8.ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НА УСЛОВНЫЙ

Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Ростовский ордена Трудового Красного Знамени
государственный университет
Л.И. Сантылова, Л.Н. Землянухина
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для студентов вечернего отделения
механико-математического факультета
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
по курсу “Методы оптимизации”
( часть 4 )
г.Ростов-на-Дону
1996
2
Методические указания рекомендованы к печати
заседанием кафедры исследования операций механикоматематического факультета РГУ,
ПРОТОКОЛ
№ 2
от 3 октября 1996 г.
3
СОДЕРЖАНИЕ
8.ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ...4
8.1.Задача Лагранжа...................................4
8.2.Примеры задачи Лагранжа................ ..........6
8.3.Задания...........................................8
8.4.Изопериметрическая задача.........................8
8.5.Примеры изопериметрической задачи................10
8.6.Задания..........................................11
9.ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ(ВИ) И ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ(ДП)...................................13
10.ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА.....14
10.1.Постановка задачи................................15
10.2.Необходимое условие минимума.....................17
10.3.Схема решения....................................20
10.4.Примеры..........................................21
10.5.Задания..........................................22
11.ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ...........23
11.1.Постановка задачи................................23
11.2.Необходимое условие минимума.....................25
11.3.Схема решения....................................26
11.4.Примеры..........................................28
11.5.Задания..........................................30
Литература................................................32
4
8.ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НА УСЛОВНЫЙ
ЭКСТРЕМУМ
Рассмотрим задачи ВИ, в которых на искомые функции
накладываются,
кроме
граничных
условий,
дополнительные
ограничения. Эти задачи называются задачами ВИ на условный
экстремум.
8.1.Задача Лагранжа
Требуется найти экстремум функционала
x1

V[y1(x),,yn(x)]= F(x,y1,y2,,yn,y1,,yn)dx
x0
(1)
с граничными условиями
yk(x0)=yk, yk(x1)=yk,
k=1,,n,
(2)
при дополнительных ограничениях, заданных уравнениями связи
i(x,y1,yn,y1,,yn)=0
i=1,,m,
(mn).
(3)
Введем функцию Лагранжа
L(x,y1,,yn,y1,,yn,1,m)=F(x,y1,,yn,y1,,yn)+
m
+ i(x)i(x,y1,,yn,y1,,yn),
(4)
i=1
где i(x)Сi[x0,x1]-множители Лагранжа.
В
задаче
Лагранжа
необходимое
условие
экстремума
функционала (1) формулируется в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Если функции y1(x),,yn(x)C1[x0,xn] доставляют
слабый экстремум функционалу (1) при условиях (2),(3), то
существуют множители Лагранжа i(x)Ci[x0,xn] (i=1,m), при
которых эти функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера
Lyk
-
d/dx Lyk =0, k=1,,n.
(5)
При решении задачи Лагранжа искомые функции y1(x), y2(x),
,yn(x) и множители Лагранжа 1(x),,m(x) определяются из
системы n+m уравнений (5) и (3).
8.2.Примеры задачи Лагранжа
Пример 1. Найти
экстремум функционала
1
функции,
V[y1,y2]=(y22+y22+x3)dx
0
на
которых
может
достигаться
5
при граничных условиях
у1(0)=y2(1)=2, y1(1)=y2(0)=1
и условиях связи
y1-2y2+3x=0.
Решение
Построим функцию Лагранжа для данной задачи
L(x,y1,y2,y1,y2,1(x))=y12+y22+x3+1(x)(y1-2y2+3x).
Тогда, Ly1=1(x),Ly1=2y1,
Ly2=-21(x),Ly2=2y2,
и используя теорему 1, получим следующую систему трех уравнений
относительно функций y1(x),y2(x),1(x):
1(x)-2y1”=0
1(x)+2y2”=0
y1-2y2+3x=0.
Вычитая из первого уравнения второе и дифференцируя по Х
третье уравнение,получаем
-2y1”-y2”=0
y1”=0
Ошибка!
Закладка
не
определена.y1(x)+y2”=0
Ошибка!
Закладка
не
определена.Ошибка!
Закладка
не
определена.Ошибка! Закладка не определена.y2”=0
y1”-2y2”= 0
1(x)=0
Отсюда получаем
y1=C1x+C2
y2=C3x+C4
1(x)=0
Учитывая граничные условия и условия связи приходим к следующей
алгебраической системе относительно С1,C2,C3,C4:
C2=2
C1=-1
y1=-x+2
Ошибка!
Закладка
не
определена.C3+C4=2
Ошибка! Закладка не определена.C2= 2
Ошибка!
Закладка
не
определена.Ошибка!
Закладка
не
определена.1(x)=0
Ошибка!
Закладка
не
определена.Ошибка!
Закладка
не
определена.C4=1
Ошибка! Закладка не
определена.C3= 1
y2= x+1
C1+C2=1
C4= 1
6
C1-2C3+3=0
C2-2C4=0
Ответ: y1=-x+2

y2= x+1.
Пример 2. Найти
экстремум функционала
функции,на
которых
может
достигаться
1
Vy1(x),y2(x)=(y12+y22)dx
0
при ограничениях
и условиях связи
y1(0)=y2(1)=0, y2(0)=y1(1)=1
y1-y2=0.
Решение
В этом
примере функция Лагранжа имеет вид
L(x,y1(x),y2(x),1(x),y1(x),y2(x))=y12+y22+1(x)(y1-y2).
По теореме 1 искомые функции удовлетворяют системе
Ошибка! Закладка не
d/dx(2y1+1(x))=0
определена.Ошибка! Закладка не определена. 2y1+1(x)=C1
2y2-1(x)=0
Ошибка! Закладка не определена.

2y2-1(x)=0

y1-y2=0

y1-y2=0
2y1+1(x)=C1
2y1+2y2 =C1
y1-y2=0
 2y1+1(x)=C1
4y1=C1

 y1-y2=0
y1=(C1/4)x+C2
y2=C1/4
1(x)=C1/2
Учитывая граничные условия, получим
C2=0
 C1/4=0

 C1/4=1
 C1/4+C2=1
7
Данная система противоречива. Следовательно, решений нет.
Ответ: Решений нет.
8.3.Задания
1
1. (y12+y22+y22)dx - extr
0
y1(0)=-2, y2(0)=1, y1(1)=-e-1, y2(1)=0
y1-y2=0.
1
2. (y12+y22+1)dx - extr
0
y1(0)=y2(0)=y2(1)=0, y1(1)=2,
y1+y2-2x2=0.

3.(y12-y22+y22)dx - extr
0
y1(0)=y2(0)=y1()=0, y2()=0
y1-y2+CosX=0.
/2
4.(y12+y22-y12-y22+CosX)dx - extr
0
y1(0)=y2(0)=y1(/2)=1, y2(/2)=-1
y1-y2-SinX=0.
/2
5.(y12+y22+2y1y2)dx - extr
0
y1(0)=1, y2(0)=-1, y1(/2)=2/4+1, y2(/2)=2/4-1
1
6.(y12+y22)dx - extr
0
y1(0)=y2(0)=0, y1(1)=2Ch1, y2(1)=2Sh1
8
y1-y2=0.
1
7.(y12-y22)dx - extr
0
y1(0)=-8/3, y2(0)=4/3, y1(2)=-Sh2-8/3e4, y2(2)=Ch2+1/3e4
y1+y2+e2x=0.

8.(y1y2-y1y2)dx - extr
0
y1(0)=y2(0)=0, y1(/2)=1, y2(/2)=-1
y1+y2=2SinX.
1
9.(y12+y22+2y1)dx - extr
0
y1(0)=y2(0)=1, y1(1)=1/2+Sh1, y2(1)=Ch1
-y1+y2=x
8.4.Изопериметрическая задача
В классическом вариационном исчислении
задачей называется следующая задача:
требуется найти экстремум функционала
изопериметрической
x1

V[y1(x),,yn(x)]= F(x,y1,y2,,yn,y1,,yn)dx
x0
с граничными условиями
yk(x0)=yk0, yk(x1)=yk1,
k=1,,n,
(6)
(7)
при дополнительных ограничениях
x1
Fi(x,y1,yn,y1,,yn)dx=li,
i=1,,m,
(mn).
x0
Функция Лагранжа для данной задачи имеет вид

L(x,y1,,yn,y1,,yn,1,m)=F(x,y1,,yn,y1,,yn)+
m
+ iFi(x,y1,,yn,y1,,yn),
i=1
(9)
9
где i-произвольные вещественные числа.
Необходимое уловие экстремума для изопeриметрической задачи
формулируется в виде теоремы 2.
Теорема 2. Если функции y1(x),,yn(x)C1[x0,xn] доставляют
слабый экстремум функционалу (6) при условиях (7),(8), то
существуют
вещественные
числа
i
(i=1,m),
называемые
множителями Лагранжа, при которых эти функции удовлетворяют
системе уравнений Эйлера


Lyk- d/dx Lyk =0, k=1,,n,
(10)

где L-функция Лагранжа(9).
Итак,для решения изопериметрической задачи требуется:
1)построить функцию Лагранжа

L (x,y1,,yn,y1,,yn,1,m)
и выписать систему дифференциальных уравнений (10);
2)решив
систему
(10),
определить
функции
y1,y2,yn,
зависящие от 2n констант интегрирования и m множителей
Лагранжа;
3)используя граничные условия (7) и интегральные условия
(8), найти константы интегрирования и множители
Лагранжа
и тем самым определить искомые функции yk(x) (k=1,,n).
8.5.Примеры изопериметрической задачи
Пример 3. Найти функции, которые могут доставить экстремум
функционалу
1
Vy1(x),y2(x)= y1y2 dx
0
при ограничениях
y1(0)=y2(0)=y1(1)=0, y2(1)=1
и интегральных условиях
1
0
1
 xy1dx=0,  xy2dx=0.
0
Решение
Функция Лагранжа для данной задачи имеет вид

L(x,y1,y2,y1,y2,1, 2)= y1y2+1xy1+2xy2
10
Так как


Ly1 =1x, Ly1= y2,


Ly1 =2x, Ly2= y1,
то система (10) будет следующей
1x -y2=0


2x -y1=0
y2=0.51x2+C1

 y1=0.52x2+C3
Отсюда,
y1=(2x3)/6+C3x+C4

3
 y2=(1x )/6+С1x+C2.
Учитывая граничные условия, получим




y1(0)=C4=0
y(0)=C=0
y1(1)=2/6+C3=0
y2(1)=1/6+C1=1
 C2=-2/6

 C1=1-1/6
Из интегральных условий
1
((2x3)/6-(2x)/6)xdx=0
0
1
2=0
 2=0
Error! Bookmark not defined.

((1x3)/6+(1-1/6)x)xdx=0
0
(1/6)(-2/15)+1/3=0
Искомые функции  y1=0

 y2= 2.5x3-1.5x
Ответ:  y1=0

 y2= 2.5x3-1.5x.
8.6.Задания
1
1=15
11
1.
y2dx
- extr
0
1
ydx=0,y(0)=1,
y(1)=0.
0
1
2.
y2dx
- extr
0
1
ydx=-3/2,
0
1
yxdx=-2,
y(0)=2, y(1)=-14.
0

3.
y2dx
- extr
0

ycos(x)dx=/2,
y(0)=1, y()=-1.
0

4.
y2dx
- extr
0

ysin(x)dx=0,
y(0)=0, y()=1.
0
1
5.
y2dx
- extr
0
1
yexdx=0,
0
2
y(0)=0, y(1)=1.
12
x3 y2dx
6.
- extr
1
2
ydx=2,
y(1)=4, y(2)=1.
1
1
y2dx
7.
- extr
0
1
yxdx=0,
y(0)=0, y(1)=1.
0
1
y2dx
8.
- extr
0
1
ydx=1,
0
1
yxdx=0,
y(0)=y(1)=0.
0

9.
ysin(x)dx
- extr,
0

y2dx
=3/2, y(0)=0, y()=.
0
1
10.
(y2
+ y2)dx - extr
0
1
ye-xdx=0.25(1-3e
-1),
0
1
11.
y1y2
dx - extr,
y(0)=0, y(1)=e-1.
13
0
1
y1dx=1,
0
1
y2
0
dx=0, y1(0)= y2(0)= y1(1)=0, y2(1)=1.
1
(y1+y2)dx-extr,
12.
0
1
0
y1y2
dx=0, y1(0)= y2(0)= 0, y1(1)=1, y2(1)=-3.
1
13.
 (y1 +y2 )dx
2
0
2
- extr,
1
0
y1y2
dx=-2, y1(0)= y2(0)= y1(1)=1, y2(1)=0.
1
14.
0
(y1-y2)xdx
- extr,
1
0
y1y2
dx=-4/5, y1(0)= y2(0)= 0, y1(1)=2, y2(1)=0.
/2
 (y2
15.
-y2)dx - extr
0
/2
ysin(x)dx1=1,
y(0)= y(/2)=0.
0
9.ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ(ВИ) И ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ(ДП)
14
В данном разделе излагается
неклассический подход к ВИ,
предполагающий использование динамического программирования.
9.1.Вывод уравнения Беллмана для континуальной задачи
Рассмотрим простейшую задачу ВИ, уже изложенную в 7.2.
Пусть F(x,y,z) имеет непрерывные производные до второго порядка
включительно по всем своим аргументам. Требуется среди функций
y(x)C1(x0,x1), yдовлетворяющих граничному условию
y(x0)=y0,
найти функцию, на которой достигается, для определенности, минимум функционала
x1
V[y(x)]= F(x,y,y)dx.
x0
Возьмем
функцию
произвольную точку x[x0,x1] и введем в рассмотрение
x1
f(x,y)=
F(x,y,y)dx.
min
{y(x)}
(11)
x
Таким образом, f(x,y) в формуле (11) определяет минимальное
значение функционала, достигаемое на функциях, левый
конец
которых находится в точке А(x,y).
Теперь
min
V[y(x)]=f(x0,y0).
{y(x)}
Выведем уравнение Беллмана для континуальной задачи
Пусть -некоторое положительное приращение точки X. Тогда,
x+
x1
ДП.
f(x,y)=
min [ F(x,y(x),y(x))dx + F(x,y(x),y(x))dx].
{y(x)}
x
x+
Считая   0 и учитывая непрерывность y(x), получаем
x1
f(x,y)=
min [F(x,y,y) + F(x,y,y)dx] или
{y(x)}
f(x,y)=
x+
min [F(x,y,y)+f(x+,y+y)].
{y(x)}
(12)
15
Воспользуемся
принципом Лежандра: всякая непрерывная
функция может быть задана или бесконечным множеством точек или
бесконечным множеством касательных.
Это позволит от минимизации по y(x) перейти к минимизации
по y(x). Вследствие этого получим
f(x,y)=
min [F(x,y,y)+f(x+,y+y)].
(13)
{y(x)}
Разложим y(x+) в ряд Тейлора
y(x+)=y(x)+y(x)+o(2).
Тогда, f(x+,y+y)= f(x+,y+y).
А разложив в
переменных, получим
ряд
Тейлора
уже
полученную
функцию
двух
f(x+,y+y)=f(x,y)+fx+fyy+o(2),
откуда (13) можно переписать в виде
f(x,y)=
min [F(x,y,y)+f(x,y)+ fx+fyy]=
{y(x)}
[(F(x,y,y)+fx+fyy)+f(x,y)]=
= min
{y(x)}
[(F(x,y,y)+fx+fyy)]+f(x,y).
= min
{y(x)}
Отсюда,
0= min
[(F(x,y,y)+fx+fyy)] или
{y(x)}
-fx= min
[F(x,y,y)+fyy)].
(14)
{y(x)}
Уравнение (14) является рекуррентным уравнением Беллмана для
континуальной задачи ДП.
Используя уравнение (14) выведем уравнение Эйлера.
9.2.Вывод уравнения Эйлера
В силу исходных условий выражение в квадратных скобках
уравнения (14) определяет непрерывную функцию. А потому для
минимизации этой функции можно использовать классический подход,
приравняв к нулю производную
16
Fy + fy=0.
(15)
Предположим, что в(14) подставлено оптимальное значение y(x)
-fx= F(x,y,y)+fyy .
(16)
Дифференцируя (15) по X, а (16) по Y, получим
d/dx(Fy)+ fyx+ fyyy=0
и
(17)
fxy+ Fy + Fy( y/ y)+ fy( y/ y) + fyyy=0.
(18)
Из (18) вычтем (17):
-d/dx(Fy)+ Fy + (Fy+ fy)( y/ y)=0.
Отсюда, учитывая (15), получаем уравнение Эйлера
Fy-d/dx(Fy)=0.
10.ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
10.1. Постановка задачи
Задачей оптимального управления
(в понтрягинской форме) будем
называть следующую задачу в пространстве
I ( x (), u(), t1 ) 

t1
 f (t , x, u) dt  0 (t1 , x(t1 ))
t0
x (t )  f (t , x(t ), u(t )) ,
u( t ) U  t [ t0 , t1 ] ,
x ( t0 ) S 0
,
x ( t1 )  S1 ( t1 )
где
.

KC1( , R n )  KC( , R m )  R 2
min ,
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
:
17
S0  { x R n | g ( x )  0 , i  1, m } ,
i
0
n
S (t )  { x R | g ( x, t )  0 , i  m  1, m }
1
i
1
0
Здесь
t0 , t1  , где
сировано,
n+m+1
и
 - заданный
.
конечный
отрезок, t 0
фик-
f : R  Rn  Rm  R
0
n+1
переменных,
и  : R  R n  R - функции соответственно
0
переменных, f : R  R n  R m  R - вектор-функция n+m+1
n
gi : R n  R, i  1, m0
функции
переменных,
g : R n  R  R , i  m  1, m - функции n+1 переменных, U - произвольное
i
0
t1
множество
из
Если
фиксировано
(т.е.
Rm .
S1 ( t1 )  S1 , g i ( x , t1 )  g i ( x ), i  m0  1, m ), то задачу называют задачей с
закрепленным временем. Частным случаем является задача, в которой
один из концов или даже оба закреплены, т.е. S0  {x 0} или S1  {x1} .
Если S0  R n или S1  R n , то концы называют свободными. Во всех
остальных случаях концы называют подвижными.
Вектор-функция x(  )
называется фазовой переменной, u() - управлением. Уравнение (20), называемое дифференциальной связью,
должно выполняться во всех точках непрерывности управления u() на
интервале ( t0 , t1 ) , который будем обозначать через T.
Тройка ( x (), u(), t1 ) называется управляемым процессом
в
задаче
оптимального управления, если x()  KC1( , R n ) , u() KC(  , R m ) (здесь
KC(  , R m ) - пространство кусочно-непрерывных на отрезке  m-мерных
функций, имеющих конечное число точек
разрыва первого рода внутри
отрезка и непрерывных справа в точках разрыва; KC1(  , R n ) - пространство кусочно-непрерывно дифференцируемых n-мерных функций на
отрезке  ) и выполняются дифференциальная связь (20) и ограничения
типа включения (21).Управляемый процесс называется допустимым, если
, кроме того, выполняются соотношения (22) и (23).
  
Допустимый управляемый процесс ( x (), u(), t ) называется (локально)
1
0
оптимальным, если
существует
такое, что для всякого
допустимого управляемого процесса ( x (), u(), t1 ) , для которого
( x (), t )  ( x (), t )
 ,
1
1 С( , R n )  R1
выполняется неравенство
I ( x (), u(), t1 )  I ( x (), u(), t ) .
1
10.2.Необходимые условия экстремума
18
  
Теорема (принцип максимума Понтрягина). Пусть ( x (), u(), t ) 1
оптимальный процесс в задаче оптимального управления, функции
f i , i  0 , m и их частные производные по x непрерывны в множестве


V  U , где V - некоторая окрестность множества {(t , x (t ))| t [t , t ]} , а
0 1
функции  0 , gi , i  1, m непрерывно дифференцируемы в окрестности точки
  

гладкости).Тогда
существует
решение
( x (t0 ), t1 , x (t1 ) ) (условие
 (t )  ( 1 (t ),...,  (t ) ) сопряженной системы
n



 i (t )  

H (t , x (t ), u (t ),  0 ,  (t )) , i  1, n
,
(24)
xi
где
m
H ( t , x , u,  0 ,  ) 
 i
fi (t , x ,u)
(25)
,
i 0
и константа  0  0 такие, что |  0 |  ||  (t )||  0 при t [t 0 , t1 ]
и выполняются следующие условия:
а) (условие максимума) при каждом
функция Понтряt [t 0 , t1 ]

гина H (t , x (t ), u,  0 ,  (t )) достигает максимума по u U
при u  u( t ) , т.е.


H (t , x (t ), u(t ),  0 ,  (t )) 

max H (t , x (t ), u,  0 ,  (t )) ,
uU
(26)
б)(условие трансверсальности на левом конце траектории) сущес1 ,...,  m
твуют числа
такие, что
0
(t0 ) 
m0
  i gi ( x( t 0 ))
,
(27)
i 0
в) (условие трансверсальности на правом конце траектории) су m 1 ,..., 
ществуют числа
такие, что:
m
0
- в случае, когда конечный момент времени фиксирован ( t  t )
1

 ( t1 )   0  0 ( x ( t1 ), t1 ) 
1
m
  i gi ( x(t1),t1) ,
i  m0 1
- в случае, когда конечный момент времени не фиксирован
(28)
19


  
 (t1 )   0  0 ( x (t1 ), t1 ) 
x
m
 i

  
gi ( x (t 1),t 1) ,
x
(29)
i  m0 1
m
    

H ( t1, x ( t1 ), u ( t1 ),  0 ,  ( t1 ) 

i



g ( x ( t1), t1 )
t i
,
(30)
i  m0 1
▀
Посмотрим теперь, как выглядят условия трансверсальности в
важных частных случаях закрепленных и свободных концов траектории.
Если конец закреплен, например левый, т.е. S0  {x 0 } , то (27) имеет
 (t 0 )  ( 1 ,...,  n ) , следовательно,
вид
условие
трансверсальности
выполнено
на левом конце при любом
(t 0 ) . Если конец траектории
( t 0 )  0 .
свободен, например левый, т.е. S0  R n ,то (28) имеет вид
Аналогично при свободном правом конце условия трансверсальности

 ( t1 )   0  0 ( x ( t1 ), t1 )  0 .
приобретает вид
10.3. Схема решения задачи
1. Составить функцию Понтрягина:
m
H ( t , x , u,  0 ,  ) 
 i
fi (t , x ,u)
;
i 0
2. Построить сопряженную систему :

H (t , x , u,  0 ,  (t )) , i  1, n
;
xi
3. Построить условия трансверсальности: (27)-для левого конца,
(28) или (29)-(30)- для правого с учетом сделанных замечаний для
закрепленных и подвижных концов;
 i (t )  

4.
Найти
решения
(t ) сопряженной
системы
с
учетом
условие
трансверсальности , рассмотрев два случая  0  0 и  0   1 , при этом
должно выполняться |  0 |  ||  (t )||  0 ;
5. Найти допустимые управления u  u(t ) , используя принцип максимума:
H (t , x , u(t ),  0 ,  (t )) 
max H (t , x, u,  0 ,  (t ))
uU
6. Решить систему дифференциальных уравнений

x (t )  f (t , x(t ), u(t ))
,
20
используя граничные условия, найти допустимые траектории .
7. Отыскать решение среди найденных допустимых процессов или
показать, что решения нет.
10.4. Примеры
Пример 1.
1

 (x
2
 x ) dt
 min , | x |  14 , x(0)  0 .

0
Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления,
введя управление u() :
1
2
 (u  x ) dt
 min ,

x  u , u [  14 , 14]
, x ( 0)  0
.
0
Функция Понтрягина: H (t , x, u,  0 ,  )   0 ( u 2  x )  1 u .Строим сопряженную
систему :  1    0 . Условия трансверсальности: для левого конца не
формируем, т.к. конец закреплен; для правого конца имеем 1(1)  0 .
Теперь решаем сопряженную систему. Если  0  0 , то имеем



 1  0 ,
 1  C1 ,
,
0  0  
 
 1  0
1(1)  0 ,
1(1)  0 ,




найденное решение не удовлетворяет условию
|  0 |  ||  (t )||  0 .
Если  0   1 , то имеем



 1  1,
 1  t  C1 ,
,
0  1  
 
 1  t  1
1(1)  0 ,
1(1)  0 ,




найденное решение удовлетворяет условию |  0 |  ||  (t )||  0 .
Запишем принцип максимума:
max (  0 u 2  ( t  1 ) u )  max (  u 2  ( t  1 ) u ) 
u [ 1 , 1 ]
4 4
u [ 1 , 1 ]
4 4

max (  (
(t 1 )2
t 1 2
u
)  4
2
)
u [ 1 , 1 ]
4 4
и найдем допустимые управления , решив задачу максимизации функции
одной переменной на отрезке:
21
t 1
 1
  14 ,
 1
  4 , если
2
4


t 1 1
t 1
t 1
u( t )  
, если  1 4 
 4,  
,
2
 2
 2
 1
 1
1  t 1 ,
 4
 4 , если
4
2
 1
t  12 ,
4 , если

 t 1
, если 1 2  t  1 .

 2
Теперь решаем систему дифференциальных
ничное условие:
  1
, если 0  t  1 2 ,
  4
 x   t  1
 
, если 1 2  t  1,
  2
 x( 0)  0 ,

t  12
,
если 1 2  t  3 2
,
, если
, если
3  t
2

,
уравнений, используя гра-
1
  1 t  C
1 , если 0  t  2 ,
  4
x   2
   t  1 t  C , если 1  t  1, 
2
2
  4 2
 x( 0)  0 ,

 1 t
, если 0  t  1 2 ,
4

 x   t2 1

 t  C2 , если 1 2  t  1 .
 4 2
Так как x() должна быть непрерывной , то окончательно получаем:
 1 t
, если 0  t  1 2 ,
4

x ( t )   t 2 1
5

 t
, если 1 2  t  1.
 4 2 16
Найденное решение удовлетворяет только необходимым условиям оптимальности. Докажем, что это решение является оптимальным. Для

этого возьмем функцию x(  )  KC1([01
, ]) такую, что x ()  x () - допустимая
функция в задаче. Функция должна удовлетворять условиям
x( 0)  0
;
| x  x |  1 4   1 4  x  x  1 4  0  x( t )  1 2  t [0, 1 2 ]

.
Интегрируя по частям с использованием того, что x( t )  ( t 1) 2 , 12  t 1
, получим
22

I ( x (  )  x (  )) 
1
  2 
(
(
x
  x )  x  x ) dt

 I ( x ( ) 
0
1


1
2
 
x dt   2 x x dt 
0
1


x d ( t 1)  I ( x (  )  x ( t  1) 10 
0
0
1



 (2 x  t  1 ) x
dt 
0
1
2 1


 ( 2  t ) x dt  I ( x ( ) .
0

x  0 . Итак x -оптимальная траектория.
▀

 I ( x ( ) 
так как на отрезке [0, 1 2]
Пример 2.


x sin t dt
 min , | x |  1 , x(0)  x( )  0 .

0
Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления,
введя управление u  x :


x sin t dt
 min ,

x  u , u [  1,1]
, x(0)  x()  0
.
0
Функция Понтрягина : H (t , x, u,  0 , )   0 x sin t  1 u . Cтроим сопряженную
    sin t . Условия трансверсальности не формируем, т.к.
систему : 
1
0
оба конца
закреплены. Теперь решаем сопряженную систему. Если
 0  0 , то имеем
 0    C .
0  0  
1
1
1
Тогда функция Понтрягина принимает вид: H (t , x , u,  0 ,  )  C1 u , получаем:


C1 u   C1  u   1  x   t  C1 ,
u [ 1, 1]


если C1  0 
max C1 u  C1  u  1  x  t  C1 .
u [ 1, 1]
Однако, обе функции не удовлетворяют граничным условиям ни при
каких значениях C1 .
если
C1  0 
Если
0   1,
max
то имеем
0   1 
  sin t

1

1   cos t  C1 .
23
Запишем принцип максимума:
max (  1 (t ) u )  max ( (  cos t  C1 ) u ) 
u [ 1 , 1]
u [ 1 , 1]
   1 (t ) , если  1 (t )  0 ,

 
  1 (t ) , если  1 (t )  0 ,
и найдем допустимые управления :
 1


u (t )  

 1
Так как функция
, если
, если
 1 (t )
 cos t  C1  0 ,
 cos t  C1  0
.
может обращаться в ноль не более, чем в
[0 ,  ] , то переключения управления также могут

происходить не более одного раза, например в точке t1 . Теперь
решаем систему дифференциальных уравнений, используя граничные
условия, получим допустимую траекторию:
одной точке отрезка
  x  1 , если 1  0 ,

 x  u ,
   x   1, если 1  0 , 

 x ( 0)  x (  )  0 ,

 x( 0)  x(  )  0 ,



t

C
,
если
0

t

t



1
1 ,
 x  

   t , если 0  t  t 1 ,
t  C2 , если t1  t   ,  x  
 


t   , если t1  t   .

 x ( 0)  x (  )  0 ,
Так как функция x() должна быть непрерывной , то окончательно получаем :
 t , если 0  t   ,
 


2
 t1  t1    t1   2  x  
t   , если  2  t   .
Найденное решение удовлетворяет только необходимым условиям оптимальности. Докажем, что это решение является оптимальным. Для

этого возьмем функцию x(  )  KC1([01
, ]) такую, что x ()  x () - допустимая
функция в задаче. Функция должна удовлетворять условиям
0  x ( t )  2  t [0,  ) ,

2


x ( 0)  x (  )  0;
| x  x |  1   1  x  x  1  


  2  x ( t )  0  t [ 2 , ] .
Интегрируя по частям , получим
24

I ( x (  )  x (  )) 


 ( x  x ) sin t dt

 I ( x ( ) 
0


x sin t dt

0



 I ( x (  )  ( x (  cos t ) ) |   x cos t dt
0
0


 I ( x ( ) 
2


x cos t dt




x cos t dt  I ( x (  ) ) ,

0
2

так как на отрезке [0, 2 ] cos t  0 , а на отрезке [ 2 , ]

x -оптимальная траектория.
cos t  0 . Итак
▀
Пример 3.
1

x dt

 min , | x |  2 , x(0)  x(0)  0 .

0
Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления,
сделав замену переменных x1  x , x2  x и вводя управление u  x :
1

0
x dt
1
x1  x 2 ,
 min , 
 x 2  u ,
u [  2 , 2 ]
, x1(0)  x2 (0)  0
.
Функция Понтрягина : H (t , x , u,  0 ,  )   0 x 1   1 x 2   2 u .Cтроим сопряженную систему :
H

 
  0 ,

1
x

1
.


H

 
  1 .
 2
x
2

Условия трансверсальности: для левого конца не формируем, т.к. конец закреплен; для правого конца имеем  1 (1)  0 ,  2 (1)  0 . Теперь
решаем сопряженную систему. Если  0  0 , то имеем
25
1  C1,
  0,



1




 

1  0 ,
  ,


C
t

C
,
 0  0  





1
 2
2
 2 1
  0.



 2

(
1
)

0
,

(
1
)

0
,

(
1
)

0
,

(
1
)

0
,
 1

2

2
 1
Найденное решение не удовлетворяет условию |  0 |  ||  (t )||  0 . Если
 0   1 , то имеем
1  t  C1 ,
 1 ,


1  t  1 ,
 1
2



  ,
 0  1  
    t  C t  C ,  
1
2
1
2
1
2
2

 2
 2   ( t  1) .
2

1(1)  0 ,  2 (1)  0 ,  (1)  0 ,  (1)  0 ,
2
 1
Запишем принцип максимума:
  2  2 ( t ) , если  2 ( t )  0 ,

max (  2 (t ) u )  
 2 2 ( t ) , если  2 ( t )  0 ,
u [2 , 2]
и найдем допустимые управления :
  2 , если  2  0 ,



u( t )  
 u( t )   2  t  [2,2] .

 2 , если  2  0 ,
Теперь решаем систему дифференциальных уравнений, используя граничные условия, получим допустимую траекторию:
 x   t 2  C t  C ,
 x1  x2 ,
1
2
 x   t 2 ,
 1


x


2
,
x


2
t

C
,
  2
 1
 x ( t )   t 2 .
 2
1
 x2   2t ,


 x1( 0)  0 , x2 ( 0 )  0 ,  x1( 0 )  0 , x2 ( 0)  0 ,
Найденное решение удовлетворяет только необходимым условиям оптимальности. Докажем, что это решение является оптимальным. Для

этого возьмем функцию x(  )  KC1([01
, ]) такую, что x ()  x () - допустимая
функция в задаче. Функция должна удовлетворять условиям
x( 0)  x ( 0)  0;
| 
x  
x |  2   2  
x  
x  2  0  
x( t )  4  t [0,1] .
Так как x  0 , то функция x ( t ) монотонно возрастающая, а учитывая,
что x ( 0)  0 , делаем вывод, что функция x ( t )  0  t [0,1] . Аналогично
получаем, что функция x( t )  0  t [0,1] .Окончательно имеем

I ( x (  )  x (  )) 
1

 ( x  x ) dt

 I ( x ( ) 
0

Итак x -оптимальная траектория.
1

x ( t ) dt

 I ( x (  ))
.
0
▀
Пример 4.
26
2

|x
| dt
 min ,


x   2 , x ( 0 )  0 , x ( 2 )   1, x ( 2 )   2 .
0
Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления,
x1  x , x2  x и вводя управление u  x :
сделав замену переменных
2
 | u | dt  min ,

 x1  x2 ,
u   2 , x1( 0)  0 , x1( 2)   1, x2 ( 2)   2 .

x  u ,

 2
0
Функция Понтрягина : H ( t , x , u,  0 ,  )   0 | u|  1 x 2   2 u . Строим сопряженную систему :
H

 
 0 ,

1
x

1

H

 
  1 .
 2
x
2

Условия трансверсальности: для правого конца не формируем, т.к.
конец закреплен; для левого имеем  2 ( 0)  0 . Теперь решаем сопряженную систему:
  0,
  
  1  C1 ,
   C1 ,
  1

    ,       C t  C ,   1
  
2
1
1
2
 2
  2   C1 t .


  2 ( 0)  0 ,
  2 ( 0)  0 ,
Запишем принцип максимума. Если  0  0 и  2 ( t )  0 , то
max (  0 | u|   2 (t ) u )  max (  2 (t ) u ) 
u [2 ,  )
u [2 ,  )
  2  2 ( t )  u ( t )   2  t [0,2] .
При  2 ( t )  0 функция Понтрягина неограниченна сверху, т.е. максимум
не существует. Тогда
 x   t 2  C t  C ,
  x1  x 2 ,
1
2
  1
0  C ,

2

x


2
,
  x   2t  C ,

  2
2
1


 3  2C1  C2 , р ешения нет.

  x1( 0)  0 ,
  x1( 0)  0 ,

  2  4  C1 ,
  x ( 2)  1, x ( 2)  2,

x
(
2
)


1
,
x
(
2
)


2
,
  1
  1
2
2
Теперь рассмотрим случай  0   1 .
27
max
u [2 ,  )
(  0 | u|   2 (t ) u ) 
max
u [2 ,  )
( | u|  2 (t ) u ) 
 max ( u   ( t ) u ), если u  0 ,
2

  2 , если  2 ( t )  1 ,
u

[

2
,
0
]

 u( t )  . 

0 , если  1   2 ( t )  1.
 max (  u   2 ( t ) u ), если u  0 ,

u [ 0 ,  )

Функция  2 ( t )   С1t на отрезке [0,2] будет либо неотрицательной, либо
неположительной. В случае  2 ( t )  0 имеем
  x1  x 2 ,

  x 2  0 ,
 2 ( t )  0  u( t )  0  t  [0,2]  

  x1( 0)  0 ,
  x ( 2)  1, x ( 2)  2,
  1
2
  x1  C1t  C2 ,
0  C ,

2

  x 2  C1 ,
 
   1  2C2  C1,  решения нет.
  x1( 0)  0 ,

  x ( 2)  1, x ( 2)  2,   2  C1,
  1
2
Если  2 ( t )  0 ,то, т.к. эта функция монотонно убывает на отрезке
[0,2], переключение управления может происходить не более одного

раза, например, в точке t1 . Теперь решаем систему дифференциальных
уравнений, используя граничные условия и условия непрерывности:
  x1  x 2 ,

0 , если 0  t  t1 ,
  x 2  u ,

 2 ( t )  0  u( t )  


  2 , если t1  t  2 ,
  x1( 0)  0 ,
  x ( 2)  1, x ( 2)  2,
  1
2

C t  C2 , если 0  t  t1 ,
 x   1
 1   t 2  C t  C , если t  t  2,

3
4
1

0 , если 0  t  1,


x



2
 C1 , если 0  t  t1 ,

 1   ( t  1) , если 1  t  2,
  x2  

  2t  C3 , если t1  t  2,
0 , если 0  t  1,



 x 2    2( t  1), если 1  t  2.


  x1( 0)  0 ,

 x ( 2)  1, x ( 2)  2,
2
  1
Допустимая траектория имеет вид:

0 , если 0  t  1,
x ( t )  
2

  ( t  1) , если 1  t  2.
28
Найденное решение удовлетворяет только необходимым условиям
тимальности. Докажем, что это решение является оптимальным.
Вычисляем
2
I ( x (  )) 
Теперь
2

 | x | dt   |  2 | dt
0
возьмем
 2.
1
произвольную
допустимую
x(  )
функцию
удовлетворяющую граничному условию, x ( 0)  x ( 0)  0 т.к.
значениях x ( 0) допустимых траекторий не существует:
2



2

x dt  x( 2)  x( 0)   2

I ( x(  )) 
0

Итак x -оптимальная траектория.

 | x | dt
 |2|  2  I ( x (  ))
задачи,
при
других
.
0
▀
10.5.Задания
4

 (x
1.
2
 x ) dt


extr , | x |  1 , x(4)  0 .
0
6
2.

2

2

2

 x ) dt
 extr
, | x |  1 , x ( 0)  0 .
 x ) dt
 extr
, | x |  1 , x ( 6)  0 .
 x ) dt

extr , | x |  1 , x(0)  0 .
x sin t dt

extr , | x |  1 , x(   )  x(  )  0 .

extr , | x |  1 , x(0) 
 (x
0
6
3.
 (x

0
4
4.
 (x

0

5.



7
6.

0
4
x sin t dt

оп-
0
.
29

2

7.

3
5

8.
x cos t dt
4
x cos t dt
1

, | x |  1 , x(  32 )  x( 2 )  0 .

2

 2
9.
 extr

extr , | x |  1 , x(  2 ) 







0
x dt

extr , | x |  2 , x(1)  x(1)  0 .
x dt

extr , | x |  2 , x(0)  x(1)  0 .
x dt

extr , | x |  2 , x(0)  x(0) 
x dt

.
0
1
10.

0
2
11.

x( 2)  0
.
0
2
12.

0
2
13.




extr , | x |  2 , x(2)  x(0) 

x ( 2)  0
.

extr ,

x   2 , x ( 0)  x ( 0)  0 , x ( 2)   3
.

extr ,

.
dt

extr ,

dt

extr ,
| x |  1 , x ( 0)  0 , x ( 0)  0 , x (1)  
| x | dt

0
2
14.


| x | dt

x  2 , x ( 0)  0 , x ( 2)  2 , x ( 2)  1
0
1
15.


2

2
x

x  24 , x ( 0)  11 , x (1)  0 , x(1)  0
.
0
1
16.

0
x


11
24
.
30
Литература
1.Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник
задач
по
оптимизации. Теория. Примеры. Задачи.-M.:Наука,1984.-276с.
2.Сборник задач по математике для втузов. Методы оптимизации.
Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения/Под
ред.Ефимова А.Е.-М.:Наука,1990.-287с.
3.Зинченко А.Б., Сантылова Л.И. Индивидуальные задания по курсу
Методы оптимизации” (часть3): Методические указания.-Ростовна-Дону: РГУ,1996.-41с.
4.Сухарев А.Г. и др. Курс методов оптимизации.-М.:Наука, 1986.328с.