задача может быть решена локально с высокой эффективностью

(Слайд
№2)
Здравствуйте,
уважаемые
члены
государственной
аттестационной комиссии. Вашему вниманию предоставляется выпускная
диссертационная
оптимизация
работа на тему: «Моделирование и структурная
линейно-волновых
явлений»,
выполненная
студенткой
Мишиной Еленой группы (М-18).
(Слайд №3) Данная работа посвящена
разработке инструмента
моделирования метаматериалов с конечной периодичностью, формулировке
задачи оптимизации для композиции некоторых составляющих элементов
модели, адаптации HDG для решения задач с конечной периодичностью.
(Слайд №4) Для начала, дадим определение метаматериалам. Под
метаматериалами понимают микроскопическое соединение материалов с
различными
свойствами,
приводящее
к
появлению
особого
макроскопического свойства или поведения.
Структурные особенности материалов-ауксетиков представлены на
демонстрационном листе 6.
(Слайд №5) При точном числовом моделировании распространения
волн в метаматериалах возникают некоторые сложности. Во-первых,
метаматериалы всегда представляют собой гетерогенную среду. Во-вторых,
большая часть созданных моделей для материалов происходит из физических
допущений и поэтому предполагает бесконечную периодичность, т.е.
граничные условия периодичны, что сильно упрощает моделирование.
В-третьих,
необходимо
использовать
точные
числовые
методы
старших порядков для управления числовой дисперсией и погрешностью
рассеивания.
В-четвертых, большая часть практических задач подразумевает
наличие сложных геометрических структур.
Наконец, одна из самых серьезных проблем заключается в том, что
нелинейное распространение волн может породить неоднородные и ударные
волны.
(Слайд №6) Явление, которое мы хотим смоделировать, определяется
основным уравнением, которое представляет собой дифференциальное
уравнение в частных производных, чаще всего это волновое уравнение.
На рисунке показан спектр, в котором волновое уравнение является
определяющим с точки зрения длины волны, или, аналогично, частоты. В
простейшей скалярной форме волновое уравнение записывается так:
 2u 2 2
 c  u  0 . Это волновое уравнение может быть упрощено до так
t 2
называемого уравнения Гельмгольца, при рассмотрении его относительно
частоты. Выглядеть оно будет так: 2u ( x)  k 2u ( x)  0 .
(Слайд №7) Для решения уравнения Гельмгольца был использован
метод конечных элементов , а в качестве стратегии пространственной
дискретизации было решено использовать Гибридизуемый Дискретный
Метод Галеркина(HDG), который был адаптирован к уравнению Гельмгольца
второго порядка.
(Слайд
№8)
Основная
идея
подхода
гибридизируемого
DG
заключается в введении на границах новых переменных, называемых
числовыми
следами,
которые
становятся
глобально
связанными
переменными задачи.
В итоге, эти новые переменные, разделяют взаимодействие между
соседними элементами и, задача может быть решена локально с высокой
эффективностью.
А затем глобальная задача решается относительно этих новых
переменных.
Алгоритм работы метода HDG изображен на листе Х. - ? надо?????
(Слайд №9) Одно из наиболее привлекательных свойств метода HDG в
сравнении с другими дискретными подходами Галеркина проявляется при
анализе скорости сходимости вычисленного решения. По существу, большая
часть
примеров
ведут
к
оптимальной
сходимости
k  1.
Однако,
формулировка HDG дает лучшую скорость сходимости после локальной
постобработки.
На демонстрационных листах 3, 4, 5 подробней показаны сходимости
для полинома аппроксимации разных порядков.
(Слайд
№10)
Моделирование
метаматериалов
неотделимо
от
оптимизации полученных структур. В качестве задачи оптимизации была
рассмотрена задача об энергетической щели в 1d , которая является
достаточно актуальной, и в меру сложной, что позволило проверить
правильность проведенных расчетов.
Результаты моделирования энергетической щели в 1d вы можете
видеть на демонстрационном листе 8.
На
первом
диэлектрическое
этапе
мы
инициализируем
проницаемости.
Затем
начальное
вычисляем
значение
сопряжение.
Высчитываем чувствительности. Определяем значение шага и находим новое
значение
диэлектрические
проницаемости,
убедившись,
что
оно
правдоподобно. Вычисляем соответствующие значения функции. Если
условие сходимости не выполняется то повторяем итерацию с новыми
параметрами.
(Слайд №11) Кроме энергетической щели, существуют и другие
линейно-волновые явления, которые могут использоваться на практике.
Маскирующая установка - это один из наиболее интересных будущих
проектов. На демонстрационном листе 9 показана схема маскирующего
устройства.
Волноводы, которые используют линейный дефект в треугольном
распределении стержней, через который волна распространяется, но
постоянно затухает.
(Слайд №12) Данная работа, как и любая другая, имеет свои
достоинства и недостатки.
К достоинствам можно отнести значительно упрощенную процедуру
моделирования при применении HDG за счет решения множества локальных
задач
и
лишь
одной
глобальной.
Высокая
скорость
сходимости
(сверхсходимость).
Использование оптимизации оптимального управления (поскольку
данный тип является более общим).
Что позволяет сказать, что рассмотренный метод универсален и может
быть адаптирован для различных задач с волновым уравнением.
Можно сказать, что недостатком является упрощение волнового
уравнения до уравнения Гельмгольца, а также отсутствие рассмотрения
трехмерных структур.
(Слайд №14) Указанные недостатки открывают новое поле для
последующих исследований.
Проектирование метаматериалов - относительно новая область и
поэтому в ней будет проводиться ещё много работ. Продолжением
настоящего
исследования
может
стать
появление
ограничений,
накладываемых возможностями производства, а также, выход за пределы
волновых уравнений, например, переход к уравнениям теплоты.
Прямым
продолжением
настоящего
исследования
стало
бы
рассмотрение эквивалентных задач в трех измерениях.
Особо интересным направлением является изучение нелинейных
волновых явлений и нелинейных материалов.
(Слайд №15) На слайде изображены нелинейные волновые явления:
звуковые пули из работы Спадони и Дарайо и схематичный анализ пассивной
защиты органов слуха
(Слайд №16) Исходя из проведенного исследования можно сделать
вывод, что метаматериалы предоставляют великое множество новых
возможностей.
Часть этих возможностей может в ближайшее время стать доступна,
поскольку
точное
моделирование
проектируемых
материалов
и
их
дальнейшая оптимизация с целью получения интересующих нас свойств,
стало возможным.
Можно с уверенностью сказать в результате проделанной работы была
создана хорошая база для дальнейших исследований