В настоящих методических рекомендациях представлены

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ГОРОДА МОСКВЫ «ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ»
СТРУКТУРНОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ
(МОСКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ)
Методические рекомендации
к выполнению практической работы № 4
«Расчет на прочность и жесткость бруса при растяжении (сжатии)»
по дисциплине «Техническая механика»
для специальностей
24.02.02 «Производство авиационных двигателей»
44.02.06 «Профессиональное обучение»
Составитель: Сайманин А.С. – к.т.н., преподаватель высшей категории
Москва
2014
ОДОБРЕНЫ
предметной (цикловой)
комиссией «Специальных
дисциплин»
Протокол №1
от 28 августа 2014 г.
Председатель предметной
(цикловой) комиссии
___________Сайманин А.С.
Согласовано с методической службой колледжа ______________________
Составитель: Сайманин А.С. – к.т.н., преподаватель высшей категории
Пояснительная записка
Настоящие методические рекомендации предназначены для студентов
специальностей 24.02.02 «Производство авиационных двигателей» и 44.02.06
«Профессиональное
обучение»
для
выполнения
практических
и
самостоятельных работ по разделу 2 «Сопротивление материалов» дисциплины
«Техническая механика».
В
настоящих
методических
рекомендациях
представлены
варианты
практической работы «Расчет на прочность и жесткость бруса при растяжении
(сжатии)» и образец её выполнения.
Настоящие
методические
рекомендации
содержат
необходимый
теоретический материал для выполнения практической работы.
Рекомендуемая литература
Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление
материалов. - М.: Высшая школа, 2003.
Ицкович Г.М., Минин М.С., Винокуров А.И. Руководство к решению задач
по сопротивлению материалов. - М.: Высшая школа, 2003.
Олофинская В.П. Техническая механика. – М.:ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007.
Эрдеди А.А. , Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление
материалов. - М.: Высшая школа, Академия, 2001.
Обозначения
F – сила, (Н);
A – площадь поперечного сечения, (м2)
L – длина, (м)
Nx – продольная сила в сечении, (Н)
σx – нормальное напряжение, (МПа)
εх – продольная деформация, (безразмерная величина)
ux – линейное перемещение, (м)
Е – модуль упругости (для стали Е=2∙105МПа);
[σ] – допускаемое нормальное напряжение (для стали [σ]=160 МПа).
Содержание
Основные понятия
Растяжение (сжатие)
– это такой вид деформации, при котором в
поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор –
нормальная (продольная) сила Nx .
F
F
Nx
F
F
F
Nx
F
Nx>0
Растяжение
Nx< 0
Сжатие
Рис. 1
Нормальной
силой
в
поперечном
сечении
бруса,
называется
равнодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.
Модуль и направление (знак) нормальной силы определяются из уравнений
равновесия,
составленного для отсечённой (оставленной после проведения
сечения) части бруса.
∑Х=0
ост.
части
Нормальная
сила в произвольном поперечном сечении бруса численно
равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил,
приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т. е.
Nx = ∑ Fix
ост.
части
Правило знаков. При растяжении продольную силу принято считать
положительной, при сжатии – отрицательной (см. рис. 1).
Эпюра нормальных сил – это график функции Nx = f(х).
Для построения эпюры Nx проводим ось, параллельную оси бруса. Это база
эпюры. Если брус нагружен только сосредоточенными силами, то в пределах
каждого из участков бруса нормальная сила постоянна, т.е. эпюра параллельна
оси бруса.
Значения нормальных сил откладываем в выбранном масштабе по оси
эпюры. При этом положительные значения Nx (растяжение) откладывает вверх,
а отрицательные - вниз от оси.
В местах приложения сосредоточенных сил на эпюре получаются
скачкообразные изменения ординат – «скачки». Размер «скачка» равен
приложенной в этом сечении бруса внешней сосредоточенной силе.
Эпюру принято штриховать. При этом штриховка перпендикулярна оси
эпюры – каждая линия штриховки даёт в принятом масштабе значение
нормальной силы в соответствующем поперечном сечении бруса.
При растяжении (сжатии) в поперечных сечениях бруса возникают только
нормальные напряжения.
σх = Nх/Aх ,
где Nх – продольная сила в поперечном сечении бруса.
Aх - площадь поперечного сечения бруса.
Правило знаков для нормальных напряжений то же, что и для нормальных
сил.
Эпюра нормальных напряжений – это график функции
σх = f(х). Эпюру
нормальных напряжений строят для последующего расчета бруса на прочность.
По этой эпюре определяют поперечное сечение, в котором возникают
наибольшее напряжение (σmax). Такое сечение называется опасным.
Условие прочности при растяжении (сжатии): σmax ≤ [σ], где [σ] –
допускаемое напряжение. Расчёт на прочность бывает: проверочным (проверка
выполнения условия прочности), проектировочным (определение размеров
поперечного сечения бруса, удовлетворяющим условию прочности), расчёт
допускаемой нагрузки по условию прочности.
Продольная деформация εх (относительное удлинение) – это отношение
изменения длины участка бруса к его первоначальной длине. Продольную
деформацию называют также линейной деформацией.
εх= Nх/ЕAх
Закон Гука для растяжения (сжатия): Продольные деформации прямо
пропорциональны нормальным напряжениям.
σх = Еεх ,
где Е – модуль упругости (модуль Юнга).
Эта физическая величина постоянна для каждого материала и характеризует
его жёсткость. Чем жёстче материал, тем меньше он деформируется при
данном напряжении.
Удлинение (укорочение) бруса – изменение его длины в результате
действия нагрузки – приводит к перемещению (ux) его поперечных сечений вдоль
оси Х.
хi
ux = Σ ui-1 + ∫ εx dx
,
0
где
Σ ui-1 - удлинение всех участков, предшествующих,
рассматриваемому
участку или перемещение последнего сечения предыдущего участка.
хi
∫ εx dx - удлинение рассматриваемого участка на длине Х.
0
Практическая работа №4
«Расчет на прочность и жесткость бруса при растяжении (сжатии)»
Раздел 2: «Сопротивление материалов».
Тема: «Растяжение (сжатие)»
Количество часов: 2
Цель работы: овладение студентами навыками расчёта на прочность и
жёсткость при растяжении (сжатии).
Форма контроля: ответы на вопросы, решение задач.
Критерии оценки: «5» - 91-100% правильных ответов;
«4» - 81-90% правильных ответов;
«3» - 70-80% правильных ответов;
«2» - менее 70% правильных ответов;
Оснащение занятия: ПК, проектор, методические рекомендации.
Х
F2
F1
A1
L1
А2
L2
Рис. 2 Общая расчётная схема
Требуется:
1. Определить опорную реакцию.
2. Определить величины нормальных (продольных) сил Nx на участках
бруса и построить эпюры.
3. Определить величины нормальных напряжений
σx
на участках бруса и
построить эпюры.
4. Определить величины продольных деформаций εх на участках бруса и
построить эпюры.
5. Определить величины перемещений поперечных сечений ux бруса и
построить эпюры.
6. Выполнить проектировочный расчёт на прочность.
7. Определить перемещение свободного конца бруса.
Задания
Варианты практической работы №4
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
F1
3F
2F
-3F
F
2F
3F
2F
2F
-3F
2F
3F
2F
-3F
2F
F
3F
-2F
F
-F
2F
-3F
F
-F
2F
3F
2F
-3F
F
-3F
2F
F2
-F
3F
2F
3F
3F
-F
F
3F
F
-F
2F
F
F
3F
-3F
2F
2F
3F
3F
F
2F
2F
3F
F
2F
3F
F
2F
2F
3F
A1
3A
3A
2A
A
2A
A
3A
2A
2A
3A
A
2A
3A
2A
A
3A
2A
3A
2A
A
2A
2A
3A
2A
3A
2A
A
3A
3A
2A
A2
A
2A
A
3A
3A
2A
A
3A
A
2A
2A
3A
2A
A
3A
2A
A
A
3A
2A
3A
A
A
A
A
3A
2A
A
A
3A
L1
2L
3L
L
2L
L
2L
3L
L
2L
3L
2L
L
3L
2L
L
3L
2L
L
3L
2L
L
L
3L
2L
L
2L
L
L
2L
3L
L2
L
L
2L
3L
3L
L
2L
3L
L
2L
3L
3L
2L
3L
2L
2L
3L
2L
L
L
2L
2L
L
L
3L
L
2L
3L
3L
2L
Примечания. 1. Общую расчётную схему (Рис. 2) следует преобразовать в
заданную расчётную схему в соответствии с исходными данными из таблицы
вариантов.
2. Знак «минус» перед силой Fi означает, что сила должна быть направлена в
сторону, противоположную положительному направлению оси Х.
3. Числовой расчет (пункты 6 и 7) производится в размерностях международной
системы единиц СИ после выполнения работы в общем виде.
4. Исходные данные для п.п.6 и 7: F=1кН; L=0,1м; Е=2∙105МПа; [σ]=160 МПа
Алгоритм выполнения задания
Расчетная схема бруса, представленная на рис 3. составлена из общей
расчётной схемы для следующих исходных данных:
F
3F
F2
5F
A1
2A
A2
5А
L1
5L
L2
L
5F
3F
2А
Х
5A
5L
L
Рис. 3
Вначале проведём подготовительную работу (рис.4).
1. Направляем оси координат Х – вдоль оси бруса, Y – вертикально вверх.
2. Разбиваем брус на участки. Признаками границ участка являются
сечения бруса, где:
- расположены опоры;
- приложены сосредоточенные силы;
- где происходит резкое изменение размеров сечения;
- свободный конец бруса.
Таким образом, в данном случае получаем два участка. Обозначим их
1 и 2 соответственно.
3. Так как определять внутренние силовые факторы будем методом
сечений,
наметим эти произвольные сечения на участках 1 и 2 с
текущими координатами Х1 и Х2 соответственно.
4. Так как
брус нагружен только вдоль оси, очевидно, что в заделке
возникает только одна реактивная сила (реакция). Произвольно
направляем реактивную силу R. Если в результате решения уравнения
равновесия мы получим положительное значение реакции R, значит,
направление реакции было выбрано верно. В противном случае следует
изменить направление реакции на противоположное, и в дальнейших
расчетах считать её положительной.
1. Определение опорной реакции
Реакцию в заделке определяем из уравнения равновесия ΣХ = 0;
Если направление силы совпадает с положительным направлением оси Х,
то в уравнение равновесия она войдёт со знаком плюс, в противном случае
– со знаком минус.
-R+3F+5F=0;
Решив уравнение равновесия относительно R, получим: R=8F.
Y
2
1
R=8F
5F
3F
Х
2А
5A
Х1
Х2
5L
L
Рис. 4
2. Определение величин нормальных (продольных) сил Nx на участках
бруса и построение эпюр
Для этого применяем метод сечений:
1. Мысленно разрезаем брус в произвольном сечении;
2. Отбрасываем любую часть бруса (в данном случае, на первом участке
отбросим правую часть, а на втором – левую);
3. Заменяем отброшенную часть неизвестной силой Nx , направив её
от сечения, предполагая, что рассматриваемый участок испытывает
растяжение;
4. Уравновешиваем оставшуюся часть: ΣХ = 0.
Участок 1
Y
R=8F
Nх
Х
2А
Х1
Рис. 5
Уравнение равновесия для оставшейся части:
ΣХ = -8F+Nx= 0;
Решив уравнение относительно Nx, получим: Nx=8F.
На участке 1 нормальная сила Nx >0, следовательно, участок растянут.
Участок 2
5А
Nx
5F
Х
L-X2
Рис. 6
Уравнение равновесия для оставшейся части:
ΣХ = 5F-Nx= 0;
Решив уравнение относительно Nx, получим: Nx=5F.
На участке 2 нормальная сила Nx >0, следовательно, участок растянут.
По результатам расчетов строим эпюры Nx. (рис.6).
3. Определение величин нормальных напряжений σx и построение эпюр
σх = Nх/Aх ,
где Nx – нормальная (продольная) сила на участке бруса.
Aх - площадь поперечного сечения участка бруса.
Участок 1
σx = 8F/2A =4F/A
Участок 2
σx = 5F/5A = F/A
Строим эпюры нормальных напряжений (рис. 6).
4. Определение величин линейных деформаций и построение эпюр
εх = Nх/EAx ,
где E – модуль упругости первого рода (модуль Юнга).
Примечание. Произведение ЕАх называется жесткостью при растяжении.
Участок 1
εх =
8F/2EA = 4F/EA
Участок 2
εх =
5F/5EA = F/EA
Строим эпюры линейных деформаций (рис.6).
5. Определение величин линейных перемещений сечений бруса и
построение эпюр
хi
ux = Σ ui-1 + ∫εx dx
,
0
где Σ ui-1 - удлинение всех участков, предшествующих рассматриваемому
участку или перемещение последнего сечения предыдущего участка.
хi
∫εx dx - удлинение рассматриваемого участка на длине Х.
0
Участок 1. На первом участке Σ ui-1 = 0.
х1
uх =
∫
4 F dx = 4 Fх1
0 ЕА
ЕА
при х1 = 0; ux = 0;
при х1 = 5L; ux = 20 FL
ЕА
Участок 2. На втором участке Σ ui -1 = 20 FL
ЕА
Это удлинение первого участка или перемещение его последнего сечения.
x2
ux =
20FL + ∫ F_dx = 20FL + F х2
ЕА 0 EA
EA
ЕА
при х2=0;
ux = 20FL
при х2=L
EA
ux = 21FL
EA
Строим эпюры линейных перемещений (рис.6).
Примечания к эпюрам.
1. Эпюра
Nх не зависит от координаты Х, поэтому имеет вид
прямоугольника в пределах участка. В тех сечениях, где приложены
сосредоточенные силы (внешние силы или реакции опор), на эпюре
наблюдаются скачки, равные величинам этих сил.
2. Эпюры
σx
и
εх
также не зависят от координаты Х, поэтому имеют
вид прямоугольника в пределах участка и в общем виде идентичны.
3. Эпюра
ux.
Первое сечение участка 1 жестко заделано, поэтому не
перемещается uх=0. Эпюра не может иметь скачков (кроме свободного
конца бруса). Эпюра линейно зависит от координаты Х.
4. Необходимо соблюдать пропорции в эпюрах на разных участках, в
зависимости от значений соответствующих величин.
5. Положительные значения величин Nх,
σx,
выше нулевой линии, отрицательные – ниже.
εх, ux
откладываются
Y
1
2
R=8F
5F
3F
2А
5А
Х1
Х2
5L
L
8F
5F
+
Nх
4F
A
F
A
+
σx
4F
EA
εх
F
EA
+
+
20FL/ЕА
ux
Рис. 7
21FL
ЕА
Х
6. Проектировочный расчет на прочность
Условие прочности при растяжении (сжатии)
где
σmax
σmax ≤[σ]
,
- максимальные (вне зависимости от знака) нормальные напряжения,
действующие в сечениях бруса.
В данном случае максимальные напряжения действуют на первом участке.
σmax= 4F ≤ [σ]
A
Допускаемое значение площади поперечного сечения
[A] ≥ 4F
[σ]
= 4∙103 = 2,5∙ 10-5 м2 ;
160∙106
Для стержня с квадратным поперечным сечением сторона [a] ≥ 5∙10-3 м
Принимаем а=0,005м. Тогда площади участков А1=5∙10-5 м2, А2=12,5∙10-5 м2.
7. Определение перемещения свободного конца бруса
uх = 21FL = 21∙1000∙0,1 = 4,2∙10-4м (0,42 мм)
EA
2∙1011∙2,5∙10-5
Контрольные вопросы и задания к защите практической работы №4
1. Определить реакцию в заделке
Х
F
Х
А
6F
2A
4F
A
L
L
Рис. 8
2. Построить эпюры внутренних силовых факторов
А
A
3F
2A
L
L
Рис. 9
3. Построить эпюры напряжений
F
2A
А
5F
A
L
L
Рис. 10
Х
4. Построить эпюры деформаций.
L
Х
F
Х
А
5F
2A
F
L
Рис. 11
5. Построить эпюры перемещений.
А
3F
2A
L
L
Рис. 12
6. Определить опасное сечение бруса.
F
А
F
2A
L
L
Рис. 13
Х