Математические модели техногенных и природных катастроф г. Казань, Российская Федерация

Математические модели техногенных и природных катастроф
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРУПНОМАСШТАБНОГО ГОРЕНИЯ
ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ
Еналеев Р.Ш., Теляков Э.Ш., Демин А.В., Тучкова О.А.
г. Казань, Российская Федерация
Введение
В аварийных ситуациях на предприятиях по добыче, переработке, хранению и транспортировке углеводородного топлива может произойти выброс сжатого или сжиженного газа
в открытое пространство и образование паровоздушной смеси. После зажигания горючей
смеси от постороннего источника возникает сферическое пламя, называемое огненным шаром (ОШ). Масса аварийного выброса горючих углеводородных газов может изменяться от 1
до 5000 тонн, максимальный диаметр ОШ – от 50 до 800 м, время горения – от 6 до 100 с.
Воздействие теплового излучения от высокотемпературных продуктов химических реакций
на окружающие объекты может вызвать тепловое поражение человека, возгорание горючих
материалов, потерю прочности и устойчивости конструкций.
В математической теории горения газовых смесей [1] рассматривается два предельных случая – нормальное распространение пламени предварительно перемешанных газов и
диффузионное горение не перемешанных горючего и окислителя. Между предельными случаями, очевидно, существует область частичного смешения компонентов горючей смеси, в
которой химические реакции и смешение происходят с соизмеримыми скоростями. Эта промежуточная область из-за её сложности остается малоизученной.
В литературе предлагаются различные подходы при моделировании процесса горения
газов в ОШ. В одном из них [2] применяется предельно упрощенная схема, основанная на
эмпирических зависимостях интегральных характеристик – эффективного диаметра, времени
горения и излучающей способности ОШ от массы аварийного выброса топлива. В другом –
сложная внутренняя структура ОШ изучается с привлечением моделей и методов, разработанных в гидродинамике конвективных течений и теории радиационного переноса [3, 4]. Согласно этому подходу скорость горения лимитируется процессом турбулентного смешения
компонентов горючей смеси, тогда как сама химическая реакция считается бесконечно быстрой. Третий подход основан на применении теории тепломассообмена для построения инженерных моделей горения газовых смесей.
Целью данной работы является построение инженерных вычислительных моделей горения газов с различной степенью перемешивания с использованием апробированных методов теории тепломассообмена.
1. Физико-химическая модель
В аварийных ситуациях наблюдаются различные сценарии образования парового облака, его смешения с окружающим воздухом и зажигания горючей смеси от источника.
Например, при разливе нефтепродуктов образующаяся переобогащенная смесь горит вокруг
своей внешней оболочки [1, 5]. При разгерметизации емкостей высокого давления и мгновенном выбросе топлива образующаяся смесь горит в ядре ОШ [3, 4]. Известны режимы горения в бунзеновских горелках [6], когда частично перемешанная газо-воздушная смесь
начинает гореть в ядре пламени и «догорает» на её границе. Очевидно, в процессе эволюции
ОШ могут также наблюдаться различные режимы горения газов.
Предварительная оценка составляющих теплового баланса превращения химической
энергии при аварийном выбросе углеводородного топлива показывает, что примерно три
четверти этой энергии выделяется в ядре ОШ, а одна четверть – на его периферии. В [6] считается, что в ядре ОШ химическая энергия аккумулируется в виде нагретых горючей смеси и
продуктов горения, а на периферии происходит полное сгорание горючей смеси и истечение
продуктов при температуре горения в окружающее пространство. В [7] при построении полуэмпирической модели горения ракетного топлива в аварийных ситуациях принято равноТом 2, 2010, № 1
15
Математические модели техногенных и природных катастроф
мерное тепловыделение в объеме ОШ и нормальное распространение пламени на его поверхности. В связи с изложенным в данной работе, предлагается двухзонная физикохимическая модель, схематично представленная на рис. 1.
Рис. 1. Структура сферического пламени
В первой зоне происходит поверхностное горение на границе ОШ, во второй – объемное горение частично перемешанной газовой смеси. В обеих зонах происходит диффузионное горение газовой смеси, скорость которого зависит не только от условий перемешивания,
но и от кинетических параметров. Согласно классической теории диффузионного горения
газовых смесей, фронт горения устанавливается в тех локальных объемах, где окислитель и
горючее поступают в стехиометрическом отношении. При этом максимальная скорость
диффузионного горения равна максимальной скорости нормального распространения пламени [2, 8, 9]. Можно ожидать, что для частично перемешанных газов нормальная скорость
распространения фронта химических реакции будет зависеть от влияния физико-химических
факторов – давления, температуры горения, температуры подогрева исходной смеси, концентрации горючего и окислителя на нормальную скорость горения, условно называемой
стандартной [10].
2. Вычислительная модель
В качестве исходной модели процесса объемного горения газов в ядре ОШ принято
известное уравнение теории горения в сферической системе координат:
c(t) ρ(t)
∂t(r, τ) ∂
∂
t
2∂
t

  λэкв - c(t) ρ(t) ut   λэкв
 w(r, τ)  Q(  ) .
∂
τ
∂
r
∂
r
r∂
r

(1)
Начальные значения теплофизических свойств принимаются при нормальных условиях. Граничные условия записываются в виде:
при r=0
T
0;
r
при r=R
T(R, )=Tа
(2)
Условия на подвижной границе: скорость перемещения подвижной границы относительно эпицентра равна векторной сумме нормальной скорости горения на поверхности ОШ
и скорости расширения газовой смеси в объеме ОШ:
  u n  р
(3)
Кинетика химических реакций в ядре ОШ учитывается зависимостью скорости реакции от концентрации горючего:
dС
  κС
(4)
dτ
Значение коэффициента к определяется из граничных условий:
при τ=0
С=С0 ;
при τ=ts
С=0,
(5)
16
Безопасность критичных инфраструктур и территорий
Математические модели техногенных и природных катастроф
ts – рассчитывается по эмпирическим формулам [2].
По данным [2, 3, 6] после расширения горючей смеси в объеме ОШ устанавливается
практически равномерное распределение температуры. Тогда уравнение состояния горючей
смеси и продуктов горения в ядре ОШ представляется в виде:
PVсм  νсм RμTсм
(6)
В первом приближении можно принять равномерное распределение объемного источника излучения, значение которого рассчитывается из баланса энергии излучения в объеме и на поверхности ОШ:
w( τ) 
3q
;
Rn
T 
q  εσ см 
 100 
4
(7)
Дополнительно на подвижной границе записывается уравнение неразрывности:
ρn (t)
ρ (t)
 u n n
τ
r
Система уравнений (1)-(8) решается численным методом конечных разностей.
(8)
3. Влияние физико-химических факторов на скорость горения
Исследование влияния физико-химических параметров на нормальную скорость горения газовых смесей имеет важное теоретическое и практическое значение при решении двух
проблем:
 проектирование технических устройств для сгорания топлив и камер сгорания летательных аппаратов;
 оценка пожарной опасности топлив при их аварийном выбросе и зажигании в
окружающем пространстве.
В литературе приводятся многочисленные результаты фундаментальных экспериментальных исследований по влиянию начальной температуры, давления и концентраций горючего и окислителя на нормальную скорость горения, а также зависимости скорости горения
от адиабатической температуры пламени. Результаты этих данных проанализированы и
обобщены Полежаевым [10].
Простейшая теоретическая модель и приближенная формула для расчета скорости горения впервые предложены Зельдовичем и Франк-Каменецким [11]. Однако для ее практического использования необходимо знать значения энергии активации во всем диапазоне температур, предэкспонента и ряда других трудно определимых параметров.
Одним из возможных методов расчета скорости стационарного горения является численное моделирование нестационарного процесса, включающего стадию зажигания и установления стационарного режима распространения волны горения [12].
Целью представленных исследований является идентификация физико-химических
характеристик и кинетических параметров с использованием решения нестационарной задачи после установления стационарного режима и принципа расщепления по физикохимическим процессам. В предлагаемом подходе рассматриваются две последовательные
стадии - молекулярный перенос с тепловыделением химического превращения и конвективный перенос. Такой режим условно можно назвать квазистационарным, модель которого
приводится ниже.
Том 2, 2010, № 1
17
Математические модели техногенных и природных катастроф
3.1 Квазистационарная модель
Упрощенная модель для необратимой реакции первого порядка при равенстве коэффициентов теплопроводности и диффузии в системе координат, связанной со стационарной
волной горения, представляется в следующем виде:
T    dT 
 T
Cр 
 un
(9)
  
  Qw
x  x  dx 
 

w
 1   kexp E / RТ 
(10)

(11)
  0 : T  T0 ,  0, un  0
dT
при 0 < τ   *
(12)
, un  0
dx
d
при  > 0
q( )  0, Т  Т а ,
0
(13)
d
d
x   : Т  Т 0 ,
 0.
(14)
d
Здесь  - глубина превращения; u n - нормальная скорость горения; Q - тепловой эффект реакции на единицу массы смеси;  - коэффициент теплопроводности; C р - удельная
x  0 : q( )  
теплоемкость;  - плотность; k - предэкспоненциальный множитель; E - энергия активации;
w - скорость химической реакции;  * - время зажигания; T a - адиабатическая температура.
В первой стадии квазистационарного режима скорость распространения пламени приравнивается нулю и решается уравнение
T
2 T
(15)



cP   x2  Qw.
Во-второй - нулю приравнивается правая часть уравнения (9). Полученное на первой
стадии решение по распределению температуры и глубины превращения в волне горения
«сдвигается» по координате x на величину, равную произведению скорости горения на период стадии. При этом значения температур и глубины превращения уменьшаются, а на следующей стадии снова восстанавливаются. Эти изменения описываются уравнениями
T
T
;
  un

x


 un
,

x
(16)
из которых рассчитывается скорость горения.
Таким образом, квазистационарный режим в вычислительном эксперименте представляет собой периодические колебания температуры, глубины и скорости превращения с
максимальной частотой, обеспечивающей устойчивость разностных схем квазистационарной
модели. Автоматизированный подбор параметров волны горения для реализации квазистационарного режима может осуществляться методами оптимизации.
18
Безопасность критичных инфраструктур и территорий
Математические модели техногенных и природных катастроф
3.2. Анализ результатов
Результаты вычислительного эксперимента представлены на рис.2 и в табл.1. На рис.
1а представлены результаты расчета последней итерации для стехиометрической смеси метана с воздухом, для которой E/R =29200 и К=1.79∙109.
a
b
Рис.2. Результаты вычислительного эксперимента
a – изменение параметров в волне горения, b – зависимость скорости горения от адиабатической температуры
На рис.2 b представлена зависимость скорости горения от адиабатической температуры в полулогарифмической системе координат. Значение скорости изменяется при подогреве
исходной смеси от нормальной температуры до 1173 К и захолаживанием от нормальной
температуры до 80 К.
Дополнительно в таблице приводятся значения скорости горения, рассчитанные по
формуле Зельдовича [13] с изменением пределов интегрирования
un 
T0
1
c   T a  T 0 
2  Qw(T )dT ,
(17)
Tа
и по уравнению
L 
un  
 
dx ,
(18)
где ξ- подвижная граница волны горения, L- граница прогретой области, при которой
скорость реакции пренебрежимо мала по сравнению с максимальным значением.
Табл.1
Нормальная скорость
Ширина реакгорения u n , см/с
λ, Вт/м·К
Т0, К
Та, К ционной зоны,
u0
по фор-ле
по
по форbт, мм
(16)
урав.(8)
ле (17)
2.2
2.2
2.2
2.3
0.027
80
1877
0.63
5
4.99
4.99
5.0
0.059
123
1976
0.73
10
9.99
9.96
10.1
0.115
173
2068
0.80
20
20.15
20.1
20.1
0.225
223
2169
0.84
28
28
28
28
0.292
293
2225
0.89
100
101.7
101.2
99.4
0.8
393
2471
0.95
150
150.7
150.4
147.7
1.1
653
2557
1.00
200
201.6
197.5
199.2
1.38
723
2624
1.05
350
350.8
350
336
1.84
973
2780
1.10
500
505
510
466.5
2
1173
2900
1.20
Том 2, 2010, № 1
19
Математические модели техногенных и природных катастроф
Сравнение расчетных и экспериментальных данных, представленных на рис.3, показывает на их хорошую сходимость.
Как видно из рис. 3а, расчетное значение Е/R отличается на 5% от экспериментальных
данных, которые аппроксимируют опытные данные для 14 углеводородных смесей. Для смеси 6% метана с воздухом в [13] приводится значение Е/R=28700, что менее чем на 3% отличается от результатов данной работы.
Расчетные значения Т0, отмеченные квадратными точками на рис.3b, хорошо согласуются с экспериментальными данными [10]. Значение адиабатической температуры при
нормальных условиях, как видно из рис. 3с, отличается от метода термодинамического расчета [15] не более 5 К.
с
Рис.3. Обобщенные экспериментальные данные по влиянию физико-химических параметров на нормальную скорость распространения пламени: a – влияние на скорость горения адиабатической температуры, b – начальной температуры, c – зависимость температуры
продуктов горения от давления и состава смеси.
Как видно из табличных данных, при увеличении начальной температуры смеси от 80
К до 1200 К нормальная скорость горения возрастает в сотни раз.
Очевидно, данное явление можно объяснить генерированием турбулентности в процессе горения газовых смесей, которое впервые теоретически обосновал Ландау [16]. Незначительные случайные возмущения приводят к искривлению плоского фронта пламени уже
при числах Рейнольдса порядка единицы.
4. Результаты и их обсуждение
Алгоритм решения вычислительной модели (1)-(18) для расчета энергетических характеристик горения углеводородных газов в структуре сферического пламени реализован в
виде комплекса компьютерных программ. Результаты вычислительного эксперимента по моделированию процессов горения углеводородных газов в структуре сферического пламени
представлен на рис. 4.
Сравнение результатов расчета характеристик горения углеводородных газов при аварийном выбросе топлива в диапазоне массы от 1 до 5000 тонн с экспериментальными данными подтверждает адекватность инженерной вычислительной модели.
20
Безопасность критичных инфраструктур и территорий
Математические модели техногенных и природных катастроф
Рис. 4. Зависимость концентрации топлива (1), температуры газовой смеси в ОШ (2), относительных радиуса (3), энергии излучения (4) от времени горения топлива.
эмпирические формулы [2]; , – эксперимент с массой топлива до 1 т [3];
вычислительная модель
Моделирование горения углеводородных газов в структуре сферического пламени
позволяет количественно описать динамику физико-химических процессов как на поверхности ОШ, так и в его объеме для массы аварийного выброса топлива до несколько тысяч
тонн. В первой четверти периода времени горения ОШ скорости горения и тепловыделения
принимают относительно наибольшие значения, что приводит к нагреву и расширению газовой смеси и увеличению диаметра шара от начального до максимального значения (рис. 4). В
экстремальной точке изменения диаметра ОШ поверхностное горение гасится из-за снижения концентрации горючего до предельного минимального значения. При этом скорость
охлаждения газовой смеси за счет излучения и скорость нагрева за счет химических реакций
становится равными. В оставшиеся приблизительно три четверти периода скорость излучения превалирует над скоростью горения, и диаметр шара уменьшается до тех пор, пока не
прекратятся все химические реакции.
5. Выводы
1. Разработана инженерная вычислительная модель для расчета энергетических характеристик горения углеводородных газов в структуре сферического пламени.
2. В вычислительном эксперименте установлена адекватность модели реальным процессам в огненном шаре при аварийном выбросе топлива.
3. Модель горения может быть использована в качестве элемента системы «источник
излучения – объекты окружающего пространства» для оценки масштабов и прогнозирования
последствий аварийных ситуаций.
Литература
[1] Я.Б. Зельдович и др. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука. 1980. 478 с.
[2] В. Маршалл Основные опасности химических производств. М.: Мир. 1989. 671 с.
[3]Г.М. Махвиладзе, Дж.П. Робертс, С.Е. Якуш. Огненный шар при горении выбросов углеводородного
топлива. Физика горения и взрыва. 1999. Т.35. №3. с.17-19.
[4] В.Е. Селезнев. Численный анализ пожарной опасности магистральных газопроводов. Безопасность
труда в промышленности. 2005. №6. с.98-43.
[5] Б.Е. Гельфанд, Г.М. Махвиладзе, В.Б. Новожилов, И.С. Таубкин, С.А. Цыганов. Об оценке характеристик аварийного взрыва приповерхностного паровоздушного облака. Докл. АН СССР. 1996. Т.321. №5. c.979983.
[6] А. Гейдон, Х.Г. Вольфгард. Пламя, его структура, излучение и температура. М.: Металлургиздат.
1959. 333 с.
[7] С.Т. Суржиков Полуэмпирическая модель динамики и излучения крупномасштабных огневых шаров,
образующихся при авариях ракет. ТВТ. 1997. Т.35. №6. c.972-939.
[8] S.P. Burke, T.E. Shuman. Diffusion flames. Ind.Eng.Chem. 1928. Vol.20. No.10. P.998-1004.
[9] Основы горения углеводородных топлив: пер. с анг. Под ред. Чл-кор. Л.И. Хитрина. М.: Изд-во ин.
Литературы. 1960. 663 с.
Том 2, 2010, № 1
21
Математические модели техногенных и природных катастроф
[10] Законы горения. Под ред. Ю.В. Полежаева. М.: УНПЦ «Энергомаш». 2006. 351с.
[11] Я.Б. Зельдович, Д.А. Франк-Каменецкий. Ж.физ.химии, 1938, 12, с. 100.
[12] D.B. Spalding. Aircraft Engineering, 1953, v.25, p.264-276.
[13] Я.Б. Зельдович, Г.Ш. Баренблатт, В.Б. Либрович и др. Математическая теория горения и
взрыва.- М.: Наука, 1980. 478 с.
[14] Я.Б. Зельдович. Ж.физич.химии, 1948, 22, с.27.
[15] В.Е. Алемасов, В.Н. Дрегалин, А.П. Тишин и др. Термодинамические и теплофизические свойства
продуктов горения. Справочник. В 10 томах. Москва, 1971-1980.
[16] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
22
Безопасность критичных инфраструктур и территорий