Комплексные числа как расширение понятия действительного

Учащимся 10 класса
Елена Михайловна
Колегаева, доцент кафедры математических методов и
информационных технологий ДВАГС
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА КАК РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
Известно, что в области действительных чисел некоторые квадратные
уравнения имеют два корня, некоторые – один корень и некоторые – ни одного.
Такое положение вещей издавна тревожило математиков, казалось неестественным, и
не раз высказывалась идея о том, что, кроме действительных корней, такие уравнения
имеют еще «мнимые», воображаемые корни. Например, итальянский математик
Кардано в XVI веке писал (здесь мы приводим современные обозначения), что если
предположить, что можно извлечь корень из отрицательного числа, то числа
3   2 и 3   2 являются корнями квадратного уравнения x 2  6 x  11  0 (проверьте
по теореме Виета).
Таким образом, Кардано ввел в рассмотрение «мнимые величины» квадратные корни из отрицательных чисел. Правда, среди действительных чисел не
существует квадратных корней из отрицательных чисел, поэтому потребовалось
развивать теорию
новых чисел, которые назвали комплексными. В рассмотрение
ввели особое число, обозначаемое i и названное мнимой единицей, которое
удовлетворяет следующему свойству:
i 2  1 .
Таким образом, выражение для корней квадратного уравнения, о которых
писал Кардано, выглядит следующим образом: 3  i 2 и 3  i 2 . В дальнейшем
ученые нашли очень простое геометрическое истолкование комплексных чисел. Если
каждое действительное число есть точка на действительной оси, то каждому
комплексному числу ставится в соответствие точка на координатной плоскости,
называемой комплексной плоскостью.
В настоящее время комплексные числа применяются как математический
аппарат электродинамики, квантовой механики и других наук.
Определение комплексного числа. Различные формы записи
комплексного числа. Представление комплексных чисел на комплексной
плоскости
Определение: комплексным числом z называется упорядоченная пара (a, b)
действительных чисел. Число a называется действительной частью комплексного
числа z , число b называется мнимой частью комплексного числа z .
Обозначения: a  Re( z ) , b  Im( z ) .
Каждое комплексное число z  (a, b) можно представить точкой на комплексной
плоскости.
Комплексной плоскостью называют координатную плоскость (обозначают C ),
ось Ox которой называют действительной осью, ось Oy называют мнимой осью.
Единица действительной оси есть число 1, единица мнимой оси – мнимая единица i .
z  (3,2)
Например, число
можно представить точкой на комплексной
плоскости (см. рис. 1), и отождествить с ней точку (3,2) на плоскости в декартовой
системе координат.
Рис. 1
Отметим,
что
комплексное
число
0 записывается
в
виде
0  (0,0) ,
действительное число 1 есть комплексное число (1,0) , а мнимая единица записывается
как i  (0,1) . Поэтому
z  (a, b)  (a,0)  (0, b)  a(1,0)  b(0,1)  a  bi .
Запись комплексного числа в виде z  a  bi называется алгебраической формой
записи комплексного числа.
Определение:
Числа
z  a  bi
и z  a  bi называются
комплексно
сопряженными.
Существует еще другая форма записи комплексного числа, которая называется
тригонометрической. Рассмотрим на комплексной плоскости число
z  ( a, b) .
Соединим точку z с точкой 0 и рассмотрим прямоугольный треугольник 0 AZ (см.
рис. 2).
Рис. 2
Тогда, введя в рассмотрение угол  и обозначив OZ  r 
a 2  b2
, получим
a  r  cos  , b  r  sin  и тогда z  r  (cos   i  sin  ) называется тригонометрической
формой записи комплексного числа.
a 2 b 2
r
называется модулем комплексного числа z ,
 называется аргументом комплексного числа z и находится из системы равенств:
Re z

cos   r
.

Im z
 sin  
r

Обозначения: z  r , arg z   .
Отметим свойства модуля и аргумента комплексного числа.
1. z  0 , причем z  0 , только если z  0
2. z равен расстоянию от точки z до точки 0 на комплексной плоскости (то есть,
z есть длина вектора на плоскости, соответствующего числу z)
3. если
z ,z
1
2
z ,z
1
2
- комплексные числа, то
z z
1
2
равен расстоянию между точками
на комплексной плоскости.
4. если числа z, z - комплексно сопряженные, то zz 
5.
z z
1
2

z z
1
2
,
z
z
1
2

z
2
z
z
1
2
6. аргумент комплексного числа определен с точностью до числа 2    n
Пример
1.
Записать
z  cos
число

4
 i  sin

4
в
алгебраической
и
тригонометрической формах.
Решение. 1). Для того чтобы записать это число в алгебраической форме, вычислим:
cos
z

4

2

2
, sin 
. Подставив значения в число z , получим:
2
4
2
2
2
i
- алгебраическая форма.
2
2
2). Нужно отметить, что число z  cos

4
 i  sin

записано не в тригонометрической
4
форме, так как между действительной и мнимой частью стоит знак «минус».
Учитывая, что функция cos  -четная, а sin  - нечетная, имеем:




cos(  )  cos , sin(  )  sin , поэтому
4
4
4
4


z  cos(  )  i  sin(  ) - тригонометрическая форма.
4
4
Пример 2. Найти arg(  z ) .
Решение. Числа z  (a, b) и  z  (a,b) симметричны относительно числа 0=( 0,0) на
комплексной плоскости. Поэтому вектор, соответствующий числу  z  (a,b)
z  ( a, b) на угол  против часовой стрелки вокруг
получается поворотом вектора
точки 0. Поэтому arg(  z )  arg z   .
Действия с комплексными числами
1.
Сложение. Так как комплексное число можно интерпретировать как точку
на комплексной плоскости, то если
z1  a  i  b , z  a
1
1
2
2
 i  b2 , имеем:
z z
1
2
 (a1  a2)  i  (b1  b2)
Например:
(3+2i) + (-4+7i) = (3-4)+(2+7)I = -1+9i.
2.
Умножение.
а). Если числа заданы в алгебраической форме, имеем:
z z
1
Учитывая, что
 (a1  i  b1)  (a2  i  b2)  a1 a2  i  a1 b2  i  a2 b1  i  b1 b2 .
2
2
i
2
 1 , имеем:
z  z  a a b b
1
2
1
2
1
2
 i  (a1b2  a2 b1) .
в).
Если
z  r (cos
1
1
2
числа
заданы
 i  sin  ) , то
в
zz
1
2
2

комплексной
r r
1
2
z  r (cos
форме
1
1
1
 i  sin  ) и
1
 (cos(   )  i  sin(    )) .
1
2
1
2
При доказательстве мы используем формулы синуса суммы и косинуса суммы
двух углов ( проделайте самостоятельно).
Деление.
3.
а). Если числа заданы в алгебраической форме, то числитель и знаменатель
домножим на сопряженное к знаменателю число, чтобы в знаменателе получилось
действительное число. Имеем:
z
z
1

a  i b
a  i b
1

(a  i b )  (a  i b ) a a  b b  i  (a b  a b )

(a  i b )(a  i b )
a b
1
2
2
( проделайте вычисления самостоятельно, учитывая равенство
i
2
в).
Если
z  r (cos
1
1
z
z
1
2

r
r
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
числа
2
заданы
1
2
1
2
2
в
комплексной
2
2
2
2
2
форме
1
2
 1 ).
z  r (cos
1
1
1
 i  sin  ) и
1
 i  sin  ) , то
2
 (cos(   )  i  sin(    )) , если
1
2
1
2
z
2
 o.
2
Возведение в степень.
4.
Формулу произведения двух комплексных чисел можно обобщить на n
сомножителей. Отсюда, как частный случай, получается формула:
z  (r (cos isin  ))  r  (cos(n )isin( n ))
n
n
n
5. Извлечение корня n-ой степени.
Имеет место формула Муавра:
n
z  n z  (cos
  2k
n
 i  sin
  2k
n
) , где k  Z .
Таким образом, комплексное число z имеет бесконечно много корней n-ой
степени, причем различных корней – ровно n штук. Все корни расположены на
окружности радиуса
n
r в вершинах правильного n-угольника.
Пример 3.
Вычислить 4 16(cos   i  sin  ) .
Решение: По формуле Муавра имеем:
4
16(cos   i  sin  )  2  4 cos   i  sin   2  (cos
 2  (cos(

4


2
  2  n
4
 n)  i  sin(

4


2
 i  sin
  2  n
4
)
 n) , n  Z
При различных значениях n получим все корни комплексного числа. Среди них
имеются ровно четыре различных. Их можно получить, подставляя значения n:

0
 2  (cos
0
 2  (cos(
При n  0 имеем:
z
При n  1 имеем:
z
При n  2 имеем:
z
При n  3 имеем:
z
4

4
0
 2  (cos(
0
 2  (cos(

4

4
 i  sin


2

4
)  2 i 2 .
)  i  sin(

4


2
))   2  i  2 .

2 
 2 
)  i  sin( 
))   2  i  2 .
2
4
2

3 
 3 
)  i  sin( 
))  2  i  2 .
2
4
2
Все эти корни находятся на окружности радиуса
2 в вершинах правильного
четырехугольника (квадрата) (см. рис. 3)
Z1
Zo
1
1
Z3
Z2
Рис. 3.
(1i)
Пример 4. Вычислить
cos

3
2
 i  sin

. Ответ записать в алгебраической форме.
3
Решение. Вычислим выражение, стоящее в числителе, результат запишем в
тригонометрической форме


(1 i)  1 2i  i  1 2i 1 2i  2(cos  i sin )
2
2
2
Подставим полученное число в числитель и применим формулу деления
комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
2  (cos

 i  sin

)
2  2  (cos(    )  i  sin(    ))  2  (cos   i  sin  ))  3  i .


2 3
2 3
6
6
cos  i  sin
3
3
2
Ответ: 3  i .
Решение уравнений.
1. Решение рациональных уравнений n-ой степени.
Из основной теоремы алгебры известно, что каждое алгебраическое уравнение
степени n имеет во множестве комплексных чисел ровно n корней.
Рассмотрим уравнение
a z
n
n
 an 1  z
n 1
 ...  a1  z  a0  0
,
где коэффициенты ai (i = 0,1, 2,…,n) – действительные числа. Основной метод
решения таких уравнений – разложение на множители. При этом, среди множителей
могут быть линейные вида
квадратичные
( z  p z  q)
2
(z  z ) и
i
тогда
z
является корнем уравнения и
i
. Решая квадратное уравнение
( z  p  z  q)  0 ,
2
можем получить:
1) два различных действительных корня, если
D  p  4 q  0
2
2) два совпадающих действительных корня, если
3) два комплексных (сопряженных) корня, если
D  p  4q 0
2
D  p  4q 0 .
2
Пример 5. Решить уравнение:
z 5z 9 z 50
2
3
Решение. Преобразуем левую часть уравнения для того, чтобы применить метод
группировки:
z 5z 9z 5 z 4z  z  4z 5z 5( z 3 z 2)(4z 2  4z)
3
2
3
2
2
(5z 5) z 2( z 1)4z( z 1)5( z 1)( z 1)( z 2 4 z 5)
Тогда уравнение примет вид:
( z 1)( z 24z 5)0
z 10
или
z 1
Учитывая, что
z 24z 50
или
z 2 (45) , z 2 (45) .
1
2
(4  5)   1  i , получим
z  2  i , z  2 i
1
2
Ответ: корни уравнения
.
z 2i , z 2i, z 1 .
1
2
3
2. Решение уравнений произвольного вида.
Другой способ решения уравнений основывается на том, что если
z z
1
2
, то
Re z1  Re z 2

Im z1  Im z 2
Таким образом, необходимо отделить действительные и мнимые части уравнения,
приравнять их и решить полученную систему уравнений.
Пример 6. Решить уравнение z 1  z .
Решение. Пусть z  x  iy. Тогда уравнение имеет вид:
x iy 1 x 2  y 2
.
Отделив действительные и мнимые части в обеих частях равенства, получим:
2
2

 x 1 2 x  y


y 0

Решим уравнение
x 1 2 x
 x 1 0

 x 1 2 x
 x  1

 x 1
Оба корня
x 1 , x  
1
2


  x 1 2  x

y 0
Оно эквивалентно совокупности двух систем:
или
или
 x 10

 x 1 2 x
 x  1

1

 x
3

1 удовлетворяют условию
x  1 . Возвращаясь к системе,
3
1
. Вспоминая, что z  x  iy , получим ответ.
3
y 0

получим:  x1 1 или  x2  

 y1 0



2
Ответ: z 1, z   1 .
1
2
3
Линии и области на комплексной плоскости.
В заключение исследуем геометрический смысл уравнений и неравенств с
комплексными
числами. Так как каждое комплексное число представляет собой
точку на комплексной плоскости, то уравнение с комплексными числами задает на
плоскости линию. Укажем некоторые из них.
(а)
z z R .
0
Так как
z z
0
есть расстояние между точками
определяется как множество точек
z
z
То же самое можно получить, положив
zz
0

z
0
, то данная линия
, расстояние от каждой из которых равно
Это – уравнение окружности с центром в точке
точки в уравнение. Т. к.
и
z
и радиуса
R.
z  xiy, z  x  i y
0
0
( x  x 0)  ( y  y 0)
2
2
R.
0
и подставив эти
( x  x0)  ( y  y 0)  R , или
, то
2
2
( x  x0)  ( y  y 0)  R - уравнение окружности.
2
2
2
arg(z) 
.
(б)
Это – уравнение луча, выходящего из точки (0,0) под углом

к положительному
направлению оси Ox. При этом, так как для точки 0  i  0 аргумент не определен, то
точка (0,0) является «выколотой».
Пример 7. Изобразить на комплексной плоскости линию, задаваемую уравнением
z  z  2  Re z  0 .
Решение: Пусть z  x  i  y . Тогда z  x  i  y и уравнение примет вид:
x
y  2 x 0 . Выделим полный квадрат: x
2
2

2
 2 x 1 y 2 1
x
2

y
2
 2 x 110
. Получим:
, или ( x 1)2  y2  1 - уравнение окружности с центром в точке
(-1,0) и радиуса 1.
Неравенство
с
комплексными
числами
задает
на
плоскости
область,
ограниченную соответствующей линией.
а).
z z R
задает на плоскости внутренность окружности (см рис 4 а).)
б).
z z R
задает на плоскости внешнюю часть окружности (см рис 4 б).)
0
0
в).  arg( z) задает на плоскости внутренность угла, ограниченного лучами
1
2
arg( z) и arg( z) . (см. рис. 4 в).)
1
2
Рис. 4а)
Рис. 4б)
Рис. 4в)
Пример 8. Изобразить на плоскости множество точек, задаваемых системой
неравенств

 z (1i) 3

 

 arg z 
 4
4
.
Первое неравенство задает на плоскости внешнюю область окружности с центром
в точке (1,1) и радиуса 3, вторая область задает внутренность угла со сторонами
 

4
и

4
. Общая область – пересечение этих двух областей (см. рис 5.).
Рис. 5
Контрольные задания
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 10
классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000,
г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее
30 баллов. В решениях следует делать необходимые пояснения и рисунки, дающие
представления о ходе Ваших рассуждений.
М.10.1.1. Записать комплексные числа в алгебраической и тригонометрической
форме, отметить их на комплексной плоскости (5 баллов за пример).
16




(
1

i
)
а). z  cos  i  sin , б ). z   cos  i  sin ,
в ).
6
6
6
4
(1i)
4
М.10.1.2. Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форм (5 баллов за
пример).
(i  3 )(cos

12
1 i
а).
 i sin

12

13
)
б).
 3 i
  
 2 2


в).

7
(cos i sin )(1 3)
3
3
5
i
М.10.1.3. Вычислить все различные корни их комплексного числа и нанести их на
комплексную плоскость (5 баллов за пример).
а). 6 32(cos   i sin  )
б). 4 i
в). 3 1
г). 4  1
М.10.1.4. Решить уравнения (10 баллов за пример).
а).
z 6z 100
2
б).
z 10 290
2
в).
z  z 0 г). z iz 1 2i
2
М.10.1.5. При каких значениях параметра a уравнение имеет комплексные корни? (10
баллов за пример).
а). x2 10 x  a 0
б). 4 x2  4(a  2) x 10
Найти эти корни при каком-либо значении параметра.
М.10.1.6. Какое множество точек на комплексной плоскости задается условием? ?
(10 баллов за пример).
2
2
а). (Re z) (Im z) 2 б). Im( z  z ) (Re z) в). z z  4 Im z 0
г).
Re( z )0
2
д).
2 Re(iz) z
2


  arg z 
е).  6
2
 Im z  3
Изобразить найденное множество на комплексной плоскости.