4. Синтез математической модели двигателя постоянного тока с

СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение.............................................................................................................................................. 3
2. Выбор элементов системы автоматического управления .............................................................. 4
2.1 Выбор двигателя постоянного тока ............................................................................................ 4
2.2 Выбор тиристорного преобразователя ....................................................................................... 4
2.3 Выбор силового трансформатора ............................................................................................... 5
2.4 Выбор датчиков тока и скорости ................................................................................................ 5
3. Выбор функциональной схемы системы управления двигателем постоянного тока с
независимым возбуждением ................................................................................................................. 6
4. Синтез математической модели двигателя постоянного тока с независимым возбуждением
при постоянном магнитном потоке (Ф = const) ................................................................................. 7
5. Построение временных и частотных характеристик системы ТП-ДПТ ....................................... 9
6. Выбор структуры регуляторов и их гарантированных настроечных параметров ..................... 14
6.1 Настройка регуляторов тока и скорости на оптимум по модулю ......................................... 14
6.2 Настройка регулятора скорости на симметричный оптимум ................................................ 23
7. Синтез регулятора в пространстве состояний ............................................................................... 30
7.1 Синтез САУ с коэффициентами обратных связей по переменным состояния .................... 30
7.2 Синтез САУ с ПИ-регулятором в пространстве переменных состояния ............................. 37
Выводы .................................................................................................................................................. 43
ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ......................................................................... 44
1. Введение
Одним из важнейших элементов процесса расчета и настройки линейных систем
автоматики является умение анализировать их свойства по известной структурной схеме. Знать
свойства системы - это означает знать поведение системы в статическом режиме, в переходных
процессах, а также в режиме вынужденных колебаний. Это необходимо для проверки того удовлетворяет ли тестируемая система заданным технологическим требованиям, требуется ли
корректирующее воздействие и какого вида и т.д.
В курсовой работе необходимо синтезировать автоматическую систему управления (АСУ)
скоростью электропривода постоянного тока.
Система управления скоростью двигателя за счет регулирования напряжения на якоре
является типовой. Задающим сигналом на входе является выходной сигнал регулятора скорости
(РС), который должен обеспечить плавный пуск, регулирование частоты вращения якоря и
останов двигателя постоянного тока.
В соответствии с заданием выбираются функционально необходимые элементы системы:
двигатель, тиристорный преобразователь и датчики. На основании этих данных рассчитывают
основные параметры автоматизированного электропривода, под которыми понимают
постоянные величины, определяющие его статические и динамические свойства. Это активные
и реактивные сопротивления цепей, момент инерции на валу электродвигателя, передаточные
коэффициенты и коэффициенты усиления, электромеханическая и электромагнитная
постоянные времени.
От корректности расчетов элементов АСУ зависит точность результатов расчета
переходных процессов тока двигателя и его угловой скорости. Расчеты желательно выполнять с
применением программного обеспечения ЭВМ, позволяющего с высокой точностью рассчитать
весь процесс изменения искомых величин от одного установившегося состояния до другого.
Результаты полученные моделированием на ЭВМ будут использованы для определения
качественных показателей АСУ. Последние влияют на физическую реализуемость и область
применения той или иной системы управления в электрических приводах.
Расчет частотных характеристик и переходных функций регуляторов, настраиваемых по
определенным в задании оптимумам и расчет переходных процессов при пуске и набросе
нагрузки АСУ «тиристорный преобразователь – двигатель постоянного тока», выполним при
помощи процессора символьных вычислений программного обеспечения Mathcad.
3
2. Выбор элементов системы автоматического управления
Система автоматического управления (САУ) скоростью двигателя постоянного тока
состоит из следующих основных элементов, без которых не возможно ее полноценное
функционирование: двигатель постоянного тока (объект управления), тиристорный
преобразователь, силовой трансформатор и набор датчиков токая якоря, тока возбуждения и
скорости двигателя.
2.1 Выбор двигателя постоянного тока
Серия 2П двигателей постоянного тока, пришедшая на смену серии П, является одной из
самых распространенных в производствах, поскольку обладает рядом достоинств,
обусловивших ее широкое распространение: повышенная перегрузочная способность, широкий
диапазон регулирования скорости вращения, улучшенные динамические свойства,
оптимальные шум и вибрация и др. [1, c. 369].
Таким образом, согласно варианту работы, произведем выбор машины постоянного тока,
имеющую следующие данные:
Двигатель: 2ПН180МГУХЛ4;
Мощность, кВт: 26;
Напряжение питания, В: 440 В;
Частота вращения, об/мин:
- номинальная: 2240;
- максимальная: 3500;
Сопротивления обмоток при 20 °С:
- якоря: 0,15 Ом;
- добавочных полюсов: 0,092 Ом.
К.П.Д, %: 89
Номинальный ток выбранной машины равен:
P
26000
Iн  н 
 56,18 А.
U н  440  0,89
Максимальный ток двигателя серии 2П нормального исполнения может достигать
троекратного значения номинального [1, c. 370]:
I max  3  I н  3  56,18  168,54 А.
Ограничимся пусковым током двигателя на уровне 220% от номинального:
I п  2,2  I н  2,2  56,18  123,6 А.
2.2 Выбор тиристорного преобразователя
Тиристорный преобразователь (ТП) предназначен для питания якорной цепи двигателя
постоянного тока и должен обеспечивать регулирования питающего напряжения от 0 до
номинального выпрямленного напряжения холостого хода U0.
Произведем выбор тиристорного преобразователя для питания выбранного машины
постоянного тока из соображений что: Pпр  Pн ; U 0  U н ; I 0  I ном ; I м  I п . Таким образом для
питания выбранного двигателя постоянного тока подходит тиристорный преобразователь со
следующими данными:
Серия: ТЕ;
Напряжение сети, В: 380
Номинальный выпрямленный ток, А: 63;
Максимальный выпрямленный ток, А: 142;
Номинальное выпрямленное напряжение, В: 460;
Номинальная мощность, кВт: 29.
4
В состав тиристорного преобразователя входят: управляемый выпрямитель, система
импульсно фазового управления (СИФУ), уравнительный и сглаживающий реакторы и
подключается к понижающему силовому трансформатору. Таким образом, как элемент САУ,
ТП может быть представлен инерционным звеном первого порядка, у которого входным
сигналом является напряжение управления U у , а выходным – ЭДС преобразователя.
Передаточная функция этого звена имеет вид: WТП  p  
Kп
, где Kп – коэффициент усиления
Tп p  1
(передачи) ТП, который, для синусоидального управляющего сигнала, может быть вычислен из
выражения:
U
460
K п  0,4  0,6 0  0,5 
 23 где U y  8  10 В , Tп  0,01 с – постоянная времени ТП,
Uy
10
обусловленная наличием индуктивных элементов (реакторы, обмотка трансформатора), а также
индуктивными свойствами силовых вентилей.
2.3 Выбор силового трансформатора
Расчетная типовая мощность силового трансформатора определяется выражением:
S  1,2  1,4Pпр  1,3  29  37,7 кВА.
Таким образом подходящий силовой трансформатор будет иметь следующие параметры:
Мощность S, кВА: 63;
Первичное напряжение U1, В: 380;
Вторичное напряжение U2, В: 400;
Вторичный ток I2, A: 82;
Выпрямленное напряжение подключаемого ТП U0, В: 460;
Выпрямленный ток подключаемого ТП I0, А: 100;
Потери холостого хода, Вт/ток холостого хода, %: 330 6 ;
Потери короткого замыкания, Вт/напряжение короткого замыкания, %: 1900 5,5 .
Коэффициент трансформации может быть найден приблизительно отношением
U
380
 0,95 .
вторичного напряжения к первичному: K тр  1 
U 2 400
2.4 Выбор датчиков тока и скорости
Датчик тока предназначен для измерения тока якоря двигателя и преобразования его в
соответствующее стандартное напряжение системы управления U y . В качестве датчика тока
применяется измеритель напряжения шунта с U ш  75 мВ или 150 мВ и номинальным
диапазоном токов 50, 75, 100,150, 200, 300, 400, 500 А. Шунт подбирается таким образом, чтобы
его номинальный ток был близок к пусковому току двигателя. Таким образом, коэффициент
передачи датчика равен:
Uy
10
K дт 

 0,067 В А ,
I ш.н 150
где I ш.н  140 А - номинальный ток шунта, выбранный из стандартного диапазона токов и
U
0,075
 5 10 4 Ом .
неравенства: I ш.н  I п . Сопротивление выбранного шунта равно: Rш  ш 
I ш .н
150
В качестве датчиков скорости могут использоваться датчики ЭДС, тахометрические мосты
и тахогенераторы переменного и постоянного токов. Тахогенератор постоянного тока в данном
случае наиболее целесообразен, поскольку надежно закрепляется на валу двигателя с
противоположной стороны от выступающего конца, обладает достаточной линейностью
преобразования «частота вращения  напряжение», а также не требует дополнительного
выпрямления выходного напряжения для адаптации к системе управления.
5
Выбранный двигатель имеет встроенный тахогенератор типа ТС1. Тахогенератор имеет
закрытое исполнение с возбуждением от постоянных магнитов. Крутизна напряжения машины
составляет 0,033 В/(об/мин), а нагрузочное сопротивление – не менее 2 кОм.
При применении двигателя того же типа без встроенного тахогенератора, последний
может быть выбран исходя из условия: nтг. макс  nд. макс . Условию удовлетворяет тахогенератор
постоянного тока типа СЛ-161 с чувствительностью 0,021 В/(об/мин) и максимальной
скоростью вращения до 3500 об/мин. Максимальный коэффициент передачи датчика скорости
определяем отношением максимального значения напряжения управления U у к максимальной
угловой скорости выбранного тахогенератора (для встроенной машины):
U y  30
30 10
Вс
.
K дс. м акс 

 0,027
nтг. м акс   3500  
рад
Динамические свойства датчиков тока и скорости, как элементов САУ могут быть
приближенно приравнены к безинерционным звеньям с постоянными коэффициентами
передачи: Wдт  p   Kдт ; Wдс  p   Kдс .
3. Выбор функциональной схемы системы управления двигателем
постоянного тока с независимым возбуждением
Функциональная схема двухконтурной системы управления двигателем постоянного тока
(ДПТ) представлена на рисунке 1.
Рисунок 1. Двухконтурная система подчиненного регулирования скорости ДПТ
Действия внутреннего контура тока является зависимыми (подчиненными) действиям
внешнего контура скорости.
Кроме известных элементов рассматриваемой САУ на рисунке 1 также представлены:
- ЗИ – входной задатчик интенсивности (входной интегратор с ограничением или
апериодическое звено), предназначенный введения некоторого запаздывания приложения
номинального управляющего воздействия системы;
- Wя – блок-преобразователь «напряжение на якоре - ток якоря»;
- Wм – блок-преобразователь «разность моментов двигателя и нагрузки – угловая скорость
вращения вала двигателя»;
- Кд – конструктивный коэффициент двигателя, предназначенный для внутреннего
преобразования угловой скорости вращения вала в ЭДС двигателя.
6
Характерной особенностью рассматриваемой САУ является тот факт, что время реакции
на управляющее воздействии обусловлено тремя постоянными времени системы:
- постоянная времени ТП: Tп ;
- электромагнитная постоянная времени двигателя: Tэ ;
- электромеханическая постоянная времени: Tм .
Поскольку передаточные функции по нагрузке и по заданию различны, то будут
отличаться требования и к соответствующим регуляторам.
4. Синтез математической модели двигателя постоянного тока с
независимым возбуждением при постоянном магнитном потоке
(Ф = const)
ДПТ можно рассматривать, как замкнутую САУ второго порядка, характеризующуюся
следующими параметрами:
- передаточным коэффициентом K д по управляющему воздействию;
- электромагнитной постоянной времени якорной цепи Tэ ;
- электромеханической постоянной времени Tм .
Коэффициент передачи Kд может быть определен отношением номинальной угловой
скорости вращения вала двигателя к номинальной ЭДС двигателя:

н
234,57
Kд  н 


Ен U н  1,24 I н R я  Rдп  Rс   U щ 440  1,24  56,18  0,15  0,092  0,015  2
 0,558
рад
,
Вс
nн
2240
 2 
 234,57 рад / с - номинальная угловая скорость вращения вала
60
60
двигателя; 1,24 – коэффициент, учитывающий увеличение сопротивлений якорной цепи
двигателя в номинальном режиме работы; Rc  0,04  0,12Rя  0,015 - ориентировочное
значение сопротивления последовательной стабилизирующей обмотки главных полюсов машин
серии 2П [2, c. 266]; U щ  2 В - падение напряжения на группе щеточных контактов.
Где  н  2 
Коэффициент передачи датчика скорости должен быть таким, чтобы обеспечивался разгон
двигателя без нагрузки до угловой скорости холостого хода. Таким образом, уточненное
значение коэффициента передачи датчика скорости будет равно:
Uy
Uу
10
Вс
K дс 


 0,041
.
 0 K д  U н 0,558  4440
рад
Динамические свойства элементов электропривода, обладающих электромагнитной
инерцией, характеризуются электромагнитной постоянной времени:
L
Tэ  я ,
(4.1)
R я
где Lя - суммарная индуктивность цепи якоря двигателя, состоящая из индуктивности
собственно якорной и дополнительных обмоток машины и индуктивности 2-х фаз обмотки
трехфазного силового трансформатора:
Lя  Lя  2 Lтр .
(4.2)
Приближенно индуктивность обмоток якорной цепи может быть рассчитана из
выражения:
Uн
440
Lя  K 
 0,55
 8,347 10 3 Гн,
p  н  I н
2  234,57  56,18
7
где K = 0,50,6 – коэффициент, зависящий от наличия или отсутствия компенсационной
обмотки главных полюсов машины; указанный диапазон пригоден для некомпенсированных
машин; p  2 - число пар полюсов двигателей серии 2П.
Индуктивность фазы трансформатора может быть определена следующим выражением:
X тр 0,187
Lтр 

 5,96 10 4 Гн,
2f 100
2
U к  U 1фн
U к  U 1л
U к  U 1л
5,5  380 2



 0,187 Ом где X тр 
2
2
S тр
100  63000  0,95 2
100  I1  K тр
100  S тр  K тр
2
100  3 
 K тр
3  U 1л
реактивное сопротивление обмотки трансформатора приведенное к цепи выпрямленного тока;
U к  5,5% - напряжение короткого замыкания выбранного трансформатора; U1фн - первичное
фазное напряжение; S тр  63 кВА
- номинальная полная мощность выбранного
трансформатора.
Таким образом, расчетная индуктивность якорной цепи по (4.2) будет равна:
Lя  Lя  2Lтр  8,347 103  2  5,96 104  9,54 103 Гн.
Минимально необходимая индуктивность якорной цепи, при которой действие пульсаций
выпрямленного напряжения на двигатель незначительно, определяется выражением:
1,41  U 0(1)
1,41  0,06  230
L ян 

 7,854  10 3 Гн.
2f  m  I min 100  6  0,03  43,8
Поскольку расчетная индуктивность якорной цепи больше минимальной, то
сглаживающий реактор в якорной цепи не применяется.
Расчетное сопротивление цепи выпрямленного тока системы «тиристорный
преобразователь-двигатель постоянного тока» определяется выражением:
Rя  1,24Rя  Rдп  Rc   Rкаб  Rш  Rщ  2 Rтр  Rком  Rв ,
(4.3)
где Rкаб  0,05R я  Rдп  Rс   0,05  0,257  13 10 3 Ом - сопротивление
кабеля;
U щ
2
Rщ 

 0,036 Ом - сопротивление группы щеточных контактов;
Iн
56,18
Rтр 
Pк
Pк  U 1 л
2
1100  380 2

 0,093 Ом - активное сопротивление фазы
63000 2

2
2
Sт
 Sт 

3  

 3U 1 л 
обмотки трансформатора;
X тр  m 0,187  6
Rком 

 0,179 Ом - сопротивление, учитывающее снижение выпрямленного
2
2
напряжения, по причине коммутационных процессов в вентилях ТП;
U в
1,5
Rв 

 0,027 Ом - сопротивление открытого вентиля ТП, (число одновременно
Iн
56,18
открытых вентилей ТП с трехфазной мостовой схемой выпрямителя равно двум);
U в  1,5  2 В - падение напряжения на открытом тиристоре [3].
Подставляем вычисленные значения активных сопротивлений элементов системы ТПДПТ в (4.3) и находим общее, приведенное к якорю двигателя, активное сопротивление
системы:
R я  1,240,15  0,092  0,015  5 10 4  0,013  0,036  0,03  2  0,093  2  0,027  0,785 Ом.
Итого электромагнитная постоянная времени электропривода по системе ТП-ДПТ по (4.1)
будет равна:
L
9,54
Tэ  я 
10 3  0,012 с.
R я 0,785
8
3  I1
2

Pк
соединительного
Электромеханическая постоянная времени системы определяется выражением:
2
Tм  J р  Rя  K д  2,5  0,2  0,785  0,5582  0,122 с.
Таким образом, зная динамические свойства ТП и ДПТ, можно записать их передаточные
функции:
Kп
46
Wтп  p  

;
Tп p  1 0,01 p  1
Wэ  p  
1 R я
1 0,785
1,274


;
Tэ p  1 0,012 p  1 0,012 p  1
Wм  p  
R я  K д
0,785  0,558 2 2

 .
Tм p
0,122 p
p
2
5. Построение временных и частотных характеристик системы
ТП-ДПТ
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии, без регуляторов относительно
задающего воздействия имеет вид:
Wэ  p   W м  p 
з
WТПД
( p)  Wтп  p  
,
1
Kд 
 Wэ  p   W м  p 
Kд
относительно возмущающего воздействия:
Wм  p 
в
WТПД
( p) 
1
Kд 
 Wэ  p   W м  p 
Kд
Отклик системы в пространстве изображений по Лапласу на изображение управляющего
U
сигнала у и изображение сигнала возмущения с запаздыванием на время  будет иметь вид:
p
Uy
з
в
 p   М c e   p  WТПД
 p
 p  
 WТПД
p
p
где  p  - изображение по Лапласу временной функции угловой скорости вращения вала
двигателя.
Изображение по Лапласу функции тока якоря при воздействии изображения
U
возмущающего воздействия у имеет вид:
p
U y

1
I ( p)  
 Wтп  p  
 p   Wэ  p 
Kд
 p

Воспользуемся ПО Mathcad для определения первообразных функций  p , I  p  ,
частотных характеристик системы и построения графических зависимостей  t , it  , ЛАЧХ и
ЛФЧХ системы:
W e( p ) 
1
 W ( p)
Mn Ke
Ke m
 Uy
 0.8 p 
 ( p )  
 W tc( p ) 

e


p W e( p )
 p
 1  1  W e( p)  1  W m( p)
K
K
e
 Uy
I( p)  
 p
 W tc( p)   ( p ) 
e

  W e( p )
Ke

1
9
invlaplace  p
( t)   ( p )
simplify
 70.8 exp ( 100. t)  186. exp ( 41.2 t)  cosh ( 32.0 t)  461. exp ( 41.2 t)  sinh ( 32.0 t)  24.6  ( t  1.)  24.6  ( t  1.)  exp ( 41.2 t  41.2)  cosh ( 32.0 t  32.0)  25.4  ( t  1.)  exp ( 41.2 t  41.2)  sinh ( 32.0 t  32.0)  257.
float  3
collect    t  
invlaplace  p
i( t)  I( p )
3
simplify
3
3
 1.98 10  exp ( 100. t)  1.98 10  exp ( 41.2 t)  cosh ( 32.0 t)  3.64 10  exp ( 41.2 t)  sinh ( 32.0 t)  56.2  ( t  1.)  56.2  ( t  1.)  exp ( 41.2 t  41.2)  cosh ( 32.0 t  32.0)  72.3  ( t  1.)  exp ( 41.2 t  41.2)  sinh ( 32.0 t  32.0)
float  3
collect    t  
где Ф(t-) – единичная ступенчатая функция с запаздыванием на  с.
Таким образом, временные функции угловой скорости вращения вала и тока якоря
двигателя, при воздействии управляющего сигнала U y  10 В и сигнала возмущения
M c  M н  79,26 Н  м с задержкой на 1 с, имеют вид:
 t    24,6  24,6e 41, 2t  41, 2 cosh 32t  32  25,4e 41, 2t  41, 2 sinh 32t  32 t   
 257  461e  41, 2t sinh 32t  186e  41, 2t cosh 32t  70,8e 100t рад с;


it   56,2  56,2e  41, 2t  41, 2 cosh 32t  32  72,3e  41, 2t  41, 2 cosh 32t  32  t   
 1,98  103 e 100t  3,64  103 e  41, 2t sinh 32t  1,98  103 e  41, 2t cosh 32t A.
Установившиеся значения угловой скорости и тока якоря соответственно равны:
y 
Iy 
( t) float  3  232.
lim
t 
i( t) float  3  56.2
lim
t 
Графики функций  t , it  представлены на рисунках 2 и 3 соответственно.
Определим максимальное значение тока двигателя при помощи ПО Mathcad:
n  1 1000
t  0.0001
I  i
( n  1)  t
n
max( I)  466.622
max( I)
In
 8.306
Расчет показывает что при прямом включении двигателя на номинальное напряжение
тиристорного преобразователя, значение пускового тока достигает 466,6 А и более чем в 8 раз
превышает номинальное значение. Поскольку lim  t   232 c 1 , то установившееся значение
t 
угловой скорости после наброса номинальной нагрузки равно  у  232 рад с , что достаточно
близко к номинальному значению. Ориентировочное время разгона двигателя в холостой ход
составило 0,5 с.
Рассчитаем при помощи ПО Mathcad частотные характеристики системы ТП-ДПТ:
W sys ( p ) 
W tc( p )  W e( p )  Ke W m( p )
2
Ke  W e( p )  W m( p )
10
300
250
200
( t)
0.95  ( 1) 150
1.05  ( 1)
100
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t
Рисунок 2. Переходный процесс угловой скорости при пуске
в холостой ход и задержанном набросе номинальной
нагрузки в момент времени 1 с.
500
400
300
i( t )
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
Рисунок 3. Переходный процесс тока двигателя при
пуске в холостой ход и задержанном набросе
номинальной нагрузки в момент времени 1 с.
W sys ( p) 
Ktc Ke
 T  T  p2  T  p  1  T  p  1
m
 e m
 tc
11
1.6
где Wsys ≡ WзТПД; Ke ≡ Kд; Ktc ≡ Kп; Tm ≡ Tм; Te ≡ Tэ; Ttc ≡ Tп.
Подставив в выражение передаточной функции системы, рассчитанное при помощи ПО,
соответствующие коэффициенты передачи и постоянные времени, получим:
Kп Kд
з
 p 
WТПД
.
Tп p  1TмTэ p 2  Tм p  1
Выполнив замену переменных p  j , получим выражение для АФЧХ разомкнутой
системы:
Kп Kд
з
.
 p  j  
WТПД
Tп j  1 TмTэ  j 2  Tм j  1
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы определяется как модуль АФЧХ:
з
 j  .
A   WТПД


Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) системы определяется как аргумент АФЧХ:
з
 ImWТПД
 j  
з
 j   arctan 
    arg WТПД
з
.




Re
W
j

ТПД


Выражения для модуля и фазы АФЧХ определим при помощи ПО:
1
2


Ke
2


W sys  j  simplify  Ktc 

 4 T 2 T 2  2 T  2 T  2 T 2  1   1  T 2 2  
m e
m
e
m
tc




2
P  simplify  Ktc Ke
2
2
Tm   Te  Tm   Ttc  1
 T 2 2  T 2 4 T 2  2 T  2 T  1   1  T 2 2 
m
e
m
e
tc
 m


2
Q  simplify  Ktc Ke 
Q 
P 
Tm  Ttc Tm   Te  Ttc
 T 2 2  T 2 4 T 2  2 T  2 T  1   1  T 2 2 
m
e
m
e
tc
 m


2
simplify  
Tm  Ttc Tm   Te  Ttc
2
2
Tm   Te  Tm   Ttc  1
Таким образом, выражения для АЧХ и ФЧХ системы имеют вид:
Kп  Ke
A  
;
2 2 4
2
2
Tм Tэ   Tм  2TмTэ  2  1 Tп  2  1



    arctan   




TпTм 2  Tм  Tп 
.
TмTэ  TмTп  2  1 
Логарифмическая АЧХ системы определяется выражением [2, c. 102]:
L   20  log  A  .
Графические зависимости ЛАЧХ и ЛФЧХ, построенные при помощи ПО Mathcad,
представлены на рисунке 4, а) и б) соответственно.
12
40
20
0
L( x)
20
40
60
1
10
100
1 10
100
1 10
3
x
а)
200
100
( x)
0
100
200
1
10
x
б)
Рисунок 4. ЛАЧХ (а) и ЛФЧХ (б) разомкнутой САУ электропривода
по системе ТП-ДПТ
Определим запас устойчивости системы при помощи ПО Mathcad:
ñð  root( L( x)  x 90 110)
ñð  99.145
 
 ñð  176.956
 
A ñð  1
3
( 94.36)  180  2.4  10
  94.36
13
3
 
L   0.907
 
   179.998
   
   ñð   
  356.954
Таким образом, расчет показывает, что САУ будет неустойчивой в замкнутом состоянии,
поскольку уровень коэффициента передачи системы на частоте смены фазы  положителен.
Критический коэффициент усиления, при котором система будет нейтральной, найдем
при помощи выражения АЧХ разомкнутой САУ и ПО Mathcad:
A ( x k) 
k
x  Ttc  Tm  Te  Ttc   Tm  2 Tm Te   Tm  Te   x   Tm  2 Tm Te  Ttc





6
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2 2
x  1
Given


A   k
1
Find( k) float  4  23.14
Значение критического коэффициента передачи системы равно 23,14, тогда как текущее
значение коэффициента передачи разомкнутой САУ составляет K д K тп  0,558  46  25,67 .
6. Выбор структуры регуляторов и их гарантированных настроечных
параметров
6.1 Настройка регуляторов тока и скорости на оптимум по модулю
Внутренний контур тока изобразим схемой, представленной на рисунке 5.
Рисунок 5. Обобщенная структурная схема одноконтурной САУ с
единичной обратной связью
Сопоставим параметры схемы рисунка 5 с параметрами токового контура исследуемой
САУ:
W p ( p )  W pт ( p ) - передаточная функция регулятора тока;
Kп
K1
- передаточная функция ТП;

T p  1 Tп p  1
1 Rя
K2

- передаточная функция якорной цепи двигателя;
T0 p  1 Tэ p  1
KОС  K дт - коэффициент передачи датчика тока.
14
Таким образом, передаточная функция контура тока имеет вид:
Wкт  p  
1
.
(Tп p  1)(Tэ p  1)
1
K п 1 Rя K дтWрт ( p)
(6.1)
Согласно требованиям модульного оптимума, для достижения необходимого астатизма
регулирования и обеспечения быстродействия, регулятор тока должен иметь интегратор и
компенсатор бОльшей постоянной времени контура Tэ [3, 4]:
T p 1
W рт  p   э
.
Tu p
Исходя из (6.1) характеристический полином разомкнутого по единичной ОС контура
имеет вид:
T R
Fp ( p)  u я p(Tп p  1).
(6.2)
K п K дт
Соответствующий (6.1) нормированный полином Баттерворта 2-го порядка имеет вид [4]:
1
2
2  1

F2  2 p 2 
p
p
p  1.
(6.3)
a
a
a a 2

Приравняв (6.2) и (6.3) получим:
Tu  Rя
2
1

; Tп 
;
K п K дт
a
a 2
2T  K  K
Tu  п п дт
R я
Подставим формулу для Tu в выражение для передаточной функции регулятора тока:
R я
K рт
T p 1
R я
T p 1
R я
2T  K  K
W рт  p   э

 э

Tэ  п п дт  K ртTэ 
;
Tu p
2Tп  K п  K дт
p
2Tп  K п  K дт
p
p
R я
0,785
K рт 

 10,55.
2Tп K п K дт 2  0,01 46  0,081
Таким образом, регулятор тока, согласно настройке по модульному оптимуму,
представляет собой пропорционально-интегрирующее (ПИ-регулятор) звено САУ.
Передаточные функции замкнутого и разомкнутого токового контура соответственно
будут иметь вид:
T p  1 Kп
1 R я
K рт э


W рт  p   Wп  p   Wэ  p 
p
Tп p  1 Tэ p  1
Wзкт  p  


1  K дт  W рт  p   Wп  p   Wэ  p  1  K  K Tэ p  1  K п  1 R я
дт
рт
p
Tп p  1 Tэ p  1
K рт
Kп
R я
Kп
1
1



R я p Tп p  1
2Tп K п K дт R я p Tп p  1
2T K pT p  1


 п дт п

K рт
R
K
1
1
Kп
я
п
1
1  K дт 


1  K дт 

2Tп pTп p  1
2Tп K п K дт R я p Tп p  1
R я p Tп p  1
1
2Tп p Tп p  1
1
1
1
1
1






;
2 2
1
K дт 1 
K дт 2Tп pTп p  1  1 K дт 2Tп p  2Tп p  1
2Tп p Tп p  1
W ркт  p  
1
1

.
K дт 2Tп pTп p  1
15
При помощи ПО Mathcad рассчитаем и построим график функции отклика контура тока на
управляющий сигнал в замкнутом состоянии и график его ЛАЧХ в разомкнутом состоянии:
Rsum
Kcr 
2 Kci Ktc Ttc
Kcr  10.549
Kcr Te  0.128
W cr( p )  Kcr Te 
Kcr
p
Woc( p)  Wcr( p)  Wtc( p)  We( p)  Kci
W cc( p) 
I( p ) 
Uy
p
i( t)  I( p)
W oc( p )
1  W oc( p )
 W cc( p )
invlaplace  p
 10.00  10.00 exp ( 50.00 t)  sin( 50.00 t)  10.00 exp( 50.00 t)  cos ( 50.00 t)
float  4
Foc( x)  Woc( j x)

L( x)  20log Foc( x)

16
15
10
i( t )
5
0
0
0.05
0.1
0.15
t
Рисунок 6. График функции отклика замкнутого контура тока на
управляющий сигнал Uy = 10 В.
40
20
1
1
2 T tc
T tc
0
L( x)
20
40
60
1
10
100
1 10
3
x
Рисунок 7. График ЛАЧХ разомкнутого контура тока с ПИ-регулятором
Пояснения к переменным и функциям программы на Mathcad:
Kcr – коэффициент передачи регулятора тока;
Kci – коэффициент передачи датчика тока;
Ktc – коэффициент передачи ТП;
Ttc – постоянная времени ТП;
Te – электромагнитная постоянная времени якорной цепи двигателя;
Wcr(p) – передаточная функция регулятора;
Woc(p) – передаточная функция разомкнутого контура тока;
Wcc(p) – передаточная функция замкнутого контура тока;
Wtc(p) – передаточная функция ТП;
We(p) – передаточная функция якорной цепи двигателя;
Wm(p) – передаточная функция механической части двигателя;
I(p) – изображение по Лапласу отклика токового контура;
Foc(x) – АФЧХ разомкнутого контура тока;
L(x) – ЛАЧХ разомкнутого контура тока.
17
Аналогичный подход можно применить для настройки регулятора скорости по
модульному оптимуму. В данном случае регулятор должен скомпенсировать постоянную
времени контура тока Tкт  2Tп  2  0,01  0,02 с и передаточная функция контура скорости в
разомкнутом состоянии имеет вид [3,4]:
1
1
W ркс ( p)  W рс  p   Wзкт  p  
 Wм  p   K дс 
,
(6.4)
Kд
2Tкт pTкт p  1
где: W рс  p  - передаточная функция регулятора скорости.
Из (6.4) выразим W рс  p  :
W рс ( p)  W рс  p   Wзкт  p  


1
1
1
1
1
 Wм  p   K дс 


 Kд

Kд
2Tкт pTкт p  1 K дс Wм  p 
Wзкт  p 

K д K дт 2Tп p 2  2Tп p  1  Tм p
K дтTм
2Tп p 2  2Tп p  1


.
2
4 K дсTп Rя K д
2Tп p  1
4 K дсTп p2Tп p  1  Rя  K д
2
2
Вторым множителем в выражении для W рс  p  можно пренебречь из соображений, что
Tп  Tп , тогда передаточная функция регулятора скорости представляет собой
безинерционное
усилительное
звено
с
коэффициентом
усиления
K дтTм
0,081  0,122

 13,874.
4 K дсTп R я K д 4  0,041  0,01  0,786  0,558
При помощи ПО Mathcad рассчитаем и построим график функции отклика контура
скорости в замкнутом состоянии на управляющий сигнал и график ЛАЧХ контура в
разомкнутом состоянии:
2
W os ( p)  Ksr W cc( p) 
W cs ( p) 
1
Ke
 W m( p)  Ksi
W os ( p )
1  W os ( p )
Fos ( x)  Wos ( j x)

L( x)  20log Fos ( x)
 ( p ) 
Uy
p

 W cs ( p )
( t)   ( p)
invlaplace  p
-3
 10.0  10.4 exp( 2.11 t)  .440 exp( 48.9 t)  cos ( 49.0 t)  9.87 10  exp ( 48.9 t)  sin( 49.0 t)
float  3
18
50
1
1
4T tc
T tc
0
L( x)
50
100
1
10
1 10
100
3
x
Рисунок 8. График ЛАЧХ контура скорости в разомкнутом
состоянии с П-регулятором.
Упрощенное выражение отклика контура скорости:
 t   10  10,4e 2,11t  0,44e 48,9t cos 49t  9,87  10 3 e 48,9t sin 49t
10
( t)
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t
Рисунок 9. График функции отклика контура скорости в
замкнутом состоянии на управляющий сигнал Uy = 10 В.
Пояснения к переменным и функциям программы на Mathcad:
Wos(p) – передаточная функция разомкнутого контура скорости;
Wcs(p) – передаточная функция замкнутого контура скорости;
Ksr – коэффициент передачи регулятора скорости;
Ksi – коэффициент передачи датчика скорости;
Fos(x) – АФЧХ разомкнутого контура скорости;
L(x) – ЛАЧХ разомкнутого контура скорости.
Структурная схема САУ «ТП-ДПТ» с П-регулятором скорости и ПИ-регулятором тока
изображена на рисунке 10.
19
1/Kд

iя
Uy
Kрс
Wрт(p)
Wэ(p)
Wтп(p)
Wм(p)
1/Kд
Mc
Kдт
Kдс
Рисунок 10. Структурная схема САУ «ТП-ДПТ» с П-регулятором скорости и ПИ-регулятором тока
20
При помощи ПО Mathcad рассчитаем переходный процесс пуска двигателя без внешней
нагрузки двигателя (Mc = 0) и задержанным набросом нагрузки (Mc = Mн) в САУ, изображенной
на рисунке 10:
- изображение угловой скорости, а пространстве Лапласа:
 ( p ) 
 ( p ) 
Ke  Kci Ke Wcr(p) Wtc(p) We(p) 
Mn    p
Uy
e
 Ksr W cr( p )  W tc( p )  W e( p ) 
p
p
Kci


1
1
 Ke   W cr( p )  W tc( p ) 
K
 Ksi Ksr 
  W e( p ) 
W m( p )
Ke
W m( p ) e



Mn    p
Uy
2
2
 Ke  W m( p )  Kci Ke  W cr( p )  W tc( p )  W e( p )  W m( p )  
e
 Ksr Ke W cr( p )  W tc( p )  W e( p )  W m( p ) 

 p
p
2
W e( p )  W cr( p )  W tc( p )  Ke Ksi Ksr W m( p )  W e( p )  W cr( p )  W tc( p )  Ke  Kci  W e( p )  W m( p )  Ke
2
- изображение отклика на задающее возмущающее воздействие:
Y1( p) 
Uy
p
Ksr Ke W cr( p)  W tc( p)  W e( p)  W m( p )

2
W e( p)  W cr( p )  W tc( p )  Ke Ksi Ksr W m( p)  W e( p )  W cr( p)  W tc( p)  Ke  Kci  W e( p)  W m( p)  Ke
2
- изображение отклика на возмущающее воздействие:
Y2( p )  
Mn
p
2
2
Ke  W m( p )  Kci Ke  W cr( p )  W tc( p )  W e( p )  W m( p )

2
W e( p )  W cr( p )  W tc( p )  Ke Ksi Ksr W m( p )  W e( p )  W cr( p )  W tc( p )  Ke  Kci  W e( p )  W m( p )  Ke
2
- разбиение на простые слагаемые и получение оригинала от Y1(p):
Y1( p )  Y1( p)
y1( t)  Y1( p)
-3
convert  parfrac  p 245.69
4.7796
327.01
.23463  3.2613 10  p



 26401.
float  5
p
p  86.232 p  34.023
2
p  62.059 p  3507.1
invlaplace  p
 245.69  4.7796 exp( 86.232 t)  327.01 exp( 34.023 t)  86.102 exp( 31.030 t)  cos ( 50.441 t)  175.77 exp( 31.030 t)  sin( 50.441 t)
float  5
- аналогично для Y2(p):
Y2( p)  Y2( p)
y2( t)  Y2( p)
-3
-5
convert  parfrac  p 8.0490
.11940
5.9035
5.1386 10  7.6742 10  p



 26401.
float  5
p
p  86.232 p  34.023
2
p  62.059 p  3507.1
invlaplace  p
 8.0490  .11940 exp( 86.232 t)  5.9035 exp( 34.023 t)  2.0261 exp( 31.030 t)  cos ( 50.441 t)  1.4432 exp( 31.030 t)  sin ( 50.441 t)
float  5
- оригинал угловой скорости с учетом задержанного на время  возмущающего воздействия:
( t)  y1( t)  y2 t      t  
- установившееся значение угловой скорости ври пуске двигателя в холостой ход:
Ф(t-) – задержанная на время  единичная ступенчатая функция.
21
0 
lim
t 
y1( t) float  4  245.7
300
200
( t)
1.05 0
0.95 0
100
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
Рисунок 11. График переходного процесса угловой скорости
двигателя в САУ «ТП-ДПТ» c П-регулятором скорости и
ПИ-регулятором тока при пуске без нагрузки и набросе
номинальной нагрузки при t =  = 0,4 c
Из рисунка 11 очевидно, что САУ с регуляторами скорости и тока, настроенными по
модульному оптимуму статична и не имеет перерегулирования. Установившийся режим после
пуска наступает спустя 0,1 с. На рисунке 12 изображен переходный процесс тока якоря
двигателя в этой САУ. Выражение функции тока получаем при помощи аналогичных
манипуляции в ПО Mathcad, приведенных выше:
- изображение по Лапласу функции тока:
I( p)   ( p ) 
Ke
Mn    p
 Ke
e
W m( p)
p
- изображение по Лапласу функции тока при пуске двигателя в холостой ход:
I1( p )  Y1( p) 
Ke
W m( p )
- изображение по Лапласу функции тока при действии сигнала возмущения:
I2( p )  Y2( p) 
Ke
W m( p )
- изображение по Лапласу установившегося значения тока якоря при действии сигнала
возмущения:
I3( p )  Ke
Mn
p
- получение оригиналов от соответствующих изображений:
i1( t)  I1( p)
invlaplace  p
 232. exp ( 69.20 t)  537.2 exp ( 25.79 t)  769.2 exp( 28.26 t)  cos ( 52.99 t)  154.3 exp( 28.26 t)  sin ( 52.99 t)
float  4
i2( t)  I2( p)
invlaplace  p
 10.45 exp( 69.20 t)  26.04 exp ( 25.79 t)  3.601 exp( 28.26 t)  cos ( 52.99 t)  28.23 exp( 28.26 t)  sin ( 52.99 t)
float  4
22
invlaplace  p
 56.18
float  4
i3( t)  I3( p)
- функция тока якоря с учетом задержанного действия на время  сигнала возмущения:


i( t)  i1( t)  i2 t    In    t  
400
300
200
i( t )
100
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
Рисунок 12. График переходного процесса тока якорной цепи
двигателя в САУ «ТП-ДПТ» с П-регулятором скорости и ПИрегулятором тока при пуске без нагрузки и задержанным на
время  = 0,4 с набросом номинальной нагрузки
Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что применение
двухконтурной САУ с П-регулятором скорости и ПИ-регулятором тока существенно форсирует
процесс пуска двигателя с отсутствием перерегулирования, но приводит к недопустимому
увеличению пускового тока якоря.
6.2 Настройка регулятора скорости на симметричный оптимум
Для получения астатической системы регулирования скорости электропривода по сиcтеме
ТП-ДПТ применяется ПИ-регулятор скорости, что позволяет получить астатизм (нулевую
ошибку) угловой скорости двигателя при появлении возмущающего воздействия на систему
(приложение внешней нагрузки к приводу) [3,4].
Настройка ПИ-регулятора скорости производится согласно симметричному оптимуму
(СО), поскольку в контуре скорости присутствует интегрирующее звено Wм  p  с большой
постоянной времени. ПИ-регулятор скорости имеет обобщенное выражение передаточной
p  1
функции вида: W рс  p  
Tи p
Передаточные функции разомкнутого и замкнутого единичной обратной связью контура
скорости с ПИ-регулятором будет иметь вид:
2
1
p  1 1 K дт
1 R я K д
W ркс  p   W рс  p   W зкт  p  
 W м  p   K дс 



 K дс 
Kд
Tи p 2Tп p  1 K д Tм p

R я K д K дс
p  1

;
Tм
Tи K дт p 2 2Tп p  1
23
1/Kд

iя
Uy
Wрс(p)
Wрт(p)
Wэ(p)
Wтп(p)
Wм(p)
1/Kд
Mc
Kдт
Kдс
Рисунок 13. Структурная схема САУ «ТП-ДПТ» с ПИ-регулятором скорости и ПИ-регулятором тока
24
R я K д K дс
p  1

Tм
Tи K дт p 2 2Tп p  1
Wзкс  p  
 R я K д K дс 
R я K д K дс
p  1
1

Tм
Tи K дт p 2 2Tп p  1
p  1

.
2TпTи Tм K дт p  Tи Tм K дт p 2  R я K д K дсp  R я K д K дс
Аналогичная по характеру демпфирования переходного процесса передаточная функция
будет иметь аналогичный полином знаменателя, как у Wзкт  p  и единичный коэффициент
усиления:
1
W  p  
.
3
2TпTи Tм K дт p  Tи Tм K дт p 2  R я K д K дсp  R я K д K дс
3
Квадрат ее АЧХ имеет вид:
1
A 2   
,
6
4
a6  a4  a2 2  a0
где:
2
2
2
2
a6  4Tu Tм Tп K дт ;
a 4  Tu Tм K дт  4Tu TмTп K дт K д K дс R я ;
2
2
2
a 2  K д K дс R я  2  2Tu Tм K дт K д K дс R я ;
2
2
2
a0  K д K дс R я .
Для оптимальной САУ, настроенной по СО и содержащей интегральное звено в прямом
канале регулирования постоянные времени Ти и τ определяются из условий [4]:
d2
d4
lim 2 A2    0; lim 4 A2    0.
 0 dt
 0 dt
Определим оптимальные Ти и τ при помощи ПО Mathcad:
2
2
2
1
W'( p) 
3
2
2 Ti p  Kci Tm Ttc  Ti p  Kci Tm  Ke Rsum Ksi  p  Ke Rsum Ksi
B( x)   W'( j x)
B( x)   W'( j x)
2
2 collect  x

1
2
2
2
4
2
2
2 2 2
2
2
2
4 Ti  x  Kci  Tm  Ttc   Ti  Kci  Tm  4 Ti Kci Tm Ttc Ke Rsum Ksi    x   2 Ti Kci Tm Ke Rsum Ksi  Ke  Rsum  Ksi     x  Ke  Rsum  Ksi




2 6
2
2
2
Given
lim
x
 d 2

( B( x) )
 2

0  dx

0
2
1

Find Ti   Ke Rsum Ksi
2
Kci Tm
 
Given
lim
x
 d 4

( B( x) )
 4

0  dx

0
25
 
  2
  3  Ttc 

T
Find  Ti  


  2  T 
  3 tc

1


2
1
2
2
     4 Ttc  8 Ttc       Ksi  Rsum


3
3
Tm Kci 



1


2
Ke
2
1 
2 
2

    4 Ttc  8 Ttc   
   Ksi  Rsum T  K 
3
3 
m ci 

2
Ke
Given
1

2
R
K K 
2 sum e si
Ti
2
2
Kci  Tm
1


2
Ke
 2
2
1
2 
2
Ti   Ttc       4 Ttc  8 Ttc       Ksi  Rsum
 
3
3 
Tm Kci
3
2


Ttc
32

K

R

K

0

e sum si K  T
Find  Ti   
ci m 


8 Ttc
0


  0.08
  8 Ttc
Ti 
Ke Rsum Ksi 
2
2 Kci Tm
3
Ti  5.766  10

Ti
 13.874
1
Ti
 173.43
Пояснения к переменным и функциям программы на Mathcad:
B(x) – функция A2(ω);
Ke – коэффициент ЭДС двигателя;
Rsum – суммарное активное сопротивление якорной цепи двигателя.
Ti = Tи = 5,77 мс;
 = 0,08 с.
Рассчитаем и построим ЛАЧХ разомкнутого контура скорости при помощи ПО Mathcad:
W sr( p ) 
 p  1
Ti p
1
W cc( p ) 
Kci
2 Ttc p  1
W os ( p)  W sr( p)  W cc( p) 
1
Ke
 W m( p )  Ksi
Fos ( x)  Wos ( j x)
26

L( x)  20 log Fos ( x)

50
1
1
8T tc
T tc
0
L( x)
50
100
1
10
1 10
3
100
x
Рисунок 14. ЛАХЧ разомкнутого контура скорости
с ПИ-регулятором
Рассчитаем и построим переходную функцию контура скорости в замкнутом состоянии
при помощи ПО Mathcad:
W os ( p )
W cs ( p) 
1  W os ( p )
convert  parfrac  p
25.00
25.00  .5000 p
W cs ( p )  W cs ( p )

 50.00
float  4
p  25.00
2
p  25.00 p  625.0
Uy
 ( p ) 
 W cs ( p )
p
( t)   ( p)
invlaplace  p
 10.  10. exp( 25. t)  20. exp ( 12.50 t)  cos ( 21.65 t)
float  4
15
10
( t)
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t
Рисунок 15. График функции отклика замкнутого контура скорости с
ПИ-регулятором на управляющий сигнал Uy = 10 В.
Расчет показывает, что отклик замкнутого контура скорости с ПИ-регулятором на
ступенчатый сигнал управления Uy обладает достаточным быстродействием, но
характеризуется колебательностью с перерегулированием около 43%.
27
Рассчитаем переходный процесс пуска двигателя без нагрузки и задержанным на время
0,6 с набросом номинальной нагрузки в САУ «ТП-ДПТ» с ПИ-регулятором скорости и тока
рис. 13) при помощи ПО Mathcad:
- изображение по Лапласу функции угловой скорости:
  0.6
Mn    p
Uy
2
2
 Ke  W m( p )  Kci Ke  W cr( p )  W tc( p )  W e( p )  W m( p )  
e
 W sr( p )  Ke W cr( p )  W tc( p )  W e( p )  W m( p ) 

 p
p
 ( p ) 
2
W e( p )  W cr( p )  W tc( p )  Ke Ksi W sr( p )  W m( p )  W e( p )  W cr( p )  W tc( p )  Ke  Kci  W e( p )  W m( p )  Ke
2
- изображение по Лапласу отклика САУ при действии задающего воздействия:
Y1( p) 
Uy
p
W sr( p)  Ke W cr( p)  W tc( p )  W e( p)  W m( p )

2
W e( p)  W cr( p)  W tc( p)  Ke Ksi W sr( p)  W m( p)  W e( p)  W cr( p)  W tc( p)  Ke  Kci  W e( p)  W m( p)  Ke
2
- изображение по Лапласу отклика САУ при действии сигнала возмущения:
Y2( p )  
Mn
p
2
2
Ke  W m( p )  Kci Ke  W cr( p )  W tc( p )  W e( p )  W m( p )

2
W e( p )  W cr( p )  W tc( p )  Ke Ksi W sr( p )  W m( p )  W e( p )  W cr( p )  W tc( p )  Ke  Kci  W e( p )  W m( p )  Ke
2
- упрощение изображений и получение соответствующих оригиналов функций:
-2
-3
-2
-2
convert  parfrac  p 245.69
3.6998
9.9217 10  8.1687 10  p
1.2920 10  1.7334 10  p


 26401.
 26401.
float  5
p
p  86.000
2
2
p  69.321 p  3295.9
p  26.993 p  453.75
Y1( p)  Y1( p)
y1( t)  Y1( p)
invlaplace  p
 245.69  3.6998 exp( 86. t)  215.66 exp ( 34.661 t)  cos ( 45.766 t)  106.09 exp( 34.661 t)  sin( 45.766 t)  457.63 exp( 13.497 t)  cos ( 16.480 t)  354.09 exp ( 13.497 t)  sin( 16.480 t)
float  5
Y2( p)  Y2( p )
y2( t)  Y2( p)
-3
-5
-2
-5
convert  parfrac  p
.10767
5.4440 10  2.3322 10  p
1.1838 10  2.7401 10  p

 26401.
 26401.
float  5
p  86.000
2
2
p  69.321 p  3295.9
p  26.993 p  453.75
invlaplace  p
 .10767 exp( 86. t)  .61572 exp( 34.661 t)  cos ( 45.766 t)  2.6741 exp ( 34.661 t)  sin( 45.766 t)  .72341 exp( 13.497 t)  cos ( 16.480 t)  18.372 exp ( 13.497 t)  sin ( 16.480 t)
float  5
- функция угловой скорости двигателя с учетом задержанного сигнала возмущения:
( t)  y1( t)  y2 t      t  
- установившееся значение угловой скорости по завершению переходного процесса:
0 
lim
t 
y1( t) float  4  245.7
Функция тока якоря определяется путем аналогичных манипуляций, как при анализе САУ
с П-регулятором скорости с заменой Ksr на Wsr(p). Таким образом, переходный процесс тока
якоря в САУ «ТП-ДПТ» с ПИ-регуляторами скорости и тока будет иметь вид, изображенный на
рисунке 16.
28
400
300
( t)
1.05 0
200
0.95 0
100
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
t
Рисунок 15. График переходного процесса угловой скорости двигателя в
САУ «ТП-ДПТ» с ПИ-регулятором скорости и тока, при пуске
двигателя без нагрузки и задержанным на время 0,6 с набросом
номинальной нагрузки
400
i( t )
200
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t
Рисунок 16. График переходного процесса тока якорной цепи
двигателя в САУ ТП-ДПТ с ПИ-регуляторами скорости и тока,
при пуске без нагрузки и набросом номинальной нагрузки в
момент времени 0,6 с.
Анализируя результаты моделирования САУ с ПИ-регуляторами скорости и тока и
применением, можно сделать вывод, что настройка ПИ-регулятора скорости на СО приводит к
исчезновению ошибки регулирования выходной величины (угловой скорости), поскольку
замкнутая передаточная функция контура скорости обращается в 0. Это характерно для
астатических САУ.
Очевидно, что настройка по ОМ пригодна для систем, не требующих постоянства
выходной величины, но критичных к быстродействию по управляющему сигналу. Настройка по
29
СО пригодна для систем, предъявляющих жесткие требования к стабильности выходной
величины, при внешних возмущениях, изменяющихся в широких пределах, а также критичных
к быстродействии по возмущающему сигналу.
Ограничение пускового тока в пределах допустимой для заданного двигателя величины
можно добиться путем введения задатчика интенсивности (ЗИ на рис. 1). Он представляет
собой апериодическое звено первого порядка (фильтр низких частот) и имеет передаточную
1
функцию вида: WЗИ  p  
. Постоянная времени ЗИ может находиться в пределах
Tзи p  1
TЗИ =0,10,8 с. Применение задатчика интенсивности существенно увеличивает время
переходного процесса, однако улучшает динамические показатели системы.
7. Синтез регулятора в пространстве состояний
7.1 Синтез САУ с коэффициентами обратных связей по переменным состояния
Синтез регулятора в пространстве состояний осуществляется на основе системы
уравнений объекта управления, записанной для переменных состояния. Для заданной системы
ТП-ДПТ запишем систему уравнений для переменных состояния в матричной форме:
d
 X   AX   B U ;
(7.1)
 dt
Y   C X ,
где:
 1

0
0 
 T
 п

R я
1
1 

A


- матрица параметров системы;
 L я
L я
K д L я 


1
 0
0 
2,5 J д K д


Kп 
T 
 п 
B   0  - вектор входа;
 0 
 
 
С  0 0 1 - матрица выхода или матрица наблюдаемости;
u 
 
X   i  - вектор переменных состояния системы;
 
 
U y 
 
U   0  - вектор входных (управляющих) переменных;
0
 
u 
 
Y  C X   0 0 1 i    - вектор выходных (наблюдаемых переменных).
 
 
Требуется найти управление вида: U   K X , чтобы все или некоторое количество мод
матрицы A-BK замкнутой системы имели заданные значения. Таким образом, подставляя
выражение искомого управления в (7.1) имеем матричное уравнение системы:
30
d
X   A  BK X ,
dt
с характеристическим уравнением вида: det pI  A  BK   0 .
Найдем такие Kij, при которых положение корней характеристического уравнения будет
желаемым и совпадет с положением корней нормированного полинома Баттерворта 3-го
порядка: F3  p 3  1,75ap 2  2,15a 2 p  a 3 , при a  35,695 . Воспользуемся ПО Mathcad для
решения поставленной задачи:
 1

0
0
 T

 Ktc 
 tc



Rsum
 1

Ttc 
1

A  
B 

 0 
 Lsum Lsum Ke Lsum 




1
 0 
0
0


2.5 Je Ke


0
0
 100


A  104.829 82.314 187.739 


3.582
0
 0

 4.6  103 


B

0


 0 

2

Qy  augment B A B A  B
 4.6  103 4.6  105 4.6  107 



5
7
Qy 
4.822  10 8.791  10 
 0
 0
6 
0
1.727  10 

14
Qy  1.688  10
p 0 0
D( p )   0 p 0   A


0 0 p
 
rank Qy  3
collect  p
3
2
simplify  p  182.31 p  8903.8 p  67245.
float  5
 67245. 
8903.8 
KD  D( p ) coeffs  p  
 182.31 
 1 


1
0 
 0


0
1 
A'   0
 KD3 KD2 KD1 


0
B'   0 
 
1
31
1
0
 0



0
0
1
A'  


3
4
 182.31 8.904  10 6.724  10 
P1  ( 0 0 1 )  Qy
1

7
P1  0 0 5.79  10


P  stack P1 P1 A  P1 A

2
7 

0
0
5.79  10





6
P
0
2.074  10
0


 2.174  10 4 1.707  10 4 3.893  10 4 


a  35.695
3
2
2
BP( p)  p  1.75 a p  2.15 a  p  a
3
3
2
BP( p) float  5  p  62.466 p  2739.4 p  45480.
 45480.2 
coeffs  p
2739.39 
KB  BP( p )

float  6
 62.4663 
 1. 


n  1 3
K'
1 n
 KB  KD

n
n
4
K'  2.176  10
3
6.164  10
119.844

K  K' P
K  ( 0.02605 0.00767 0.03406 )
Пояснения к некоторым переменным и функциям программы на Mathcad:
Qy – матрица управляемости системы;
D(p) – характеристический полином системы;
KD – вектор коэффициентов характеристического полинома;
A' – матрица параметров системы, представленная в канонической форме фазовой переменной;
B' – вектор входа системы, представленный в канонической форме фазовой переменной;
P1 – вектор, связанный с матрицей управляемости и необходимы для получения матрицы
преобразования к канонической форме;
P – матрица преобразования входных и внутренних параметров системы к канонической форме
фазовой переменной;
BP(p) – нормированный полином Баттерворта 3-го порядка;
32
KB – вектор коэффициентов полинома Баттерворта;
K' – матрица-строка коэффициентов обратных связей, записанная в канонической форме
фазовой переменной;
K – матрица коэффициентов обратных связей системы, записанная в исходном базисе.
Структурная схема САУ ТП-ДПТ с синтезированными коэффициентами обратных связей
представлена на рисунке 17.
Uy
ω
ТП - ДПТ
u
i
K1
K2
K3
Рисунок 17. Обобщенная структура САУ ТП-ДПТ с обратными
связями
На рисунке 18 изображена развернутая структура САУ с синтезированными обратными
связями.
При помощи ПО Mathcad произведем расчет переходного процесса угловой скорости и
тока якоря в системе, изображенной на рисунке 18, при пуске и задержанном набросе
номинальной нагрузки:
- изображение по Лапласу функции угловой скорости двигателя:
Uy
 ( p ) 
p
 W1( p )  W e( p ) 
Mn  0.6 p
e
 K  Ke W1( p )  W e( p )  Ke
2
p


Ke
1
K  W1( p )  W e( p )  K  Ke W1( p )  W e( p ) 

3
2
W m( p )
W m( p )
- изображение по Лапласу отклика системы на задающее воздействие:
Y1( p ) 
Uy
p

W1( p )  W e( p )
Ke
1
K  W1( p )  W e( p )  K  Ke W1( p )  W e( p ) 

3
2
W m( p )
W m( p )
- изображение по Лапласу отклика системы на возмущающее воздействие:
Y2( p )  
Mn
p

K  Ke W1( p )  W e( p )  Ke
2
Ke
1
K  W1( p )  W e( p )  K  Ke W1( p )  W e( p ) 

3
2
W m( p )
W m( p )
- упрощение изображений и получение соответствующих оригиналов функций:
Y1( p )  Y1( p)
-3
-5
convert  parfrac  p 1.127 10-18
88.09
176.2
6 1.866 10  2.988 10  p



 2.948 10 
float  4
p  100.0
p  45.46
p
2
p  17.01 p  1294.
Y2( p)  Y2( p)
-6
-6
convert  parfrac  p 5.635 10-20
2.213
7.071
6 6.106 10  1.648 10  p



 2.948 10 
float  4
p  100.0
p  45.46
p
2
p  17.01 p  1294.
33
y1( t)  Y1( p)
invlaplace  p
-18
 1.1270 10  exp( 100. t)  88.090 exp( 45.460 t)  176.20  88.086 exp( 8.5050 t)  cos ( 34.952 t)  135.95 exp( 8.5050 t)  sin( 34.952 t)
float  5
y2( t)  Y2( p)
invlaplace  p
-20
 5.6350 10  exp( 100. t)  2.2130 exp ( 45.460 t)  7.0710  4.8583 exp( 8.5050 t)  cos ( 34.952 t)  1.6972 exp( 8.5050 t)  sin( 34.952 t)
float  5
- оригинал функции угловой скорости с учетом задержанного воздействия сигнала возмущения:
  0.6
( t)  y1( t)  y2 t      t  
- установившееся значение угловой скорости при пуске в холостой ход от управляющего
воздействия U у  6 В :
0 
lim
t 
y1( t) float  4  176.2
Прямые показатели качества регулирования:
d
( t) tm  root d( t)  t  0.011 0.115 tm  0.112
dt
 tm  0
 
 100   34.281
0
tïï  root ( t)  1.05 0 t  0.3 0.4 tïï  0.316
d( t) 
 


Функция тока якоря двигателя определяется аналогичным способом, как это было
показано для ранее исследованных САУ:
- изображение по Лапласу тока якоря при действии сигнала задания:
I1( p )  Y1( p) 
Ke
W m( p )
- изображение по Лапласу тока якоря при действии сигнала возмущения:
I2( p )  Y2( p) 
Ke
W m( p )
- изображение по Лапласу установившегося тока якоря при номинальной нагрузке:
I3( p )  Ke
Mn
p
- упрощение изображение и получение соответствующих оригиналов функций токов:
I1( p)  I1( p)
-17
4
convert  parfrac  p
1118.
3.182 10  1117. p
-3 4.576 10
 6.634 10 

 1.
float  4
p  100.
p  45.46
2
p  17.01 p  1294.
I2( p)  I2( p)
-18
convert  parfrac  p
28.09
1755.  28.10 p
-5 5.734 10
 8.487 10 

 1.
float  4
p  100.
p  45.46
2
p  17.01 p  1294.
I3( p)  I3( p)
convert  parfrac  p 56.18

float  4
p
i1( t)  I1( p)
invlaplace  p
 1118. exp ( 45.46 t)  1117. exp( 8.505 t)  cos ( 34.95 t)  1182. exp ( 8.505 t)  sin ( 34.95 t)
float  4
i2( t)  I2( p)
invlaplace  p
 28.09 exp ( 45.46 t)  28.10 exp( 8.505 t)  cos ( 34.95 t)  43.37 exp ( 8.505 t)  sin( 34.95 t)
float  4
34
1/Kд
Wм(p)
1/Kд
Wэ(p)
Wтп(p)

iя
uтп
Uy
Mc
K1
K2
K3
Рисунок 18. Структурная схема САУ «ТП-ДПТ» с синтезированными обратными связями
35
invlaplace  p
 56.18
float  4
i3( t)  I3( p)
- оригинал функции тока якоря двигателя с учетом задержанного действия сигнала возмущения:


i( t)  i1( t)  i2 t    In    t  
Графики переходных процессов угловой скорости и токая коря изображены на рисунке 19
и 20 соответственно.
250
200
( t)
150
0.95  0
1.05  0 100
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t
Рисунок 19. График переходного процесса угловой скорости в САУ
«ТП-ДПТ» с синтезированными обратными связями припуске в
холостой ход и набросе номинальной нагрузки в момент времени 0,6 с.
1000
500
i( t )
0
500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t
Рисунок 20. График переходного процесса тока якоря двигателя в
САУ «ТП-ДПТ» с синтезированными обратными связями припуске в
холостой ход и набросе номинальной нагрузки в момент времени
0,6 с.
36
Результат определения функции отклика показывает, что САУ «ТП-ДПТ» с
синтезированными по переменным состояния коэффициентами обратных связей является
статической, обладает колебательностью и достаточно высоким быстродействием и
значительным перерегулированием порядка 34%.
Синтез САУ с ПИ-регулятором в пространстве переменных состояния
Для систем с требованием астатизма применяется САУ с ПИ-регулятором. Порядок такой
системы увеличивается на единицу. Изображение обобщенной структуры САУ ТП-ДПТ с ПИрегулятором приведена на рисунке 21. Синтез регулятора также осуществим методом
сопоставления характеристического полинома замкнутой САУ и нормированного полинома
Баттерворта 4-го порядка: p 4  174 p 3  15156 p 2  773333 p  19753086 .
Уравнения состояния и входного сигнала САУ с ПИ-регулятором имеют вид:
d
x  Ax  Bu ;
dt
y  Cx  0 0 0 1x3 ;
(7.2)
u   Kx  K 4 x4 ;
d
x 4  x3  U .
dt
Исходная система (7.2) записывается в компактном виде:
d
T
x f  A f x f  B f K f x f  0  1 U ,
dt
где:
 A 0
B 
Af  
; B f   ; K f  K K 4 .

 B 0
0
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:
det pI  Af  B f K f  p 4  a3 p 3  a2 p 2  a1 p  a0 .


Рисунок 21. Обобщенная структура САУ ТП-ДПТ с ПИ-регулятором.
При помощи ПО Mathcad найдем такой вектор Kf при котором характеристическое
уравнение системы будет соответствовать заданному полиному Баттерворта:
4
3
2
BP( p)  p  174p  15156p  773333 p  19753086
37
 19753086 
 773333 


KB  BP( p ) coeffs  p   15156 
 174 


 1 

 0 
0
A f  augment stack[ A  ( 0 0 1 ) ]   

 0 

 0 

 
0
0
 100
104.829 82.314 187.739
Af  
 0
3.582
0
 0
0
1

0

0
0

0
Bf  stack( B 0)
 2.3  103 


0


Bf 
 0 


 0 
 p
0
D( p )  
0
0

D( p)  D( p)
0 0 0

p 0 0
0 p 0

0 0 p
collect  p
-20
 Af
simplify  6.366 10

19 3
float  4
collect  p
4
3
2
 1.0001 p  182.32 p  8906.0 p  67225. p
float  5
 0 
 67225. 


KD  D( p ) coeffs  p   8906.0 
 182.32 


 1.0001 
Qfy  augment Bf  Af Bf  Af  Bf  Af  Bf 


2
21 2
23
3
38

24
 p  1.571 10  p  2.864 10  p  1.399 10  p  1.056 10
 4.6  103 4.6  105 4.6  107

5
7
0
4.822  10 8.791  10
Qfy  

6
0
1.727  10
 0
 0
0
0

 
19
rank Qfy  4
Qfy  9.512  10
P1  ( 0 0 0 1 )  Qfy

1
7
P1  0 0 0 5.79  10

P  stack P1 P1 Af  P1 Af  P1 Af
3
2


10 
1.173  10 
8
3.149  10

6 
1.727  10 
9
4.6  10

7

0
0
0
5.79  10 


7
0
0
5.79  10
0


P


6
0
2.074  10
0
0


 2.174  10 4 1.707  10 4 3.893  10 4

0


n  1 4
L'f
 KB  KD
n
n
1 n

7
L'f  1.975  10

5
7.061  10
3
6.25  10
8.32

T
Lf  L'f P
 4.843  10 3 


0.038


Lf 
 0.982



 27.31

K  Lf
Пояснения к некоторым переменным программы на Mathcad:
Qfy – матрица управляемости системы;
L’f – матрица-строка коэффициентов обратных связей, записанная в канонической форме
фазовой переменной;
Lf – матрица-строка коэффициентов обратных связей, записанная в исходном базисе.
На рисунке 22 представлена структурная схема исследуемой САУ, соответствующая
обобщенной структуре с ПИ-регулятором (рисунок 21).
Расчет функций угловой скорости и тока якоря двигателя при воздействии на САУ
сигналов задания и задержанного сигнала возмущения производится аналогично таковым для
САУ рассмотренным ранее. Отличие составляет лишь исходное изображение по Лапласу
39
функции угловой скорости и составляющих ее откликов на задающий и возмущающий
сигналы:
n K4
Mn

 W1( p )  W e( p ) 
 K  Ke W1( p )  W e( p )  Ke
2
p p
p

 ( p ) 
K
4
 W1( p )  W e( p )  K  Ke
2
p
W1( p )  W e( p )
 K  W1( p )  W e( p ) 
3
W m( p )

W e( p )
Ke

Ke
W m( p )
K
Y1( p ) 
n
p
4

p
K
4
 W1( p )  W e( p )  K  Ke
2
p
 W1( p )  W e( p )
W1( p )  W e( p )
W m( p )
 K  W1( p )  W e( p ) 
3
W e( p )
Ke

Ke
W m( p )
Y1( p)  Y1( p)
-2
-4
-3
-5
convert  parfrac  p 234.6 4.431 10-17
6 1.180 10  1.356 10  p
6 2.042 10  5.607 10  p


 2.948 10 
 2.948 10 
float  4
p
p  100.0
2
2
p  123.1 p  4444.
p  50.89 p  4445.
Y2( p)  Y2( p)
-4
-6
-6
-6
convert  parfrac  p 7.385 10-19
6 2.146 10  2.134 10  p
6 7.705 10  2.134 10  p

 2.948 10 
 2.948 10 
float  4
p  100.0
2
2
p  123.1 p  4444.
p  50.89 p  4445.
y1( t)  Y1( p)
invlaplace  p
-17
 234.6  4.431 10  exp ( 100. t)  399.7 exp( 61.55 t)  cos ( 25.60 t)  397.7 exp ( 61.55 t)  sin( 25.60 t)  165.3 exp ( 25.45 t)  cos ( 61.62 t)  165.9 exp( 25.45 t)  sin( 61.62 t)
float  4
y2( t)  Y2( p)
invlaplace  p
-19
 7.385 10  exp( 100. t)  6.291 exp( 61.55 t)  cos ( 25.60 t)  9.585 exp( 61.55 t)  sin( 25.60 t)  6.291 exp ( 25.45 t)  cos ( 61.62 t)  2.966 exp( 25.45 t)  sin( 61.62 t)
float  4

( t)  y1( t)  y2 t      t  
0 
lim
t 

y1( t) float  4  234.6
Прямые показатели качества регулирования:
d
( t)
dt
tm  root d( t)  t  0.05 0.1
d( t) 
tm  0.084
 
 
 tm  0
0
 100
  10.898
tïï  root ( t)  1.05 0 t  0.1 0.2
tïï  0.103


Способ нахождения оригиналов составляющих функции тока якоря аналогичен с
предыдущими для систем других структур и в данном разделе не приводится.
40
1/Kд
K4/p

iя
uтп
Uω
Wэ(p)
Wтп(p)
Wм(p)
1/Kд
Mc
K1
K2
K3
Рисунок 22. Структурная схема САУ «ТП-ДПТ» с синтезированными обратными связями и ПИ-регулятором скорости
41
На рисунках 23 и 24 изображены графики переходных процессов угловой скорости и тока
якоря двигателя в САУ «ТП-ДПТ» с синтезированными обратными связями и ПИ-регулятором
скорости.
300
200
( t)
1.05  0
0.95  0
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t
Рисунок 23. Переходный процесс угловой скорости двигателя в САУ
«ТП-ДПТ» с синтезированными обратными связями и ПИ-регулятором
скорости при пуске в холостой ход и задержанным набросом
номинальной нагрузки в момент времени 0,6 с
400
i( t )
200
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t
Рисунок 24. Переходный процесс тока якоря двигателя в САУ «ТП-ДПТ» с
синтезированными обратными связями и ПИ-регулятором скорости при пуске в
холостой ход и задержанным набросом номинальной нагрузки в момент времени
0,6 с
42
Выводы
В таблице 1 приведены показатели качества САУ, исследуемых в работе с различными
настроечными параметрами.
Таблица 1
№
Тип САУ ТП-ДПТ
Время регулирования, с
Перерегулирование, %
САУ с П-регулятором
скорости и ПИ-регулятором
1
тока
0,08
отсутствует
(настройка контуров тока и
скорости на ОМ)
САУ с ПИ-регулятором
скорости и ПИ-регулятором
тока
2
0,25
43,33
(настройка контура тока на
ОМ, а контура скорости на
СО)
САУ с синтезированными
коэффициентами обратных
3
0,316
34,3
связей по переменным
состояния
САУ с синтезированным ПИ4 регулятором и обратными связями
0,103
10,9
по переменным состояния
Из таблицы 1 видно, что из приведенных систем наихудшими показателями качества
обладает САУ с ПИ-РТ и ПИ-РС, а наилучшими – САУ с П-РТ и ПИ-РС.
Очевидно, что метод синтеза регуляторов в пространстве состояний позволяет построить
САУ с хорошими динамическими показателями. К примеру САУ №4 отрабатывает возмущение
в 2 раза быстрее чем САУ №2, а также имеет существенно меньшее перерегулирование.
Таким образом, можно сделать вывод, что для объектов управления (ОУ) не требующих
астатизма выходной величины, предпочтительнее САУ №1 в сравнение с САУ №3, а для ОУ
требующих неизменности выходной величины при воздействии внешних возмущений
предпочтительнее САУ №4 в сравнение с САУ №2. Кроме того, очевидно, что АСУ с
синтезированными обратными связями (САУ №3) обладает неприемлемой колебательностью и
перерегулированием, что является возможным по причине неустойчивости исходной САУ без
регуляторов.
43
ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Справочник по электрическим машинам: В 2 т./Под общ. Ред. И. П. Копылова и Б. К.
Клокова. Т. 1. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 456 с.: ил.
2. Беседы по автоматике. Голубничий Н.И., Зайцев Г.Ф., Иващенко М.А., Чинаев П. И.,
Чумаков Н. М. «Технiка», 1971, 232 стр.
3. Бычков В. П. Электропривод и автоматизация металлургического производства / В. П.
Бычков. – М.: Высшая школа, 1977. – 391 с.
4. Фишбейн В. Г. Расчёт систем подчинённого регулирования вентильного электропривода
постоянного тока / В. Г. Фишбейн. – М.: Энергия, 1972. – 136 с.
5. Системы управления электроприводами: Учеб. пособие /А. П. Голубь, Б. И. Кузнецов, И. А.
Опрышко, В. П. Солярник. – К.: УМК ВО, 1992. – 376 с.
44