказательство: Из свойства 3 получаем - ||  ||  || A |||| f || . Это означает, что || A* ||  || A || .
По теореме Хана – Банаха и теореме Рисса:
( Ax0 , f0 )  || Ax0 || .
Тогда
x0 , Ax0  0 f 0  Y * : || f 0 ||  1 и
|| Ax0 ||  | ( Ax0 , f 0 ) |  | ( x0 , A* f 0 ) |  || A* |||| x0 || .
Получаем,
что
|| A ||  || A* || . Значит, || A ||  || A* || .
Пример сопряженного оператора: Пусть X  Y  L2  a, b . Рассмотрим интегральный
b
оператор
y  Kx : y (t )   K (t , s ) x( s )ds ,
где
K (t , s ) -
непрерывное ядро интегрального
a
оператора.
b b
b







Скалярное произведение  Kx, z     K (t , s) x(s)ds z (t )dt    K (t , s) z (t )dt x(s)ds   x, K  z  .


a
a
a

a

b
Сопряженный
оператор
w  Kz
также
является
интегральным
оператором:
b
w(t )   K ( s, t ) z ( s )ds и его ядро транспонировано к ядру оператора K (t , s ) .
a
Опр.
Оператор
A  L( H ) ,
где
H
–
гильбертово
пространство,
называется
самосопряженным (эрмитовым), если A  A* , т.е. ( Ax, y)  ( x, A* y)  ( x, Ay) x  H (2)
Опр. Оператор A  L( H ) , заданный на всюду плотном в H подпространстве D(A),
называется симметричным, если x,yD(A) выполняется (2).
Лемма 1: Если A  A* , то ( Ax, x) - вещественное число x  H .
Лемма 2: Если A  A* , то || A ||  sup | ( Ax, x) | .
|| x|| 1
Опр. Самосопряженный оператор A называется неотрицательным, если ( Ax, x)  0 x  H .
Лемма 3: Пусть A  0 (неотрицательный оператор), тогда справедливо обобщенное
неравенство Коши – Буняковского: | ( Ax, y) |  ( Ax, x)( Ay, y) .
40
Операторы ортогонального проектирования
Пусть в гильбертовом пространстве H задано подпространство M. По теореме Рисса
каждому xH можно поставить в соответствие единственный элемент yM, который
будет ортогональной проекцией x на подпространство M, т.е. y = Px – проектор, xH,
yM.
Свойства проекторов:
1) P – линейный оператор;
2) PL(H); ||P|| = 1, если M  0 .
Доказательство: По теореме Пифагора || x ||2  || Px ||2  || ( I  P) x ||2 .
Тогда
|| Px ||2  || x ||2 || P || 1 .
Пусть
M  0 .
Выберем
x0  M , || x0 || 1 ,
тогда
1  || x0 ||  || Px0 ||  P x0  P || P || 1 . Значит, || P ||  1 .
3) P2  P .
4) P  P* .
5) x  H ( Px, x)  || Px ||2  0 .
6) x  M , тогда и только тогда, когда || Px ||  || x || .
7) x  H ( Px, x)  || Px ||2  || x ||2 .
Теорема: Пусть A  A* - оператор, действующий в H, причем A2  A . Тогда A - проектор
на некоторое подпространство пространства H.
Спектр оператора
Опр. Оператор A  L( X , Y ) называется вполне непрерывным или компактным, если
замкнутый единичный шар
пространства X он переводит в компактное множество
пространства Y. Обозначается:  ( X , Y ) - пространство компактных операторов.
Если X , Y конечномерные пространства, то  ( X , Y )  L( X , Y ) .
Опр. Собственным значением оператора A  L( X , Y ) называется число  , в общем случае
  C , являющееся решением операторного уравнения Ax   x, x  0 , x- собственный
вектор оператора A.
Пусть X – банахово пространство и оператор A   ( X ) и пусть  - собственное
значение оператора A , а X  - собственное подпространство, отвечающее собственному
значению  .
Свойства:
1) Если A - вполне непрерывен, то его собственное подпространство X  , отвечающее
  0 , будет конечномерным.
41
2) Пусть A   ( X ) , тогда   0 вне круга |  |   комплексной плоскости может
содержаться лишь конечное число собственных значений оператора A .
3) Пусть A  A*  0 , то A имеет по крайней мере одно собственное значение, отличное от
нуля.
4) Все собственные значения линейного, самосопряженного компактного оператора A
вещественны и расположены в промежутке   [m, M ] , где m  inf ( Ax, x), M  sup( Ax, x) .
|| x|| 1
|| x|| 1
Следствие. Если A   ( H ), A  A* , тогда || A ||  | 1 | , где 1 - наибольшее собственное
значение A .
5) Если A   ( H ), A  A* на всем H , то x  H элемент Ax может быть представлен в
виде сходящегося ряда Фурье по ортонормированным собственным векторам оператора
A.
Следствие. Если вполне непрерывный, самосопряженный оператор A обратим, то из его
собственных векторов можно построить базис в пространстве H .
Следствие. Если A - вполне непрерывный, самосопряженный оператор в сепарабельном
гильбертовом пространстве H , то в H
существует ортонормированный базис из
собственных векторов оператора A .
Резольвентное множество и спектр линейного оператора
Опр. Точка  называется регулярной точкой оператора A , если оператор A   I
непрерывно обратим. Совокупность регулярных точек оператора
A
называется
резольвентным множеством оператора A и обозначается  ( A) .
Если
   ( A) , то оператор
R ( A)  ( A   I ) 1  L( X )
и называется резольвентой
оператора A , X - комплексное банахово пространство, D ( A) плотно в X ,
 -
комплексное число (в общем случае).
Теорема: Резольвентное множество оператора A -  ( A) всегда открыто.
Доказательство: Пусть 0   ( A) , значит, ( A  0 I ) непрерывно обратим. Рассмотрим
оператор ( A   I )  A  0 I  (  0 ) I  ( A  0 I )[ I  (  0 ) R0 ( A)] .
Т.к. ( A  0 I ) непрерывно обратим, то и ( A   I ) непрерывно обратим, если непрерывно
обратим [ I  (  0 ) R0 ( A)] ()
По теореме об обратном операторе, оператор () будет непрерывно обратим, если
|   0 ||| R0 ( A) || 1 . Следовательно, если 0   ( A) , то открытый шар Br0 (0 ) , где
42
r0  || R0 ( A) ||1 будет тоже принадлежать множеству  ( A) и по определению  ( A) будет
открытым.
Опр. Совокупность всех значений  , не являющихся регулярными, называется спектром
оператора A .
В частности, все собственные значения  принадлежат спектру оператора, т.е.сам спектр
– это некоторое множество, дополнительное (в комплексной плоскости) к резольвентному
множеству, обозначается  ( A) .
Теорема: Пусть A  L( X ) , тогда { :|  |  || A ||}   ( A) .
Доказательство: Так как оператор можно определить: ( A   I )   ( I   1 A) , тогда если
||  1 A || 1, то |  |  || A || и ( A   I ) будет непрерывно обратим и    ( A) .
Следствие. Если A ограничен, то резольвентное множество  ( A) неограниченно.
Пример: Если пространство X конечномерно, то спектр линейного оператора состоит
только из его собственных значений. В n-мерном евклидовом пространстве всякий
самосопряженный оператор имеет ровно
n собственных значений. Все собственные
значения вещественны, а соответствующие им собственные векторы составляют
ортонормированный базис пространства X.
1
Опр. Конечный предел вида r ( A)  lim || An || n называется спектральным радиусом
n 
оператора A .
Теорема: Пусть A  L( X ) , X  комплексное банахово пространство. Если спектральный
радиус r ( A)  1, то оператор ( I  A) непрерывно обратим и ряд

A
k
сходится
k 0
абсолютно. Если r ( A)  1 , то ряд расходится.
Приложения функционального анализа к численным методам.
Симметричные билинейные формы и построение энергетических пространств
Пусть D ( s ) - всюду плотное в гильбертовом пространстве H множество, и на элементах
этого множества x, y определена симметричная билинейная форма S ( x, y ) . Это означает,
что любой паре элементов x, y  D ( s ) поставлено в соответствие некоторое число S ( x, y )
и это соответствие обладает следующими свойствами:
1) S ( x, y )  S ( y, x) ;
2) S ( x, y )   S ( x, y ) ;
3) S  x1  x2 , y   S  x1 , y   S  x2 , y  .
Квадратичной формой билинейной формы S ( x, y ) называется форма S ( x, x) .
43
Билинейная форма S ( x, y ) называется положительно определённой, если существует
такое положительное число C, что S  x, x   C x .
2
Замечание. Билинейную форму S ( x, y ) при выполнении условия S  x, x   C x
2
можно
интерпретировать как скалярное произведение на множестве D ( s ) , т.е.  x, y s  S ( x, y) .
Тогда норма, порождаемая этим скалярным произведением, будет иметь вид:
1
 xs   S ( x, x)  2 .
Согласно соотношению S  x, x   C x , норма
2
x
будет подчинена
норме  x s на множестве D ( s ) .
Если множество D ( s ) совпадает со всем пространством H, то билинейная форма S ( x, y )
будет называться эрмитовой, а множество D ( s ) будет гильбертовым пространством с
новым скалярным произведением.
Пусть билинейная форма положительно определена и множество D ( s ) не совпадает с H.
Определим новое пространство H s следующим образом: введём на множестве D ( s )
скалярное произведение
 x, ys  S ( x, y) и норму
1
 xs   S ( x, x)  2 , а затем пополним
1
множество D ( s ) в новой норме  x s   S ( x, x)  2 . В результате этой операции получим
новое гильбертово пространство H s , которое часто называется энергетическим. Остов
этого пространства (т.е. всюду плотная его часть) состоит из элементов множества D ( s )
из гильбертова пространства H, к которому добавлены некоторые предельные элементы
из этого гильбертова пространства, поскольку, благодаря неравенству S  x, x   C x ,
2
1
любая фундаментальная последовательность в норме  x s   S ( x, x)  2 остаётся такой же и
в норме исходного пространства H.
Задача о наилучшем приближении.
Ортогональное разложение в гильбертовом пространстве
В гильбертовом пространстве, вследствие его полноты, своеобразия метрики и наличия
понятия ортогональности, для достаточно широкого класса множеств A из этого
пространства
(A H )
существует
возможность
решения
задачи
о
наилучшем
приближении элементов x  H элементами множества A, которое чаще всего называется
аппроксимирующим.
Самосопряжённый оператор является частным случаем симметричного оператора, а
именно, самосопряжённый оператор – это ограниченный симметричный оператор, для
которого D( A)  H , ( D ( A) - область определения оператора A), т.е. сам симметричный
44
оператор, в общем случае, может быть неограниченным. Если оператор A –
самосопряжённый, то A  sup  Ax, x  .
x 1
Квадратичные функционалы к положительно определённым
симметричным операторам и обобщённое решение операторных уравнений
Пусть H – вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением и
соответствующей нормой, S – симметричный положительно определённый оператор,
D ( S )  H , причём D(S )  H , l ( x) - линейный ограниченный функционал, заданный на
всём пространстве H (т.е. D(l )  H ).
Рассмотрим квадратичную форму вида Gs ( x)  (Sx, x)  2l ( x)  C, x  D( S ) . Исследуем
задачу поиска инфимума этого функционала и такого элемента u (если он существует),
для которого выполняется: u  arg inf Gs ( x) .
X
Поскольку оператор S может быть определён не для всех x  H , то построим новое
энергетическое пространство H s и на элементах из области определения оператора S - x
и y определим новое скалярное произведение и норму:  x, y S  ( Sx, y ),  x S  ( Sx, x) . Пусть
2
D( S )  H . Пополним множество D ( S ) по норме
пространство H s со скалярным произведением
 x S  ( Sx, x)
2
 x, yS  (Sx, y) .
и получим новое
Вследствие того, что
оператор S – положительно определённый, получаем ( Sx, x)  S ( x, x)x  D( S ) , что
означает, что энергетическая норма  x S  S x , т.е. эти нормы подчинены, следовательно,
2
пространство H s будет состоять из элементов пространства H и при этом всегда будут
выполняться следующие соотношения: D( S )  H S  H .
Линейный функционал
l ( x) , ограниченный на H, будет ограничен и на
(энергетическом пространстве): l ( x)  l x  S

1
2
 x S
l .
Тогда по теореме Рисса существует единственный элемент
l ( x)   x, u S ,
и,
в
этом
Hs
случае,
u  H S , такой, что
квадратичный
функционал
Gs ( x)  (Sx, x)  2l ( x)  C, x  D( S ) примет вид: Gs ( x)   x, xS  2  x, u S  C .
Если
воспользоваться
свойствами
скалярного
произведения,
то
получим:
Gs ( x)   x  u S  u S  C .
2
2
Если D( S )  H , то H s  H .
45
Gs ( x)   x  u S  u S  C
2
Формула
2
показывает, что функционал
достигает
Gs ( x)
наименьшего значения, равного  u S  C при x=u.
2
Квадратичный функционал s ( x)   x  u, x  u s называется функционалом ошибок. Его
минимум, равный нулю, достигается при x=u.
Основные типы функционалов, используемых
при решении операторного уравнения Au  f
1. Пусть S  A; A - симметричный положительно определённый оператор. Тогда
GA ( x) имеет вид: GA ( x)  ( Ax, x)  2( f , x) - функционал энергии.
2. Если
S  A* A , тогда GA* A ( x)  ( Ax  f , Ax  f )
- функционал наименьших
GA*BA ( x)  ( B( Ax  f ), Ax  f )
- функционал обобщённых
квадратов.
3.
S  A* BA . Тогда
наименьших квадратов.
Замечание. За счёт выбора постоянной C в функционале Gs ( x)   x  u S  u S  C
2
можно
сделать
так,
чтобы
вид
функционалов
2
GA* A ( x)  ( Ax  f , Ax  f )
и
GA* BA ( x)  ( B ( Ax  f ), Ax  f ) совпадал с видом соответствующего функционала ошибки
s ( x)   x  u, x  u s ,
при
этом
в
формулах
GA* A ( x)  ( Ax  f , Ax  f )
и
GA* BA ( x)  ( B ( Ax  f ), Ax  f ) оператор A не обязан быть симметричным.
Минимум функционала энергии. Решение уравнений с
самосопряжённым оператором. Обобщённое решение
Минимум функционалов GA* A ( x)  ( Ax  f , Ax  f ) и GA* BA ( x)  ( B( Ax  f ), Ax  f ) равен
нулю и достигается на элементе u, в каком-то смысле связанным с решением
операторного уравнения Au  f .
Определим, с решением какого уравнения связан элемент, реализующий минимум
функционала Gs ( x)   x  u S  u S  C . Для этого представим линейный функционал l ( x)
2
2
по теореме Рисса в виде: l ( x)  ( , x),   H . Тогда формула для Gs ( x) примет вид:
GS ( x)  ( Sx, x)  2( , x)  C , т.е. это некоторый функционал энергии для оператора S.
Этому функционалу соответствует операторное уравнение Su   .
Пусть S – симметричный положительно определённый оператор. Тогда справедливо
следующее утверждение.
46
Теорема. Для того чтобы некоторый элемент u из гильбертова пространства H доставлял
минимум функционалу GS ( x)  ( Sx, x)  2( , x)  C с самосопряжённым положительно
определённым оператором S, необходимо и достаточно, чтобы этот элемент удовлетворял
операторному уравнению Su   .
Доказательство достаточности: Рассмотрим элемент x  u  t . Тогда, рассмотрев
функционал
GS (u  t ) ,
и
проведя
необходимые
преобразования,
получим:
GS (u  t )  GS (u)  2t  Su   ,   t 2  S,  . Если u – решение операторного уравнения
Su   , тогда в этом соотношении выберем параметр t  1 и, после приведения подобных,
получим: GS ( x)  GS (u ) , т.к. ( S , )  0 в силу положительной определённости оператора
S.
Доказательство
необходимости:
Пусть
u
доставляет
минимум
функционалу
GS ( x)  ( Sx, x)  2( , x)  C . Рассмотрим произвольный элемент гильбертова пространства
  0 . Тогда, если подставить выражение u  t вместо x в GS ( x) , то получим выражение
GS (u  t )  GS (u)  2t  Su   ,   t 2  S,  .
u
доставляет
минимум,
т.е.
при
t  0 GS ( x) имеет минимальное значение. Следовательно, GS ( x) можно рассматривать как
функцию скалярного аргумента t, т.е. минимум будет достигаться на значении
GS
|  0.
t t 0
GS
 2  Su   ,   2  r ,  , где r    Su - невязка. Это означает, что u – решение
t
операторного уравнения Su   .
Замечание. Что делать, если S – не самосопряжённый, а симметричный и положительно
определённый? В этом случае функция GS тоже достигает своего минимума, но уже на
элементе u из пространства H S , и может получиться так, что u  D( S ) . Тогда элемент u
называется обобщённым решением соответствующего операторного уравнения Su   .
Чаще всего, и это бывает удобно, для определения обобщённого решения используют
равенство ( Su   , )  0 , где  - любой элемент пространства H. Это же равенство можно
переписать в следующем виде: обобщённым решением уравнения Su   будем называть
такой элемент u из энергетического пространства H S , для которого выполняется:
u, S   ,  . Это соотношение выполняется для любого
  H S , т.е. мы показали, что
элемент u одновременно будет являться решением операторного уравнения Su   и
доставлять
минимум
функционалу
u, S   ,  .
Предыдущее
доказательство
47
обосновывает существование обобщённого решения уравнения Su   при любой правой
части   H .
В связи с этим, уравнения типа
u, S   ,  ,
поскольку они связаны с задачей
минимизации функционалов, называются вариационными.
Важно понять, что задача минимизации функционалов Gs ( x)  ( Sx, x)  2l ( x)  C
и
Gs ( x)   x  u S  u S  C на специально построенном энергетическом пространстве H S и
2
2
задача определения обобщённого решения
уравнения
Su  
с симметричным
положительно определённым оператором, являются эквивалентными.
Соответственно, задача минимизации, определённая соотношением
u, S   ,  ,
сводится к следующему процессу: представлению по теореме Рисса линейного
функционала l ( x) в виде функционала u, S в пространстве H S .
Свойства минимизирующих последовательностей
Пусть дана последовательность элементов
минимизирующей
для
un   H S .
квадратичного
Эта последовательность будет
функционала
GS ( x) ,
если
GS (un )  inf GS ( x)  GS (u), u  H S .
Тогда, если последовательность un  - минимизирующая для функционала GS , то un  u
в норме пространства H S .
Вариационные методы. Минимизация квадратичных
функционалов. Обобщённый метод Ритца
Будем
исследовать
два
вида
функционала
GS :
Gs ( x)  ( Sx, x)  2l ( x)  C
и
Gs ( x)   x  u S  u S  C .
2
2
Пусть нам дан функционал ошибки s ( x)   x  u, x  u s и пусть последовательность
 k k 1

- полная в пространстве H S линейно-независимая система элементов. Тогда
обозначим через Ln оболочку, натянутую на первые n элементов этой системы, т.е.
Ln  1 ,..., n  , n  1 . Это означает, что, если un  Ln , то справедливо его представление в
n
виде: un   ai i .
i 1
Тогда задачу поиска минимума функционала GS на всём пространстве H S заменим
задачей поиска минимума этого же функционала по элементам x  Ln , полагая, что при
48
больших n решения этих задач будут мало отличаться друг от друга. Вполне
естественным является тот факт, что вторая задача намного проще, и она будет сводиться
n
к решению СЛАУ размерности nxn , т.е., если мы подставим соотношение un   ai i в
i 1
выражение для функционала GS ( x) , то получим: GS (un )  G  a1 , a2 ,..., an  , где G – обычная
числовая функция от n переменных. Необходимое условие существования минимума
функционала примет вид:
G
 0, k  1, n .
ak
Используем это соотношение для функционала в виде Gs ( x)  ( Sx, x)  2l ( x)  C . Получим:
 Sk , un    Sun ,k   2l k   0k  1, n ,
или,
если
учесть,
что
оператор
является
симметричным, то получим:  Sk , un   l k  .
n
Подставляя в последнее выражение соотношение un   ai i , получим систему уравнений
i 1
для определения un :
n
  , 
виде:
i 1
i
k S
n
  S ,   a
i
i 1
k
i
 l  k  , k  1, n . Это выражение можно переписать в
ai  l  k  , k  1, n
по
определению
скалярного
произведения
в
энергетическом пространстве.
Точно такая же система уравнений может быть получена и для функционала в виде
Gs ( x)   x  u S  u S  C : un  u,  k S  0, k  1, n .
2
2
n
Систему
  S ,  a
уравнений
i
i 1
обобщённого
метода
Gs ( x)  ( Sx, x)  2l ( x)  C
k
 l  k  , k  1, n
i
Ритца
для
называют
приближённой
системой
минимизации
уравнений
функционала
или для определения приближённого решения уравнения
Su   , а при S  A - определения приближённого решения уравнения Au  f .
n
Для
всех
систем
уравнений,
 Sk , un   l k  ,   Si ,  k  ai  l  k  , k  1, n ,
т.е.
i 1
n
  , 
i 1
i
k S
ai  l  k  , k  1, n и un  u,  k S  0, k  1, n можно сформулировать следующие
утверждения:
n
1. Система уравнений
  S ,  a
i 1
i
k
i
 l  k  , k  1, n всегда имеет решение, и притом
единственное.
49
n
2. Элемент un вида un   ai i , где коэффициенты ai являются решением системы
i 1
n
  S ,  a
i 1
i
k
i
 l  k  , k  1, n , является элементом наилучшего приближения для элемента
u в пространстве H S среди всех элементов подпространства Ln .
Лемма 3. Ошибка обобщённого метода Ритца ортогональна в пространстве H s
подпространству Ln .
Лемма 4. Последовательность приближений un  , построенных по обобщённому методу
Ритца, в пространстве H s сходится к обобщённому решению операторного уравнения
Au  f и определяет минимум в пространстве H s квадратичного функционала энергии
GA ( x)  ( Ax, x)  2( f , x) .
Реализация обобщённого метода Ритца. Проекционные методы.
Метод Галёркина
Получим уравнение классического метода Ритца, выбрав в качестве квадратичного
функционала
функционал
энергии
GA ( x)  ( Ax, x)  2( f , x)
при
n
S  A  0, l ( x)  ( f , x), C  0 . Тогда, с учётом вида решения un ( un   ai i ) получим
i 1
следующее соотношение:
n
  A ,   a   f ,   , k  1, n .
i
i 1
k
i
k
Это соотношение можно переписать в виде
 Aun  f , k   0, k  1, n .
В свою очередь,
соотношение для метода наименьших квадратов S  A* A  0, l ( x)  ( Ax, f ) , где A –
оператор из линейной оболочки гильбертова пространства, перепишем в виде:
n
  A , A  a   f , A  , k  1, n или  Au
i 1
Для
i
k
i
обобщённого
k
МНК,
n
где
 f , Ak   0, k  1, n .
S  A* BA  0, l ( x)  ( f , BAx) ,
–
B
положительный
n
самосопряжённый оператор, получаем соотношение:
  BA , A  a   f , BA  , k  1, n
i 1
i
k
i
k
или  Aun  f , BA k   0, k  1, n .
Для всех этих соотношений можно сказать, что различные модификации метода Ритца для
определения обобщённого решения операторного уравнения Au  f отличаются друг от
друга, в рамках допускаемых предположений о задаче минимизации функционала, во-
50
первых, выбором оператора S, во-вторых, выбором координатных элементов, на которых
строится приближённое решение un (другими словами, выбором i ).
Формулы
 Aun  f ,k   0 ,  Aun  f , Ak   0
невязка
rn  Aun  f
всегда
будет
и
 Aun  f , BAk   0
ортогональна
демонстрируют, что
некоторому
конечномерному
подпространству, которое определяется следующим образом:
- в случае  Aun  f , k   0 : Ln ;
- в случае
 Aun  f , Ak   0
и
 Aun  f , BAk   0
является линейной оболочкой элементов
свойство
позволяет
построить
 A k k 1
n
специальный
- подпространство, которое
BA k k 1
n
и
формальный
соответственно. Это
алгоритм
определения
приближённого решения un операторного уравнения Au  f при условии, что A  L( H ) и
не обязательно является симметричным.
Пусть, наряду с подпространством Ln определено некоторое подпространство Ln ,
построенное точно так же, как и Ln , но по другой системе независимых элементов, т.е.
если Ln  i  , то Ln   k  . Подставим в операторное уравнение Au  f элемент un ,
являющийся реализацией базисных функций i и потребуем, чтобы невязка rn  f  Aun
была ортогональна в соответствующем скалярном произведении подпространству Ln . В
случае функционала
следующего вида:
построенный
 Aun  f ,k   0
 Aun  f , k   0, k  1, n
таким
n
образом,
  A ,  a   f ,  , k  1, n
i 1
i
k
i
это требование приводит к системе уравнений
k
n
или
  A ,  a   f ,  , k  1, n .
i
i 1
называется
k
методом
i
k
Галёркина,
а
сама
Метод,
система
называется системой уравнений метода Галёркина.
Обобщение метода Галёркина
Пусть Ln и Ln - два n-мерных подпространства гильбертова пространства H s и P ортопроектор, действующий из H s в Ln . Тогда исходное операторное уравнение можно
заменить приближённым уравнением вида
PAun  Pf , un  Ln , которое называется
уравнением проекционного метода.
Из сравнения соотношений PAun  Pf и
n
  A ,  a   f , 
i 1
i
k
i
k
можно увидеть, что
уравнение Галёркина будет проекционным, т.е. метод Галёркина является проекционным
методом.
51
При
решении
соответствующих
непрерывных
задач
чаще
всего
используются
вариационно-разностные, проекционно-разностные методы и метод конечных элементов.
При этом специфика данных методов заключается в том, что в них координатные
элементы являются финитными функциями, которые построены специальным образом.
Соответственно, матрица СЛАУ в этом случае будет разреженной, а для того, чтобы при
увеличении размерности подпространства Ln получить устойчивое решение, необходимо
потребовать неухудшения числа обусловленности СЛАУ с ростом n, т.е. специальный
выбор координатных элементов позволяет это сделать.
Список литературы
1. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа .
М., Наука, 1976.
2. В.А. Треногин. Функциональный анализ. М., Наука, 1980.
3. Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. М., Наука, 1984.
4. В.С. Пугачев. Лекции по функциональному анализу. М., Изд. МАИ. 1996.
5. Э. Либ, М. Лосс. Анализ. Новосибирск, Изд. «Научная книга», 1998.
6. В.А. Садовничий. Теория операторов. М., Высшая школа, 1999.
7. В.И. Лебедев. Функциональный анализ и вычислительная математика. М., Физматлит,
2000.
8. С. Банах. Теория линейных операций . М., R&C, 2001.
9. В.А. Треногин и др. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М., Мир, 1984.
10. T.B.Ward. Functional analysis lecture notes. School of Mathematics, University of East
Anglia, 2000.
11. R.E. Showalter. Hilbert space methods for partial differential equations. Electronic Journal of
Differential Equations. Monograph 01, 1994.
52