Контрольные вопросы

Лекции 5-6. Уравнение Шредингера
Содержание
1. Оператор Гамильтона.
2. Принцип причинности в квантовой механике. Временное уравнение Шредингера.
3. Стационарные состояния.
4. Оператор временной эволюции.
5. Представления Шредингера и Гейзенберга.
6. Представление взаимодействия.
7. Уравнение непрерывности в квантовой механике.
8. Теорема Эренфеста. Квантовое уравнение Ньютона.
9. Квантовые скобки Пуассона.
10. Интегралы движения.
11. Калибровочное преобразование потенциалов поля и волновой функции.
1. Оператор Гамильтона
Полная энергия частицы массы m в классической механике определяется формулами


p2
E  T U , T 
, U  U (r ) ,
2m
где T и U - кинетическая и потенциальная энергии. Согласно общему правилу построения
операторов физических величин, полной энергии E отвечает оператор
Hˆ  Tˆ  Uˆ ,

(1)

pˆ 2
ˆ
T
, Uˆ  U (r )
2m
(в последнем равенстве учтено, что U зависит только от координат, причём xˆ  x и т.д.).
Отметим, что операторы Tˆ и Û не коммутируют между собой и поэтому одновременно
измерить порознь кинетическую и потенциальную энергию невозможно. Полная
энергия должна измеряться непосредственно, как единое целое. Возможные значения
полной энергии совпадают с собственными значениями En оператора Ĥ , который
называется оператором полной энергии или оператором Гамильтона. Состояние квантовой
системы, в котором её энергия строго определена, называется стационарным. Стационарное
состояние описывается волновой функцией, которая является собственной функцией
оператора Гамильтона. Задача на собственные значения для оператора Гамильтона,
(2)
Hˆ n  En n ,
называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Индексом n в (2)
обозначена совокупность параметров, характеризующих состояние. Эти параметры
называются квантовыми числами состояния. Стационарное состояние квантовой системы с
наименьшей энергией называется основным. Остальные
состояния называются
возбуждёнными.
Запишем оператор Гамильтона, описывающий взаимодействие частиц с
электромагнитным полем. Как известно, классическая функция Гамильтона H частицы в
электромагнитном поле записывается с помощью скалярного и векторного потенциалов:
1  e  2
H
( p  A)  e ,
(3)
2m
c

где  и A - скалярный и векторный потенциалы, описывающие электромагнитное поле:





1 A
E   
, H  rot A .
(4)
c t
2
 e 




Здесь p - обобщённый импульс, p  A  mv ( p  mv) . Правильный оператор Гамильтона
c


получим из выражения (3), если в нём выполним замену p   i . Если помимо
электромагнитных сил имеются и другие силы, описываемые силовой функцией U
(потенциальной энергией), то оператор Гамильтона будет иметь вид:
 e 
1
Hˆ 
(i  A) 2  e  U .
(5)
2m
c
Совокупность собственных значений E n образует энергетический спектр системы.
О собственных значениях энергии системы говорят как об уровнях энергии (энергетических
уровнях) этой системы. Если уровню энергии E n отвечает единственная волновая функция,
то уровень энергии называется невырожденным. Уровень называется вырожденным, если
ему соответствует несколько различных стационарных состояний. Число различных
стационарных состояний, отвечающих одной и той же энергии, называется кратностью
вырождения уровня.
2. Принцип причинности в квантовой механике.
Временное уравнение Шредингера

Согласно основному постулату квантовой механики, волновая функция ( r , t )
полностью описывает поведение системы. Это значит, что, зная волновую функцию в
момент времени t , можно определить волновую функцию в следующий момент времени
t  dt . Нахождение волновой функции в момент времени t  dt по известной волновой
функции в предыдущий момент t составляет основную задачу квантовой динамики. Для
решения этой задачи нужно знать временное уравнение, описывающее изменение во времени
(временную эволюцию) волновой функции.

Итак, мы должны иметь возможность определить волновую функцию  (r , t  dt ) по

известной волновой функции ( r , t ) . Это требование выражает собой принцип
причинности (динамический принцип) в квантовой механике: состояние микросистемы
в начальный момент времени и закон действия физических полей на микрочастицу в
этот момент полностью определяют ее состояние в последующие моменты времени.

Чтобы учесть принцип причинности, разложим волновую функцию  (r , t  dt ) в ряд
Тейлора по степеням dt :



 (r , t )
 (r , t  dt )   (r , t ) 
dt  ... .
t


 ( r , t )
В силу принципа причинности величина
должна выражаться через ( r , t ) , т.е.
t
должно выполняться равенство:


 (r , t ) ˆ 
 L(r , t ) ( r , t ) ,
(6)
t
где L̂ - некоторый оператор, учитывающий взаимодействие частицы с внешними полями.
Равенство (6) является основным уравнением квантовой динамики, определяющим
временную эволюцию волновой функции.
Вид оператора L̂ может быть только постулирован, его вывести невозможно.
Подсказку относительно вида этого оператора можно получить при рассмотрении
свободного движения микрочастицы. Волновая функция такого движения - это волна де
Бройля:

i
 

 ( Et  pr )

p2
i ( t  k r )

 p (r , t )  ae
 ae
, E
.
2m
3
Здесь мы учли математическую формулировку корпускулярно-волнового дуализма (см. (11)
 
из Лекции 1):   E , k  p . Прямая проверка показывает, что функция  p подчиняется
уравнению:
 p
1
 Hˆ  p ,
t
i
2
2



1 
 
где H  T  
. Значит, для свободного движения L  H . В квантовой механике
i
2m
этот частный результат обобщается на случай любой квантовой системы, т.е. принимается,
что для произвольной микросистемы

1 
L H,
(7)
i

где H - оператор Гамильтона.
В результате приходим к временному уравнению Шредингера:


 (r , t ) 
i
 H  (r , t ) .
(8)
t
Это основное уравнение движения квантовой механики. В квантовой механике оно
играет такую же роль, какую уравнения Ньютона играют в классической.
Задача Коши для уравнения (8) состоит в том, чтобы найти такое решение уравнения
движения (8), которое подчиняется начальному условию:


( r , t ) t t  ( r ) ,
0

где  (r ) - заданная функция координат. Отметим, что в начальный момент времени t  t0
должна быть задана функция во всем пространстве.
3. Стационарные состояния
Попытаемся получить стационарное состояние, исходя из временного уравнения
Шредингера (8). Рассмотрим квантовую систему, оператор Гамильтона которой не зависит
явно от t . В этом случае Ĥ - оператор полной энергии. Очевидно, существуют такие
решения уравнения (8), которые имеют мультипликативную форму:


 ( r , t )   ( r ) f (t ) .
(9)
Подставляя (9) в (8) и разделяя переменные, найдём:
 f (t )

 (r )i
t  Hˆ  (r ) f (t ) .


 (r ) f (t )
 (r ) f (t )

Так как левая часть этого равенства зависит только от t , а правая - только от r , то это
равенство может выполниться лишь в случае, если его левая и правая части равны одной и
той же константе. Обозначая эту константу через E , получим задачу на собственные
значения для оператора Гамильтона


Hˆ  (r )  E (r )
(10)
и уравнение
f (t )
i
 Ef (t ) .
t
Решение последнего уравнения имеет вид:
i
Et
f (t )  ce  .
Обозначая собственные значения оператора Гамильтона через E n , а собственные функции

через n (r ) , получим решение уравнения (8) в виде:
4
E t

 i n
n ( r , t )  n ( r )e  .
(11)
Это волновая функция состояния с определённым значением энергии, т.е. волновая
функция стационарного состояния.
Как видно из (11), волновая функция стационарного состояния изменяется со
временем по гармоническому закону. При этом плотность вероятности не зависит от
времени:
 2
 2
( r , t )  ( r ) .
Это приводит к тому, что в стационарном состоянии среднее значение физической величины
не зависит от времени.
4. Оператор временной эволюции
Решение задачи Коши для уравнения (8) можно записать так:




 ( r , t )  U ( t ) ( r ) ,
( r ,0)  ( r ) ,
(12)
где U  U (t ) - некоторый оператор, удовлетворяющий условию U (0)  1 . Подставляя (12) в
(8), получаем:


U
i
 (r )  Hˆ U  (r ) .
t
Потребуем, чтобы выполнялось уравнение
U
i
 Hˆ U .
(13)
t
Оператор U  U (t ) , удовлетворяющий уравнению (13) и подчиняющийся условию U (0)  1 ,
называется оператором временной эволюции. Если Ĥ не зависит от t , то
U (t ) 
i
 Hˆ t

e
.
(14)

Умножим слева обе части уравнения (13) на оператор U , а уравнение, эрмитово
сопряженное к уравнению (13), умножим справа на U :
U
U 
i
 Hˆ U ,
t
U 
 i
 U  Hˆ
U
t
Вычитая теперь почленно из первого уравнения второе, получаем:

i U U  0  U U  const  1 (т.к. U (0)  1 ).
t
Оператор U , подчиняющийся условию U U  1, называется унитарным. Отметим, что из
равенства U U  1 следует равенство UU   1 , если только существует обратный оператор
U 
 1
.
Решение временного уравнения Шредингера сводится, таким образом, к нахождению
оператора эволюции, который является унитарным.
Рассмотрим интеграл нормировки волновой функции:



 

t )U (t )(r )  const .
 dr  * (r , t )(r , t )   dr * (r ) U(

1
Как видим, интеграл нормировки не зависит от t . Это следует из условия унитарности
оператора эволюции. Условие унитарности оператора U позволяет ввести вероятностную
интерпретацию волновой функции.
5
5. Представления Шредингера и Гейзенберга
Рассмотрим матричный элемент:






Fnm (t )   n* (r , t ) Fˆ m (r , t ) dr   n* (r ,0)U  (t ) Fˆ U (t )m (r ,0) dr .

 

(15)
FˆH ( t )
Очевидно, что если оператор Ĥ не зависит от t , то

 

 
FH
i
  H F H (t )  F H (t ) Hˆ  [ H , F H (t )] .
t
(16)

Это уравнение Гейзенберга. F H (t )  U  (t ) Fˆ U (t ) - оператор F̂ в представлении

Гейзенберга, n (r ,0) - волновая функция в представлении Гейзенберга.
Таким образом, в представлении Шредингера волновая функция подчиняется
временному уравнению Шредингера и зависит от времени t , а операторы от t не зависят. В
представлении же Гейзенберга операторы подчиняются уравнению Гейзенберга, а волновые
функции не зависят от времени, т.е. зависимость от времени переносится с волновой
функции на операторы.
6. Представление взаимодействия
Имеется
представление,
которое
оказывается
промежуточным
между
представлениями Шредингера и Гейзенберга.

Считая, что Hˆ  Hˆ 0  V (r , t ) , где Ĥ 0 не зависит от t , решение уравнения (8) ищем в
виде
i

 (r , t )  e
Hˆ 0t

 (r , t ) .
(17)

Оператор Ĥ 0 будем называть свободным оператором Гамильтона, а V ( r , t ) гамильтонианом взаимодействия в представлении Шредингера. Подстановка (17) в
уравнение Шредингера даёт:



H0 t
H0 t


i
i





(
r
,
t
)
H 0  (r , t )  e  i
 ( H 0  V (r , t ))e  (r , t ) .
t

Умножая полученное равенство на e
i
H0 t

слева, найдём:



 (r , t )
i
 Vint (r , t ) (r , t );
t
i
Vint
e
t
Hˆ 0t

V i
e
t
Hˆ 0t

i
 [ Hˆ 0 , Vint ] ,

(18)
где
Hˆ t
Hˆ t
i 0

 i 0
(19)
Vint (r , t )  e  V (r , t )e  оператор взаимодействия в представлении взаимодействия, который в представлении
взаимодействия играет роль оператора Гамильтона.
В рассматриваемом представлении от времени зависят как операторы, так и волновые
функции. Зависимость волновой функции от времени в этом представлении
определяется уравнением Шредингера, в котором оператором Гамильтона является
V
 0 оператор Vint (19)
оператор (19) (см. первое из уравнений (18)). Отметим, что при
t
подчиняется уравнению
6
Vint
(20)
 [ Hˆ 0 ,Vint ] ,
t
которое совпадает с уравнением Гейзенберга (см. (16)), если в последнем заменить полный
оператор Гамильтона на оператор Ĥ 0 .
Как будет показано в дальнейшем, представление взаимодействия, называемое также
представлением Дирака, особенно удобно при решении волнового уравнения по теории
возмущений.
i
7. Уравнение непрерывности в квантовой механике
Рассмотрим уравнение Шредингера и комплексно сопряжённое к нему, умножив эти
уравнения так, как показано ниже:

2  2
* 
i

   U
t
2m
*
2  2

 i

 * U*
t
2m
Складывая почленно первое уравнение со вторым, получаем:



2
i *  
(*  2    2 *) .
 
t
2m 

 ( *   *)
Введем обозначения:


 i
j
(* *  ) .
(21)
2
m

Величина j называется вектором плотности тока вероятности. В результате получаем
уравнение непрерывности:
w  
 j  0
(22)
t

Величину w   * можно рассматривать как плотность частиц, тогда j - плотность
потока частиц, т.е. число частиц, проходящих через площадь в 1см2 в 1сек. Тогда это
уравнение можно толковать как закон сохранения числа частиц. Действительно, интегрируя
(22) по объёму V , получим:

 
d
w
dV


div
j
dV



 j dS .
dt V
V
S
w  *  ,
Если V  V , V - объём всего пространства, то, учитывая, что на бесконечно удалённой

поверхности волновая функция   0 (и, значит, j  0 ), получим:
d
w dV  0   w dV  const ,
dt V
V
т.е. полная вероятность найти частицу где-либо в пространстве не зависит от времени.
Значит, число частиц остаётся
неизменным.

Умножая w и j на заряд частицы e , получим плотность электрического заряда и
плотность электрического тока, длякоторых также выполняется уравнение непрерывности.
Следует подчеркнуть, что j  0 только для комплексных функций. Предположим,


что   ue i , где u  u (r ) - вещественная амплитуда,    (r ) - некоторая вещественная
функция. Тогда плотность потока вероятности
  2
j  u  .
m
7
 

Так как u 2  w , то  можно интерпретировать как среднюю скорость v частицы в точке
m

r . В результате получим известную формулу:
 
(23)
j  vw .
8. Теорема Эренфеста. Квантовое уравнение Ньютона
Вычислим
d
x , где x - среднее значение координаты x в состоянии с волновой
dt
функцией ( x, t ) :
dx d
1
  dx * ( x, t ) x  ( x, t )    dx * ( x, t )( Hˆ x  xHˆ ) ( x, t ) .
(24)
dt dt
i
И аналогично:
d
d
1
px   dx * ( x, t ) pˆ x  ( x, t )    dx * ( x, t )( Hˆ pˆ x  pˆ x Hˆ ) ( x, t ). (25)
dt
dt
i
ˆ
ˆ
Вычислим коммутатор ( Hx  xH ) :
 2 2
2 2 
2  2
2 
2 

( Hˆ x  xHˆ ) f   
x

x
f


(
xf
)

x
f


2 f ,


2
2m x 2 
2m  x 2
x 2 
2m x
 2m x
где f  f (x) - произвольная функция. Отсюда
2 

[ Hˆ , x]  

pˆ x .
m x im
Аналогичным образом получается:
U ( x)
[ Hˆ , pˆ x ]  i
.
x
Учитывая соотношения (24) и (25), получаем уравнения ( Fx  

U - x -компонента силы,
x
действующей на частицу)
d
1
d
U ( x)
x  px ,
px  
 Fx ,
(26)
dt
m
dt
x
которые обобщаются на трехмерный случай очевидным образом:

d  p
d  
r  ,
pF.
(27)
dt
m dt
Уравнения (27) называются теоремой Эренфеста. Из (27) легко вывести квантовое
уравнение Ньютона:
d2  
(28)
m 2r F.
dt
Подчеркнем, что уравнение Ньютона оказывается справедливым только для
квантовомеханических средних.
9. Квантовые скобки Пуассона
Запишем операторы координаты и импульса в представлении Гейзенберга:
xˆ H  e
i
Hˆ t

pˆ x H  e
Вычислим производные по времени:
i
xe
Hˆ t

i
Hˆ t

pˆ x e
i
,
Hˆ t

,
Hˆ  const .
8
pˆ x H
dxˆ H (t ) i ˆ
 ( H xˆ H  xˆ H Hˆ ) 
,
dt

m
(29)
Hˆ t
Hˆ t
dpˆ x H
i
i
i ˆ

U
 ( H pˆ x H  pˆ x H Hˆ )  e 
e   Fˆx H .
dt

x
Это уравнения квантовой механики для операторов в представлении Гейзенберга.
Комбинируя уравнения (29), легко получить квантовое уравнение Ньютона:
Hˆ t
Hˆ t
i
d 2 xˆ H
U i 

(30)
m
 e
e
 Fˆx H .
x
dt 2
Отметим, что уравнение Ньютона получается для оператора координаты в представлении
Гейзенберга. Из уравнения (30) нетрудно вывести уравнение для среднего значения
координаты (см. (28)).
Напомним, что в классической механике состояние системы можно описать, задавая
обобщенные координаты qi и обобщенные скорости q i (i  1,2,, s) ( s - число степеней
свободы системы). Полный дифференциал функции Лагранжа L как функции обобщенных
координат и скоростей можно представить в виде:
 L

L
dL   
dqi 
dq i  .
q i
i  qi

Так как обобщенный импульс, по определению, дается формулой pi 
(31)
L
, то в силу
q i
уравнений Лагранжа,
d  L

dt  q i
 L
 
,

q
i

получаем:
L
 p i .
qi
С учетом последнего равенства выражение (31) преобразуется к виду:
dL    p i dqi  pi dq i .
i
Чтобы перейти от переменных qi , q i к переменным qi , pi , используем равенство


 pi dqi  d   pi qi    qi dpi .
i
 i
 i
Комбинируя два последних равенства и вводя функцию Гамильтона
H   pi q i  L ,
i
получаем следующее выражение для полного дифференциала функции Гамильтона:
dH    p i dqi  q i dpi  .
(32)
Это соотношение позволяет рассматривать функцию Гамильтона как функцию обобщенных
координат и импульсов. Отсюда следуют уравнения Гамильтона классической механики:
H
H
q i 
, p i  
. .
(33)
pi
qi
Классические скобки Пуассона определим равенством


H , f     H f  H f  .
qi pi 
i  pi qi
9
Очевидно, что H , pi   
H
,
qi
H , qi   H .
pi
Поэтому уравнения Гамильтона (33) можно
представить в виде:
q i  H , qi , p i  H , pi  .
Квантовые скобки Пуассона определим равенством
i
Hˆ , fˆ кв  ( Hˆ fˆ  fˆHˆ ) .

Тогда уравнения (29) можно записать так:
dxˆ H (t )
 Hˆ , xˆ H кв ,
dt
dpˆ x H
 Hˆ , pˆ x H кв .
dt
Квантовые уравнения (36) аналогичны уравнениям (34) классической механики.
 


(34)
(35)


(36)
10. Интегралы движения
В классической механике, если f  f ( p, q, t )  некоторая функция, то
df f f q f p f




 H , f .
dt t q t p t t
Условие того, что величина f является интегралом движения, выражается равенством
f
 H , f   0 .
t
В квантовой механике, по аналогии, если Lˆ H (t ) - оператор в представлении
Гейзенберга, т.е. Lˆ (t )  U  (t ) Lˆ U (t ) , то
H
где {Hˆ Lˆ H (t )}кв .
dLˆ H (t ) Lˆ H (t )

 {Hˆ , Lˆ H (t )}кв . ,
dt
t
- квантовые скобки Пуассона. Величина LˆH (t ) будет сохраняться, если

 
 L H (t )
 {H , L H (t )}кв .  0 .
t
Если оператор L̂ явно не зависит от времени, то интеграл движения подчиняется
условию
{Hˆ , Lˆ H (t )}кв .  0
или, что то же самое, условию
[ Hˆ , Lˆ H (t )]  0 .
(37)
Таким образом, физическая величина в квантовой механике сохраняется, если её оператор в
представлении Гейзенберга коммутирует с оператором Гамильтона.
11. Калибровочное преобразование потенциалов поля и волновой функции
Оператор Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле имеет вид:

1 ˆ e  2
pˆ 2
1 e ˆ   ˆ
1 e2  2
ˆ
(38)
H
( p  A)  e 

( pA  Ap) 
A  e .
2m
c
2m 2m c
2m c 2
 
 
  
Поскольку pˆ A  Apˆ  i(  A) , то, полагая   A  0 , выводим:

pˆ 2
e  ˆ
e2  2
Hˆ 

Ap 
A  e .
2m mc
2mc 2
10
Калибровочное преобразование

 

1 f
A  A  f  A ,    

(39)
c t
не изменяет напряжённостей поля:







1 A
1 A   1 f 1  f
E   
; E     
E
 
E,
c t
c t
c t c t





H  rot A, H   rot A  H .
В связи с неоднозначностью потенциалов волновые функции также определяются
неоднозначно. Однако эта неоднозначность не должна отражаться на значениях физических
2
величин. В частности, при калибровочном преобразовании величина  должна быть
неизменной. Значит, наряду с преобразованием (39) нужно выполнить такое преобразование
волновой функции:
     e i ,
где  - вещественная величина. Тогда     , и нужно только потребовать, чтобы
уравнение для   было по форме таким же, как и уравнение для  . Подставим в уравнение
Шредингера функцию    e  i , одновременно выполняя калибровочное преобразование
(39):
 e  e

 
1
1 f i
e i [
   i
][
(i  A  f ) 2  e(  
)]e  ,
t
t
2m
c
c
c t



 
1
e  e
1 f
[     i
][
(  A  f  i) 2  e(  
)] .
t
t
2m
c
c
c t
2
2
Потребуем, чтобы обращались в нуль суммы указанных в последнем равенстве подобных
членов, т.е. чтобы выполнялись равенства:

 e f
e


,
    f .
(40)
t c t
c
e
f , то условия (40) выполняются автоматически, и в результате
Если положить  
c
получим уравнение Шредингера в штрихованных обозначениях:
 
1  e  2
i
[
( p  A)  e ]  .
t
2m
c
Мы вернулись, таким образом, к исходному динамическому уравнению. Таким образом,
калибровочное преобразование полей (39) нужно дополнить следующим преобразованием
волновой функции:
i
e
f
(41)
     e c  .

Выражение (21) для плотности тока вероятности j выведено в предположении, что



отсутствует вектор-потенциал ( A  0 ). Если A  0 , выражение для j можно вывести тем же
способом, что и в разделе 7, т.е. с помощью временного уравнения Шредингера, в котором
теперь оператор Гамильтона будет определяться формулой (38). Приведем окончательную

формулу для вектора j :


 i
e 
j
(* *  ) 
A*  .
(42)
2m
mc
11
Контрольные вопросы
1. Можно ли одновременно измерить кинетическую и потенциальную энергии
квантовой частицы?
2. Что такое оператор Гамильтона?
3. Какое состояние квантовой частицы называется стационарным?
4. Какой волновой функцией описывается стационарное состояние?
5. Что такое основное состояние и является ли оно стационарным?
6. Как зависит от времени волновая функция стационарного состояния?
7. Что такое энергетический спектр квантовой системы?
8. Что такое уровень энергии (вырожденный, невырожденный) квантовой системы?
9. Как зависит от времени плотность вероятности нахождения частицы в стационарном
состоянии?
10. Как формулируется принцип причинности в квантовой механике?
11. Что такое задача Коши для временного уравнения Шредингера?
12. Какое значение имеет уравнение Шредингера в квантовой механике?
13. Что такое оператор временной эволюции? Какому уравнению он подчиняется?
14. Какое значение имеет унитарность оператора эволюции с точки зрения физической
интерпретации квантовой механики?
15. Какой вид имеет оператор эволюции, если оператор Гамильтона в представлении
Шредингера не зависит от времени?
16. Чем отличается представление Шредингера от представления Гейзенберга?
17. Какому уравнению подчиняется волновая функция в представлении взаимодействия?
18. Каков физический смысл уравнения непрерывности?
19. Чему равна плотность потока вероятности в состоянии, волновая функция которого
вещественна?
20. Что такое квантовое уравнение Ньютона?
21. При каком условии физическая величина, описывающая квантовую частицу, является
интегралом движения?
22. Как определяются квантовые скобки Пуассона?
23. Как преобразуется волновая функция при калибровочном преобразовании
потенциалов электромагнитного поля?