Таблица 2.2 - Томский государственный университет
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕЖДУНАРОДНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА,
ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ И ОХРАНЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
Е.В. ЕВДОКИМОВ
ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИЙ
В ЗАДАЧАХ И РЕШЕНИЯХ
Томск-2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Тема 1. Нелимитированный рост численности популяции
Задача 1.1.
Тема 2. Плотностно-зависимый рост популяций.
Логистическое уравнение Ферхюльста.
Задача 2.1.
Задача 2.2.
Тема 3. Влияние концентрации лимитирующего субстрата
на скорость размножения. Уравнение Моно.
Задача 3.1
Задача 3.2
Задача 3.3
Тема 4. Лимтированный рост популяции. Хемостат.
Экономический коэффициент и траты на поддержание
Задача 4.1
Задача 4.2
Задача 4.3
Задача 4.4
Задача 4.5
Тема 5. Ингибирование роста и размножения
Задача 5.1
Задача 5.2
Задача 5.3
Тема 6. Динамика конкуренции и отбора в популяциях
Задача 6.1
Задача 6.2
3
Тема 7. Динамика популяций с дискретным временем.
Предельные циклы и детерминированный хаос
Задача 7.1
Задача 7.2
Задача 7.3
2
Введение
3
Тема 1.
Нелимитированный рост численности
популяции
Теория: Нелимитированный рост численности популяции при
постоянных условиях среды описывается дифференциальным
уравнением Мальтуса (Ризниченко, Рубин, 1993) :
dx
rx,
dt
(1.1)
где x – численность (плотность) популяции, t – время, r –
мальтузианский параметр, имеющий смысл удельной скорости
роста. Размерность мальтузианского параметра – [время-1].
Решением данного уравнения является выражение:
r t
(1.2)
x x e ,
t
0
где x0 – начальная численность популяции.
Задача 1.1.
Условия: С целью изучения динамики эвтрификации
водоемов, загрязненных минеральными удобрениями, в пяти прудах
моделировали
размножение
синезеленых
водорослей
в
нелимитированных условиях. Полученые данные об изменении
численности популяции водорослей в каждом пруду представлены в
таблице 1.1.
Таблица 1.1
Титр клеток водорослей, кл./мл
Время, час
t
0
Пруд 1
x1
135
Пруд 2
x2
171
Пруд 3
x3
60
Пруд 4
x4
252
Пруд 5
x5
106
24
245
270
113
371
201
48
374
491
186
710
275
72
545
693
269
1088
451
96
839
1163
447
1772
689
120
1544
1788
796
2534
1304
144
2392
3460
1024
4842
2161
168
3433
4704
2131
6478
3386
192
6586
8526
3107
10429
5326
216
10129
13198
4351
19953
8928
4
Вопросы: На основе этих данных определить для популяции
водорослей в каждом пруду значение мальтузианского параметра r
(удельной скорости размножения) и период удвоения T. Найти также
соответствующие медианы по полученным выборкам r и T.
Решение: Нелимитированный рост численности популяции
описывается экспоненциальной функцией Мальтуса:
r t
(1.3)
x x e ,
t
0
где x0 – начальная численность популяции, r – мальтузианский
параметр, t – время (см. рис.1.1).
Численность популяции, x1
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
50
100
150
200
Время, час
Рис.1.1. Экспоненциальная зависимость численности популяции от времени
при условии нелимитированного роста
Для
обработки экспериментальных данных используем
логарифмическую форму этого уравнения:
ln x t rt
x0
(1.4)
С этой целью каждый элемент 2-6 столбцов необходимо разделить
на соответствующий начальный элемент и взять натуральный
логарифм этого отношения (см. таблицу 1.2).
Далее, для каждого пруда на основе таблицы 1.2 следует
построить график, где по оси абсциcc откладывается время, а по
оси ординат – соответствующее значение ln (xt/x0), как это показано
на рис.1.2. Экспериментальные данные должны сгруппироваться
5
около прямой линии, тангенс угла которой и есть искомое значение
мальтузианского параметра r .
Таблица 1.2
Время, час
ln (x1t/x10)
ln (x2t/x20)
ln (x3t/x30)
ln (x4t/x40)
ln (x5t/x50)
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
24,00
0,60
0,46
0,63
0,39
0,64
48,00
1,02
1,06
1,13
1,04
0,95
72,00
1,40
1,40
1,50
1,46
1,45
96,00
1,83
1,92
2,01
1,95
1,87
120,00
2,44
2,35
2,59
2,31
2,51
144,00
2,87
3,01
2,84
2,96
3,01
168,00
3,24
3,31
3,57
3,25
3,46
192,00
3,89
3,91
3,95
3,72
3,92
216,00
4,32
4,35
4,28
4,37
4,43
5
ln (xt/x0)
4
3
2
r = tg
1
0
0
40
80
120
160
200
240
Время, час
Рис.1.2. Линеаризация экспоненциальной зависимости, представленной на
рис.1.1, и определение мальтузианского параметра r .
Значение периода удвоения T находим по формуле:
6
T
ln 2
r
(1.5)
Результаты обработки данных в этой задаче представлены в
таблице 1.3.
Таблица 1.3
Пруд 1
Пруд 2
Пруд 3
Пруд 4
Пруд 5
r , час-1
0.0197
0.0201
0.0198
0.0198
0.0204
T, час
35.19
34.48
35
35
33.98
Медиану определяем обычным способом как срединное
значение в выборке:
Ме(r)= 0.0198 час-1, Ме(T)= 35 час.
7
Тема 2. Плотностно-зависимый рост популяций. Логистическое
уравнение Ферхюльста.
Теория: При ограничении процессов размножения организмов
в популяции каким либо ресурсом, например количеством доступной
пищи, удельная скорость роста популяции зависит от ее
численности (плотности). Математические модели, учитывающие
данный эффект, называются моделями плотностно-зависимого
роста. Логистическое уравнение Ферхюльста является простейшей
моделью из этого ряда. В данной модели предполагается, что
удельная скорость роста популяции линейно уменьшается с ростом
численности, и имеется также некая предельная численность
популяции, K, при достижении которой добавление к популяции
новых особей возможно лишь при условии определенной гибели
уже имеющихся особей. Эта предельная численность K носит
название емкость среды. Данный параметр известен также как
ресурсный. Уравнение Ферхюльста имеет следующий вид:
dx
x
x r 1 .
dt
K
(2.1)
Здесь r – мальтузианский параметр,
K – ресурсный параметр.
Уравнение Ферхюльста имеет аналитическое решение:
x0 Kert
x (t )
,
K x0 x0 e rt
(2.2)
где x0 – начальная численность популяции. Пример логистической
популяционной динамики приведен на рис. 2.1
Чис л е ннос ть попул я ции
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
60
80
100
120
140
В ре м я
Рис.2.1. Логистический рост популяции.
r = 0.07 год-1, K = 1000 особей, x0 = 10 особей.
8
Задача 2.1.
Условия: В 1937 г. на остров Протекшен у побережья штата
Вашингтон завезли двух самцов и шесть самок обыкновенного
фазана (Phasianus colchicus). За пять лет численность популяции
фазана достигла 1325 размножающихся особей, т.е. возросла в 166
раз. Судя по некоторым признакам, рост этой популяции происходит
по логистической кривой. От двух самцов
и шести самок,
привезенных на остров в 1937 г., она возросла до 30 особей к весне
1938 г., до 81 – в 1939 г., до 282 – в 1940 г., 641 – в 1941 г., 1194 – в
1942 г. и до 1898 – в 1943 г., когда на остров прибыли военные
части, и солдаты начали охотиться на фазанов (рис.2.2). Однако,
создается впечатление, что к 1943 г. численность популяции
фазанов начитает стабилизироваться (Солбриг,Солбриг, 1982).
Численность популяции
2000
1500
1000
500
0
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
Время
Рис.2.2. Измнение численности популяции фазанов на острове Протекшен.
Вопросы:
1. Показать, что в данной популяции фазанов наблюдается
плотностно-зависимый рост численности.
2. Используя приведенные данные о росте численности популяции
фазанов найти для этой популяции значения параметров
логистическго
уравнения
Ферхюльста:
мальтузианского
параметра r и ресурсного параметра К.
9
Решение:
1. Для ответа на первый вопрос представим данные в координатах
{ln(x), t}, где x – численность популяции, t – время. При плотностнозависимом росте данные в указанных координатах должны
отклонятся от прямой линии
с течением времени, что и
наблюдается в нашем случае (рис.2.3). Это свидетельствует о том,
что удельная скорость роста уменьшается с увеличением
численности.
2. Решение второго вопроса разобьем на два этапа. На первом
этапе используем приближенное выражение, получаемое из
уравнения Ферхюльста (2.1):
где
1 x r ~
x
r
~
x t
K
x x i 1 x i и ~ x i 1 x i
x
t
t i 1 t i
2
(2.3)
.
8
7
ln(x)
6
5
4
3
2
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
Время
Рис.2.3. Изменение численности популяции фазанов в полулогарифмических
координатах
Для этого на основе первичных данных рассчитаем дополнительные
переменные 1 x
~
x t
и ~
x , как это указано в таблице 2.1, и
10
представим их в виде графика, где по оси абсцисс будем
1 x
откладывать ~
x , а по оси ординат -
~
x t
(рис.2.4).
Таблица 2.1
1 x
~
x t
Время Численность
t
~
x
ln (x)
x
ln
x
K x
1937,00
8,00
2,08
19,00
1,16
-5,74
1938,00
30,00
3,40
55,50
0,92
-4,41
1939,00
81,00
4,39
181,50
1,11
-3,40
1940,00
282,00
5,64
461,50
0,78
-2,06
1941,00
641,00
6,46
917,50
0,60
-1,06
1942,00
1194,00
7,09
1546,00
0,46
-0,09
1943,00
1898,00
7,55
1,15
1.2
1.1
1
0.9
(1/x)*(dx/dt)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
K
0.3
0.2
0.1
0
0
500
1000
1500
2000
2500
x
Рис.2.4. Определение параметра K по дополнительным переменным,
представленным в таб. 2.1.
Точки на графике группируются около прямой линии, которая
согласно выражению (2.3) пересекает
ось абсцисс в точке,
11
соответствующей величине K (рис.2.4). В рассматриваемом случае
величина параметра K равна 2500.
2
1
ln(x/(K-x))
0
-1
-2
-3
r = tg
-4
-5
-6
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
Время, год
Рис. 2.5. Определение параметра r по данным из таблицы 2.1.
Для нахождения параметра r воспользуемся интегральной
формой уравнения Ферхюльста в логарифмическом виде:
ln
На основе ряда x
ln
x
K x
, как
x
K x
ln
x0
rt
K x 0
(2.4)
рассчитаем дополнительную переменную
указано в таблице 2.1. и построим график для этой
переменной против переменной t
(рис. 2.5). Как видно,
экспериментальные точки группируются около прямой линии,
тангенс угла которой согласно выражению (2.4) дает значение
параметра r. Для рассматриваемого случая tg = 1.13. Учитывая
размерность шкал получаем искомый ответ: r = 1.13 год-1 .
12
Задача 2.2
Условия: В Кузнецком Алатау на одном из охотучастков велась
добыча соболя. Через некоторое время охотоведы заметили
резкое снижение численности популяции. Когда численность соболя
на участке упала ниже известной критической величины, был
сделан вывод о неконтролируемом браконьерском промысле.
Контролируемый промысел был остановлен, и был организован
ежегодный учет численности популяции соболя. Данные
представлены в таблице 2.2 и на рис.2.6.
Таблица 2.2
Время, год
Численность
Время, год Численность
0
1120
8
1940
1
1147
9
2072
2
1189
10
2173
3
1253
11
2245
4
1346
12
2293
5
1470
13
2324
6
1620
14
2343
7
1784
15
2355
2600
Численность популяции
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Время, год
Рис.2.6. Изменение численности популяции соболя после отмены
контролируемого промысла
13
Вопросы: По данным, представленным в таблице 2.2. определите,
сколько соболей в год браконьеры добывали на данном участке Np,
каковы кинетические параметры популяции соболей на данном
участке (r и K), какова критическая численность популяции в
условиях
браконьерства xкр. и какова критическая величина
промысла Nкр.
Решение: Будем описывать динамику этой популяции следующим
уравнением (Базыкин, 1985):
dx
dt
r(1
x
) Np.
K
(2.5)
Здесь r - мальтузианский параметр, K – ресурсный параметр, Np –
браконьерский промысел.
Для решения на первом этапе используем приближенную
форму данного уравнения:
~
x
r(1
) Np,
K
x x i 1 x i и ~ x i 1 x i
x
t
t i 1 t i
2
x
t
где
С этой целью на основе данных о
дополнительные переменные
x
t
и
~
x
(2.6)
.
xi и t i
рассчитаем
(см. таб.2.3.), а затем
построим график в этих координатах (рис.2.7). Точки на графике
должны лечь на кривую, перевернутую параболу, которая
пересекает ось абсцисс в точках X1 и X2, соответствующих
стационарным решениям уравнения (2.5).
Для исследуемой популяции по графику (рис.2.7) определяем,
что X1 = 1086 и X2 = 2373. Из этих данных далее определяем
значение параметра K, т.к. из теории (Базыкин, 1985) известно, что
K = X1 + X2. В нашем случае K =1086 + 2373 = 3459 особей.
Знание параметра K и значений X1 и X2 позволяет нам
использовать для дальнейшего решения задачи интегральную
форму уравнения (2.5):
ln
x X 1
X 2 x
ln
x 0 X 1
X 2 x0
r (X X )
2
1 t
K
(2.7)
14
Таблица 2.3
Время, год
Численность
t
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1120
1146
1189
1253
1345
1469
1620
1783
1939
2072
2173
2245
2292
2323
2342
2354
x
t
~
x
1133
1168
1221
1299
1407
1544
1701
1861
2005
2122
2209
2268
2308
2333
2348
ln
x X 1
X 2 x
-3,60
-3,00
-2,43
-1,90
-1,37
-0,85
-0,34
0,16
0,67
1,18
1,69
2,20
2,71
3,22
3,72
4,23
26,9
42,2
64,1
92,4
123
150
163
156
132
101
71,6
47,8
30,7
19,2
11,8
180
160
140
120
dx/dt
100
80
60
40
X2
X1
20
0
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
x
Рис.2.7. Определение параметров X1 и X2, по данным из таблицы 2.3.
15
Рассчитаем
ln
x X 1
X 2 x
соответствующую
дополнительную
переменную
, как указано в таб.2.3. и построим график для этой
переменной против переменной t (рис.2.8).
5
ln[(x-X1)/(X2-x)]
3
1
-1
r
tg = (X 2 - X1)
K
-3
-5
-2
2
6
10
14
18
Время, t
Рис.2.8. Определение параметра r по данным из таблицы 2.3.
Для этого графика tg = 0.517. Далее определяем значение
параметра r :
r
K tg
X 2 X1
3459 0.517
1.39
2373 1086
Учитывая размерность осей получаем r = 1.39 год-1.
Значение параметра Np (интенсивность браконьерского
промысла) находим из выражения:
откуда
Np
rK
4
X 2 X 1
1
K
2
X 2 X1 K
1
4N
p
rK
1.39 3459 2373 1086 2
1
4
3459
,
1035
Критическая численность популяции в условиях браконьерского
промысла, согласно теории, равна стационарному решению X1,
поэтому xкр. = 1086 особей. Критическую величину промысла Nкр
находим из соотношения
N kp
rK
4
1.35 3459
1167 особей.
4
16
Тема 3. Влияние концентрации лимитирующего субстрата на
скорость размножения. Уравнение Моно.
Теория:
Из множества необходимых для жизнедеятельности
пищевых компонентов, субстратов, потребляемых организмами
исследуемой популяции, субстрат, находящийся в наименьшей
доступности и лимитирующий ростовые процессы, определяет
скорость размножения. Этот принцип известен как принцип
минимума Либиха. Количественная зависимость удельной скорости
размножения r от количества (концентрации) лимитирующего
субстрата S , как правило, имеет насыщающий характер и обычно
описывается уравнением Моно (Печуркин, 1978; Ризниченко, Рубин,
1993):
r( S )
rmax S .
K S S
( 3.1)
У д е льна я с корос т ь ра з множе ния
Уравнение Моно имеет два параметра: rmax – максимально
возможная скорость размножения при избытке субстрата
(размерность – [время]-1) и KS – коэффициент насыщения
(размерность – аналогичная размерности субстрата). Согласно
теории коэффициент насыщения численно равен той концентрации
субстрата, при которой наблюдается половинная от максимальной
скорость размножения. Типичный вид зависимости Моно
представлен на рис.3.1.
rmax
100
80
60
40
20
KS
0
0
2
4
6
8
10
12
14
К он ц е н т ра ц ия с у б с т ра т а
Рис.3.1. Зависимость удельной скорости размножения от концентрации
лимитирующего субстрата в соответствии с уравнением Моно
17
Задача 3.1
Условия: С целью определения кинетики размножения популяции
бактерий Escherichia coli
(кишечная палочка) изучали рост и
размножение клеток данных бактерий при различных концентрациях
лимитирующего субстрата, глицерина. Клетки выращивали при
оптимальных условиях и через каждые полчаса измеряли
оптическую
плотность
культуры
(показатель,
отражающий
численность популяции). Полученные в результате эксперимента
данные представлены в таблице 3.1. и на рис.3.2.
Таблица 3.1.
Время
час
Оптическая плотность культуры клеток
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
Оптическая плотность культуры
при различной концентрации
субстрата (мг/л), Ex
50
0,12
0,16
0,17
0,24
0,29
0,34
0,40
0,53
0,63
0,78
100
0,12
0,15
0,20
0,24
0,34
0,44
0,59
0,82
1,04
1,34
200
0,09
0,12
0,18
0,24
0,31
0,49
0,61
0,94
1,36
1,79
400
0,14
0,19
0,27
0,42
0,59
0,82
1,32
1,81
2,41
3,62
800
0,10
0,17
0,26
0,36
0,48
0,75
1,06
1,75
2,35
3,96
ln (Ext /Ex0)
при различной концентрации
субстрата (мг/л)
50
100
200
400
800
-0,05 -0,01
0,01 -0,01
0,03
0,22
0,20
0,32
0,31
0,53
0,27
0,50
0,67
0,66
0,96
0,63
0,68
0,96
1,10
1,29
0,80
1,03
1,22
1,43
1,57
0,95
1,29
1,69
1,77
2,02
1,12
1,59
1,91
2,24
2,36
1,41
1,93
2,34
2,56
2,86
1,57
2,16
2,72
2,84
3,16
1,79
2,42
2,99
3,25
3,68
4
3
2
1
0
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
S50
S100
S200
S400
S800
Рис.3.2. Изменение
оптической плотности культуры клеток E.coli при различной концентрации
лимитирующего
субстрата (глицерина). Здесь S50 –
концентрация
субстрата 50 мг/л,
S100 – концентрация
субстрата 100 мг/л и
т.д.
Время, час
Вопросы:
Определить
на
основе
представленных
экспериментальных данных кинетические параметры размножения
клеток кишечной палочки (параметры уравнения Моно, rmax и KS)
18
Решение: На первом этапе обработки экспериментальных данных
определим удельную скорость роста r клеток кишечной палочки
для каждой концентрации лимитирующего субстрата по алгоритму,
рассмотренному в задаче 1.1. В качестве показателя, отражающего
относительное изменение численности популяции во времени,
будем использовать отношение соответствующих значений
оптической плотности Ext /Ex0 (Перт,1978). Рассчитаем для каждой
концентрации дополнительную переменную ln(Ext /Ex0) и построим
график зависимости этой переменной от времени (таб.3.1. и
рис.3.3). Экспериментальные точки для каждой концентрации
должны сгруппироваться около соответствующей прямой линии,
тангенс угла которой равен оценке r для этой концентрации.
4
3.5
3
ln(Ex t/Ex0)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
S50
S100
S200
S400
S800
Время, час
Рис.3.3. Определение значений удельной скорости размножения r клеток E.coli
для каждой концентрации лимитирующего субстрата. Обозначения те же, что и
на рис.3.2.
Определенные таким образом значения r для каждой концентрации
лимитирующего субстрата S представлены в таблице 3.2., а
соответствующий график – на рис.3.4.
19
Таблица 3.2.
50
100
200
400
800
0.405
0.55
0.67
0.73
0.78
Удельная скорость размножения, час
-1
Концентрация
лимитирующего
субстрата S, мг/л
Удельная
скорость
размножения r,
час-1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
200
400
600
800
Концентрация субстрата (глицерина), мг/л
Рис.3.4. Зависимость удельной скорости размножения исследуемой популяции
кишечной палочки от концентрации лимитирущего субстрата, глицерина
Нетрудно видеть, что зависимость удельной скорости размножения
от концентрации субстрата для исследуемой популяции имеет вид
кривой с насыщением и по всей видимости описывается
уравнением Моно (3.1).
Для нахождения параметров уравнения Моно воспользуемся
методом Корниша-Боудена, «прямым линейным графиком»,
разработанным специально для подобного рода зависимостей
(Корниш-Боуден, 1979). С этой целью для каждой пары {S, r} из
таб.3.2 на оси абсцисс влево будем откладывать значение –S, а на
оси ординат – значение r. Далее через точки {-S, 0} и {0, r}
проводим прямую линию (рис.3.5), Таких линий на графике будет
пять, по числу пар {S, r}. Данные прямые по теории КорнишаБоудена должны пересечься в одной точке, координаты которой
дают искомые значения параметров уравнения Моно, KS и rmax. В
рассматриваемой задаче из-за наличия ошибок измерений точек
20
пересечения прямых на графике (рис.3.5) больше, около десяти. В
этом случае в качестве оценки рекомендуют брать медиану.
-1
1
Удельная скорость размножения, час
.
rmax
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-800
-600
-400
-200
0
Концентрация субстрата, мг/л
KS
200
Рис.3.5. Определение кинетических параметров размножения клеток кишечной
палочки KS и rmax методом Корниша-Боудена на основе данных из таб.3.2.
Таким образом, по графику на рис.3.5. определяем, что для
исследуемой
популяции
E.coli
кинетические
параметры
размножения имеют следующие значения:
KS = 48 мг/л, rmax = 0.83 час-1.
Задача 3.2
Условия: Изучали кинетику размножения богомола. Исходя из
предположения о пропорциональности
между интенсивностью
поедания пищи и скоростью размножения, измеряли зависимость
между плотностью распределения пищи (мух) и количеством пищи,
съеденной в единицу времени одной особью. Данные представлены
в таблице 3.3 и на рис.3.6.
Таблица 3.3.
Среднее число мух
на 1 м2
Среднее число
мух, съеденных
одной особью
0 0,001 0,002 0,004 0,007 0,012 0,017
0,02
0,03
0
23,4
25,3
5,7
9,4
14,5
18,5
21,6
23,0
21
Среднее число мух, съеденных одной особью
25
20
15
10
5
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Среднее число мух на 1 м
0.025
0.03
2
Рис.3.6. Зависимость между плотностью распределения пищи и количеством
пищи, съеденной в единицу времени, для популяции богомола
Вопросы: Определить по представленным данным кинетические
параметры интенсивности поедания пищи богомолом, а также
плотность распределения пищи, мух, при которой скорость
размножения популяции богомола будет равна половине от
максимальной.
Решение: Для ответа на первый вопрос отметим, что судя по
графику на рис.3.6. кинетика поедания пищи богомолом
подчиняется уравнению типа уравнения Моно:
I (S )
I max S
KS S
(3.2)
Искомые параметры уравнения Моно Imax и KS определим с
помощью метода Корниша-Боудена, как это описано в задаче 3.1.,
используя данные из таб.3.3. Соответствующее решение
предсталено на рис. 3.7.
Таким образом, для кинетики поедания мух богомолом
Imax = 28.5 усл.ед., KS = 0.0038 мух/м2.
Ответ на второй вопрос. Из пропорциональности между
интенсивностью поедания пищи I и скоростью размножения r
следут,
что
половинная
r( S ) k I ( S ) k
скорость
I max S
.
KS S
размножения
Отсюда
очевидно,
популяции,
0.5r(S),
что
будет
22
Среднее число мух, съеденных одной особью
наблюдаться, когда плотность распределения мух S будет равна KS,
т.е. 0.0038 мух/м2.
35
30
Imax
25
20
15
10
5
KS
0
-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
Среднее число мух на 1 м
-0.005
0
0.005
2
Рис.3.7. Определение кинетических параметров Imax и KS по данным из таб.3.3.
Задача 3.3
Условия:
Исследовали кинетику размножения оленьей мыши
исходя из тех же соображений, что и в задаче 3.2. Полученные
данные о зависимости между плотностью распределения пищи,
среднего числа коконов пильщиков на 1 м2, и средним числом
коконов, съеденных одной мышью, представлены в таблице 3.4. и
на рис. 3.8.
Таблица 3.4.
Среднее число
0
коконов пильщиков
на 1 м2
Среднее число
коконов, съеденных
одной мышью
0
10
20
40
60
100
150
200
250
2,69 5,19 9,66 25,8 52,8 69,1 78,2
84
Вопросы:
Проанализировать кинетику поедания коконов
пильщиков оленьей мышью. Определить значения соответствующих
параметров.
23
Среднее число коконов, съеденных 1 мышью
80
60
40
20
0
0
50
100
150
Среднее число коконов на 1 м
200
250
2
Рис.3.8. Зависимость между средним числом коконов пильщиков на 1 м2 и
средним числом коконов, съеденных одной мышью
Решение: На первом этапе анализа обратим внимание на то, что
кривая зависимости между средним числом коконов пильщиков на 1
м2 и средним числом коконов, съеденных одной мышью,
представленная на рис.3.8, имеет два явно отличающихся участка.
Первый начинается от нуля и заканчивается примерно на значении
40 коконов на 1 м2 и характеризуется низкими значениями
интенсивности поедания. Далее идет второй участок с существенно
более высокими значениями интенсивности поедания, переход
одного участка в другой характеризуется четко выраженным
изломом на кривой.
Из этого наблюдения следует, что оленья мышь использует
более сложный тип пищевого поведения. При низких плотностях
пищи очевидно тип питания неспецифичен и характеризуется
низким сродством к данному виду пищи. Когда же плотность пищи
превышает некоторый порог, тип питания становится специфичным
с повышением и сродства и скорости поедания.
Для проверки данного предположения построим график
Корниша-Боудена, используя данные из таблицы 3.4.
Видно, что точки пересечения прямых на рис.3.9. группируются
в двух различных областях. Это подтверждает предположение о
двух кинетических типах пищевого поведения оленьей мыши:
первый тип характеризуется высоким значением константы
насыщения (низким сродством к пище) и низким значением
24
максимальной
наоборот.
интенсивности
поедания
пищи,
второй
тип
–
200
180
Число съеденных коконов
160
Imax 2
140
120
100
80
Imax 1
60
40
20
KS 2
0
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Среднее число коконов на 1 м
150
200
KS 1
250
300
350
2
Рис.3.9. График Корниша-Боудена для данных из таб.3.4.
Переход от типа к типу наблюдается при плотности пищи примерно
40-50 коконов на м2 (см рис.3.8). Для определения более точных
значений кинетических параметров построим графики КорнишаБоудена отдельно для каждого участка (каждого типа пищевого
поведения).
Очевидно,
что
для
второго
участка
с
высокоспецифичным типом пищевого поведения значения абсцисс
нужно брать с поправкой, уменьшать на 40 единиц. Рисунки 3.10 и
3.11 демонстрируют данный подход.
Таким образом, кинетика поедания коконов пильщиков
оленьей мышью характеризуется наличием двух участков на оси
плотности пищи: на первом участке (0-45 коконов на м2 ) кинетика
низкоспецифична и имеет параметры KS 1 = 250, Imax 1 = 70, на втором
участке (> 50 коконов на м2) она более специфична с параметрами
KS 2 = 70, Imax 2 = 110.
25
100
Число съеденных коконов
80
Imax 1
60
40
20
KS 1
0
-50
0
50
100
150
200
Среднее число коконов на 1 м
250
300
2
140
Число съеденных коконов
120
Imax 2
100
80
60
40
20
KS 2
0
-200
-150
-100
-50
Число коконов на 1 м
0
2
50
100
150
с поправкой
Рис.3.10 и 3.11. Нахождение кинетических параметров Imax и KS для двух
различных участков пищевого поведения оленьей мыши.
KS 1 = 250, Imax 1 = 70; KS 2 = 70, Imax 2 = 110;
26
Тема 4. Лимитированный рост популяции. Хемостат.
Экономический коэффициент и траты на поддержание
Теория: Данный раздел теории разработан в основном для
популяций микроорганизмов, однако при соблюдении определенных
условий и постоянстве внешних параметров он приложим также для
описания динамики популяций многоклеточных организмов.
Экономический коэффициент. Траты на поддержание: Для
описания и сравнения эффективности утилизации субстрата S при
росте организмов используется так называемый экономический
коэффициент Y, который определяется как
Y dX dS ,
(4.1)
где X и S соответственно концентрации биомассы и изучаемого
субстрата. Данный параметр отражает прирост биомассы на
единицу потребляемого субстрата и является важнейшей
характеристикой ростовых процессов. По причинам, изложенным
ниже,
он
также
называется
суммарным
экономическим
коэффициентом. Размерность экономического коэффициента
зависит от применяемых размерностей концентрации биомассы и
субстрата.
Если лимитирующий субстрат является источником углерода и
энергии для процессов биосинтеза, то его значение, как правило,
меньше единицы. Данный субстрат при потреблении затрачивается
на два типа процессов. Первый тип процессов связан с собственно
ростом и размножением. В этом случае эффективность
потребления энергетического субстрата характеризуют так
называемым ростовым экономическим коэффициентом Yрост.
Размерность данного параметра такая же, что и у определенного
выше суммарного экономического коэффициента. Второй тип
процессов связан с затратами на поддержание уже имеющейся
биомассы – сохранением всех трансмембранных градиентов,
восстановлением
постоянно
разрушающихся
биополимеров,
биомембран и т.д. В физиологии это называют основным обменом.
Количественно траты энергетического субстрата на эти процессы
характеризуют параметром m, называемым траты на поддержание.
Размерность этого параметра – [время-1].
Суммарный
экономический
коэффициент
Y, ростовой экономический
коэффициент Yрост и траты на поддержание m согласно теории
связаны следующим соотношением (Перт, 1978):
1
1
m
,
Y
Y рост r
(4.2)
27
где
r - удельная скорость роста биомассы популяции.
Соответственно, кинетика потребления субстрата на рост и
поддержание биомассы описывается уравнениями:
dS
r X
dS
,
m X .
(4.3)
dt рост
Y рост
dt поддержание
Динамика лимитированного роста популяции: Выделяют два
типа процессов лимитированного роста популяций. В первом из них
субстрат вносится в систему однократно, и далее он в процессе
роста только потребляется. В микробиологии и биотехнологии такой
процесс называют периодическим культивированием. Во втором
процессе, который называется непрерывным культивированием, в
ходе роста популяции субстрат постоянно добавляется в систему,
при этом изымается избыток биомассы. Система, в которой
скорости подачи субстрата и изъятия биомассы постоянны,
называется хемостат (Перт, 1978; Smith, Waltman, 1995). Поскольку
динамические уравнения, описывающие данные системы, несколько
отличаются, рассмотрим их отдельно.
Периодическое культивирование: Динамика популяции в
условиях периодического культивирования описывается следующей
системой уравнений, известных как модель Моно (Перт, 1978;
Варфоломеев, Гуревич, 1999):
r S
dX
X max
dt
KS S
(4.4)
dS
1 dX
dt
Y dt
Здесь X – концентрация биомассы, S - концентрация
лимитирующего субстрата, t – время, rmax - максимальная удельная
скорость роста, KS - константа насыщения, Y - экономический
коэффициент. Система (4.4) имеет аналитическое решение вида
(Перт, 1978; Варфоломеев, Гуревич, 1999):
YK S X
YK S
YS X 0 X
1
ln
ln 0
rmax t .
YS
X
X
YS
X
YS
0
0
0
0
0
0
(4.5)
Здесь S0 и X0 - начальные концентрации субстрата и биомассы
соответственно. На практике часто применяется также первый
интеграл системы (4.4):
X X 0 Y ( S 0 S )
(4.6)
28
Непрерывное культивирование. Хемостат:
Для описания
лимитированного роста популяции в хемостате применяют
следующую систему уравнений (Перт, 1978; Варфоломеев, Гуревич,
1999):
r S
dX
X max D
dt
KS S
(4.7)
dS
X r S
D ( S0 S ) max
dt
Y KS S
Обозначения здесь те же, что и в системе (4.4), параметр D
называется протоком, он численно равен скорости подачи
питательной среды (субстрата) в культиватор (ферментер),
нормированной на эффективный объем культиватора. Размерность
протока – [время-1] . На практике часто используют соотношения,
получаемые из анализа стационарного состояния хемостата
(Перт,1978):
KS D
r D,
S
,
X Y ( S0 S ) .
(4.8)
rmax D
Здесь r - стационарная удельная скорость роста популяции, S и
X - стационарные концентрации субстрата и биомассы.
Задача 4.1
Условия: Культуру клеток кишечной палочки E.coli выращивали в
аэробных условиях на бедной минеральной среде с глюкозой,
содержащей в качестве единственного источника азота хлорид
аммония в лимитирующих рост концентрациях. В ходе опыта
измеряли концентрацию биомассы клеток и концентрацию
лимитирующего субстрата, хлорида аммония (Керридж, Типтон,
1974). Данные представлены в таблице 4.1.
Таблица 4.1.
Концентрация
хлорида аммония,
S, г/л
0,10
Концентрация
биомассы клеток,
X, г/л
0,08
S0 – S
г/л
0,00
X – X0
г/л
0,00
0,25
0,22
0,15
0,14
0,40
0,32
0,30
0,25
0,50
0,43
0,40
0,35
0,60
0,49
0,50
0,41
0,70
0,59
0,60
0,51
29
Вопросы: Определить по представленным данным экономический
коэффициент Y для хлорида аммония у исследуемой популяции.
Решение: Напомним, что экономический коэффициент Y выражает
количественные потребности организмов (клеток) в пище и равен по
определению Y = dX/dS, где X и S соответственно концентрации
биомассы и изучаемого субстрата. В условиях лимитированного
роста популяции, когда субстрат вводится в систему однократно в
начале
опыта,
экономический
коэффициент
связывает
концентрацию субстрата и концентрацию биомассы клеток
(организмов) соотношением (4.6):
X X 0 Y ( S 0 S )
Используем данное уравнение для решения поставленной задачи.
Для этого рассчитаем вспомогательные переменные X – X0 и S0 – S,
как это указано в таблице 4.1 (3 и 4 столбцы). Далее построим
график в этих вспомогательных координатах, используя данные из 3
и 4 столбцов таблицы 4.1 (рис.4.1).
0,5
X - X0, г/л
0,4
0,3
0,2
Y = tg
0,1
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
S0 - S, г/л
Рис.4.1. Определение экономического коэффициента Y
по данным из таблицы 4.1.
30
Экспериментальные данные, как видно, группируются около прямой
линии, тангенс угла которой равен искомому экономическому
коэффициенту. Таким образом, экономический коэффициент для
хлорида аммония у исследуемой популяции кишечной палочки
равен : Y = 0.834 г биомассы на 1 г хлорида аммония.
Задача 4.2
Условия: С целью определения кинетических параметров, KS и
rmax, и экономического коэффициента Y, характеризующих рост
популяции кишечной палочки E.coli на глюкозе, проводили
периодическое культивирование клеток E.coli на бедной
минеральной среде с лимитированием по данному субстрату до
выхода популяции в стационарную фазу. В ходе эксперимента
измеряли концентрацию биомассы клеток и концентрацию глюкозы.
Результаты (в интервале от начала экспоненциальной фазы
роста до фиксирования стационарного состояния) представлены в
табл. 4.2 и на рис.4.2.
Таблица 4.2.
Время,t Концентрация Концентрация
час
биомассы, X
глюкозы, S
мг/л
мг/л
1 X
1 X X
ln
t X X 0
S0 - S X– X0 t ln X
0
0
20
2000
0
0
0,5
30,52
1976
23,4
10,5
0,845299
-0,023515
1
46,6
1940
59,1
26,6
0,845868
-0,030001
1,5
71,1
1886
113,5
51,1
0,845570
-0,038968
2
108,5
1803
196,6
88
0,845508
-0,051755
2,5
165,5
1676
323,3
145
0,845295
-0,070535
3
252,5
1483
516,6
232
0,845226
-0,099618
3,5
385
1188
811,1
365
0,845003
-0,148608
4
587
740
1260
567
0,844823
-0,248563
4,33
773
326
1673
753
0,844006
-0,418467
4,5
885
77
1922
865
0,842190
-0,721565
4,56
918
4,4
1995
898
0,839137
-1,339747
4.564
919
2,2
1997
899
0,838608
-1,490388
5
920
0
2000
900
5,5
920
0
2000
900
31
1200
S
2000
1000
x
1600
800
1200
600
800
400
x
200
400
x0 0
Концентрация глюкозы, S, мг/л
Концентрация клеток, x, мг/л
S0
0
0
1
2
3
4
5
Время, час
Рис.4.2. Изменение концентрации биомассы, X, и концентрации глюкозы, S, в
ходе периодического культивирования популяции E.coli.
Вопросы: Определить по представленным данным значения
кинетических параметров, KS и rmax,
и экономического
коэффициента, Y, характеризующих рост популяции кишечной
палочки E.coli на глюкозе.
Решение: Определим на первом этапе значение экономического
коэффициента, как это указано в задаче 4.1.
1000
x - x0, мг/л
800
600
400
Y = tg
200
0
0
500
1000
1500
2000
S0 - S, мг/л
Рис.4.3. Определение экономического коэффициента Y по данным из таблицы
4.2.
32
Для этого рассчитаем вспомогательные переменные S0 – S и X – X0
(таб.4.2, 4 и 5 столбцы) и построим график в этих координатах,
используя данные из 4 и 5 столбцов таблицы 4.2 (рис.4.3). Тангенс
угла наклона регрессионной прямой, проведенной через
экспериментальные
точки,
дает
значение
экономического
коэффициента: Y = 0.45. Проверим соответствие данного значения
экономического
коэффициента
экспериментальным
данным.
Согласно теории стационарное значение концентрации биомассы
X должно удовлетворять соотношению X YS 0 X 0 . Используя
данные из таб.4.2 получаем: X X (5.5) = 920 мг/л, X 0 =20мг/л,
S 0 =2000мг/л 920 = 0.45*2000 + 20 = 920. Соответствие налицо.
Для определения кинетических параметров, KS и rmax,
используем линейную анаморфозу интегральной формы уравнения
клеточного роста (4.5)(Варфоломеев, Гуревич, 1999):
1 X
r S
KS 1 X X
max 0
ln
ln
t X 0 K S S0 K S S0 t X X 0 .
(4.9)
С этой целью на основе данных из столбцов 1 и 2 таб.4.2
1 X X
1 X
,
и ln
рассчитаем вспомогательные переменные ln
t X X 0
t X0
как это указано в таб.4.2, столбцы 6 и 7, и построим график в этих
координатах (рис.4.4).
0,847
r
0,846
max
S0
KS + S 0
0,845
(1/t)ln(X/X 0)
0,844
0,843
0,842
0,841
tg
0,840
0,839
0,838
-1,6
KS
KS + S 0
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
(1/t)ln[(X - X)/(X - X
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0)]
Рис.4.4. Определение кинетических параметров роста клеток KS и rmax по
данным из таб.4.2. и рис.4.2
33
Как видно, экспериментальные данные группируются около прямой
линии, точка пересечения которой с осью ординат дает значение
rmax S0
K S S0
KS
K S S0
0.00485. Отсюда нетрудно рассчитать значения параметров KS
rmax: KS = 9.75 мг/л, rmax = 0.85 час-1.
= 0.8458 час-1, а тангенс угла наклона – значение
=
и
Задача 4.3
Условия:
Исследовали кинетику роста популяции бактерий
Pseudomonas fluorescens в хемостате при различных значениях
протока D и концентрации лимитирующего субстрата, глюкозы, в
подаваемой питательной среде S0. В каждом случае при
достижении стационарного состояния хемостата измерялась
концентрация биомассы клеток X и концентрация глюкозы S.
Данные измерений представлены в таблице 4.3.
Таблица 4.3.
Концентрация
субстрата в
подаваемой
питательной
среде,
Проток,
час-1
S 0 , мМ
Стационарная концентрация
биомассы,
X , г/л
Стационарная концентрация
субстрата,
S0 S
1
D
1
S
S , мМ
4
4
4
4
4
0,1
0,2
0,4
0,6
0,75
1,903
1,822
1,812
1,67
1,041
0,025
0,056
0,168
0,49
1,858
3,97
3,94
3,83
3,51
2,14
10
5
2,5
1,67
1,33
40
17,85
5,95
2,04
0,54
8
8
8
8
8
0,1
0,2
0,7
0,75
0,8
1,921
1,892
1,67
1,417
0,27
0,025
0,056
1,04
1,875
7,198
7,97
7,94
6,96
6,12
0,80
10
5
1,43
1,33
1,25
40
17,86
0,96
0,53
0,14
16
16
16
16
16
0,2
0,4
0,7
0,75
0,8
1,882
1,89
1,728
1,685
1,093
0,057
0,169
1,038
1,883
7,095
15,94
15,83
14,96
14,12
8,90
5
2,5
1,43
1,33
1,25
17,54
5,92
0,96
0,53
0,14
34
Вопросы: Определить по представленным данным значения
кинетических параметров, KS и rmax, и
экономического
коэффициента, характеризующих рост в хемостате популяции
бактерий Pseudomonas fluorescens в указанных условиях.
Решение: Используем для решения поставленной задачи
известные из теории хемостата соотношения (4.8), описывающие
стационарное состояние культуры клеток (Перт, 1978):
S
KS D
,
rmax D
X Y ( S0 S ) .
Для определения экономического коэффициента применим второе
соотношение, предварительно произведя расчет вспомогательной
переменной S 0 S (таб.4.3, 5-ый столбец) и представив данные из
таблицы (3 и 5 столбцы) в координатах { S 0 S , X }. Графики будем
строить отдельно для каждого значения S 0 . На рис.4.5
представлены данные и расчет экономического коэффициента для
S 0 = 4 мМ. Как видно, для данной концентрации Y1 = 0.45 г/мМ.
2,0
1,8
X
1,6
1,4
Y1 = tg
1,2
1,0
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
S0-S
Рис.4.5. Определение экономического коэффициента Y1 по данным из таб.4.5
для
S 0 = 4 мМ
35
Аналогично находим значения экономического коэффициента для
двух других начальных концентраций лимитирующего субстрата
(рис.4.6.): Y2 = 0.23 г/мМ и Y3 = 0.11 г/мМ.
2,4
2,0
X
1,6
1,2
Y2 = tg
0,8
Y3 = tg
0,4
0,0
0
4
8
12
16
S0 - S
Рис.4.6. Определение значений экономического коэффициента по данным из
таб.4.5 для
S 0 = 8 мМ (Y2) и S 0 = 16 мМ (Y3)
Для определения кинетических параметров роста клеток, KS и
rmax, используем линейную анаморфозу первого из вышеуказанных
соотношений (Перт, 1978):
1
1 rmax 1
S
K S KS D .
(4.10)
С этой целью рассчитаем вспомогательные переменные, 1 D и 1 S ,
как это указано в таб.4.4, столбцы 6-ой и 7-ой, и, далее, для каждого
S0
значения
построим
график
в
этих
координатах.
Экспериментальные данные должны сгруппироваться около прямой
линии, которая отсекает на оси абсцисс значение 1 rmax , а на оси
ординат – значение 1 K S . На рис.4.8 (вверху) представлены
данные для S 0 = 4 мМ. Произведенный расчет дает следующие
значения для искомых кинетических параметров: rmax = 0.82 час-1,
KS= 0.17 мМ.
36
40
-1
20
1/S, мМ
30
10
0
1/rmax
-1/KS
-10
0
2
4
6
8
10
12
8
10
12
1/D, ч а с
40
1/S, мМ
-1
30
20
10
0
1/rmax
-1/KS
-10
0
2
4
6
1/D, ч а с
Рис.4.8. Определение кинетических параметров роста клеток KS и rmax по
данным хемостатного культивирования для
8 мМ и
S 0 = 4 мМ (вверху), а также для S 0 =
S 0 = 16 мМ (внизу) на основе данных из таб.4.3
37
Из нижнего графика на рис.4.8 следует, что значения KS и rmax для
для S 0 = 8 мМ и S 0 = 16 мМ идентичны и равны таковым для S 0 = 4
мМ.
Таким образом, из полученных результатов следует, что при
хемостатном культивировании исследуемых бактерий на глюкозе
как лимитирующем субстрате увеличение ее начальной
концентрации с 4 мМ до 16 мМ существенно снижает экономический
коэффициент с 0.45 до 0.11 г/мМ и не влияет на значения
кинетических параметров роста KS и rmax, которые соответственно
равны rmax = 0.82 час-1, KS = 0.17 мМ. По-видимому, это
свидетельствует
о
переключении
типа
энергетического
метаболизма с полностью затратного на запасающий и
неизменности транспортных систем для глюкозы.
Задача 4.4
Условия: Исследовали динамику популяции кишечной палочки
E.coli при культивировании в хемостате на бедной минеральной
среде при лимитировании глюкозой, начальная концентрация
которой в подаваемой среде (S0) составляла 0.666 г/л. Изучали
поведение
популяции
во
время
переходного
процесса,
обусловленного изменением протока через ферментер с величины
Dисх = 0.25 час-1 на величину D = 0.765 час-1. В ходе эксперимента
определяли концентрацию биомассы клеток и концентрацию
глюкозы. За нулевую отметку времени был взят момент смены
протока. Данные представлены в таблице 4.4 и на рис.4.9
(Евдокимов и др., 2000).
Таблица 4.4
Время, Концентрация
t, час биомассы, X,
г/л
0
0,166
1
0,142
2
0,116
3
0,099
4
0,095
5
0,078
10
0,064
14
0,058
24
0,049
30
0,039
48
0,025
Концентрация
субстрата, S,
г/л
0,198
0,297
0,326
0,396
0,446
0,446
0,506
0,509
0,531
0,586
0,594
S0 S
0,468
0,369
0,34
0,27
0,220
0,220
0,16
0,157
0,135
0,08
0,072
1 X
ln
t X0
1 X X
ln
t X X0
-0,15644
-0,17799
-0,17175
-0,13984
-0,15167
-0,09531
-0,07511
-0,05084
-0,04828
-0,18693
-0,21741
-0,21418
-0,1755
-0,1966
-0,12852
-0,10373
-0,07378
-0,07699
38
К онце нт ра ция биома с с ы , г/л
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-10
0
10
20
30
40
50
В ре м я , ча с
Рис.4.9. Изменение концентрации биомассы клеток кишечной палочки при
культивировании в хемостате при изменении протока: 0.25 час-1 0.765 час-1.
Стрелкой указан момент изменения протока.
Вопросы: Определить по представленным данным значения
кинетических параметров, KS и rmax,
и экономического
коэффициента, характеризующих рост в хемостате популяции
бактерий E.coli в указанных условиях переходного процесса.
Решение:
На первом этапе определим среднее значение
экономического коэффициента Y в ходе процесса, исходя из
предположения, что он изменяется несущественно при смене
протока. Для этого воспользуемся подходом, рассмотренным в
S0 S
предыдущей
задаче.
Вспомогательная
переменная
представлена в 4-ом столбце таб.4.4, а решение – на рис.4.10.
Как видно, экспериментальные данные достаточно компактно
группируются около прямой линии. Это свидетельствует о том, что
в течение переходного процесса изменения концентрации биомассы
и субстрата связаны таким же соотношением, как и в стационарном
состоянии: X Y ( S0 S ) , и среднее значение экономического
коэффициента Y = 0.35 достаточно стабильно.
39
0,18
0,16
0,14
0,12
X
0,10
0,08
0,06
Y = tg
0,04
0,02
0,00
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
S0 - S
Рис.4.10. Определение среднего значения экономического коэффициента по
данным из таб.4.4
Для определения кинетических параметров, KS и rmax, используем
следующую теорию, развитую в работе (Евдокимов, Шаповалов,
2000). Согласно это теории, если хемостатная культура клеток
находится в стационарном состоянии при протоке Dисх, и далее
проток изменяется Dисх D, то начиная с момента смены протока
динамика системы описывается следующим уравнением:
K S S0
X
ln
S0 S
X
0
KS S
S0 S
1
t
ln
X
X
X
X
0
D
t
r max
,
(4.11)
KS D
и X - стационарная концентрация биомассы при
rmax D
протоке D. Уравнение (4.11) будем использовать в виде следующей
линейной анаморфозы:
1
X rmax S 0 K S S 1
X X .
(4.12)
ln
D
ln
t
S
S
t
X KS
X X
0
0
KS
где S
0
При расчете вспомогательных переменных,
0
1 X X
1 X
ln
и ln
,
t X0
t X X0
(таб.4.4, столбцы 5-ый и 6-ой), применялись следующие значения
начальной и стационарной концентраций биомассы клеток:
40
X 0 =0.166 мг/л и X =0.025 мг/л. Экспериментальные данные,
представленные в указанных координатах, как видно из рис.4.11,
группируются около прямой линии, которая согласно выражению
(4.6), отсекает на оси ординат значение r max S 0
,
0.018 час-1
K S S0
а тангенс угла ее наклона дает значение K S S
K S S0
D
0.894
.
0,05
0,05
S
max 0
r
KS+S0
0,00
(1/t)ln[ X/X
0]
0,00
-D
-0,05
-0,05
-0,10
-0,10
tg =
-0,15
KS+S
KS+S0
-0,15
-0,20
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
-0,20
0,00
(1/t)ln[(X - X)/(X- 0X)]
Рис.4.11. Определение кинетических параметров роста клеток KS и rmax по
данным хемостатного культивирования на основе данных из таб.4.4
Далее, решая найденные соотношения как систему уравнений с
двумя неизвестными, легко найти искомые значения кинетических
параметров: rmax = 0.8 час-1, KS = 13.6 мг/л.
Задача 4.5
Условия:
Исследовали кинетику потребления энергетического
субстрата, глюкозы, при росте популяции кишечной палочки E.coli в
хемостате в стационарных условиях. Опыты проводили при
различных начальных концентрациях глюкозы и значениях протока.
В ходе эксперимента измеряли стационарные концентрации
биомассы и глюкозы. Данные представлены в таблице 4.5.
41
Таблица 4.5
Начальная
концентрация
глюкозы, S0,
мМ
4
4
4
4
4
Проток, D,
час-1
0,1
0,2
0,4
0,6
0,75
Стационарная Стационарная
концентрация концентрация
биомассы,
глюкозы,
S , мМ
X , г/л
1,74
0,03
1,93
0,06
2
0,18
1,88
0,49
1,13
1,91
Y
1
D
1
Y
0,438
0,49
0,524
0,536
0,541
10
5
2,5
1,67
1,33
2,28
2,04
1,91
1,87
1,85
8
8
8
8
8
0,1
0,2
0,7
0,75
0,8
1,96
2,08
1,92
1,68
0,28
0,03
0,06
1,02
1,88
6,98
0,246
0,262
0,275
0,275
0,274
10
5
1,43
1,33
1,25
4,07
3,82
3,64
3,64
3,64
16
16
16
16
16
0,2
0,4
0,7
0,75
0,8
2,16
2,18
2,08
1,96
1,26
0,06
0,17
1,01
1,86
6,94
0,136
5
0,138 2,5
0,1388 1,43
0,1386 1,33
0,1390 1,25
7,38
7,26
7,21
7,21
7,19
Вопросы: Определить по представленным данным значения
ростового экономического коэффициента Yрост и трат на
поддержание
m, характеризующих кинетику потребления
энергетического субстрата, глюкозы, при росте популяции бактерий
E.coli в хемостате в указанных условиях.
Решение: На первом этапе решения определим для каждого
варианта
условий
значение
суммарного
экономического
коэффициента Y. Для расчетов Y (5-ый столбец таб.4.5.) будем
использовать соотношение (4.8) в виде Y X ( S 0 S ) и данные из 1го, 3-го и 4-го столбцов таб.4.5.
В соответствии с теорией суммарный экономический
коэффициент Y, ростовой экономический коэффициент Yрост и
траты на поддержание m связаны соотношением (4.2):
1
1
m
.
Y
Y рост r
Учитывая, что в стационарном состоянии в хемостате удельная
скорость роста популяции r равна протоку D , будем использовать
42
соотношение (4.2) в виде:
1
1
m
.
Y
Y рост D
(4.13)
2,4
1/Y
2,2
2,0
m = tg
1,8
1/Yр о с т
1,6
0
2
4
6
8
10
12
10
12
1/D, ч а с
4,2
4,1
4,0
1/Y
3,9
3,8
m = tg
3,7
3,6
1/Yр о с т
3,5
3,4
0
2
4
6
8
1/D, ч а с
Рис.4.12 - 4.13. Определение ростового экономического коэффициента Yрост и
трат на поддержание m по данным из таб.4.5 для S0 = 4 мМ (вверху) и S0 = 8мМ
(внизу)
43
С этой целью рассчитаем вспомогательные переменные 1 D и 1 Y
(столбцы 6-ой и 7-ой таб.4.5) и построим графики в этих
координатах для каждого значения начальной концентрации
глюкозы S0 (рис.4.12-4.14).
Экспериментальные данные на этих графиках группируются
около прямых линий, которые согласно выражению (4.13) отсекают
на оси ординат значение 1/Yрост, а тангенсы угла наклона дают
значения m.
7,5
7,4
1/Y
7,3
7,2
m = tg
1/Yр о с т
7,1
7,0
0
1
2
3
4
5
1/D, ч а с
Рис.4.14 . Определение ростового экономического коэффициента Yрост и трат на
поддержание m по данным из таб.4.5 для S0 = 16 мМ
Полученные в результате значения ростового экономического
коэффициента и трат на поддержание представлены в таб.4.6.
Таблица 4.6
Начальная концентрация
глюкозы, S0, мМ
4
8
16
Ростовой экономический
коэффициент, Yрост ,
г/мМ
0,56
0,28
0,14
Траты на поддержание,
m, час-1
0,05
0,049
0,048
44
Тема 5. Ингибирование роста и размножения химическими
факторами
Теория:
Кинетика ингибирования роста и размножения
химическими факторами в биологических популяциях сложна и
достаточно разработана лишь для популяций микроорганизмов,
когда торможение ростовых процессов можно свести к
ингибированию
отдельных
ферментативных
реакций
или
транспортных систем. Соответственно, уравнения, описывающие
торможение роста клеток в зависимости от концентрации
ингибитора, подобны уравнениям ферментативной кинетики (Перт,
1978; Печуркин, 1978).
Конкурентное ингибирование:
r( S , I )
rmax S
K S (1 I K I ) S .
(5.1)
Неконкурентное ингибирование (уравнение Иерусалимского):
r( S , I )
rmax S
KI
r( S ) K I
KS S I KI
I KI .
(5.2)
Ингибирование избытком субстрата (уравнение Эндрюса):
r( S )
rmax S
K S S (1 S K I ) .
(5.3)
Здесь r(S,I) - удельная скорость роста популяции, S - концентрация
лимитирующего субстрата, I - концентрация ингибитора, rmax максимальная удельная скорость роста, KS - константа насыщения
для данного субстрата, KI - константа ингибирования.
При наличии кооперативных эффектов при ингибировании для
анализа данных можно предложить модифицированное уравнение
Иерусалимского:
r( S ) K I
r( S , I ) n
n ,
I KI
n
(5.4)
где n - коэффициент нелинейности ингибирования. Константа
ингибирования численно равна той концентрации ингибитора, при
которой скорость роста популяции уменьшается вдвое.
Кинетика, соответствующая модифицированному уравнению
Иерусалимского, наиболее часто встречается при ингибировании
роста
микроорганизмов
различными
антибиотиками,
ксенобиотиками и ионами тяжелых металлов. Типичный вид
зависимостей при различной степени нелинейности ингибирования
представлены на рис.5.1.
45
У д е л ьна я с корос т ь рос т а попул я ции
100
80
60
40
n=1
20
KI
n=2
n=4
0
0
2
4
6
8
10
12
14
К он ц е н т ра ц и я и н г и б и т ора
Рис.5.1. Ингибирование роста популяции в соответствии с модифицированным
уравнением Иерусалимского
Задача 5.1
Условия: Исследовали кинетику ингибирования роста популяции
бактерий E.coli ионами серебра Ag+. С этой целью в пять колб с
питательной средой (минеральной с глюкозой) и различной
концентрацией нитрата серебра было добавлено одинаковое
количество клеток бактерий. Культивирование клеток проводили при
оптимальной температуре 370С и необходимом уровне аэрации. В
ходе опыта измеряли оптическую плотность культуры. Данные
представлены в таблице 5.1.
Таблица 5.1.
Время, t, час
2
4
6,5
7
8,5
9,8
10,4
11,5
[Ag+]
=0
0,01
0,01
0,011
0,021
0,065
0,173
0,271
0,619
Оптическая плотность культуры клеток, Ex
= 0,02мМ [Ag+] = 0,04мМ [Ag+] = 0,06мМ [Ag+] = 0,08мМ
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,012
0,012
0,011
0,011
0,016
0,014
0,013
0,013
0,033
0,024
0,02
0,018
0,062
0,039
0,029
0,024
0,083
0,048
0,034
0,028
0,142
0,071
0,047
0,036
[Ag+]
46
Вопросы: Определить по представленным данным значения
константы KI и коэффициента нелинейности n ингибирования роста
бактерий E.coli ионами серебра.
0
0,7
0,6
-1
0,5
-2
0,4
ln(Ex)
Ex, от н.е д .
О пт иче с ка я пл от нос т ь кул ь т уры
Решение: Сначала для каждой колбы (каждой концентрации ионов
серебра) найдем значения удельной скорости роста популяции
клеток r(I) по алгоритму, рассмотренному в задаче 1.1. Отметим, что
при ингибировании роста часто проявляется эффект начальной
задержки роста культуры клеток, известный как эффект лаг-фазы.
Для определения длительности лаг-фазы данные из таблицы 5.1.
представим в координатах {t, ln(Ex)}. Тогда лаг-фаза будет
соответствовать
горизонтальному
участку
кривой,
а
экспоненциальная фаза роста – наклонной прямой (рис.5.2.).
0,3
-3
0,2
л а г-ф а з а
-4
0,1
0,0
-5
2
4
6
8
10
12
1
3
5
7
9
11
13
В р е м я , ча с
В р е м я , ча с
Рис.5.2. Лаг-фаза и экспоненциальный рост популяции клеток E.coli
При определении удельной скорости роста популяции будем
использовать только экспоненциальную фазу. Для этого в качестве
начальной точки роста будем брать вторую точку, в которой
значение оптической плотности отлично от исходного значения (для
первой отличающейся точки не определен момент времени начала
роста). В рассматриваемом примере на рис.5.2. – это точка,
соответствующая времени t = 7 часов.
Линеаризованные данные в скорректированных координатах
представлены на рис.5.3., а соответствующие им результаты
определения удельной скорости роста популяции E.coli в колбах с
различной концентрацией ионов серебра представлены в таблице
5.2 и на рис.5.4.
Таблица 5.2.
Концентрация
0
0,02
0,04
0,06
0,08
ионов серебра, мМ
Удельная скорость
роста, час-1
0,752
0,485
0,362
0,285
0,227
47
4,0
3,5
0 мМ
3,0
ln(Ex t /Ex 0 )
r(I)=tg
0,02 м М
2,5
0,04 м М
2,0
0,06 м М
1,5
1,0
0,08 м М
0,5
0,0
7
8
9
10
11
12
13
В ре м я , ча с
Рис.5.3. Определение удельной скорости роста популяции клеток E.coli
при различной концентрации ионов серебра в среде по данным из таб.5.1.
У д е л ьна я с корос т ь рос т а , ча с
-1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
+
К он ц е н т ра ц и я и он ов вAgс ре д е , м М
Рис.5.4. Зависимость удельной скорости роста популяции клеток E.coli от
концентрации ионов серебра в среде
48
Как видно из рис.5.4, зависимость удельной скорости роста
популяции клеток E.coli от концентрации ионов серебра в среде, повидимому, описывается уравнением Иерусалимского (5.4).
Для нахождения параметров уравнения Иерусалимского,
константы ингибирования KI и коэффициента нелинейности
ингибирования n, используем следующую линейную анаморфозу:
r
ln 0 1 n ln I n ln K I ,
(5.5)
rI
где r0 – удельная скорость роста популяции при нулевой
концентрации ингибитора, rI – удельная скорость роста популяции
при концентрации ингибитора, равной I. На основе данных из
таблицы 5.2 рассчитаем вспомогательные переменные, ln I и
r
ln 0 1 , как это указано в таблице 5.3, и построим график в этих
rI
переменных (рис.5.5).
Таблица 5.3.
ln I
-3,912
-3,219
-2,813
-2,526
r
-0,597
0,075
0,494
0,838
ln 0 1
r
I
1,0
0,8
0,6
ln KI
ln(r 0 /r I -1)
0,4
0,2
0,0
-0,2
n = tg
-0,4
-0,6
-0,8
-4,2
-4,0
-3,8
-3,6
-3,4
-3,2
-3,0
-2,8
-2,6
-2,4
ln(I)
Рис.5.5. Определение параметров уравнения Иерусалимского по данным из
таблицы 5.3.
49
Экспериментальные точки в соответствии с уравнением (5.5)
должны группироваться около прямой линии, тангенс угла которой
дает значение коэффициента нелинейности ингибирования n, а
точка ее пересечения с осью абсцисс – значение натурального
логарифма константы ингибирования KI. Для рассматриваемого
случая n = 1, ln (KI) = -3,32, KI = 0,036 мМ, что и требовалось найти.
Задача 5.2
Условия:
Для определения кинетики ингибирующего влияния
ионов лития на процесс размножения дрозофил на личиночной
стадии измеряли процент выплода взрослых мух (имаго) из
определенного количества отложенных яиц в зависимости от
концентрации лития в питательной среде для личинок. Данные
представлены в таблице 5.4.
Таблица 5.4.
Концентрация
ионов лития, г/л
Процент выплода
%
ln I
r
ln 0 1
rI
0
0,1
0,2
0,25
0,3
0,35
0,45
0,55
0,65
0,75
0,85
100
98,4
89,0
71,8
62,5
43,7
23,4
6,25
4
0
0
-2,30259
-1,60944
-1,38629
-1,20397
-1,04982
-0,79851
-0,59784
-0,43078
-
-4,14313
-2,09714
-0,93827
-0,51083
0,251314
1,18377
2,70805
3,178054
-
Вопросы: Проанализировать полученные результаты и определить
необходимые кинетические параметры, характеризующие влияние
ионов лития на процесс размножения дрозофил.
Решение: Развитие личинок из яиц, их питание, формирование
полноценных куколок и далее имаго наряду с плодовитостью
являются важными составляющими процесса размножения
дрозофил. Количественную оценку их приспособленности на этой
стадии дает процент выплода имаго из определенного числа яиц.
Построим график зависимости процента выплода от концентрации
ионов лития в среде на основе данных из таблицы 5.4 (1 и 2
столбцы) – рис.5.6.
50
П роце нт вы пл од ивших с я има го
120
100
80
60
40
20
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
К он ц е н т ра ц и я и он о в л и т и я , г /л
Рис.5.6. Зависимость процента выплода имаго дрозофил от концентрации
ионов лития в корме для личинок
Как видно из рисунка, эта зависимость имеет явный S-образный
характер, т.е. отражает неконкурентный кооперативный тип
4
3
2
ln([r o /r Li ]-1)
lnKi
1
0
-1
-2
n = tg
-3
-4
-5
-2,6
-2,2
-1,8
-1,4
-1,0
-0,6
-0,2
0,2
+
ln([Li ])
Рис.5.7. Определение параметров уравнения Иерусалимского по данным из
таблицы 5.4.
51
ингибирования, и, очевидно, описывается модифицированным
уравнением Иерусалимского (5.4).
Параметры уравнения определим на основе той же линейной
анаморфозы уравнения Иерусалимского (5.5), что и в задаче 5.1.
r0
(таблица
ln
1
Рассчитаем вспомогательные переменные ln I и
r
I
5.4, 3 и 4 столбцы) и построим график в этих переменных (рис.5.7).
Значение коэффициента нелинейности ингибирования n равно
тангенсу угла наклона регрессионной прямой, проведенной через
экспериментальные точки. Для рассматриваемого случая n = 4, что,
по-видимому, свидетельствует о существенно нелинейном
характере процесса ингибирования. Константу ингибирования KI
найдем из ее натурального логарифма, который определяется из
точки пересечения регрессионной прямой с осью абсцисс (рис.5.7):
KI = 0,31 г/л.
52
Тема 6. Динамика конкуренции и отбора в популяциях
Теория: Динамика отбора в гаплоидных популяциях, популяциях с
бесполым размножением, а также в диплоидных популяциях с
половым размножением в гаплоидном приближении без учета
мутационного процесса описывается системой уравнений ЭйгенаФишера (Эйген, Шустер, 1982):
p i pi ( ri r ), i 1... N ,
(6.1)
где pi – относительная численность особей с i-ым генотипом, ri – их
удельная скорость роста, < r > - средняя по популяции удельная
скорость роста, N – число различных генотипов в популяции. Учет
мутационного процесса приводит к аналогичному виду уравнений
при соответствующей замене переменных, учитывающих частоты
мутационных и рекомбинационных переходов (Эйген, Шустер, 1982).
В нелимитированных условиях при постоянных значениях удельной
скорости роста (ri=const) система уравнений (6.1) имеет
аналитическое решение (Цоглин и др., 1970):
pi (t )
pi 0 exp( ri t )
N
pk 0 exp( rk t )
.
(6.2)
k 1
Здесь pi0 , pk0 – начальные значения. Полезным для практики
является следующее из (6.2) соотношение, описывающее
изменение относительной численности особей двух разных
генотипов:
p
ln i
pk
p
x
x
ln i 0 ( ri rk ) t ln i ln i 0 ( ri rk ) t ,
pk 0
xk
xk 0
(6.3)
где xi0, xk0, xi и xk – начальные и конечные численности особей с i-ым
и k-ым генотипами соответственно, t – время наблюдения. Отбор в
нелимитированных условиях направлен на увеличение удельной
скорости роста: r max( r ) , его называют также r-отбором.
Для условий лимитированного роста популяций, зависимого,
например, от количества субстрата S, находящегося в минимуме,
или для иного типа плотностно-зависимого роста удельные скорости
роста ri не являются постоянными и изменяются во времени. В
этом случае выражение (6.2) имеет вид
t
pi 0 exp ri ( )d
0
pi 0 exp( ri t ) ,
pi ( t )
N
(6.4)
N
t
p
exp(
r
t
)
pk 0 exp rk ( )d
k0
k
k
1
k 1
0
53
где ri - средняя по времени удельная скорость размножения особей
i–го генотипа. Для субстрат-зависисмого роста отбор направлен на
уменьшение средней по популяции константы насыщения:
K s min( K s ) , для плотностно-зависимого (логистического)
роста отбор направлен на увеличение ресурсного параметра:
K max( K ) . Этот вид отбора называют
К-отбором
(Печуркин,1978).
Известна так же Основная теорема естественного отбора
Фишера, которая для выше рассмотренных популяций имеет
следующее выражение:
dr
2
r .
dt
(6.5)
Здесь r - дисперсия удельной скорости роста в популяции.
2
Задача 6.1
Условия:
В ферментере в условиях нелимитированного
культивирования выращивали популяцию бактерий Pseudomonas sp.
при использовании формальдегида в качестве субстрата,
единственного источника углерода и энергии. Применяемый штамм
бактерий в условиях эксперимента имел удельную скорость роста
r = 0,25 час-1.
Вопросы:
Рассчитать примерное время вытеснения исходного
штамма бактерий мутантным, клетки которого более резистентны к
формальдегиду и имеют более высокую удельную скорость роста r
= 0,43 час-1, если известно, что частота появления таких мутаций
x мут
2,3 10 6 на одну генерацию. За критерий вытеснения
равна
xисх
взять соотношение концентраций клеток исходного штамма к
x мут 1000
мутантному
xисх
1 .
Решение: Рассчитаем максимальный необходимый для указанного
конкурентного замещения штаммов временной интервал. Для этого
используем соотношение (6.3):
x мут
x
ln мут0
ln
xисх
xисх 0
ln 1000 ln 2,3 10 6
t
( rмут rисх )
(0,43 0,25)час 1
54
6,908 ( 12,983)
час 110,5 час .
0,18
Задача 6.2
Условия: В исследованиях по микроэволюции популяции дрожжейсахаромицетов при их нелимитированном культивировании в
турбидостате регистрировались данные о динамике конкуренции
трех штаммов клеток, отличающихся по форме колоний. Для этого в
ходе эксперимента путем высева образцов культуры клеток на
чашки Петри определялось среднее количество клеток каждого
штамма в расчете на 1000 клеток. Данные представлены в таблице
6.1 и на рис.6.1.
Таблица 6.1
Время, Штамм 1,
x1
час
0
990,00
10
979,58
20
958,34
30
915,70
40
834,07
50
693,79
60
497,22
70
293,77
80
143,98
90
61,38
100
23,94
Штамм 2,
Штамм 3,
x2
x3
9,50
18,93
37,29
71,76
131,62
220,47
318,18
378,57
373,62
320,76
251,98
0,50
1,49
4,37
12,54
34,31
85,74
184,60
327,66
482,41
617,86
724,08
x
x x
x
ln 2 ln 20 ln 3 ln 30
x1
x10
x10 x1
0
0,7
1,4
2,1
2,8
3,5
4,2
4,9
5,6
6,3
7
0
1,1
2,2
3,3
4,4
5,5
6,6
7,7
8,8
9,9
11
Числ е нность , отн.е д .
1000
x1
800
x3
600
400
x2
200
0
0
20
40
60
80
100
В ре м я , ча с
Рис.6.1. Изменение удельной численности клеток разных штаммов дрожжей в
ходе отбора в турбидостате
55
56
