Мокеева Е.Л.Решение нелинейной задачи устойчивости

Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский)
федеральный университет»
Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского
Кафедра теоретической механики
Специальность (направление): 010800.68 – Механика и математическое
моделирование
Специализация: Механика твердого деформируемого тела
МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ
«Решение нелинейной задачи устойчивости цилиндрической оболочки
при осевом сжатии»
Работа завершена:
«__»__________2015г.
_______________________ (Е.Л. Мокеева)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доцент
«__»__________2015г.
_______________________ (Ф.Х. Тазюков)
Заведующий кафедрой
д.ф.-м.н. ,профессор
«__»__________2015г.
_______________________ (Ю.Г. Коноплев)
Казань - 2015
1
Содержание.
Введение. ………………………………………………………………………..3
Глава 1. Основные соотношения теории пологих
оболочек……………………………………...…………………………………..7Глава 2.
Решение задачи устойчивости оболочки при статическом
нагружении……………………………………..………………………………10
2.1. Решение нелинейной задачи. Определение верхней критической
нагрузки………………………………………………………………………..16
2.2. Решение нелинейной задачи. Определение нижней критической
нагрузки………………………………………………………………………..17
Глава 3. Решение задачи устойчивости оболочки при динамическом
нагружении…………………………………………………………………….19
Заключение. ……………………………………………………………………32
Литература. …………………………………………………………………….33
2
Введение.
В условиях научно-технического прогресса задачи, относящиеся к
устойчивости оболочек, представляют особый интерес для многих областей
техники, а так же всех тех «устоявшихся» областей, в которых происходит
внедрение облегченных конструкций и новых материалов.
В исследованиях по устойчивости оболочек наибольшее внимание
уделяется круговым цилиндрическим оболочкам. Оболочки такого очертания
отвечают, как правило, требованиям наименьшего веса конструкции и
просты в изготовлении, поэтому они широко применяются в различных
областях техники.
Выпучивание цилиндрической оболочки может произойти в тех
случаях, когда они подвергаются действию осевого сжатия, внешнего
давления, кручения, изгиба, причем эти нагрузки встречаются отдельно либо
в различных сочетаниях.
Особое внимание, в последнее время, уделяется задачам динамики. Это
объясняется прежде всего быстрым развитием авиационной и космической
технике, т.к. например, корпус летательного аппарата подвергается
динамической нагрузке на стартовом участке. Однако изучение
динамического поведения цилиндрических оболочек имеет существенное
значение также для судостроения, инженерных сооружений, резервуаров,
трубопроводов и т.д.
Наиболее опасным для тонкостенных конструкций типа оболочек
является сочетание статических нагрузок с разного типа динамическими
воздействиями. Такие комбинированные нагрузки особенно часто влекут за
собой прощелкивания (хлопки) оболочки, во многих случаях чередующиеся
одно за другим и приводящие к образованию усталостных трещин, что
приводит к потере несущий способности оболочки. Разрушение конструкции
наступает при этом иногда за весьма короткий срок. В этом и заключается
актуальность исследования на устойчивость тонкостенных конструкций.
В теории устойчивости оболочек применяются понятия верхней и нижней
нагрузки. Под верхней критической нагрузкой РВ будем понимать
наибольшую нагрузку, до которой начальное равновесное состояние является
устойчивым по отношению к малым возмущениям (устойчивость в малом).
Под нижней критической нагрузкой РН будем подразумевать нагрузку, до
которой начальное состояние является единственным устойчивым
3
равновесным состоянием (устойчивость в большом) ; при нагрузках,
лежащих ниже РН , обеспечивается устойчивость оболочки не только в
малом, но и в большом.
Расчёт оболочек на устойчивость отличается от расчёта стержней и
пластинок. Рассмотрим диаграмму зависимости между нагрузкой P и
параметром прогиба 𝑓 в задачах устойчивости (рис. 1) (устойчивость –
это свойство системы мало отклоняться от первоначального состояния
при малых возмущающих воздействиях).
Рис.1
Точка A отвечает верхнему касательному усилию 𝑝̂,
𝐵 точка G- нижнему
критическому касательному усилию 𝑝̂.
𝐻 Участок ОA относятся к исходному
безмоментному равновестному состоянию. Участок AR соответствует
неустойчивым формам, RF- устойчивым.
Если отсуствуют начальные прогибы, нагрузка является статуческой и в
процессе нагружения имеет место строго безмоментное напряжённое
состояние оболочки (случай идеальной оболочки), то касательное усилие
должна возрастать вдоль ветви ОA и достигнуть верхнего критического
значения, после чего произойдет скачёк (хлопок) от состояния A в состояние
F. Дальнейшее увеличение касательного усилия будет происходить по ветви
FD.
Резкий хлопок при потере устойчивости, как правило, влечёт за собой
образование трещин или появление значительных пластических деформаций
4
и приводит к потере несущей способности оболочки. Обратный процесс
(падение нагрузки) будет происходить по линии DR. Линия RG
соотвутствует “выхлопу” оболочки. Затем снижение касательного усилия
будет происходить по линии GO. Следовательно, скачёк при разгрузке
оболочки происходит на уровне нижнего критического касательного усилия.
Возмущения в случае оболочки приводят к сильному снижению верхней
критической нагрузки. Поэтому экспериментальные данные, относящиеся к
критическим нагрузкам для оболочек, обычно характеризуются
значительным разбросом, за исключением таких лабораторных испытаний, в
которых обращается особое внимание на технологию изготовления оболочек и
условия нагружения. Само выпучивание оболочек на практике во многих
случаях сопровождается резким хлопком. Отсюда вытекает вывод, что
эксплуатационная нагрузка должна выбираться с известным запасом по
отношению к верхней критической величине. Коэффициент запаса зависит
от характера нагрузки, технологии изготовления конструкции и т. д. Если в
рассматриваемом случае нижняя критическая нагрузка резко отличается от
верхней, то это является своего рода знаком опасности: здесь надо ожидать
большой разброс реальных критических усилий, значительную реакцию
конструкции на разного рода возмущения и т. д.
Если говорить о большом числе одинаковых элементов конструкций,
изготовляемых в идентичных условиях, то самый естественный подход при
этом — статистический. Так или иначе практические расчеты на
устойчивость целесообразно вести с учетом поведения оболочек при
больших прогибах. Поэтому в дальнейшем будем, как правило, параллельно
рассматривать одну и ту же задачу, подходя к ней с точки зрения
устойчивости в малом и в большом. В первом случае надо исходить из
линейной теории жестких оболочек, во втором — из нелинейной теории
гибких оболочек.
В данной работе мы рассмотрим задачу об устойчивости
цилиндрической оболочки при осевом сжатии в случаях статического и
динамического нагружений. Эксперименты и наблюдения над реальными
конструкциями показывают, что характер выпучивания сжатых оболочек на
практике совсем не такой, каким он рисуется, если исходить из линейной
теории. Более полную картину даёт нелинейная теория оболочек. Исходя из
опытов можно сказать, что вместо вмятин прямоугольного очертания, расположенных в шахматном порядке и обращенных поочередно к центру и от
центра кривизны (рис. 2), в действительности образуются ромбовидные
вмятины, похожие на грани кристалла, как показано на рис. 3.
5
Рис. 2
Рис. 3
«шахматная»
ромбовидная
форма
форма.
Эти вмятины, глубина которых уже в первоначальный момент сравнима
с толщиной оболочки, появляются обычно в процессе резко
выраженного хлопка. В отдельных опытах с тщательно изготовленными
образцами удается получить сетку ромбовидных углублений на всей
поверхности оболочки или на большей ее части. Таким образом, здесь
совершенно четко реализуется потеря устойчивости оболочки в большом, то
есть, когда возмущения оболочки превысили известный предел. Отсюда
вытекает необходимость решения задачи с позиций нелинейной теории.
Вопросами устойчивости цилиндрической оболочки при разных видах
нагружения занимались Х.М.Муштари, К.З. Галимов, А.С. Вольмир, А.В.
Саченков, Ю.Г. Коноплев, Ф.Х.Тазюков, Л.У.Бахтиева, В.В.Пикуль и др.
6
Глава 1.Основные соотношения теории пологих оболочек.
Оболочками называются трехмерные тела, два размера которых
значительно превышают третий. Этот третий размер называется толщиной
оболочки. Обозначим толщину через h и будем считать ее постоянной.
Материал оболочки изотропный и упругий. Поверхность оболочки,
отстоящая на равных расстояниях от наружных поверхностей, называется
срединной поверхностью. Оболочка считается открытой, если ее
срединная поверхность нигде не замкнута, и замкнутой в противном случае.
Граничные сечения оболочки нормальными плоскостями — края оболочки.
Оболочку будем считать тонкой, если ее относительная толщина h/R
(R—радиус кривизны) значительно меньше единицы. Обычно оболочки
считают тонкими при h/R ≤ 0,05, что соответствует допускаемой в
технических расчетах погрешности в 5%. Часто теорию тонких оболочек
1
5
применяют и при больших ( 
h 1
 ) относительных толщинах. Естественно,
R 3
что при этом возрастает погрешность.
Кинематические соотношения:
Соотношения Коши, выражения для компонент деформаций в срединной
поверхности:
u v w w
u 1  w 
v w 1  w 
x 
 
  
 
 , y 
 ,  xy 
x 2  x 
y R 2  x 
y x x y
2
2
(1)
Последние члены у деформаций в (1) являются нелинейными.
Параметры изменения кривизны будут в виде:
x  
2w
2w
2w



,
,



y
xy
y 2
x 2
(2)
Напряжения в срединной поверхности запишем через функцию
напряжений  :
x 
 2
 2
 2


,
,



y
xy
y 2
x 2
(3)
7
Уравнение неразрывности деформации:
1
1
1 2w
  2 2    L( w, w)   2  0
E
2
R x
(4)
Уравнение равновесия :
h  2
D    w  h  L( w, )   2  0
R x
2
(5)
2
где D – изгибная жёсткость,  – функция напряжений, h – толщина оболочки,
R – радиус кривизны срединной поверхности, E – модуль упругости,  2 –
двумерный оператор Лапласа:
2 
2
2
,

x 2 y 2
L ( w, w) - оператор:
 2 w  2 w   2 w 2 
  ,
L( w, w)  2   2  2  
 x y
 xy  
L( w, ) 
(6)
 2 w  2  2 w  2
 2 w  2




2


,
xy xy
x 2 y 2 y 2 x 2
(7)
Полную энергию системы будем определять следующим образом:
Э  Uc Uи  A
Здесь
(8)
Uc
-
потенциальная
энергия
деформации
срединной
поверхности, U и - потенциальная энергия изгиба, A - работа внешних сил.
U c , U и находим по формулам:
8

  2  2   2  2 
h
2
2
(  )  2(1   )  2
  dxdy
Uc 

2 E 
x y 2  xy   

F 



  2 w  2 w   2 w  2 
D  2 2
  dxdy
U и   ( w)  2(1   )  2

2 F 
x y 2  xy   




(9)
Где F- площадь поперечного сечения.
Работу А вычислим по формуле:
L 2R
h
A 
E0

0
2
  2
  2 
 2  E  w  
 2 
 2   2     dx
2  x  
x
 y  x 0, L  y
9
(10)
Глава 2. Решение задачи устойчивости оболочки при статическом
нагружении.
Рассмотрим устойчивость шарнирно-опёртой тонкостенной круговой
цилиндрической оболочки средней длины при осевом сжатии. Задача
решается в нелинейной постановке методом Ритца.
Для решения используем уравнение неразрывности деформации в
виде (4):
1
1
1 2w
2 2
      L( w, w)   2  0
E
2
R x
Полный прогиб запишем в виде:
w( x, y )  f1 sin
mx
ny
mx
sin
 f 2 sin 2
 f0 ,
L
R
L
(2.1)
где m, n – волновые числа, L – длина образующей.
Первый из членов в (2.1) взят исходя из решения задачи об устойчивости в малом. Второй член отражает несимметричность прогиба
относительно срединной поверхности с преимущественным направлением к
центру кривизны. Наконец, третий член соответствует радиальным
перемещениям точек, принадлежащих торцевым сечениям, при x=0, L. Этот
член не зависит от у: считается, что при выпучивании оболочки торцевые
сечения остаются круговыми.
Здесь f 0 , f1 , f 2 выражаются следующим образом:
f 0  
p
R
E
(2.2)
10
– безмоментный прогиб, переменная нулевого порядка, где  - коэффициент
Пуассона,
p-
функция
усилий,
f1 -
переменная
первого
порядка,
соответствующая линеаризованной задаче.
f 2 – переменная второго порядка.
Введём обозначение

m
n
, 
L
R
(2.3)
тогда (2.1) примет вид:
w  f1 sin x sin y  f 2 sin 2 x  f 0
(2.4)
Из (4) найдём функцию напряжений Φ. Подставим функцию прогиба (2.4) в
(4):
1 2 2
 2 2
    f 12
(cos 2x  cos 2 y )  f 1 f 2 2  2 (sin 3x  sin y  sin x  sin y ) 
E
2
(2.5)
1
2
2
2
 f 1 sin x  sin y  f 2 cos 2x
R
R
Используем метод множителей. Представим Φ в виде:
1
py 2
  С1cos 2x  С 2 cos 2y  С 3 sin 3x sin y  С 4 sin x sin y 
E
2E
Где С i - неизвестные константы,
(2.6)
py 2
- частное решение неоднородного
2E
 2
уравнения, для нахождения которого использовали  x  2 из (3), где  x
y
принимаем за p,т.е.  x = p, после интегрирования получаем
11
py 2
.
2
Применяя к (2.6) процедуру дифференцирования в виде  2 2 ,
получим:
1 2 2
    16C1 2 Cos 2x  16C 2  4 Cos 2 y  81C 4 4 CosySin 3x 
E
18C 4 2  2 CosySin3x  C 4 4 CosySin3x  C 3 4 Sin xSiny 
(2.7)
2C 3 2  2 Sin xSiny  C 3 4 Sin xSiny
Сравнивая (2.5) и (2. 7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
членах, найдём С i .
Таким образом, интеграл выражения (2.5) запишется в виде :
2

1
2 1 

Ф  f1
cos 2  y   2  2 cos 2x 
2


E
32  

 f1 f 2
2
2




1
1


sin 3x sin  y 
sin x sin  y  
2
2

2
2








9 2  1
 1
2















1 
1
 2  f1
 R 
2

1



2


(2.8) [1]



1
py 2
sin

x
sin

y

f
cos
2

x


2
2
8
2E







Зная функцию напряжений 
и функцию прогиба w, можно
определить напряжения и деформации в срединной поверхности, а также
перемещения u и v .
Из условия периодичности (приращение v при изменении y на 2R
должно быть равно 0):
2R

0
v
dy  0
y
(*)
12
получаем связь f 2  f12 
n2
4R
(2.9) Введем
безразмерные параметры:

f 
mR
n 2 h  pR
R
, 
,p
,  1 , Э  Э 3
nL
R
Eh
h
Eh L
(2.10)
Тогда, учитывая (2.10) и связь (2.9), компоненты полной энергии
системы ( U c , U и , А) из (9) – (10) запишутся в виде:
2
4   4
Uˆ c 
1 4  4 

128
64  1   2


1 2 4
8 4
   1 
16
 1   2

Uˆ u 
1
48 1   2



 6
 
2
1  9 2 
 
2
4

 1 4
1 4 2

2 
   2 pˆ 2 ,
2
2
128
 4 1   2
1 4 4 4

2 2 2 2
1





   

2





(2.11)

1
1
Аˆ  pˆ 2  pˆ  2 ( 2   2 4 )
4
8
(2.12)
Формула безразмерной энергии запишется в виде:





2

Э  U c  U и  A  с1  с2  с3  p  p (c4  c5 ) ,
2
4
6
2
4
(2. 13)
где ci зависят от геометрии и волновых чисел.
с1 
(1   2 ) 2  2
4

48  (1   2 ) 4  (1   2 ) 2
c2 
 4 4
(1   4 ) 2 1 
8 4  2
1 2

  


1


2
2 2 

128
16  (1   ) 
128
96  (1   )
c3 
4 

4
4

 

2 2
2 2 
64  (1   )
(1  9 ) 
(2. 14)
13
c4 
1 2
 
4
c5 
1
  3 2
32

Э
Таким образом, 2  0 , получим безразмерную нагрузку:


p
c1  2c 2 2  3c3 4
c 4  2c5 2
(2. 15)
2.1. Решение линейной задачи. Определение верхней критической
нагрузки

Устремив в (2.15)   0 найдем p в :

pв 
c1
c4
(2.1.1)

Учитывая (2.14), pв запишется в виде:
(1   2 ) 2
2
pв 

12 2(1   2 ) (1   2 ) 2

Обозначим

pв 
а
(1   2 ) 2 
2
(2.1.2)
, тогда
a
1

2
12(1   ) a
(2.1.3)

Найдём минимум pв из условия

 pв
0
a
(2.1.4)
Из (2.1.4) получаем:
14
a  12(1   2 )
(2.1.5)

Подставляя (2.1.5) в (2.1.3) находим pв при   0,3 :

pв 
1
3(1   2 )
 0,605
(2.1.6)
Таким образом, нашли верхнюю критическую нагрузку, значение
которой соответствует значению решения линейной задачи, данное в
литературе (это решение принадлежит Лоренцу и Тимошенко).[1]
p в  0,605E
h
R
(2.1.7)
2.2. Решение нелинейной задачи. Определение нижней критической
нагрузки

p
Минимизируя p из (2.15) по  , то есть 2  0 , получаем уравнение:


2
2(c 2 c 4  c1c5 )  6c3 c 4 2  6c3 c5 4  0
(2.2.1)

Таким образом, мы можем найти  2 , а, подставляя  2 в (2. 15) найдем p кр .
Заметим, что параметры 𝜂 и 𝜃 не являются независимыми величинами, так
как в них входит одно и то же волновое число n. Следовательно, нельзя
минимизировать 𝑝̂ по этим двум параметрам. Фиксируя волновое число m,
выражаем волновое число n через параметр 𝜂 и подставляем это значение в
𝜃. Нагрузку 𝑝̂ минимизируем по параметру 𝜂. Проводя расчеты для
различных значений m, выбираем ту величину, которая соответствует
наименьшей критической нагрузке. На рисунке (1) представлены графики,
полученные при расчете оболочки с параметрами: R/h=400, L/R=3. Видно,
15
что
минимум
нагрузки
в
данном
случае
достигается
при
m=4
Рисунок 1. Зависимость нагрузки от амплитуды прогиба
Полученные результаты показывают, что величина 𝑝̂𝑘 зависит от
геометрии оболочки, что хорошо согласуется с экспериментальными
данными.
R/h
100
150
400
1000
m
n
p̂
m
n
p̂
m
n
p̂
m
n
p̂
1
4
0,2125
1
4
0,1378
2
4
0,1156
3
4
0,1149
1
4
0,1439
1
4
0,1297
2
5
0,1155
4
8
0,1148
1
7
0,1179
2
7
0,1179
4
8
0,1154
6
8
0,1143
4
13
0,1143
4
13
0,1143
6
13
0,1143
10
13
0,1143
L /R
1
2
3
5
Таблица 1. Результаты расчетов для разных значений
геометрических параметров
В таблице 1 приведены результаты расчетов для различных значений
геометрических параметров. Из таблицы видно, что влияние геометрии
оболочки на величину 𝑝̂ 𝑘 уменьшается с ростом отношений
16
R/h, L/h и
стремится к значению 𝑝̂𝑘 =0.1143, которое получается
при минимизации
нагрузки по двум параметрам 𝜂 и 𝜃.
Глава 3. Решение задачи устойчивости оболочки при динамическом
нагружении.
Рассмотрим устойчивость шарнирно-опёртой тонкостенной круговой
цилиндрической оболочки средней длины при динамическом воздействии
осевого сжатия. Задача решается в нелинейной постановке. В отличие от
задачи статического нагружения в случае динамики нагрузка зависит от
времени, поэтому для решения задачи выберем выражение для прогиба в
виде:
w( x, y, t )  f1 (t ) sin x sin y  f 2 (t ) sin 2 x  f 0
где  
(3.1)
m
n
, 
L
R
Для решения используем уравнение неразрывности деформации (4) и
полученное из него выражение функции напряжений (2.9), взятое из
решения статической задачи.
Зная функцию  и w, можно определить напряжения и деформации в
срединной поверхности, а также перемещения u и v .
17
Функция v должна удовлетворять условию периодичности (*):
2R

0
Пользуясь
выражением
для
v
dy  0
y
деформации
срединной
поверхности
2
v
1  w 
 и формулами (3), находим v :
y 
 k y w  
y
2  y 
y
v
1

y
E
2
  2Ф
 2Ф  1  w 
w

  
 


2
2 
y  2  y 
R
 x
Подставляя значения Ф, w и интегрируя (*), приходим к уравнению:
f 0  
R
n 2 f 2 (t )
2
p  f1 (t )

E
8R
2
(3.2)
Где µ – коэффициент Пуассона, p – функция усилий, зависящая от
времени:
p  p0 t , p0 – скорость нагружения.
Тогда (3.1) запишется в виде:
R
n 2 f 2 (t )
2
w( x, y, t )  f1 (t ) sin x sin y  f 2 (t ) sin x   p  f1 (t )

E
8R
2
2
(3.3)
Полную энергию системы Э находим по формулам (9) – (10) с учётом
нового выражения прогиба (3.3).
После всех преобразований формула полной энергии системы
запишется в виде:
18
Э
 2 2
E
4
1  4
4
hRL{ (1   4 ) f14   4 

f f2 
2 2
2 2  1
2
64
2  (1   )
(1  9 ) 
1 2
8 4  2
1
4
1
 1 
f f2 
f2
f 22 } 
2 2  1
2
2 2 1
2
8R  (1   ) 
2 R (1   )
4R
(3.4)
 4
  LhR 2 1
D
1

RL  (1   2 ) 2 f12  4 4 4 f 22   
p  p 2LhR( f12  f 22 ) 
2
2
2

 2
  E
Введем безразмерные параметры (2.10), а также
f1
f
,2  2
h
h
1 
(3.5)
Тогда формула безразмерной энергии примет вид:
1
Эˆ  а1212  а 22 22  а1414  b2212 22  b2112 2  pˆ 2 
2
a12 
1  2 (1   2 ) 2
4 



,
4  12(1   2 ) (1   2 ) 2 
a 22 
2 2 4
1
 ,
2
12(1   ) 8
a14 
 2 (1   4 )
128
b22 
b21 
1

pˆ  12   22 c11
2

,
(3.6)
(3.7)
 2 4 
4

1
1

,

2 2
2 2 
(1  9 ) 
 (1   )
 
8 4 
1


,
16  (1   2 ) 2 
c11   2 .
Найдем систему уравнений Лагранжа второго рода.
Составим уравнение движения и временные условия, которые будут
соответствовать начальному времени и времени потери устойчивости. Чтобы
19
получить
уравнение
движения
оболочки,
используем
[2]
принцип
Остроградского-Гамильтона:
𝑡
𝛿 ∫ 𝐿𝑑𝑡 = 0,
0
где функция Лагранжа
потенциальная энергия.
L= K– Э,
K – кинетическая энергия, Э –
Величину K найдем по формуле:
L 2R
1
К  h 
2 0
 w dxdy
(3.8)
2
0
Используем формулу для прогиба (3.3):
w( x, y, t )  f1 (t ) sin x sin y  f 2 (t ) sin 2 x  
R
n 2 f 2 (t )
2
p  f1 (t )

E
8R
2
Возьмем производную по t от выражения прогиба (3.3) и возведём его в
квадрат:
f (t )
R
n2
w ( x, y, t )  f1 (t ) sin x sin y  f2 (t ) sin 2 x   p0 
f1 (t )  f1 (t )  2
E
4R
2
R
2
2
[ w ( x, y, t )] 2  f1 sin 2 x sin 2 y  f2 sin 4 x  (  p 0 ) 2  2 f1 f2 sin 3 x sin y
E
2
R
R
n
2
 2 f1  p 0 sin x sin y  2 f2  p 0 sin 2 x 
sin x sin y  f1 f1
E
E
2R
2

n
R  n2
2
 f1 f2  sin x sin y 
sin 2 x  f1 f1 f2  sin 2 x  f2   p 0 
f1 f1  f2 
2R
E  2R

2

n4
n2
2  2
 f  f 2

f
f

f
f
1
1
1 1 2
4R
4
16 R 2
Тогда кинетическая энергия (3.8) запишется в виде:
L 2R
1
К  h 
2 0

 w dxdy 
2
0
h   2 RL
 f1
2 
2

R
n2
n4 2 2
 R 
2 RL

 f2
   p0  2RL   p0
f1 f1  2RL  2 f1 f1 RL 
2
4
E
2R
8R
 E 

20
(3.9)

Найдём безразмерную кинетическую энергию K .
Введём безразмерные величины по типу (2.10):

КК
Lh 3 E
R

; p0  p0 E
h  
; p  p0 t ;
R
(3.10)
и скорость распространения звука в материале:
V зв ука  V 
E

, где ρ – плотность материала,
тогда (3.9) перепишется в виде:
1R
К  
2 V 

2


 12 1  2  2 2  2
2
2

   2  1  1   p 0   1  1  2   p 0 
8
2 4

(3.11)
В качестве потенциальной энергии используем выражение (3.6).
Таким образом, все слагаемые функции Лагранжа L найдены.
Далее запишем уравнение Лагранжа второго рода и временные условия,
исходя из принципа Остроградского – Гамильтона, который примет вид:
t
 Ldt  0 .
(а)
t0
Найдём L  
 L

L
L
L d
i   i   
i 
i 
 i
i
i dt
  i

Подставим L в (а) и проинтегрируем, получим:
 L d  L  
L






dt

t    i dt   i   i   i  i


0
t
21
t1
t0
0
(б)
Учитывая, что при t  t 0 и t  t1 i  0 , из первого слагаемого уравнения (б)
получаем уравнение Лагранжа второго рода в следующем виде:
d  L

dt  i
 L

   0 .
i

Вспомним, что L = К – Э, К = К(  i , i ), Э = Э(  i ). Получим уравнение Лагранжа
второго рода в следующем виде:
d  К

dt  i
 К
Э

    
i
i

(в)
Учитывая, что в нашем случае потенциальная и кинетическая энергии

зависят от двух переменных 1 и  2 , относительно безразмерных величин К

и Э
общий вид системы уравнений Лагранжа второго рода будет
следующим:


 
d K  K
Э


dt  1  1
1


,


  
d K  K
Э




dt  2   2
 2


(3.12)
Найдём все слагаемые уравнений системы (3.12):

2
 
d   K   K 1  R     2 2   2
 2 















1
1
1
1
1 
dt  1  1 2  V  
4
4




2
  
d   K   K 1  R  

   2
dt  2   2 4  V 


Причём внеинтегральные члены имеем в виде:
22
(3.13)


K 1R
2
    (1  12  1   p0 1 ),
4
1 2  V 
2
Найдём
частные

K 1R 1 
    2
2 2  V  2
2
производные
от
(3.14)
безразмерной
величины
потенциальной энергии.
Эˆ
1
 2а121  4а1413  2b221 22  2b211 2  pˆ 0 t1c11
1
2
Эˆ
 2а22 2  2b22 212  b2112  pˆ 0 t 2 c11
 2
(3.15)
Составим систему уравнений Лагранжа второго рода, учитывая (3.13),
(3.15)
2
2
1
V  

1  (1  12 )  1  12  4  1 а12  2а1412  b22 22  b21 2  pˆ 0 t  c11   0,
4
4
4
R 

2
2


V 
2  4   2а 22 2  2b22 212  b2112  pˆ 0 t 2 c11  0
R
(3.16)
Далее запишем временные условия.
L
Рассмотрим второе слагаемое уравнения (б) :   i
 i
При t  0 и
для
t1
t0
i  0 →  i  Const . Можем записать начальные условия
1 и  2 в начальный момент времени t  0 :
1 (0)  10

 2 (0)   20
, где
10 ,  20
- константы.
(3.17)
t t
t t
кр
кр
Lˆ (t,  i , i )
Кˆ (t, i , i )

Рассмотрим 
;
i
i
t 0
t 0
23
t t
кр
Кˆ (t,  i , i )
0
При i  1:
1
t 0
при t  0
2

1  10  1   p0 10  0
4

2
→
(3.18)
 pˆ 01
1 
при t  t кр →
2 2
(1  1 )
4
(3.19)
Выражение (3.19) является финальным условием.
Таким образом, из принципа Остроградского - Гамильтона мы
получили математически корректную запись финального условия, которое
соответствует критерию
А. В. Саченкова [3].
t t
t t
При i  2 :
кр
кр
2
Кˆ (t, i )
1R 
   2
 0,
4 V 
2 t 0
t 0
т.е. при t  0 и t  t кр →
2  0 .
(3.20)
Таким образом, мы получили
при t  0 :
1 (0)  

 2 (0)   20
0
1

   2 02 
0
1  1  1   p0 1  0
4

 (0)  0
 2
при t  t кр
24
(3.21)
 pˆ 01



1

2 2

(
1

1 ) ;

4



 2 (t кр )  0
Величины
(3.22)
10 ,  20 - начальные прогибы.
Для численной реализации примем
10  
и
 20   , где  - малая
величина.
Введём безразмерный параметр времени  , выраженный через
динамическую нагрузку p и статическую – pв ерхнее  p в :

 кр 
pt R
p
 0
pв p E h
в
p0t кр
pв

(3.23)
p0t кр R
pˆ 0t кр

pˆ в Eh
pˆ в
- коэффициент динамичности.
Запишем формулы дифференцирования через безразмерное время:
2
p R d
d
d d

 0
,
dt d dt
d

p в Eh


d 2  p0 R  d 2

dt 2  p Eh  d 2
 в

(3.24)
Исходя из (3.23) и (3.10), получим:

p0 t  pв 
Eh
,
R


p0 t  pв 
(3.25)
Тогда, учитывая (3.24), (3.25), систему (3.16) и условия (3.21) – (3.22)
перепишем в виде:
25
2
2
2
 d 21 
 d1  
2 
1  1

  1  d  4 
2 
d

4






1



2
2
ˆ в  c11 
 4 S1  а12  2а141  b22 2  b21 2  p
4



 d 2
2
ˆ в 2c11
 4 S 2а22 2  2b22 212  b2112  p

2
d




(3.26)

2
где
V p
ˆв 
 .
S 
Rp
ˆ0 


Временные условия:
1   ,

2
При   0 :  d1    2  d1   p   0 ;
в

4
d
 d
 2   ,

 d 2
0

 d



p
d

в 1
 1 

2 2
 d
(1 
1 )
При    кр : 
;
4

 d 2  0

 d
(3.27)
(3.28)
Таким образом, мы пришли к системе обыкновенных нелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка, которые связывают между
собой параметры прогиба  1 ,  2 , нагрузку p̂ и время  .
Решая полученную систему уравнений в пакете «Математика»,
получим графики зависимости прогиба от времени и значение коэффициента
динамичности.
Расчёты проводились в предположении, что волны при потере
устойчивости – квадратные, т. е.   1 .
26
Также при вычислениях было принято
  0.3 , R/h=180,   0.00001
3
9
2
, V  5 10 м / сек, Е  75,95 10 Н / м ,

pв = 0.605 – значение взято из решения статической задачи.
Скорость нагружения p0 , равная
1  9.8  1010 Н / м 2  сек, 2  9.8  1010 Н / м 2  сек, 5  9.8  1010 Н / м 2  сек. .
На рисунках представлен график стрелы прогиба ξ, по оси абсцисс

отложены значения
p
p

  .
pв
pв
При вычислениях, выполненных в пакете «Математика», каждая
кривая, соответствовала определённому числу волн n и скорости p0 .
Таким образом, при исследованиях получили, что бурный рост
прогибов имеет место.
в первом случае при n=14 (коэффициент динамичности  кр  2,4 ):
График зависимости
  
0.0006
0.0004
0.0002
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.0002
Финальное условие при    кр .
27
0.01
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.01
-0.02
во втором – при n=19 (коэффициент динамичности  кр  3,1 )
График зависимости
  
0.001
0.0005
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.0005
Финальное условие при    кр .
28
0.03
0.02
0.01
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
в третьем – при n=21(коэффициент динамичности  кр  4,62 ).
График зависимости
  
0.001
1
2
3
4
5
-0.001
-0.002
-0.003
Финальное условие при    кр .
29
0.1
0.05
1
2
3
4
5
-0.05
Влияние начальной погиби ε.
1  9.8  1010 Н / м 2  сек
2  9.8  1010 Н / м 2  сек
5  9.8  1010 Н / м 2  сек
n = 14
n = 19
n = 21
ε = 0,000001
 кр  2,59
≈ 3,3
≈ 5,1
ε = 0,00001
≈ 2,4
≈ 3,1
≈ 4,62
ε = 0,0001
≈ 2,2
≈ 2,89
≈ 4,21
30
Заключение
В нелинейной постановке исследована задача устойчивости цилиндрической
оболочки при статическом осевом сжатии.
Решена линейная задача устойчивости. Получено значение верхней
критической нагрузки.
Получили зависимость критической нагрузки от волновых чисел и
геометрических параметров оболочки для нелинейной задачи устойчивости.
Из вариационного принципа Остроградского-Гамильтона получена
математически корректная постановка задачи динамической устойчивости
цилиндрической оболочки при динамическом осевом сжатии. Получены
уравнения движения и временные условия. Условие, налагаемое на
оболочку в момент потери устойчивости, соответствует критерию А. В.
Саченкова. При прохождении этого финального условия оболочка меняет
форму движения. Решена задача устойчивости оболочки, в которой
возмущение введено в начальных условиях согласно Ляпунову. Получены
зависимости коэффициента динамичности, волнового числа от скорости
нагружения. Выявлено влияние начальной погиби.
Основные результаты были доложены на конференциях:
-«Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» международная научно-практическая конференция посвященная 15-летию
филиала Казанского (Приволжского) федерального университета в
г.Зеленодольск.
-«Актуальные проблемы физико-математических и гуманитарных наук», международная
научно-практическая
31
студенческая
конференция,
посвященной памяти профессоров Казанского университета А.М.Насырова и
В.В.Клокова.
Список литературы
1. Григолюк Э.И., Кабанов В.В.Устойчивость оболочек. М.: Наука,
1978, 360 с
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.:
Наука, 1972, 432 с
3. . Саченков А.В., Бахтиева Л.У.Об одном подходе к решению
динамических задач устойчивости тонких оболочек // Исследования
по теории пластин и оболочек, вып.13, 1978, с.137-152.
4. Коноплев Ю.Г., Тазюков Ф.Х. Устойчивость упругих пластин и
оболочек при нестационарном нагружении. Монография /
Ю.Г.Коноплев, Ф.Х.Тазюков. – Казань, издательство КГУ. - 1994.124с.
5. Алфутов Н.А., Колесников К.С. Устойчивость движения и равновесия,
Москва – МГТУ им. Н.Э. Баумана – 2001г.
6. Вольмир А.С., Устойчивость деформируемых систем, М.: Наука,
1967г.
7. Мокеева Е.Л., Тазюков Ф.Х. Нелинейная задача устойчивости
цилиндрической оболочки при кручении. Сборник докладов /
Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук, часть 2.
– Казань, издательство К(П)ФУ. – 2013. – 219-222с.
32
33