Применение свойств функций для решения нестандартных задач

Колегаева Елена Михайловна
ПРОГРАММА И УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО
МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ «ПРИМЕНЕНИЕ
СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ»
Пояснительная записка
Большое количество математических методов основано на применении
свойств функций. С функциями, или функциональными зависимостями, человек
встречается постоянно в своей профессиональной, учебной и другой деятельности.
Задачи экономики, оптимального управления и многие другие требуют описания и
исследования функциональных зависимостей между переменными и параметрами
реальных процессов. В последние годы математическое моделирование широко
используется во многих областях, а это требует основательной подготовки
будущих специалистов, а ныне – школьников в области математического анализа.
Поэтому в программу ЕГЭ включено большое количество задач, требующих
понимания основных свойств функций и умения использовать эти свойства при
решении уравнений, неравенств или задач, содержащих неизвестный параметр.
Задачи курса
Основной задачей представленного курса «Применение свойств функций
для решения нестандартных задач» является:

систематизация изученного на протяжении ряда лет учебного материала,
посвященного основным элементарным функциям,

изучение методов решения нестандартных задач, использующих свойства
функций.
Подробно исследуется квадратный трехчлен и его график – парабола,
расположение параболы и ее корней в зависимости от параметров. Решаются
задачи разные типы задач с параметром. Освоение предложенного курса поможет
школьникам в подготовке к олимпиадам и к ЕГЭ.
Требования к уровню усвоения содержания курса
В результате освоения программы курса учащиеся должны знать:
 Основные элементарные функции и их характеристики (область определения,
множество значений, вид графика),
 Основные свойства функций: монотонность,
четность и нечетность,
периодичность, ограниченность,
Должны уметь применять эти знания:
 При решении уравнений и неравенств,
 Нестандартных задач,
 Для построения и исследования графиков функций.
Объем курса: предлагаемый курс рассчитан на 20 часов
Тематическое планирование
№
Тема
Кол-во
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
часов
Понятие функции. Область определения, множество
2
значений, график функции
Основные свойства функций – четность, нечетность,
2
периодичность, монотонность, ограниченность
Решение основных типов задач
4
Исследование квадратного трехчлена в зависимости от его
2
коэффициентов
Исследование расположения параболы и ее корней в
2
зависимости от параметров
Решение задач, содержащих неизвестный параметр
4
Решение уравнений, содержащих различные типы функций в
4
правой и левой частях
Итого 20 часов
Текст пособия
1. Основные понятия
Определение. Функцией f, действующей из множества X действительных чисел,
называется закон, по которому каждому элементу x, x X ставится в
соответствие единственный элемент y  f x .
Множество X называется областью определения функции y  f x  ,
множество Y, состоящее из всех значений функции, называется множеством
значений функции. Тот факт, что задана функция f с областью определения X и
множеством значений Y, часто записывают в следующей форме:
f
Y.
f : X  Y или X 
Замечание. Если функция задана формулой, то говорят, что она задана
аналитическим способом. Кроме аналитического способа, функцию можно задать
графически, таблично, описательно и т.д.
Определение. Графиком функции y  f x  называется множество точек
плоскости x, f x , где x X , f x Y .
y
2
1
x
1
2
0
Рис. 1.а
y
2
1
-2
-1
0
x
1
2
-1
Рис. 1.б
-2
Область определения функции может быть указана при задании функции. В
противном случае функция считается заданной на ее естественной области, которая
называется областью существования функции и определяется как множество всех
значений x, для каждого из которых выражение f x  имеет смысл.
1
. Если задать
x
1 
область определения X  1, 2 , то множеством ее значений будет отрезок Y   ,1
2 
Например, рассмотрим функцию, заданную аналитически y 
и графиком является часть гиперболы (рис. 1.а) Если же область определения не
задана, то функция рассматривается на всей области существования
X   , 0  0,  . В этом случае множество значений Y   , 0  0,   и
графиком является гипербола (рис. 1.б)
2. Основные свойства функций
1) Четность, нечетность
Определение. Функция y  f x  называется четной, если ее область определения
X является симметричным относительно начала координат промежутком и для
любого x X выполняется равенство f  x  f x  .
Определение. Функция y  f x  называется нечетной, если ее область
определения X является симметричным относительно начала координат
промежутком и для любого x X выполняется равенство f  x   f x .
Функция, не являющаяся четной или нечетной, называется функцией общего вида.
2) Монотонность
Определение. Функция y  f x  называется монотонно возрастающей на
промежутке U, если для любых x1 , x2 U выполняется неравенство f x1   f x2 .
Определение. Функция y  f x  называется монотонно убывающей на
промежутке U, если для любых x1 , x2 U выполняется неравенство f x1   f x2  .
3) Экстремумы
Определение. Точка x1 называется точкой максимума функции y  f x , если
существует некоторый промежуток U такой, что для любого xU выполняется
неравенство f x1   f x .
Замечание. Значение функции в точке максимума является наибольшим значением
функции на промежутке U, но не обязательно является наибольшим значением
функции на всей области определения. Слева от точки максимума функция
возрастает, справа – убывает.
Определение. Точка x2 называется точкой минимума функции y  f x , если
существует некоторый промежуток U такой, что для любого xU выполняется
неравенство f x2   f x  .
Замечание. Значение функции в точке минимума является наименьшим значением
функции на промежутке U, но не обязательно является наименьшим значением
функции на всей области определения. Слева от точки минимума функция
возрастает, справа – убывает.
Точками экстремума называются точки минимума и максимума функции.
4) Ограниченность, неограниченность
Определение. Функция y  f x  называется ограниченной сверху, если существует
такое число M, что для любого x X выполняется неравенство f x  M . В
противном случае говорят, что функция неограниченна сверху.
Определение. Функция y  f x  называется ограниченной снизу, если существует
такое число m, что для любого x X выполняется неравенство f x  m . В
противном случае говорят, что функция неограниченна снизу.
Определение. Функция y  f x  называется ограниченной, если она ограничена
сверху и снизу.
5) Периодичность
Определение. Функция y  f x  называется периодической, если ее область
определения есть неограниченный промежуток и существует такое число T,
называемое периодом функции, что для любого x X выполняется равенство
f x  T   f x  .
В противном случае говорят, что функция является
непериодической.
Напомним свойства основных элементарных функций, на которые будем
ссылаться в дальнейшем при решении задач.
Функция
Область
cуществования
Множество
значений
Четность
периодичность
Свойства основных элементарных функций
yx
R
R
Неч.
-
 ,0  0,
R \ 0
Неч.
-
y  x2n
R
0,
Чет.
-
y  x 2 n 1
R
R
Неч.
-
y  2n x
0,
0,
Общ
вида
-
y  2 n 1 x
R
R
Неч.
-
y  ax
R
0,
Общ
вида
-
y  log a x
0,
R
Общ
вида
-
y
1
x
Монотонность,
экстремумы
Возрастает на R экстремумов
нет
Убывает на  ,0  0, ,
экстремумов нет
Убывает на  ,0 , возрастает
на 0,  , x=0 – точка
минимума
Возрастает на R,экстремумов
нет
Возрастает на
0, ,экстремумов нет
Возрастает на R,экстремумов
нет
При а>1 возрастает на R,при
0<a<1 убывает на
R,экстремумов нет
При а>1 возрастает на
0, ,при 0<a<1 убывает
на 0, ,экстремумов нет
Возрастает на

 

   2k ,  2k  ,
 2
2

убывает на
y  sin x
R
1,1
Неч.
+


  2k ,   2k  k  Z ,
2

точки минимума:

x    2k , k  Z ,
2
точки максимума:

x   2k , k  Z
2
y  cos x
R
 1,1
Чет.
+
Возрастает на
   2k ,2k  ,
убывает на
2k ,  2k  k  Z ,


R \   k 
2

k  Z.
R
y  ctg x
R \ k ,
k Z
R
неч
+
y  arcsin x
1, 1
  
 2 , 2 
Неч.
-
y  arccos x
1, 1
0,  
Общ
вида
-
y  arctg x
R
  
 , 
 2 2
Неч.
-
y  arcctg x
R
0, 
Общ
вида
-
y  tg x
Неч.
+
точки минимума:
x    2k , k  Z ,
точки максимума:
x  2k , k  Z
Возрастает на


R \   k , k  Z ,
2

экстремумов нет.
Убывает на
R \ k, k  Z ,
экстремумов нет.
Возрастает на 1, 1 ,
экстремумов нет.
Убывает на R,
экстремумов нет.
Возрастает на 1, 1 ,
экстремумов нет.
Убывает на R,
экстремумов нет.
3. Исследование квадратного трехчлена
Рассмотрим квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 . Как известно,
графиком функции y  ax 2  bx  c является парабола. Напомним основные
положения, которые будут использоваться в дальнейшем. Преобразуем квадратный
трехчлен, выделив полный квадрат:

b
b2
f  x   ax 2  bx  c  a   x 2  2  x 
 2
2a 4a

 b2
 
c 
 4a
b 
b 2  4ac

 a x 
 
2a 
4a

2
На основе этого преобразования выводятся основные формулы и теоремы.
Приведем их.
1.Уравнение ax 2  bx  c  0 , где a  0 , имеет решение тогда и только тогда, когда
D  b 2  4ac  0 . При этом корни уравнения вычисляются по формуле
x1, 2 
b D
и квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители:
2a
ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x2  .
2. (теорема Виета) Если x1 , x2 - корни квадратного уравнения ax 2  bx  c  0 , то
b

 x1  x2   a ,
.

c
 x1  x2 
a

Из этой теоремы следует, в частности, что квадратный трехчлен можно записать в
виде x 2  x1  x2 x  x1x2 .
b

x0   ,

2a .
3.Парабола y  ax 2  bx  c имеет вершину в точке 
4
ac
 b2
 y0 
4a

4.Ветви параболы направлены вверх, если a>0 и направлены вниз, если a<0.
5. Парабола имеет две точки пересечения с осью Ox, если D>0; одну точку
пересечения с осью Ox, если D=0 и не имеет точек пересечения с осью Ox, если
D<0. Возможные случаи расположения параболы изображены на рисунке 2.
y
a>0, D>0
y
0
x0  
0
b
2a
x1
a<0, D>0
x1
x2
x0  
x
b
2a
x
x2
Рис. 2.1
Рис. 2.2
y
y
x1  x2  
a>0, D=0
b
2a
x
0
0
x
a<0, D=0
x1  x2  
b
2a
Рис. 2.3
Рис. 2.4
y
y
x0  
a>0, D<0
0
b
2a
x
x
0
a<0, D=0
x0  
b
2a
Рис. 2.6
Рис. 2.5
6.Парабола имеет единственную точку (0, с) пересечения с осью Oy.
7.Парабола симметрична относительно прямой x  
b
.
2a
8.Если a>0, то функция y  ax 2  bx  c имеет единственную точку минимума
b
x0   , наименьшее значение функции достигается в этой точке и равно
a
4ac  b 2
y0 
. Из этого следует, что множество значений функции y  ax 2  bx  c ,
4a
заданной на всей числовой прямой, есть луч Y   y0 ,    .
Если a<0, то функция y  ax 2  bx  c имеет единственную точку максимума
b
x0   , наибольшее значение функции достигается в этой точке и равно
a
4ac  b 2
y0 
. Из этого следует, что множество значений функции y  ax 2  bx  c ,
4a
заданной на всей числовой прямой, есть луч Y   , y0  .
4. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от
параметра
Часто встречаются задачи с параметрами, в которых требуется определить
расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси. Опираясь на
основные положения и обозначения предыдущего параграфа, рассмотрим
следующие случаи:
1. Пусть задан квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 и точка m на оси
Ox. Тогда оба коня x1, x2 квадратного трехчлена f x  будут строго меньше m тогда
и только тогда, когда выполняются следующие условия:
 a  0,
 D  0,


 x0  m,
 f m   0
или
 a  0,
 D  0,


 x0  m,
 f m   0
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 3.1 и 3.2.
y
y
a<0, D>0
f(m)
a>0, D>0
0
x1
x2
x0
x0
x
m
m
f(m)
0
x1
x2
x
Рис. 3.2
Рис. 3.1
2.Пусть задан квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 и точка m на оси
Ox. Неравенство x1  m  x2 выполняется тога и только тогда, когда числа a и f m
имеют разные знаки, то есть a  f m  0 (рис. 4.1 и 4.2.)
y
a<0
y
a>0
f(m)
0
f(m)
x1
m
x0
x2
x1
x
x2
x0
m
x
0
Рис. 4.1
Рис. 4.2
3. Пусть задан квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 и точка m на оси
Ox. Тогда оба коня x1, x2 квадратного трехчлена f x  будут строго больше m тогда
и только тогда, когда выполняются следующие условия:
 a  0,
 D  0,


 x0  m,
 f m   0
или
 a  0,
 D  0,


 x0  m,
 f m   0
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 5.1 и 5.2.
y
0
x0
m
a<0
y
a>0
x
x1
m
0
x2
x0
x
x1
f(m)
x2
f(m)
Рис. 5.1
Рис. 5.2
4. Пусть задан квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 и интервал (m,M)
Тогда оба корня x1, x2 квадратного трехчлена f x  принадлежат указанному
интервалу тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
 a  0,
 D  0,
m  x  M ,
0

 f m   0,

 f M   0
 a  0,
 D  0,
m  x  M ,
0

 f m   0,

 f M   0
или
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 6.1 и 6.2.
y
a<0
y
a>0
f(m)
f(M)
x1
0
x0
m
0
x2
M
Рис. 6.1
x
f(M)
m
x0
x1
M
x2
x
f(m)
Рис. 6.2
5. Пусть задан квадратный трехчлен f x   ax 2  bx  c , где a  0 , x1, x2 - его корни и
отрезок m, M  . Отрезок m, M  лежит в интервале x1, x2  тогда и только тогда,
когда выполняются следующие условия:
a  f m   0,

a  f M   0
Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 7.1 и 7.2.
y
a<0
y
a>0
f(M)
0
m
x0
M
x1
f(m)
x
x2
f(m)
0
x1
x2
m
x0
M
x
f(M)
Рис. 7.2
Рис. 7.1
Пример. Найти все значения параметра a, при каждом из которых оба корня
уравнения ax 2  a  1x  1  0 больше -2.
Решение. В условии задачи указано. Что уравнение имеет два корня, поэтому
a  0 . Рассматриваемая ситуация описывается случаем 3 и изображена на рисунке
5.1. и 5.2.
Найдем D  a  12  4a  a  12  0 , x0  
a 1
,
2a
f  2  4a  2a 1 1  2a  1 . Учитывая все это, запишем совокупность двух
систем:
 a  0,
a  12  0,

1 a
 2a  2,
 2a  1  0

или
a  0,

a  12  0,

1 a
 2a  2,
 2a  1  0

Решая эти две системы, получим a   ,  0,5  0, .
Ответ. При каждом значении параметра a из промежутка a   ,  0,5  0, оба
корня уравнения ax 2  a  1x  1  0 больше -2.
Пример. При каких значениях параметра a неравенство ax 2  a  3x  4  0
выполняется для любых x  1 ?
Решение. Если множество X – решение данного неравенства, то условие задачи
означает, что промежуток  1,   должен находиться внутри множества X, то есть
1,    X .
Рассмотрим все возможные значения параметра а.
1.Если а=0, то неравенство примет вид a  3x  4  0 , и его решением будет
 4
 3


промежуток X    ,    . В этом случае условие 1,    X выполняется и а=0
является решением задачи.
2.Если a  0 , то графиком правой части неравенства является квадратный
трехчлен, ветви которого направлены вверх. Решение неравенства зависит от знака
2
D  a  3  16a  a  1a  9 .
Рассмотри случай, когда D  0 . Тогда для того, чтобы для всех x  1
выполнялось неравенство ax 2  a  3x  4  0 , требуется, чтобы корни квадратного
трехчлена были меньше числа -1, то есть:
 a  0,
 D  0,


 x0  1,
 f  1  0
a  0,

 a  1a  9  0,

a3

  2a  1,
a  a  3  4  0

или
Решив эту систему, получим a  0,1 .
Если D  0 , то парабола лежит выше оси Оx, и решением неравенства будет любое
число из множества действительных числе, в том числе, и промежуток  1,   .
Найдем такие а из условия:
a  0,

D  0
a  0,


a  1a  9  0
или
Решив эту систему, получим a  1, 9.
3.Если a  0 , то при D  0 решением неравенства является промежуток x1, x2  ,
который не может включать в себя промежуток  1,   , а при D  0 данное
неравенство не имеет решений.
Объединяя все найденные значения а, получим ответ.
Ответ. Для любого значения параметра из промежутка a  0, 9 неравенство
ax 2  a  3x  4  0 выполняется для любых x  1 .
Пример. При каких значениях параметра а множество значений функции
y  a 2  1x 2  a  1x  2 содержит отрезок 0, 1 ?
Решение. 1. Если a 2  1  0 , то
а) при а =1 функция примет вид y = 2, и множество ее значений состоит из
единственной точки 2 и не содержит отрезок 0, 1 ;
б) при а = -1 функция примет вид y = -2x+2. Ее множество значений Y  R
содержит отрезок 0, 1 , значит а = -1 является решением задачи.
2.Если a 2  1  0 , то ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение
функция принимает в вершине параболы y0  f x0  :
x0 


a2  1
a 1
3a  5
1 a
1
y


2
,
.


0
2
2
4a  1
2 a 1
2a  1
4a  1 2a  1


 3a  5

,    , который
Множество значений функции есть промежуток Y  
 4a  1

содержит отрезок 0, 1 , если выполняются условия:
 3x  5
 0,

 4a  1
2

 a 1  0


5
3


Решая эту систему неравенств, получим a    ,  1 .
3. Если a 2  1  0 , то ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение
функция принимает в вершине параболы
y0 
3a  5
. Множество значений
4a  1

3a  5 
функции есть промежуток Y    ,
, который содержит отрезок 0, 1 , если
4a  1

 3x  5
 1,

выполняются условия:  4a  1
 a 2  1  0
Решая эту систему неравенств, получим a   1, 1 .
 5
 3


Объединяя решения, получим a    , 1 .
 5 
 3 
содержит отрезок 0, 1 .
Ответ. При a    , 1 множество значений функции


y  a 2  1 x 2  a  1x  2
Задачи для самостоятельного решения
1. Не вычисляя корней квадратного уравнения x 2  x  12  0 , найти
а) x12  x22 ,
б) x13  x23 ,
в)
1 1

x1 x2
2. Найти множество значений функции
а) y  x 2  4 x  6 ,
б) y   x 2  5x  2 , в) y  x 2  6 x  10 ,
y
1
x  2x  7
2
3. Решить уравнения
а)
г)
1
 x 3  6 x 2  12 x  9 ,
x  4x  5
2
б)
x 1 
x 1
x2
4. При каких значениях параметра а оба корня уравнения x 2  ax  4  0 лежат на
интервале (-5, 4)?
5. При каких значениях параметра а неравенство 4 x 2  4a  2x  1  0 выполняется
при всех значениях x?
6. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции
y  x 2  2ax  a 2  6a  6 на отрезке 0, 2 равно -1?
2
 x2 
 x2 
7. При каких значениях параметра а уравнение a 2   a  3 2   1  0
 x  1
 x 1
имеет корни?