3 Поляризация света

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
Длительность: 90 минут
Навыки и умения: умение использовать закон Малюса для вычисления
интенсивности
естественного
света,
прошедшего
через
систему
двух
поляризаторов; умение вычислять степень поляризации; умение использовать
формулы Френеля для расчета интенсивностей компонент отраженной и
преломленной волны
Аудиторные задания: 171; 173; 174; 180; 184
Домашние задания: 172; 176; 183
Основные формулы и понятия
Естественный свет – свет неполяризованный, степень поляризации Р = 0.
При падении на поляризатор естественного света с интенсивностью I 0 ,
интенсивность света на выходе из поляризатора
I1 
I0
.
2
(1)
Закон Малюса определяет интенсивность I 2 линейно поляризованного
света, прошедшего через поляризатор:
I 2  I1 cos 2  ,
(2)
где I1 – интенсивность линейно поляризованного света, падающего на
поляризатор, φ – угол между плоскостью поляризации падающего света и
плоскостью пропускания поляризатора.
Частично
поляризованный
свет
представляет
поляризованного света и естественного, т.е. его интенсивность
I ч.п.  I пол  I ест .
(3)
Степень поляризации частично поляризованного света
P
I max  I min
,
I max  I min
(4)
53
собой
смесь
где I max и I min – максимальная и минимальная интенсивности света, которые
наблюдаются при пропускании частично поляризованного света через
поляризатор.
Плоскость падения – плоскость, в которой лежит падающий луч, нормаль
к поверхности и отраженный луч.
Перпендикулярные
E
и параллельные
E||
компоненты волн –
компоненты вектора Е волны перпендикулярные и параллельные плоскости
падения.
Для
естественного
света
интенсивность
параллельной
и
перпендикулярной компонент волны равны:
I   I|| 
I0
.
2
Угол Брюстера
n 
 Б  tg  2  –
 n1 
(5)
угол падения, при котором в отраженном свете отсутствует параллельная
компонента волны, т.е. интенсивность этой компоненты волны равна нулю –
I   0 . Можно легко показать, что в этом случае сумма углов падения и
преломления равна
    Б   
Формулы
Френеля
для

.
2
интенсивностей
перпендикулярной
и
параллельной компонент волны, отраженной от границы раздела двух
диэлектриков
 sin      
R  I  

 sin      
2
 tg      
; R||  I|| 
 ,
 tg      
2
(6)
где α – угол падения, β – угол преломления, I  , I|| – интенсивности
перпендикулярной и параллельной компонент падающей волны.
54
Коэффициент отражения и коэффициент пропускания поверхности
раздела сред

R
;
I

T
,
I
(7)
где R, T, I – интенсивность отраженной волны, интенсивность преломленной
волны, интенсивность падающей волны, соответственно.
Аудиторные задания
5.171. При падении естественного света на некоторый поляризатор проходит
1=30% светового потока, а через два таких поляризатора – 2=13,5% .
Найти угол φ между плоскостями пропускания этих поляризаторов.
Решение.
При падении естественного света на поляризатор на выходе из него
интенсивность света должна быть равна 50% от падающего, в задаче же 30%,
следовательно, поляризатор часть света поглощает, поэтому (1) и (2)
необходимо записать с учетом коэффициента пропускания τ:
I1  
I0
I
 1I 0 ; I 2  I1 cos2   0 2 cos2   2 I 0
2
2
Из первого уравнения можно выразить τ и, подставив во второе, найти угол φ:
  21;
 
2
cos   2    arccos 
 22
2
1

412
2

  30o


5.173. Естественный свет падает на систему из трех последовательно
расположенных одинаковых поляроидов, причем плоскость пропускания
среднего поляроида составляет угол φ=60о с плоскостями пропускания двух
других поляроидов. Каждый поляроид обладает поглощением таким, что при
падении на него линейно поляризованного света максимальный коэффициент
пропускания составляет τ=0,81. Во сколько раз уменьшится интенсивность
света при прохождении этой системы?
Решение. После прохождения первого поляроида интенсивность света
55
I1  
I0
,
2
после прохождения второго поляроида интенсивность света будет
I 2  I1 cos2   2
I0
cos2  .
2
I3  I 2 cos2   3
I0
cos4  .
2
После третьего поляроида
После прохождения третьего поляризатора интенсивность уменьшится в

I0
2
 3
 60 раз.
I
 cos 4 
5.174. Степень поляризации частично поляризованного света Р = 0,25. Найти
отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к
интенсивности естественной составляющей.
Решение. Частично поляризованный свет можно рассматривать как смесь
линейно поляризованного и естественного света. Интенсивность частично
поляризованного
света
тогда
представляет
сумму
интенсивностей
поляризованного и естественного
I  I ест  I пол .
Степень поляризации этого света можно определить, если на пути этого света
поставить поляризатор. Тогда, согласно (1) и (2) через этот поляроид пройдет
половина естественной составляющей и часть линейного поляризованного
света, определяемая законом Малюса. Следовательно, если
плоскость
пропускания поляризатора составляет угол φ с плоскостью поляризации
поляризованной составляющей, то интенсивность света, прошедшего через
поляроид, будет определяться выражением
I
I ест
 I пол cos2  .
2
Максимальное значение интенсивности будет при φ = 0:
56
I max 
I ест
 I пол ,
2
а минимальная интенсивность при φ = 90:
I min 
I ест
2
Степень поляризации определяется как отношение (4):
P
I max  I min
.
I max  I min
Подставив найденные выражения для I max и I min в (4), получим выражение
P
из
которого
легко
найти
I пол
,
I ест  I пол
отношение
интенсивности
поляризованной
составляющей к интенсивности неполяризованной составляющей
I пол
P

 0,3
I ест 1  P
5.180. Естественный свет падает под углом Брюстера на поверхность стекла.
Определить с помощью формул Френеля:
а) коэффициент отражения;
б) степень поляризации преломленного света.
Решение. а) Угол Брюстера соответствует случаю когда θБ +β = π/2 и tgθБ =n.
При этом угле параллельной составляющей в отраженной волне нет, поэтому
коэффициент отражения (7):

R
R
 .
I  I
I0
Так как на стекло падает естественный свет, то
I  I 
I0
 I 0  2I  .
2
Используя формулу (6) находим, что коэффициент отражения (7):
57


R 1 2 
 1
1
 sin  2 Б    cos 2  2 Б   cos 2  Б  sin 2  Б
I0 2
2 2
2


1
 cos 4  Б 1  tg 2 Б
2

2
2

1
1
2
 
 1  tg  Б
2
2  1  tg  Б 


2
1 1  n 
 2
1  n 
2

2 2
2 2
 0,074
б) Выражение для степени поляризации (4):
P
I max  I min
.
I max  I min
Требуется найти I max и I min . При угле Брюстера интенсивность прошедшего
света с поляризацией параллельной плоскости падения будет максимальной,
так как свет с такой поляризацией не отражается и весь проходит в стекло:
I max  T||  I 
I0
.
2
Интенсивность прошедшего света с поляризацией перпендикулярной плоскости
падения будет минимальной, так как большая часть этой компоненты
падающего света отразится
I min  T  I   R 
I0
 I 0 .
2
По формуле (4) для степени поляризации находим

(1  n 2 )2  4n 2
P

 0,080 .
1   (1  n 2 )2  4n2
5.184. На плоскопараллельную стеклянную пластинку (см. рис.) падает под
углом Брюстера узкий пучок света интенсивности I0.
58
I0
1
2
3
4
Определить с помощью формул Френеля:
а) интенсивность прошедшего пучка I4, если падающий свет линейно
поляризован, причем плоскость колебаний его перпендикулярна к плоскости
падения;
б) степень поляризации прошедшего через пластинку пучка, если
падающий свет – естественный.
Решение.
а) Если свет линейно поляризован перпендикулярно плоскости падения, то
на верхней границе пластинки,
при падении под уголом Брюстера,
интенсивность компонент прошедшей волны
I||  0;  T||  0 ;
I 0  I  ; T  I   I   I 0 1    ,
где (см. задачу 5.180) коэффициент отражения

 
1  n 
1  n2
2
2 2
 0,148 .
На нижнюю поверхность пластины стекло-воздух будет падать линейно
поляризованная волна с поляризацией перпендикулярной плоскости падения и
интенсивностью равной
T  I 0 1   
59
Поскольку угол падения на границу стекло-воздух также будет углом
Брюстера, то рассуждая также как и для верхней границы, находим
интенсивность света, прошедшего через пластину:
I 4  T (1  )  I 0 (1  ) 2  0,725 I 0 .
То, что угол падения γ на границу стекло-воздух соответствует углу Брюстера,
можно показать следующим образом: луч, выходящий из пластины должен
быть параллелен лучу, падающему на пластину, т.е. он выходит под углом  Б к
нормали. Поэтому, используя закон взаимности лучей, для этих углов должно
выполняться условие:
  Б 

2
т.е. угол γ является углом Брюстера при падении на границу стекло-воздух.
Б


Б
б) Если падающий свет естественный, то компонента, поляризованная
параллельно пройдет полностью без отражения
T||  I|| 
I0
,
2
а компонента перпендикулярная плоскости падения у прошедшего света будет
иметь интенсивность
T  I    I   I  1    
60
I0
1    ,
2
где (см. задачу 5.180) коэффициент отражения компоненты перпендикулярной
плоскости падения:
 
R
I
1  n 

1  n 
2 2
2 2
 0,148
Так как на нижнюю границу пластины волна падает под углом Брюстера, то
компонента, параллельная плоскости падения, пройдет без отражения:
 I 4 ||  T|| 
I0
,
2
тогда как для компоненты перпендикулярной плоскости падения
I
2
 I 4   T  T  T 1     0 1   2
Максимальная интенсивность в прошедшей через пластину волне будет равна
 I 4 max   I 4 || 
I0
,
2
а минимальная интенсивность
I
2
 I 4 min   I 4   0 1   2 .
Подставляя эти значения в формулу (4), находим выражения для степени
поляризации прошедшей волны
P
1  (1   ) 2 (1  n 2 ) 4  16n 4

 0,16
1  (1   ) 2 (1  n 2 ) 4  16n 4
Домашние задания
5.172. Пучок естественного света падает на систему из N=6 поляризаторов,
плоскость пропускания каждого из которых повернута на угол φ=30
относительно плоскости пропускания предыдущего поляризатора. Какая
часть светового потока проходит через эту систему?
61
Решение. По закону Малюса после первых двух поляризаторов интенсивность
света будет I 2 
I0
cos 2  . И свет будет поляризован линейно. Поэтому после
2
прохождения
третьего

поляризатора
интенсивность

света

2
I0
I
cos2  , после четвертого I 4  I3 cos2   0 cos2 
2
2
I3  I 2 cos2  
будет

3
и т.д.
Можно установить связь показателя у косинуса с номером поляризатора
Ik 

I0
cos2 
2

( k 1)
. Чтобы посчитать часть светового потока, прошедшего
через N поляризаторов надо найти отношение

IN 1
 cos 2 
I0 2


N 1
.
5
1 3
По условию задачи N = 6 φ = 30 , поэтому      0,12
2 2

5.176. На пути частично поляризованного света поместили поляризатор. При
повороте поляризатора на угол φ=60 из положения, соответствующего
максимуму пропускания, интенсивность прошедшего света уменьшилась в
 = 3,0 раза. Найти степень поляризации падающего света.
Решение. Интенсивность, соответствующая максимуму пропускания
I max 
I ест
 I пол .
2
Интенсивность света прошедшего через поляризатор
I
I ест
1 I

 I пол cos2   I max   ест  I пол  .
2
 2

Из последнего равенства можно выразить
I пол
1 

1

I
 
 ест 
.
2  1  cos 2  




Так как степень поляризации (см. 5.174)
62
P
I пол
,
I ест  I пол
то
1
P
1
I пол
1
1
 1





1
1
I ест  I пол I ест  1
 cos 2 
 2 cos 2   1 1   cos 2


I пол
2
1
1
1

5.183. Узкий пучок естественного света падает
под углом Брюстера на поверхность толстой
I0
1
плоскопараллельной прозрачной пластины. При
этом от верхней поверхности отражается
ρ=0,8
светового
потока.
Найти
степень
2
3
поляризации пучков 1–4 (см. рис.).
Решение. Для первого луча
4
I max  R ,
а минимальная интенсивность имеет место для параллельной составляющей
I min  R  0 ,
поэтому степень поляризации первого луча
P1 
I max  I min
 1.
I max  I min
Для второго луча степень поляризации посчитана в задаче 180б.:
P2 

 0,087 .
1 
На второй поверхности угол падения равен углу Брюстера при отражении от
менее плотной
среды, поэтому для третьего луча справедливы те же
рассуждения, что и для первого луча, следовательно, для третьего луча степень
поляризации
63
Р3=1.
На вторую поверхность падает свет интенсивностью
T  I 0 (1  ) .
Интенсивность параллельной составляющей, падающей на вторую
поверхность:
T 
I0
,
2
перпендикулярной
T 
I0
 I 0 .
2
Так как падение происходит под углом Брюстера, то интенсивность
третьего луча
I3  T  I 0(1  ) ,
следовательно, интенсивность перпендикулярной составляющей в четвертом
луче
будет
соответствовать
минимальному
значению
интенсивности
прошедшего света
 I 4 min
I 0 (1  2)
I 0 (1  4  22 )
,
 T  I3 
 (1  ) I 0 
2
2
а максимальная интенсивность будет равна интенсивности параллельной
составляющей
 I 4 max  T

I0
.
2
После подстановки в формулу (4) для степени поляризации находим
P4 
Ответ: Р1=Р3=1; P2 
2(1  )
 0,087 .
1  2 1   
2(1  )

 0,087
 0,087 ; P4 
1  2 1   
1 
64