ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ

Лабораторная работа № 5
ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
Цель: показать, каким образом смешанную задачу можно
свести к задаче с нулевыми граничными условиями.
Преобразование зависящих от времени ГУ в
нулевые
Рассмотрим типичную задачу
ut  α2uxx , 0  x  L , 0  t   ,
u  0, t   g1  t  , 0  t  , 
 (ГУ)
u x  L, t   hu  L, t   g 2  t  , 
u  x,0    x  , 0  x  L.
Для того чтобы преобразовать эти ГУ в нулевые,
необходимо искать решение в следующей форме:
u  x, t   A t  1  x / L  B t  x / L  U  x, t  ,
где
функции
A t 
B t 
и
выбираются
так,
чтобы
x
удовлетворяла ГУ исходной
L
задачи. В этом случае функция U  x, t  будет удовлетворять
S  x, t   A  t  1  x / L   B  t 
однородным ГУ.
Подстановка функции
S  x, t  в ГУ
S  0, t   g1  t  ,
S x  L, t   hS  L, t   g2 t 
приводит к двум уравнениям, из которых можно определить
A  t  и B  t  . В результате получаем
35
А  t   g1 t  , B  t  
g1 (t )  Lg 2  t 
.
1 L  h
Следовательно:
 x  g  t   Lg2  t  x
u  x, t   g1  t  1    1
 U  x, t  .
1  Lh
L
 L
Если подставить это выражение u  x, t  в исходную
задачу, получим новую задачу для неизвестной функции
U  x, t  :
Ut  α2U xx  St , неоднородное УЧП

U x  L, t   hU  L, t   0,
(однородные ГУ)


U  0, t   0,
НУ: U  x,0     x   S  x,0  (новое НУ с
ГУ:
функцией).
Для ГУ вида
u  0, t   g1  t  ,
известной
u  L, t   g2 t  изложенный
метод приводит к следующей форме решения задачи:
x


u  x, t    g1  t    g 2  t   g1  t     U  x, t  .
L


Преобразование задачи с теплообменом через
боковую поверхность к задаче с теплоизолированной
боковой поверхностью
Рассмотрим следующую задачу
ut  α 2u xx  βu , 0  t   , 0  x  1 ,
(1)
u  0, t   0,
ГУ: 
0t 
u 1, t   0,
НУ: u  x,0    x  , 0  x  1,
где βu описывает поток тепла через боковую поверхность.
36
Цель: вместо
чтобы
u  x, t  введем новую температуру W  x, t  ,
уравнение
уравнения
W  x, t  стало проще исходного
для
ut  α 2u xx  βu .
u  x, t   e β tW  x, t  ,
Пусть
(2)
т.е. температура стержня с неизолированной
βt
поверхностью
=
температура
е 
изолированной боковой поверхностью.
Подставим (2) в (1):
боковой
стержня
с
ut  βeβ tW  eβ tWt ,
u xx  eβtWxx ,
βeβ tW  e β tWt  α 2e β tWxx  βe β tW  x, t  
Wt  α 2Wxx ;
u  0, t   eβ tW  0, t   0  W  0, t   0 ;
u 1, t   eβ tW 1, t   0  W 1, t   0 ;
u  x, 0   W  x, o  e β 0    x   W  x, 0     x  .
Т.е. получаем задачу (3)


ГУ : W  0, t   W 1, t   0, 

НУ :W  x, 0     x  .

Wt  α 2Wxx ,
(3)
Решение задачи (3) известно

  nα t
W  x, t    ane   sin  nπx  ,
2
n1
1
an  2   x  sin  πnx  dx .
0
Следовательно, решение исходной задачи
37
u  x, t   e βtW  x, t  .
Пример
Решить задачу теплопроводности
ut  uxx  u ,
u  0, t   0,

u 1, t   0,
(НУ) u  x,0  sin  πx   0,5sin  3πx  .
(ГУ)
W  x, t   et u  x, t  приведем задачу к
Преобразованием
виду:
Wt  Wxx ,
W  0, t   W 1, t   0 ,
(ГУ)
(НУ)
W  x,0  sin  πx   0,5sin 3πx  .
Решение
задачи

для
W  x, t 
запишем
в
виде
 πnα t
W  x, t    ane   sin  nπx  .
2
n1
Из НУ следует

W  x, 0    an sin(πnx)  sin(πx)  0,5sin  3πx  
n1
a1  1, a2  0 , a3  0,5 , a4  a5 ...  0 ,
т.е.
W  x, t   e π t sin(πx)  0,5e π
2

2
9t
sin(3πx) , а

u  x, t   et e π t sin(πx)  0,5e 3π t sin(3πx) .
2
Построение решения
собственным функциям
2
методом
Рассмотрим неоднородную задачу
ut  α 2u xx  f  x, t  , 0  x  1 , 0  t   ,
38
разложения
по
u  0, t   0,
ГУ: 
0t ,
u 1, t   0,
НУ: u  x,0     x  , 0  x  1.
Процесс
решения
задачи
представим
в
виде
последовательности следующих шагов.
Шаг 1. Основная идея метода состоит в разложении
плотности
f  x, t 
источника
в
ряд
по
собственным
функциям:
f  x, t   f1 t  X1  x   f 2 t  X 2  x   ...  f n t  X n  x   ...
и
определения
откликов системы
fn  t  X n  x  . Если все отклики будут
каждой компоненты
найдены,
то
un  x, t  на воздействие
решение
задачи
будет
иметь
вид:

u  x, t    u n  x , t  .
n1
Основная
плотности
трудность
в
источника
Оказывается,
это
этом
на
методе
-
компоненты
множители
X n  x
в
разложение
fn t  X n  x  .
данной
задаче
являются собственными векторами системы ШтурмаЛиувилля, которая возникает при решении методом
разделения
переменных
соответствующей
однородной
задачи, а именно:
Ut  α2U xx ,
ГУ:
U  0, t   0,
U 1, t   0 ;
НУ:
U  x,0    x  .
Задача Штурма-Лиувилля в этом случае имеет вид:
x2  λ2 x  0 ,
x  0  0, x 1  0 ,
а ее решениями являются функции
X n  x   sin  n x  , n  1, 2,3...
39
Следовательно,
разложение
представлено в виде
плотности
источника
f  x, t   f1  t  sin  πx   f 2 t  sin  2πx   ...  f n t  sin  πnx  .
Для того, чтобы найти функции
последнего соотношения на
f n  t  , умножим обе части
sin  mπx  и проинтегрируем от
0 до 1 по координате х.
В результате получим
1

f  x, t  sin  mπx  dx 


m1
0
1
f n  t   sin  mπx sin  nπx  dx 
0
1
f m (t )
2
1
или
f n  t   2 f ( x, t )sin  nπx  dx .
0
Шаг 2. (нахождение отклика
входное воздействие
fn  t  X n  x  ).
U n  x, t   X n  x  Tn  t  на
Заменим плотность источника его разложениям в ряд

f  x, t    f n  t  sin  πnx  .
n1
Поскольку
решение

задачи
имеет
вид
u  x, t    Tn  t  sin  πnx  , то подставляя это выражение в
n1
исходную задачу
ut  α 2u xx   f n  t  sin  nπx  .
u  0, t   0,
u 1, t   0,
u  x,0    x  ,
получим
40

 Tn  t  sin  πnx   α2   nπ  Tn  t  sin  nπx  
2
n 1
  f n  t  sin  πnx ;

 Tn t  sin(0)  0 (удовлетворяется тождественно);
n1

 Tn t  sin(πnx)  0 (удовлетворяется тождественно);
n1

 Tn  0 sin  πnx     x  .
n1
Переписывая уравненияи НУ, получим

(УЧП)
 Tn   nπx 
2
n1
Tn  f n  t  sin  nπx   0 ;


НУ:
 Tn  0 sin  πnx     x  .
n1
Можно
заметить,
что
функции
Tn  t 
являются
решениями задачи Коши:
Tn   πn  Tn  f n  t  ,
2
1
Tn  0   2     sin  n d   an .
0
Все эти ОДУ легко решаются и их решения записываются
в виде
t
 n  ( t  )
 n t
Tn  t   ane     e
fn   d  .
2
2
0
Следовательно, полное решение задачи


n1
n1
 n t
u  x, t    Tn  t  sin  nx    ane   sin  nx  
2
41
t
2


 n (t )
  sin  nx   e  
f n    d .

n1 
o


(4)
Из решения (4) следует, что температурный отклик
состоит из двух частей: первая часть возникает благодаря
НУ, а вторая часть – благодаря плотности источника
f  x, t  .
Рассмотрим задачу
U  t    2U xx  sin  3x  ,
U  0, t   0, U 1, t   0,
U  x,0  sin  x  .
Наша цель вычислить коэффициенты
Tn  t  в разложении
u( x, t )  Tn (t )sin  nx  . Если подставить это разложение в
исходную задачу, мы получим следующую задачу Коши для
определения функций
Tn  t  :
1
1, n  3.
Tn   n 2 Tn  f n  t   2  sin  3  sin  n  d   
0, n  3.
0
Перепишем эти уравнения последовательно для n  1, 2...
2
2
T1     T1  0, 

   t
;
  T1  t   e
T1  0   1,


2
T2   2  T2  0, 
  T2  t   0;
T1  0   0,

T3   3  T3  1,
T3  0   0,
2
42
2

1 
 3  t 
1

e

;
  T3 
2

3

 

2
Tn   n  Tn  0, 
  Tn  t   0.
Tn  0   0,

Следовательно, решение задачи
  t
u  x, t   e   sin  x  
2
1  e 3  t  sin 3x .

 
2

 3  
1
2
Задания
1. Найти решение задачи
Ut  U xx  sin(1x), 0  x  1, 0  t   ,
ГУ:
НУ:
U  0, t   0,
t  0,
U x (1, t )  0,
U  x,0  sin x , 0  x  1 .
2. Решить задачу
Ut  U xx , 0  x  1, 0  t   ,
ГУ:

U  0, t   0,


U x (1, t )  cos t ,
НУ:
U  x,0  x,
t  0,
0  x  1.
Преобразовать сначала ГУ к нулевым. Получившуюся при
этом задачу решить методом разложения по собственным
функциям.
3. Решить задачу
Ut  U xx  U , 0  x  1, 0  t  ,
ГУ:

U  0, t   sin t ,


U x (1, t )  0,
t  0,
43
НУ: U  x, 0   e .
x
4. Решить задачу
Ut  U xx , 0  x  1, t  0 ,


U  0, t   A 1  et , t  0,

ГУ: 
U x (1, t )  U 1, t   0, A,   const.
НУ: U  x,0   0, 0  x  1 .
5. Дан тонкий однородный стержень длиной
начальная
температура
которого
температура поддерживается
 l  1 ,
l
x
A . На конце
l
равной 0, а на конце
температура изменяется по закону
x0
xl
U  l , t   Ae . Найти
t
распределение температуры вдоль стержня.
6. Решить задачу об остывании однородного стержня с
теплоизолированной боковой поверхностью, если его
начальная
температура
U  x,0  x ,
один
конец
теплоизолирован, а другой поддерживается при постоянной
температуре U 0 .
7. Дан тонкий однородный стержень длиной l , начальная
температура
которого
х.
Конец
стержня
x0
поддерживается при постоянной температуре
xl
при
постоянной
температуре
U1 .
U 0 , а конец
С
боковой
поверхности стержня происходит лучеиспускание тепла в
окружающую среду, температура которой равна 0.
Определить температуру стержня в момент времени t.
44
8. Дан тонкий однородный стержень длиной l , начальная
температура
которого
х.
Конец
стержня
x0
поддерживается при температуре
U 0 , а на конце x  l и с
боковой поверхности стержня происходит лучеиспускание
тепла в окружающую среду, температура которой 0.
Определить температуру стержня в момент времени t.
9. Решите задачу
Ut  U xx  2U , 0  x  1, 0  t   ,
U  0, t   cos(t ), t  0,
U (1, t )  0,
ГУ: 
НУ:
U  x,0  x .
10. Найти решение уравнения
Ut  U xx , 0  x  1, t  0 ,


U  0, t   A 1  e t , t  0,
ГУ: 
U x (1, t )  0, A,   const.
НУ: U  x,0   0, 0  x  1 .
11. Дан тонкий однородный стержень длиной
начальная
температура
температура
которого
поддерживается
=
температура изменяется по закону
l
x
A . На конце
l
0,
а
на
конце
 l  1 ,
x0
xl
U  l , t   A sin(t ) . Найти
распределение температуры вдоль стержня.
12. Решить задачу об остывании однородного стержня с
теплоизолированной боковой поверхностью, если его
начальная
температура
U  x, 0   e x ,
один
конец
45
теплоизолирован, а другой поддерживается при постоянной
температуре U 0 .
13. Решите задачу
Ut  U xx , 0  x  1, 0  t   ,
ГУ:
U  0, t   sin(t ),

U x (1, t )  cos(t ),
t  0,
НУ: U  x, 0   x , 0  x  1 .
2
14. Решите задачу
Ut  U xx , 0  x  1, t  0 ,

U  0, t   t ,


U x (1, t )  U 1, t   0.
НУ: U  x,0   0, 0  x  1 .
ГУ:
15. Найти решение задачи
Ut  U xx  sin  1x   sin  3 x  , 0  x  1, 0  t   ,
ГУ:

U  0, t   0,
t  0,


U x (1, t )  U 1, t   0,
НУ:
U  x,0  cos x, 0  x  1.
16. Решить задачу
Ut  U xx  2U , 0  x  1, t  0 ,
46
ГУ:
U  0, t   sin t ,

U (1, t )  cos t ,
НУ:
U  x,0  x, 0  x  1.
t  0,
17. Найти решение задачи
Ut  U xx , 0  x  1, t  0 ,
U  0, t   0,
t  0,
U (1, t )  sin t ,
ГУ: 
НУ: U  x, 0   x , 0  x  1.
2
Лабораторная работа №6
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Цель:
ввести
понятие
преобразования
Лапласа,
познакомиться с формулой обращения преобразования
Лапласа
и проиллюстрировать их свойства, научиться
применять преобразование Лапласа к решению уравнений
теплопроводности.
Показатель роста оригинала
f  t  - некоторая функция на промежутке (0, ) .
Рассмотрим

J   f  t  e  St dt ,
(1)
0
S – действительное число.
S0 - показатель роста интеграла (1), если интеграл (1) при
S  S0 сходится, а при S  S0 расходится.
Всякую
функцию
f  t  , имеющую ограниченный рост,
удовлетворяющую условию
f  t   0 при t  0 , и такую, что
интеграл (1) сходится будем называть оригиналом.
47

 f  t   t , t  0,
оригинал,
т.к.
te  St dt сходится при
f
t



 f  t   0, t  0,
0
.
S 0
1
, f  t  - оригинал,
f t  
t
1
f  t   - не оригинал (в окрестности 0 не интегрируется,
t
какое бы S мы не взяли).
Интегральное преобразование Лапласа.
Пусть
f  t  - оригинал.

Рассмотрим
F  p    f  t  e pt dt ,
0
p  S  i .
Соотношение
(2)
(2),
ставящее
F  p
изображение
в
соответствие
называется
f t 
его
интегральным
f t  .
преобразованием Лапласа функции
F  p  - изображение оригинала f  t  .
Основные свойства изображения оригинала
1.
F  p
переменного
-
p
показатель роста
2.
48
аналитическая
в
функция
полуплоскости
f t  .
F  p   0 , при p   .
комплексного
Re p  S0 , где S0 –
F  p 
Например,
1
может
p 4
2
быть
изображением
оригинала.
p2
F  p 
p2  4
- не изображение (при p   ,
F  p   1 ).
3. Если
f1  t  и f 2  t  оригиналы, тогда C1 f1  t   C2 f 2  t 
также
оригиналы, изображения которых
F2  p 
f 2  t  , C1, C2 - произвольные постоянные.
C1 f1  t   C2 f 2 t  C1F1  p   C2 F2  p  , где
равняются
F1  p 
f1  t  ,
4.Свойства подобия
Если
f  t  - оригинал, имеющий изображение F  p  , т.е.
f t 
F  p  и α>0 ( α - произвольная постоянная), то и
f  αt  имеет оригинал
1  p
F  .
α α
f  αt 
5. Умножение оригинала на аргумент
f t 
Если
F  p ,
изображение -
tf  t 
то
tf  t 
-
оригинал,
имеющий
F ' p .
6. Дифференцирование оригинала
Если
f  t  - оригинал, имеющий изображение F  p 
f t 
F  p ,
f ' t 
f '  t  - оригинал, имеющий изображение
pF  p   f  0 .
7. Обобщение свойства
Если
f t 
n
f   t 
n
F  p  и f    t  - оригинал, то
pn F  p   p n1 f  0  p n2 f '  0  ...  pf 
n 2 
 0  f  n1  0 .
8. Деление оригинала на аргумент
49
Если
f t 
F  p и
f t 
- оригинал, то
t
f t 
имеет
t
изображение
f t 
t

 F  u  du .
p
9. Запаздывание аргумента
Если
f t 
f t  
F  p  , то f  t  ε  - оригинал: ( ε  const )
e p F  p 
   0
10. Умножение оригинала на показательную функцию
Если
f t 
F  p  , то
которого f  t  e
t
f  t  et - оригинал, изображение
F  p   .
10. Изображение свертки функций
Если
f1  t  и f 2  t  - непрерывные оригиналы, имеющие
изображение
F1  p 
и
F2  p  ,
то
свертка
функций
t
 f1   f2  t    d  имеет изображение F1  p   F2  p 
0
t
 f1    f2  t    d 
F1  p   F2  p  .
0
11. Интегрирование оригинала
Если
t
f  t  - оригинал, имеющий изображение F  p  ,то
 f   d 
0
50
F  p
.
p
Изображение некоторых элементарных функций
f t 
F  p
1/ p
1
t
f t 
F  p
t sin t
2 p
p
t cos t
1/ p 2
2
 2

2
p 2  2
 p2  2 
 /  p 2  2 
p /  p 2  2 
2
t2
2 / p3
sin t
tn
n !/ p n1
cos t
e t
1/( p   )
1/ t
sht
 /( p2  2 )
erfc(a /(2 t ))
cht
p /( p2  2 )
erf (t / 2a )

p
1 a
e
p
p
1 a2 p2
e erfc(a  p)
p
Преобразование частных производных
Пусть
U  x, t 
-
функция
многих
переменных,
и
нам
необходимо найти результаты применения преобразования
Лапласа к различным частным производным Ut , Utt , U xx ... .
Поскольку
преобразование
Лапласа
проводится
по
переменной t (t – переменная интегрирования), правила
преобразования имеют вид

 U t    U t  x, t e pt dt  pU  x, p   U  x, 0  ,
0
51

 U tt    U tt  x, t e pt dt  p 2U  x, p   pU  x, 0   U t ( x, 0) ,
0

 U x    U x  x, t e pt dt 
0

dU
 x, p  ,
dx
 U xx    U xx  x, t e pt dt 
0
d 2U
dx 2
 x, p  .
Пример
Рассмотрим глубокий резервуар с жидкостью, и пусть
боковая поверхность резервуара теплоизолирована. U 0 начальная температура жидкости. Температура воздуха над
жидкостью равна нулю. Найти температурное поле в
жидкости на различных глубинах и в различные моменты
времени.
Математическая постановка задачи:
(УЧП) Ut  U xx , 0  x  , 0  t   ,
(ГУ)
(НУ)
U x  0, t   U  0, t   0, 0  t   ,
U  x,0  U0 , 0  x   .
Для решения этой задачи применим преобразование
Лапласа
по
переменной
t.
После
применения
преобразования
приходим
к
обыкновенному
дифференцированному уравнению по переменной х: (ОДУ)

,
0

x


,

dx 2
  *
dU

ГУ:
 U0.

dx
pU  U 0 
d 2U
Для решения задачи (*) выпишем общее решение (общее
решение однородного + частное решение неоднородного
ОДУ):
52
U  C1e
px
 C2e
px

U0
.
p
Подстановка этого выражения в ГУ (*) позволяет
определить константы C1 и C2 (сразу же ясно, что C1  0 ,
иначе температура будет неограниченно расти с ростом
координаты х). Определив константу C2 из ГУ в точке х  0 ,
получим окончательное выражение для
  px
 e
U  U0 
 p p  1

Для


 U0
.

 p
определения
вычислить
U:
температуры
U  x, t 
необходимо
U  x, t   1 U  x, p  . В результате получаем

 x
U  x, t   U 0  U 0 erfc 
2 t

x


  erfc  t 
2 t


 x t 
e ,



2
2
e
d  - функция, дополнительная к
где erfc  x  
 x
интегралу вероятности.
Задания
1.Найти изображения функций:
shat  cos bt ; 4. chat  sin bt ; 5.
t  shbt ; 6. t  chbt ; 7. e cos2 t ; 8. e2t sin 2 t ; 9. at sin t ; 10.
bt cos t .
1.
et cos3 t ;
2.
sin 2 t ;
3.
t
2.Найти оригинал по изображению:
53
1
1.
; 2.
 p  1  p 2  4 
1


p p2  1 p2  4
p
5.
p2  2 p  5

p3
p p2  4 p  3

; 3.
;

; 6.
p2
p2  4
.
3. Решить уравнения
1. y " 2 y ' 3 y  e , y  0   0, y '  0   0 ;
3t
2. y " y ' 2 y  e , y  0   0, y '  0   1 ;
t
t
y   ydt  1 ;
3.
0
t
4.
 y    sin  t   d   1  cos t ;
0
t
5.
 y  e
t 
d   y  t   et ;
0
6.
y ' 2 y  0, y  0  1 ;
7. y ' y  e , y  0   0 ;
t
8.
y " 9 y  0, y  0  y '  0  0 ;
t
10.
0
t
11.
2
3
;
 y    cos  t   d   1  cos t ;
0
54
1
 y    t    d   3 t

1
p p4  5 p2  4

; 4.
12. y " 16 y  e , y  0   0, y '  0   1 ;
3t
13. y " 4 y  e , y  0   1, y '  0   0 ;
t
14.
x  3x  4 y, y  4 x  3 y, x  0  y  0  1 ;
15.
x  x  2 y, y  2 x  y  1, x  0  0, y  0  5 .
4. С помощью преобразования Лапласа решить задачу
Коши.
1. (УЧП)
(НУ)
Ut  2U xx ,    x  , t  0 ;
U  x,0  cos x,    x   .
2. (УЧП)
Ut  2U xx ,    x  , t  0 ;
(НУ) U  x, 0   cos x,    x   .
2
3. (УЧП)
Ut  2U xx ,    x  , t  0 ;
(НУ) U  x, 0   sin x,    x   .
2
4. (УЧП)
(НУ)
Ut  U xx , 0  x  , t  0 ;
U  0, t   sin t , x  0,
U  x, 0   0, 0  x  .
5. Дан однородный стержень, у которого один конец
простирается
до
бесконечности
в
положительном
направлении оси Оx , а другой конец поддерживается при
постоянной
температуре,
равной
нулю.
Начальное
распределение температуры стержня задано. Определить
температуру стержня в любой момент времени t  0 .
6. Найти решение уравнения
U t  U xx ,
55
удовлетворяющее
краевому условию
начальному
условию
U  0, t   0 .
U  x,0   U 0 , и
7. Решить краевую задачу
Ut  2U xx  bU , 0  x  , t  0 ,
ГУ:
НУ:
U  0, t   U0  const ,
U  x,0  0 .
8. С помощью преобразования Лапласа по переменной t
решить задачу
(УЧП): Ut  U xx , 0  x  , t  0 ,
(ГУ): U  0, t   sin t , 0  t   ,
2
(НУ):
U  x,0  x, 0  x   .
Лабораторная работа №7
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
Цель: построить решение задачи Коши для волнового
уравнения; показать, что решение смешанной задачи для
поперечных колебаний струны можно найти стандартным
методом разделения переменных.
Решение уравнения колебания струны методом
характеристик
Струной называется тонкая нить, которая может свободно
изгибаться. Пусть струна находится под действием сильного
натяжения. Если мы выведем струну из положения
равновесия и подвергнем действию какой–нибудь силы, то
струна начнет колебаться.
Ограничимся рассмотрениями малых, поперечных и
плоских колебаний струны, т.е. таких колебаний, при
которых отклонения точек струны от положения покоя
малы. Все точки струны в любой момент времени находятся
в одной и той же плоскости, и каждая точка струны
56
колеблется, оставаясь на одном и том же перпендикуляре к
прямой,
соответствующей
состоянию
покоя
струны.
Принимая эту прямую за ось Ox , обозначим через u  u x, t
 
отклонение точек струны от положения равновесия в момент
времени t.
Функция
u  u  x, t  удовлетворяет ДУ
 2u
t 2

2
 2u
x 2
 f , где
T
,  - масса единицы длины, Т – натяжение;

F
f  , F - сила, действующая на струну.

Если внешняя сила отсутствует, т.е f  0 , то мы имеем
2 
уравнение свободных колебаний струны
 2u
t 2
 2
 2u
x2
.
Для полного определения движения струны нужно задать в
начальный момент форму и скорость струны.
Пусть
u t 0    x  ,
u
 f  x  . Эти условия называются
t t 0
начальными условиями задачи.
 2u
 2
 2u
 0 к канонической форме,
t 2
x 2
 2u
получим уравнение
 0 , где   x  t ,   x  t .

Приведя уравнение
Общее решение последнего уравнения запишется
u  1( g )  2   .
Распорядившись функциями
u  u  x, t 
удовлетворила
1 и 2 так чтобы функция
НУ,
приходим
к
решению
исходного ДУ в виде
57
u
Решение
Фурье.
u  x  t   u  x  t  1 xt

   z  dz .
2
2 x
t
уравнений
Решение ДУ
условиям
 2u
t 2
 2
u t 0    x  ,
колебания
 2u
x2
струны
методом
, удовлетворяющее начальным
u
 f  x  и граничным условиям
t t 0
u (0, t )  0, u (l , t )  0 может быть представлено как сумма
бесконечного ряда

k t
k t 
k x

, где
u  x, t     ak cos
 bk sin
  sin
l
l 
l
k 1 
l
l
2
k x
2
k x
ak     x  sin
dx , bk 
t  x  sin
dx .

l0
l
k  0
l
Задания
1. Струна, закрепленная на концах x  0, x  l , имеет в
начальный момент форму параболы
u
4h
l2
x l  x  .
Определить смещение точек струны от оси абсцисс,
если начальные скорости отсутствуют.
2. Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в
точках x  0, x  l , равны 0, а начальная скорость
выражается формулой

 v0 , если
u 

t 
0, если

x-
l h
 ,
2 2
x-
l h
 .
2 2
Определить форму струны для любого момента времени
t.
58
3. Струна
закреплена
на
x  0, x  3 .
концах
В
начальный момент форма струны имеет вид ломаной
ОАВ:
О  0;0 , A  2;  0,1 , B  3; 0 .
Найти
форму
струны для любого момента времени t, если
начальные скорости точек струны отсутствуют.
4. Струна, закрепленная на концах x  0, x  1 , в


u  h x 4  2 x3  1 .
начальный момент имеет форму
Найти форму струны для любого момента времени t,
если начальные скорости отсутствуют.
5. Струна закреплена в точках x  0, x  l . Начальные
отклонения точек струны равны 0, а начальная
скорость выражается формулой
u
t t 0
  
l 
   x   
1 h
2
cos  
, если x   ,
h
2 2
 

 


 

1 h
если x   .
0,
2 2

Найти форму струны.
6. Струна закреплена
на
концах
x  0, x  3 .
В
начальный момент форма струны имеет вид ломаной:
O  0; 0 , A 1;  0,5 , B 3; 0 . Найти форму струны
для любого момента времени t, если начальные
скорости точек струны отсутствуют.
x  0, x  l в
7. Струна, закрепленная на концах
начальный момент имеет форму


u  h x5  2 x 4  x 2 .
Найти форму струны для любого момента времени,
если начальные скорости отсутствуют.
8. Найти решение задачи о колебаниях струны длины l
при начальных условиях вида
59
u  x, 0   sin x,
ut  x, 0   cos x.
9. Решить задачу о затухающих колебаниях струны
utt  2uxx  ut , 0  x  1, t  0 ,
u  0, t   0,

ГУ : 
t  0,
u 1, t  0,
  
u  x, 0   sin(2x),
HУ : 
ut  x, 0   0.
10.
Найти решение уравнения
utt  4uxx , если u  x,0  0, ut  x,0  x .
11. Найти форму струны, определяемой уравнением
utt  2uxx , в момент t 

, если u  x,0   sin x, ut  x,0   1.
2
12. Найти
решение
уравнения
utt  u xx ,
если
13. Найти
решение
уравнения
utt  2uxx ,
если
ux,0  x, ut x,0  x .
u  x,0  0, ut  x,0  cos x .
14. Найти
форму
в
utt  uxx ,
струны, определяемой уравнением
t  ,
момент
времени
если
u  x,0  sin x, ut  x,0  cos x .
15. Найти
решение
уравнения
u  x,0  sin x, ut  x,0  0 .
16. Найти
решение
уравнения
u  x,0  sin x, ut  x,0  cos x .
60
utt  uxx ,
если
utt  2uxx ,
если
17. Найти
решение
уравнения
utt  uxx ,
если
utt  uxx ,
если
u  x,0   e x , ut  x,0   0 .
2
18. Найти
решение
уравнения
u  x,0   0, ut  x,0   e x .
2
19. Исследовать свободные колебания закрепленной
струны, колеблющейся в среде, сопротивление
которой пропорционально первой степени свободы.
20. Изучить
вынужденные
поперечные
колебания
струны,
закрепленной
на
конце
и
x0
подверженной на конце x  l действию возникающей
гармонической силы, вызывающей смещение, равное
A sin t .
21. Изучить
продольные
колебания
однородного
цилиндрического стержня, один конец которого
заделан, а к другому концу приложена сила
F  A sin t , направление которой совпадает с осью
стержня.
22. Однородный стержень имеет длину l и площадь
поперечного сечения S. Конец его x  0 закреплен
неподвижно, а на конце x  l сосредоточена масса m.
Стержень предварительно растянут силой Q. Изучить
продольные колебания стержня, которые возникают
при внезапном прекращении растягивающей силы.
23. Однородная струна длины l, закрепленная на концах
x  0 и x  l колеблется под действием внешней
гармонической
силы
F  x, t   f  x  sin  t  ,
рассчитанной на единицу длины. Найти отклонение
струны
при
произвольных
НУ.
Исследовать
возможность резонанса.
61
24. Решить
нулевых
уравнение
начальных
u  0, t   A, u 1, t   0 .
uxx  a 2utt  2hut  b2u  0
и
краевых
при
условиях
25. Изучить
вынужденные
поперечные
колебания
струны,
закрепленной
на
конце
и
x0
подверженной на конце x  l действию возникающей
гармонической силы, вызывающей смещение, равное
A cos t .
26. Изучить
продольные
колебания
однородного
цилиндрического стержня, один конец которого
заделан, а к другому концу приложена сила
F  A cos t , направление которой совпадает с осью
стержня.
27. Решить неоднородное уравнение
с
начальными и граничными условиями:
заданными
utt   2u xx  Kx , 0  x  1, t  0 .
u  0, t   0,
ГУ : 
t  0,
 u 1, t   0,
u  x, 0   f ( x),
HУ : 
ut  x, 0   0.
Лабораторная работа №8
ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА. ЗАДАЧА
ДИРИХЛЕ В КОЛЬЦЕ
Цель: показать, как методом разделения переменных можно
решить задачу Дирихле для круга и кольца, а также
записать решение внутренней задачи Дирихле для круга в
виде интегральной формулы Пуассона.
62
Внутренняя задача Дирихле для круга:
1
1
urr  ur  2 u  0 , 0r1,
r
r
(ГУ) : u (1, )  g () , 02.
(УЧП):
Сначала ГУ разлагается в ряд

g ()    an cos  n   bn sin  n   .
n 0
Решение Задачи Дирихле записывается в виде

u (r , )   r n  an cos  n   bn sin  n   .
n 0
Интегральная формула Пуассона имеет вид
1
u (r , ) 
2
2

0
 R2  r 2  g   
R 2  2rR cos(  )  r 2
d .
Задание 1: Найти решение внутренней задачи Дирихле для
круга в виде суммы ряда и при помощи интегральной
формулы Пуассона. Построить графики решения.
u(1, )    cos2  .
7. u (1, )    1  cos 3 .
1. u (1, )    cos  .
6.
2. u (1, )    sin  .
3.
u(1, )    cos   2 .
8.
u(1, )  2  cos 2 .
4.
u(1, )  1    sin  .
9.
u(1, )  3  cos2  .
5.
u(1, )  2  cos  ,
2
10.
u(1, )  2  cos   sin 4 .
63
Задача Дирихле в кольце
Решение задачи Дирихле в кольце
1
1
urr  ur  2 u  0 , R1rR2,
r
r
(ГУ) : u ( R1, )  g1 () , 02.
u ( R2 , )  g 2 ()
(УЧП):
записывается в виде
u (r , )  a0  b0 ln r 

  (an r n  bn r  n ) cos  n   (cn r n  d n r  n )sin  n  ,


n1
где
an, bn, cn, dn, определяются из условий
1
a0  b0 ln R1 
2
an R1n  bn R1 n 
an R2n  bn R2 n 
cn R1n  d n R1 n 
cn R2n  d n R2 n 
2
1

1

1

1


1
g1 ( s)ds , a0  b0 ln R2 
2
0
2
2
 g2 (s)ds ,
0
 g1 (s) cos(ns)ds ,
0
2
 g2 (s) cos(ns)ds ,
0
2
 g1(s)sin(ns)ds ,
0
2
 g2 (s)sin(ns)ds .
0
Задание 2.
Решить задачу Дирихле в кольце с ГУ:
1.
64
u (1, )  cos ,
u (2, )  sin .
6.
u (1, )  cos 3,
u (2, )  sin .
2.
u (1, )  sin ,
u (2, )  sin 2.
7.
u (1, )  0,
u (2, )  cos 2.
3.
u (1, )  cos 2,
u (2, )  sin .
8.
u (1, )  0,
u (2, )  sin 2.
4.
u (1, )  cos ,
u (2, )  sin 2.
9.
u (1, )  cos 2,
u (2, )  0.
5.
u (1, )  cos 2 ,
u (2, )  0.
10.
u (1, )  sin 2 ,
u (2, )  0.
Лабораторная работа 9
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ
На практике часто приходится сталкиваться с
задачами, в которых искомая величина зависит от
нескольких
переменных.
В
этом
случае
решаемые
уравнения содержат частные производные и называются
дифференциальными уравнениями в частных производных.
К сожалению, очень многие из таких уравнений не имеют
аналитического решения, и чтобы решить их, приходиться
прибегать
к
численным
методам.
Для
решения
дифференциальных уравнений в частных производных
численно используется метод конечных разностей.
Метод конечных разностей
Численное решение дифференциальных уравнений в
частных производных методом конечных разностей состоит
в следующем:
65
1. Построение в области решения равномерной сетки,
содержащей n узловых точек (Рисунок 12).
Рис. Двумерная сетка
2. Представление производных в конечно-разностной
форме:
(1)
fi 1, j  fi 1, j f
fi, j 1  fi, j 1
f

,
,

x
2h
y
2l
fi 1, j  2 fi, j  fi 1, j  2 f
fi, j 1  2 fi, j  fi, j 1
2 f
,
и т. д.,


y 2
l2
x 2
h2
где f i, j, f i + 1, j, f i - 1, j, f i , j + 1, f i, j - 1 - значения функции f(x, y)
в точках (xi, yj), (xi + h, yj), (xi - h, yj), (xi, yj + l), (xi, yj - l)
соответственно.
Такие разностные уравнения записывают для всех узлов
сетки и получают в результате систему из n уравнений с n
неизвестными.
3. Решение полученной системы с целью получения
приближённого решения в узлах сетки.
Гиперболические уравнения в частных производных
66
Простейшим видом уравнения гиперболического типа
является волновое уравнение. К исследованию волнового
уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных
колебаний
струны,
продольных
колебаний
стержня,
электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний
вала и т. п.
Рассмотрим одномерное уравнение колебаний струны. В
области
0  x  l,
0  t  T , требуется
найти
решение
уравнения:
 2u
t 2
 a2
 2u
x 2
(2)
,
Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять начальным
условиям, описывающим начальную (t = 0) форму струны
(x) и скорость её точек (x):
u t 0
(3)
u
   x  , 0 ≤ x ≤l
  x ,
t t 0
и граничным условиям, указывающим, что происходит на
концах струны (х = 0 и х = l):
u(0, t )  1 (t ), u(l , t )  2 (t ) , 0 ≤ t ≤T .
(4)
Совокупность начальных и граничных условий называется
краевыми условиями.
Для построения разностной схемы решения задачи (2) (4) построим в области
0  x  l,
0  t  T , сетку xi = i h,
i = 0, 1, ..., n, l = h n, tj = j  , j = 0, 1, ..., m, T=  m и
аппроксимируем уравнение (2) в каждом внутреннем узле
сетки на шаблоне “крест” (Рисунок 13).
67
Рис. Шаблон для волнового уравнения
Используя для аппроксимации частных производных
выражения (1), получаем следующую разностную
аппроксимацию уравнения (2):
ui , j 1  2ui , j  ui , j 1
2
 a2
ui 1, j  2ui , j  ui 1, j
h2
(5)
.
Решая уравнение (6) относительно единственного
неизвестного значения ui, j 1 , получаем следующую схему:
ui, j 1  2(1  )ui, j  (ui 1, j  ui 1, j )  ui, j 1 ,

a 2 2
h2
(6)
, i = 1, ..., n - 1, j = 1, ..., m - 1.
Схема (6) называется трехслойной потому, что связывает
между собой значения ui, j функции u(x, t) на трех временных
слоях с номерами: j - 1, j, j + 1. Схема (6) является явной,
т.е. позволяет в явном виде выразить ui, j через значения
с предыдущих двух слоев.
Для начала счета по схеме (6) необходимы значения
u
ui, j
функции u(x, t) на нулевом (j = 0) и первом (j = 1) временных
слоях. Они определяются начальными условиями (3) и
записываются в виде:
68
ui ,0  ( xi ) ,
ui ,1  ui ,0

(7)
 ( xi )  ui ,1  ui ,0  ( xi ) , i = 0, 1, ..., n.
Граничные условия (4) также записываются в сеточном
виде:
u0, j  1(t j ) , un, j  2 (t j ) , j = 0, 1, ..., m.
(8)
Таким образом, решение исходной дифференциальной
задачи (2) - (4) сводится к решению разностной задачи (6) (8).
Схема устойчива, если выполнено условие Куранта a / h  1 .
Параболические уравнения в частных производных
Простейшим видом уравнения параболического типа
является уравнение теплопроводности, или уравнение
Фурье. К исследованию уравнения теплопроводности, или
уравнения Фурье, приводит рассмотрение процессов
распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в
пористой среде, некоторые вопросы теории вероятностей.
Рассмотрим задачу о распространении тепла в однородном
стержне длины l, на концах которого поддерживается
заданный температурный режим. Задача состоит в
отыскании функции u(x, t), удовлетворяющей в области
0  x  l,
0  t  T , уравнению
u
 2u
a 2
t
x
u
 2u
 a 2 , a>0
t
x
(9)
начальному условию
u( x,0)    x 
(10)
и граничным условиям
69
u(0, t )  1 (t ), u(1, t )  2 (t ) .
(11)
Рис. Шаблон для уравнения теплопроводности
Построим
в
области
0  x  l,
0  t  T
равномерную
прямоугольную сетку с шагом h в направлении х и шагом  в направлении t (Рисунок 14). Тогда xi = i h, i = 0,1, ..., n,
h = l / n; tj = j , j = 0,1, ..., m,  =T / m .
Аппроксимируем дифференциальную задачу (9) - (11) на
четырехточечном шаблоне, в результате получаем явную
двухслойную
разностную
схему:
ui, j 1  ui 1, j  (1  2)ui, j  ui1, j
ui, j 1  ui 1, j  (1  2)ui, j  ui1, j ,
i = 1, 2, ..., n - 1, j = 0, 1, ..., m - 1
ui ,0  ( xi ) , i = 0, 1, ..., n,
(12)
u0, j  1(t j ) , un, j  2 (t j ) , j = 0, 1, ..., m,

a
h2
.
Схема устойчива при
  1/ 2 .
Эллиптические уравнения в частных производных
К исследованию такого уравнения приводит рассмотрение
задач об электрических и магнитных полях, о стационарном
тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д.
70
Рассмотрим решения уравнения Пуассона и его однородной
формы - уравнения Лапласа.
Решение уравнения Пуассона будем искать в некоторой
ограниченной области  =
независимых переменных x, y:
изменения
(13)
Граничные условия:
u(0, y) =1(y), u(a, y) = 2(y), y  [0, b],
u(x, 0) = 3(x), u(x, b) = 4(x), x  [0, a],
(14)
где f, 1, 2, 3, 4 - заданные функции (задача, состоящая в
решении
эллиптического
уравнения
при
заданных
значениях искомой функции на границе расчётной области,
называется задачей Дирихле.).
Построим в области  равномерную прямоугольную сетку с
шагами h и l по х и y соответственно: xi = i h, i = 0, 1, ..., n,
h = q1 / n; yj = j l, j = 0, 1, ..., m, l=q 2 /m .
Аппроксимируем дифференциальную задачу (13) - (14) на
шаблоне “крест” (Рисунок 13), в результате получаем
неявную трехслойную разностную схему:
(15)
,
Для решения уравнения Пуассона в Mathcad используется
функция relax
71
relax(a, b, c, Возвращает квадратную матрицу решения
d, e, f, u, rjac) уравнения Пуассона. Здесь a ,b ,c, d, e –
квадратные матрицы одинакового размера,
содержащие коэффициенты уравнения (15);
f - квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения (15) в каждой точке по области  , в которой ищется решение;
u - квадратная матрица, содержащая граничные значения решения на границе области
и начальное приближение для решения внутри области; rjac- число между 0 и 1, которое управляет сходимостью алгоритма.
При
f 0 получаем уравнение Лапласа:
(16)
Если для уравнения Лапласа в области  ввести сетку с
равным шагом по осям х и y, то разностная схема (16)
существенно упрощается
(17)
,
Решение уравнения Лапласа с помощью функции
показано на Рисунке.
72
relax
Рис. Решение уравнения Лапласа
Пример выполнения решения задачи
n  40
m  4
h 
1
40
73
U 
for j  0  n
x  j h
j
U
0 j

 sin   x

j
for i  0  n
y  i h
i
 i
U  cos    y 
i n
i
U
i 0
 sin   y
for j  0  n
U
n j

 cos   x

j
for k  0  50
for i  1  n  1
for j  1  n  1
2
2
2
U
U
U
U
 h   x   y   
i 1  j
i 1  j
i  j 1
i  j 1
j
i 


U 
i j
4
U
74
U
Задание 1. Решить задачу о колебании струны единичной
длины с закрепленными концами:
,a=1
с начальными условиями
u(x, 0) = f(x),
,0
x 1
и нулевыми граничными условиями u(0, t) = u(1, t) =0.
Варианты задания 1
f(x)
a
b
f(x)
a
№
№
вариа
вари
нта
анта
1
9 x sin ( 2 ( x - 1 ) )
1
0.1
2
10 4 x 3 ( x - 1 )
2
0.1
3
11
4
0.2
1
4
12
6
0.3
3
5
6
7
8
8
2
x ( x - 1)
sin (  x 2 )
sin (  x ) cos x
0.4
13
14
15
5
7
9
b
c
0.1
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.8
0.6
0.8
0.9
75
Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по x
(i = 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 16 слоев по t
(j = 0, 1, ... 16). Вычисления выполнить с шагом h по х,
равным 0.1 и шагом  по t, равным 0.05. Отобразить
графически решение задачи на 0-ом, 5-ом, 10-ом и 16-ом
временных слоях.
Задание 2. Найти решение u(х, t) для уравнения
теплопроводности с постоянными коэффициентами:
,a=1
с начальными условиями
и граничными условиями
u (x, 0) = f(х) 0
x
1
u(0, t) = a, u(1, t) = b.
Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по x
(i = 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 12 слоев по t (j = 0,
1, ... 12). Вычисления выполнить с шагом h по х, равным 0.1 и
шагом  по t, равным 0.005. Отобразить графически
решение задачи на 0-ом, 4-ом, 8-ом и 12-ом слоях и
построить
интегральную
поверхность
распределения
температуры в стержне с помощью команды Graphics
Create Surface Plot.
Варианты задания 2
№
a
b
№
вар
иан
та
0
0
9
2 x +x -x
0
1
10
3 x2(1-x)
5 x sin (2  x)
0
1
0
0
0
- 0.3
6 ( x - 1) sin 2x
0
0
f(x)
1 x( x - 1 )
3
4 1-x
76
2
4
f(x)
( x 2 + 0.5) cos(2 x)
sin(  x ) cos x
11 x sin( 2 ( x - 1) )
12 l n (0.5 + x ) ( x - 1)
13 x sin( 4 ( x - 1) ) - x
14
x cos (2  x)
a
b
0.5
1.5
0
0
0
0.7
0
0
0
-1
0
1
7 4x2(x-1)
3
8 10 x ( x - 1)
0
0.5
15
0.5
0
x e - x ( x 4 - 2)
0
- 0.4
Задание
3.
Найти
стационарное
распределение
температуры в квадратной пластине со стороной 1,
описываемое уравнением Лапласа
с краевыми условиями вида
u(0, y) = f1(y), (0
y
1), u(1, y) = f2(y), (0
y
1),
u(x, 0) = f3(x), (0
x
1), u(x, 1) = f4(x), (0
x
1).
Решать задачу с помощью функции relax.
Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по x
(i = 0, 1, ... 10) и из 11 узлов по y (j = 0, 1, ... 10). Отобразить
графически с помощью команды Graphics Create
Contour Plot стационарное распределение температуры в
пластине.
Варианты задания 3
№
вар.
f1(y)
f2(y)
f3(x)
f4(x)
1
y2
e y - e y2
1 - y2
cosy + (2 - cos1) y
y
y
1+x
x2
x
0
e +y (1 - e)-1
y
y
x3
1 - x3
sin x + 1 - x3(1
+ sin1)
sin x- x3 sin1
0
y2
0
2ey- (1+2e) y2
-10y2 -8y+ 6
- 7y2 - 5y +3
cosy + (3 - cos1)y
y
-y
2
- 10y - 30y + 22
- 7y2 - 21y + 13
x3
sin x- x3 sin1
1 - x3
9x2 + 7x + 6
6x2 + 4x + 3
1 + 2x
x2
x-2
2
9x - 15x - 12
6x2 - 12x - 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
2
x
x
77
11
12
13
14
15
1
1
- y2 - 5y
3 - 7y
0
y+1
ey
4 + 5y - y2
7 - 6y
sin y
1
1
x2 + 3x
4x + 3
0
1+x
ex
x2 + 3x + 4
5x - 4
sin x
Лабораторная работа 10
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ
Одним из фундаментальных положений математики,
нашедшим широкое применение во многих прикладных
задачах (процессы передачи информации, в теории
электротехники, в исследовании движения машин, в теории
корабля и др.), является возможность описания любой
периодической функции f(t) с периодом Т, удовлетворяющей
условиям
Дирихле
(согласно
теореме
Дирихле
периодическая функция должна иметь конечное число
разрывов и непрерывность производных между ними.), с
помощью тригонометрического ряда Фурье:
(1)
,
где 1 = 2/T - частота повторения (или частота первой
гармоники); k - номер гармоники. Этот ряд содержит
бесконечное число косинусных или синусных составляющих
- гармоник, причем амплитуды этих составляющих ak и bk
являются
коэффициентами
Фурье,
определяемыми
интегральными выражениями:
78
(2)
(3)
Помимо упомянутой формы ряд Фурье можно представить в
виде
(4)
,
где амплитуда
выражениями:
Аk и фаза k гармоник определяются
(5)
(6)
Гармонический анализ и синтез
Гармоническим анализом называют разложение функции
f(t), заданной на отрезке [0, Т] в ряд Фурье или в
вычислении коэффициентов Фурье ak и bk по формулам (2) и
(3).
Гармоническим синтезом называют получение колебаний
сложной формы путем суммирования их гармонических
составляющих (гармоник).
79
Рис. Гармонический синтез
Классический спектральный анализ
Спектром временной зависимости (функции) f(t)
называется совокупность ее гармонических составляющих,
образующих ряд Фурье. Спектр можно характеризовать
некоторой зависимостью Аk (спектр амплитуд) и k (спектр
фаз) от частоты k = k1.
Спектральный
анализ
периодических
функций
заключается в нахождении амплитуды Аk и фазы k
гармоник (косинусоид) ряда Фурье (4). Задача, обратная
спектральному анализу, называется спектральным синтезом.
80
Рис. Классический спектральный анализ и синтез
Слово “классический” тут означает, что коэффициенты
Фурье вычисляются прямым интегрированием тем методом,
который используется в Mathcad.
Численный спектральный анализ
Численный спектральный анализ заключается в нахождении
коэффициентов a0, a1, ..., ak, b1, b2, ..., bk (или A1, A2, ..., Ak,
1, 2, ..., k) для периодической функции y = f(t), заданной
на отрезке [0, Т] дискретными отсчетами. Он сводится к
вычислению коэффициентов Фурье по формулам численного
интегрирования для метода прямоугольников.
81
(7)
(8)
где 
t = T / N - шаг, с которым расположены абсциссы
=f(t).
Спектральный анализ на основе быстрого
преобразования Фурье
Встроенные
в
Mathcad
средства
быстрого
преобразования Фурье (БПФ) существенно упрощают
процедуру приближенного спектрального анализа. БПФ быстрый алгоритм переноса сведений о функции, заданной
2m (m - целое число) отсчетами во временной области, в
частотную область. Если речь идет о функции f(t), заданной
действительными отсчетами, следует использовать функцию
fft.
fft(v)
Возвращает прямое БПФ 2m-мерного
вещественнозначного вектора v, где v - вектор,
элементы которого хранят отсчеты функции f(t).
Результатом будет вектор А размерности 1 + 2m - 1 с
комплексными элементами - отсчетами в частотной области.
Фактически действительная и мнимая части вектора есть
коэффициенты Фурье ak и bk, что существенно упрощает их
получение.
Функция
ifft(v)
82
ifft реализует обратное БПФ:
Возвращает обратное БПФ для вектора v с
комплексными элементами. Вектор v имеет
1 + 2m - 1 элементов.
Результатом будет вектор А размерности 2m с
действительными элементами.
На Рисунке показано применение БПФ для спектрального
анализа и синтеза импульса.
Рис. Спектральный анализ с использованием БПФ
Фильтрация аналоговых сигналов
Под
фильтрацией
подразумевается
выделение
полезного сигнала из его смеси с мешающим сигналом шумом. Наиболее распространенный тип фильтрации частотная фильтрация. Если известна область частот,
83
занимаемых полезным сигналом, достаточно выделить эту
область и подавить те области, которые заняты шумом.
Рисунок
19
иллюстрирует
технику
фильтрации
с
применением БПФ. Сначала синтезируется исходный сигнал,
представленный 128 отсчетами вектора v. Затем к этому
сигналу присоединяется шум с помощью генератора
случайных чисел (функция rnd) и формируется вектор из
128 отсчетов зашумленного сигнала.
Рис. Фильтрация аналоговых сигналов
Используя прямое БПФ, сигнал с шумом преобразуется из
временной области с частотную, что создает вектор f из 64
частотных составляющих. Затем выполняется фильтрующее
преобразование, эффективность которого оценивается
84
параметром . Фильтрующее преобразование
выполнять с помощью функции Хевисайда
Ф(х)
удобно
Ступенчатая функция Хевисайда. Возвращает 1, если
х
0; иначе 0.
Отфильтрованный сигнал (вектор g) подвергается обратному
БПФ и создает вектор выходного сигнала h.
Сравнение временных зависимостей исходного и
выходного сигналов, показывает, что выходной сигнал
почти полностью повторяет входной и в значительной мере
избавлен от высокочастотных шумовых помех, маскирующих
полезный сигнал.
Порядок выполнения лабораторной работы 10
Задание 1. Вычислить первые шесть пар коэффициентов
разложения в ряд Фурье функции f(t) на отрезке [0, 2 ].
Построить графики 1, 2 и 3 гармоник.
Выполнить гармонический синтез функции f(t) по 1, 2 и 3
гармоникам. Результаты синтеза отобразить графически.
Варианты задания 1
№
вариант
а
f(t)
№
вариан
та
f(t)
cost cos sint
№
вар
иан
та
1
6
2
7
12
3
8
13
4
9
sint +  sin2t |
f(t)
11
14
85
5
cos e |sin 3 t|
10
15
cos(sin t)
Задание 2. Выполнить классический спектральный анализ
и синтез функции f(t). Отобразить графически спектры
амплитуд и фаз, результат спектрального синтеза функции
f(t).
Задание 3. Выполнить численный спектральный анализ и
синтез функции f(t). Для этого необходимо задать исходную
функцию f(t) дискретно в 32 отсчетах. Отобразить
графически
спектры
амплитуд
и
фаз,
результат
спектрального синтеза функции f(t).
Задание 4. Выполнить спектральный анализ и синтез
функции f(t) с помощью БПФ. Для этого необходимо:



задать исходную функцию f(t)
дискретно в 128
отсчетах;
выполнить прямое БПФ с помощью функции fft и
отобразить графически найденные спектры амплитуд и фаз
первых шести гармоник;
выполнить обратное БПФ с помощью функции ifft и
отобразить графически результат спектрального синтеза
функции f(t).
Задание 5. Выполнить фильтрацию функции
БПФ:



f(t) с помощью
синтезировать функцию f(t)
в виде полезного
сигнала, представленного 128 отсчетами вектора v;
к полезному сигналу v присоединить шум с помощью
функции rnd (rnd(2) - 1) и сформировать вектор из 128
отсчетов зашумленного сигнала s;
преобразовать сигнал с шумом s из временной
области в частотную, используя прямое БПФ (функция fft). В
результате
получится
сигнал
f из 64 частотных
составляющих;
86



выполнить фильтрующее преобразование с помощью
функции Хевисайда (параметр фильтрации  = 2);
с помощью функции ifft выполнить обратное БПФ и
получить вектор выходного сигнала h;
построить графики полезного сигнала v и сигнала,
полученного фильтрацией зашумленного сигнала s.
Содержание
Лабораторная работа №1
Уравнение в частных производных ………………………..
Лабораторная работа №2
Уравнение в частных производных первого
порядка………..…6
Лабораторная работа №3
Классификация уравнений с частными производными
(каноническая форма уравнений гиперболического,
параболического и эллиптического
типов)………………………
Лабораторная работа №4
Решение задач теплопроводности методом разделения
переменных…………………………………………………………
Лабораторная работа №5
Построение решения задачи методом разложения
по собственным функциям……………………………………
Лабораторная работа №6
Интегральное преобразование Лапласа…………………
Лабораторная работа №7
Уравнение колебания
струны…………………………………………..
Лабораторная работа №8
Внутренняя задача Дирихле для круга.
Задача Дирихле в кольце…………………………………………..
87
Лабораторная работа №9
Решение дифференциальных уравнений в частных
производных численными методами……………………….
Лабораторная работа №10
Спектральный анализ и синтез………………………………
Литература……………………………………………………………….
Содержание..........................................................................
88