Основы электромагнитной теории света» () - Medphysics

-1-
Лекция 1
I.
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ СВЕТА.
Вопросы:
1. Уравнения Максвелла. Волны в вакууме. Волновое уравнение. Плоские
монохроматические волны (скалярные и векторные). Свойства плоских волн:
поперечность, связь между компонентами, поляризация. Представление плоской
волны в комплексной форме. Сферические волны. Стоячие волны.
2. Поток энергии в плоской волне. Законы сохранения для световых волн.
Интенсивность плоской гармонической волны. Гауссовы пучки. Эффективная
интенсивность.
§1.1. Уравнения Максвелла.
Свет представляет собой электромагнитные волны, которые полностью
описываются системой уравнений Максвелла.

1 
rot   
c t


rot  

1  D 4 

j,
c t
c

div D  4

div   0



где H -напряженность магнитного поля, E и D -вектора напряженности и
индукции
 электрического поля, c - скорость света в вакууме,  обьемная плотность
заряда, j - плотность тока. Для описания взаимодействия излучения с веществом,
необходимо
ввести
материальное
уравнение,
связывающее
индукцию

электрического поля в среде D , с напряженностью электрического поля, падающей
волны. Системой уравнений Максвелла описываются процессы излучения,
распространения и взаимодействия света с веществом.
1. Волны в вакууме описываются условиями:



D  ,   0, j  0.
Уравнения Максвелла, полученные при этих условиях, описывают
распространение света, на расстояниях меньше длины волны  .
2. Процессы излучения волн характеризуются наличием движущихся
зарядов, при этом необходимо, чтобы заряды двигались с ускорением,
-2-
как будет показано в последующих лекциях, то есть необходимо

наличие в системе переменных токов j  0 .
3. Взаимодействие излучения с веществом представляют собой следующие
процессы: во-первых, это локальный отклик среды на воздействие и, вовторых,
переизлучение
света
частицами
среды,
в-третьих,
интерференция полученных волн.

 
Локальный отклик среды определяется поляризацией вещества P  P() , и



построением материального уравнения D   4 P .
Если интенсивность (и напряженности) электромагнитного поля не велика,


тогда, мы находимся в рамках линейной оптики.
В этом случае P    и
диэлектрическая восприимчивость вещества  не зависит от интенсивности света.
Для изотропных сред  не зависит от направления распространения и поляризации
волны и является постоянной. Индукция и напряженность электрического поля
связаны уравнением


D  (1  4 )  ;
при этом диэлектрическая проницаемость среды  имеет вид
  (1  4 )
В анизотропных средах диэлектрическая восприимчивость зависит от
направления от направления распространения и поляризации волны и имеет
тензорный характер. При этом
Di   ij  i Среда может быть описана с помощью тензорной диэлектрической
проницаемостью
 ij и соответствующим ей показателем преломления
nij   ij .
Нелинейные
оптические
явления
характеризуются
зависимостью

диэлектрической восприимчивости от интенсивности падающего света

 
 ( ) , и
соответствующей зависимостью поляризации вещества P   ()  .
В рамках уравнений Максвелла могут быть описаны, также процессы
поглощения (или усиления) в активных средах. Для этого вводится, комплексная
диэлектрическая проницаемость   1  i 2 при этом действительная часть
описывает законы преломления, а комплексная поглощение.
§1.2 Электромагнитные волны в вакууме.
1.2.1. Волновое уравнение в вакууме.
Для описания распространения света в вакууме полагаем:
-3


  0 , j  0, D  .
Система уравнений Максвелла в этом случае приобретает вид:

1 
rot   
c t
(1)
1 
rot  
c t
(2)
div   0
(3)





div   0
(4)

1  (rot  )
Найдем rotrot   
,
c
t

с учетом уравнения (2) получим
1  2
rotrot    2 2
c t




Используем соотношение rotrot   graddiv    и с учетом уравнения (3)
2

получим волновое уравнение для  :

2
1


 2  2 2  0
c t

Аналогичное уравнение получается и для  , для этого необходимо найти rotrot из
уравнения (2)

 2 


1  
0
c 2 t 2
2

Так как вектора  и  можно разложить по компонентам






  i x  j  y  k z


  i x  j y  k z,
то волновое уравнение для компонент примет вид
1  2i
 i  2
0 и
c t 2
1  2 i
2
 i  2
 0.
c t 2
2
Иногда в этом случае говорят о скалярной волне. Рассмотрим скалярные волны, для
 
этого вместо компонент векторов E и D введена функция f
-4-
Решение волнового уравнения f  f ( z, t ) имеет в вид плоской волны,
распространяющейся вдоль оси z, волновой фронт которой представляет собой
плоскость перпендикулярную направлению распространения :
Волновое уравнение для данной функции:
2 f
1 2 f

z 2 c 2 t 2


z
c


z
c
Решение определяется функцией вида f  f1  t    f 2  t   , это две
бегущие волны, распространяющиеся в различных направлениях, в скобках
записаны аргументы функций. Решение такого вида сохранят вид волны: это
основное требование к волнам в вакууме. Проверим данное предположение. Найдем
вид функции f1 , которая описывает волну бегущую «вперед» в момент времени
t1  t  t , учтем, что волновой фронт перемещается на расстояние z  ct ,
тогда
z  z 

 z
f1 (t  t ) 

f
.
1 t 
c 

 c
Аналогичные рассуждения для функции f 2 , которая описывает волну, бегущую
«назад» дают равенство
z  z 

 z
f 2 (t  t ) 

f
 t  .
2

c


 c
Решение выражает фундаментальный
распространения электромагнитной волны.
Волна приходит в точку с координатой
факт
конечности
скорости
z , через t  z .
c
Обратите внимание, что в последующих курсах электродинамики все решения
подобного вида носят название запаздывающих.
1.2.2. Плоские волны. Связь между компонентами.
Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси z вид, который описывается
функциями


  (t , z )


   (t , z ) ,
это волны, имеющие плоский волновой фронт, так как фаза зависит только от Z
Из уравнения (3), для плоских волн соотношение
-5-
 x  y  z


 0; .
x
y
z

 z
 0 ( z -я компонента вектора  не зависит от координаты z ).
Получим
z
Рассмотрим первое уравнение Максвелла для z -ой компоненты
 y

 z
 c[rot ] z  c( x 
)0
t
y
x
Выполнив
аналогичные преобразования для

и H получаем следующие уравнения:
 z
0
t
 z
0
t
 y
 x
 c
t
z
 y
 x
c
t
z
 y
 y
t
c
 x
z
t
 c
 z
0
z
 z
0
z
всех компонент векторв


(5)
(6)
 x
z
(7)
(8)
Уравнения показывают важнейшее свойство электромагнитных волн– их
поперечность смотри 5 и 8.
Простейшей функцией, удовлетворяющей уравнениям Максвелла, является
гармоническая волна
 x (t , z )  Acos  (t  z / c)  A cos(t  kz) ,
(9)
где k 


c
c
,k
2


- модуль волнового вектора k ,
1
 -частота колебаний,
T 
T -период колебаний,
  2 - круговая частата.

Направление волнового вектора k совпадает с направлением распространения
волнового фронта (поверхности одинаковой фазы). Распространение волнового
фронта описывается уравнением
t  kz  const .
Продифференцируем данное выражение по времени и найдем фазовую скорость:
-6-
dz 

 ; Vср 
k
dt k
Проверим, удовлетворяет ли решение (9) волновому уравнению.

1  
0
c 2 t 2
 2 (t , z )
2
z


A
cos

(
t

)
c
z 2
c2
 2 (t , z )
2
z


A
cos

(
t

)
c
t 2
c2

2
 2 
Функция (9) удовлетворяет волновому уравнению.
Найдем из уравнения Максвелла H .
z
 x (t , z )  A cos  (t  )
c
Воспользуемся уравнением Z.
k
E
H
 x
z
  A sin  (t  )
t
c
 y A
z

sin  (t  )
z
c
c
y 
A
z

sin   t  dz

c
 c
z

H y  A cos   t  
 c


Вектора  и  совершают в бегущей волне колебания в фазе, но в
перпендикулярных плоскостях. (рисунок)
-7-
Если зафиксировать время t,то вдоль оси Z получим косинусоидальное

распределение напряженностей  и  (мгновенная фотография).


Если зафиксировать точку Z, то уравнения описывают изменение  и  со
временем.
В общем виде можно записать уравненение волны, не зависящее от системы
координат.

kz  k r


 
 (t , r )  A cos(t  k r ) ,

здесь r радиус вектор, проведенный из начала координат в точку наблюдения.
Волновому уравнению удовлетворяют также волны


 
 (t , r )  A sin( t  k r )
и волны, распространяющиеся в противоположном направлении.
-8-