Новосибирск, ИГД СО РАН - Институт горного дела СО РАН

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ МОДЕЛЕЙ БЛОЧНЫХ ГЕОСРЕД
Александрова Н.И., Сарайкин В.А., Черников А.Г., Шер Е.Н.
Новосибирск, ИГД СО РАН
Характерным для горных пород является их блочное строение. Это просматривается на
разных масштабных уровнях, начиная с размеров кристаллических зерен до блоков горного
массива, выделяемых крупными разломами [1]. Блоки некоторых уровней отделяются друг от
друга прослойками породы с ослабленными механическими свойствами, это сказывается на
процессе распространения волн в такой среде [2]. В работах [3 – 5] экспериментально показано,
что в блочной среде наблюдается распространение групп волн со скоростями много меньшими
скорости продольных волн в материале блоков, так называемых маятниковых волн.
Объясняется это развитием колебательного процесса в цепочке жестких, массивных блоков,
взаимодействующих через податливые прослойки. Общие закономерности, присущие волнам в
массивах горных пород, могут быть выявлены на моделях дискретно-периодического строения.
В настоящей работе приводятся результаты исследований распространения сейсмических
волн на одномерных моделях (глава 1) и на двумерной регулярной блочной структуре,
состоящей из прямоугольных блоков (глава 2).
1. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ БЛОЧНЫХ ГЕОСРЕД
В параграфе 1.1 приводятся результаты исследования волноводных свойств блочной
среды на примере дискретно-периодической системы, состоящей из упругих стержней,
соединенных пружинами. Как частный случай рассматривается цепочка масс. Показано, что в
стержневой системе при импульсном возбуждении возникают две группы нестационарных
волн. Определены их скорости распространения. Для низкочастотной волны получено
асимптотическое представление при большом времени с начала процесса. Построены
аналитические оценки спектра возмущений для стержневой системы и цепочки масс.
В параграфе 1.2. проведено экспериментальное исследование распространения волн
деформации при ударном нагружении стержневой системы, составленной из стальных
цилиндров, разделенных податливыми прослойками. Получено подтверждение существования
волн маятникового типа в блочных средах. Для численного описания развития волнового
Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН ( интеграционный проект № 129 )
процесса в стержневой системе была разработана вязкоупругая модель деформирования
материалов
прослоек,
использованных
в
эксперименте.
Показано,
что
скорость
распространения волн и степень их затухания в большей степени зависят от вязких свойств
материала прослоек.
В параграфе 1.3. проведено экспериментальное исследование распространения волн
деформации при ударном нагружении одномерной системы, составленной из компактных
блоков - кирпичей, без прослоек и разделенных податливыми прослойками. Проведено
сравнение
полученных
данных
с
результатами
расчетов
по
вязкоупругой
модели
деформирования прослоек параграфа 1.2. Показано, что предложенная расчетная модель при
надлежащем
подборе
параметров
удовлетворительно
описывает
распространение
низкочастотных “маятниковых” волн. Высокочастотные колебания, возникающие в блоках при
кратковременном ударном воздействии, распространяются по системе, быстро затухая. По
частоте они соответствуют различным модам собственных колебаний блоков.
1.1 ОДНОМЕРНЫЕ УПРУГИЕ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В БЛОЧНЫХ СРЕДАХ
Исследуются волноводные свойства блочной среды на примере дискретно-периодической
системы, состоящей из упругих стержней, соединенных пружинами [6]. Как частный случай
рассматривается цепочка масс, связанных пружинами. Динамические свойства последней
системы хорошо изучены, так анализ дисперсионных свойств и нестационарных процессов в
ней проведен в [7 – 9]. Ниже изучаются общие свойства и различия в спектральных
характеристиках возмущений и процессах распространения волн в цепочке масс и системе
стержней.
Постановка задачи. Рассматривается система однотипных упругих стержней, связанных
между собой пружинами (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Свойства системы описываются параметрами:  — плотность материала стержней, c —
скорость звука, l — длина, S — площадь поперечного сечения, k — жесткость пружин.
Уравнения движения стержней имеют вид:
uj  c 2uj ;
j  0,..., J ,
(1.1)
2
где u j — перемещение j-го стержня; штрих означает производную по продольной координате
x; точка — по времени t. На концах стержней напряжения пропорциональны относительному
удлинению пружин
SE u j
SE u j
x l ( j 1 / 2 )
x l ( j 1 / 2 )
 k (u j 1
 k (u j
x l ( j 1 / 2 )
x l ( j 1 / 2 )
uj
 u j 1
x l ( j 1 / 2 )
x l ( j 1 / 2 )
);
j  1,..., J ;
(1.2)
j  0,..., J  1 .
);
Здесь E — модуль Юнга. Все пружины одинаковы. Начальные условия нулевые. В момент
времени t = 0 к левому концу нулевого стержня прикладывается полусинусоидальная нагрузка
c амплитудой P0 :
E u 0
x  l / 2
Q(t )  sin(  t ) H 0 (   t ) H 0 (t ) ,
 P0 Q(t ) ;
(1.3)
где   — частота воздействия, H 0 — функция Хевисайда.
Проанализируем более простую модель данной системы. Заменим стержни жесткими
шариками, масса которых равна массе стержней m   lF , а жесткость пружин оставим
прежней. Уравнения движения такой системы:
mv j  k ( v j 1  2v j  v j 1 ) ;
( j  1,..., J  1) ;
mv 0  k ( v1  v 0 )  P0 SQ(t ) .
(1.4)
Здесь v j — перемещение j-го центра масс.
Аналитическое решение задач. Будем считать, что дискретная система бесконечна (  j  )
и к нулевому стержню (массе) приложена сила (1.3). Применим к уравнениям (1.1) – (1.4) с
нулевыми начальными условиями преобразование Лапласа по времени

f ( p) 
L
 f (t )e
 pt
dt ;
0
1
f (t ) 
2i
  i
f
L
( p)e ptdp .
 i
К уравнениям движения стержней (1.1) применим непрерывное преобразование Фурье по
пространственной координате x

f (q ) 
F
 f ( x )e

iqx
dx ;
1
f ( x) 
2

f
F
(q )e iqxdq ,

а к уравнениям (1.4) для цепочки масс применим дискретное преобразование Фурье по j
3
j 
f
Fd
f e
(q) 
iqjl
j
;
j  
l
fj 
2
 /l
f
Fd
(q)e iqjl dq .
 / l
Введем обозначения
u j ( X , t)
X  l / 2
 Wj ;
u j ( X , t)
X l / 2
 Vj ,
где X  x  jl,  l / 2  X  l / 2 . Тогда для j-го стержня из (1.1) имеем

p
pl
l 
 
u Lj ( X )  V jL sh   X    W jL sh    X  
2 
 
c 
c 2

sh
pl
.
c
(1.5)
Получим для стержневой системы связь непрерывного преобразования Фурье по x с
дискретным по j

u
LF


j 
u e dx 
L iqx
 u e
L iqX
dXe iqjl
j
 V LFd A( p, q)  W LFd B( p, q) ;
(1.6)
j   l / 2

A( p, q)  
B ( p, q ) 
l/2
 iql 2 
1
pl p
pl 
p
 ch   e iql 2  ,
 iq sh
e
2
c c
c 
c
(q  p /c ) sh ( pl / c) 

2
2
 iql 2 
1
pl p
pl  iql 2 p 
e
iq
sh

ch
.

e

c c
c 
c 
(q 2  p 2 /c 2 ) sh ( pl / c) 

Применяя дискретное преобразование Фурье к системе уравнений (1.5) с граничными
условиями (1.2) в предположении, что нагрузка приложена к середине нулевого стержня (для
симметрии), найдем систему алгебраических уравнений для определения V LFd , W LFd :
 pl 
 

pl 
pl
V LFd  ch
 sh   W LFd 1  sh e iqy  
c
p
c 
p
c



 

 pl 
pl
pl 
W LFd 1  sh e iqy   W LFd  ch  sh   
p
c
c
p
c 



2cP0 Q L sh
Ep
pl
2c ;
(1.7)
pl
pl
ch
2c
c .
Ep
2cP0 Q L sh
Из (1.6) и (1.7) получим решение задачи в изображениях для стержневой системы
u LF 
P0 Q L C ( p, q)
1
; C ( p, q ) 

ED( p, q)
2(q 2  p 2 /c 2 )ch( pl / c)
(1.8)
4


pl 
2 pl
p
2 pl  3iql / 2 pl
 p pl
 iqc 2 pl
 e iql / 2  sh
 3ch   e iql / 2 
sh
 ch
2
sh
ch  e 3iql / 2  ;
e
c
c 
c
c
2
c 
c




D( p, q )  cos ql  ch
pl
p
pl
kc

sh ;  
,
SE
c 2
c
(1.9)
где D( p, q) — дисперсионный оператор системы. Решение в изображениях для масс с
пружинами
P0 SQ L
,
mD( p, q)
v LFd 
D ( p, q )  p 2  4
ql
k
sin 2 .
m
2
(1.10)
Проведем анализ дисперсионных свойств двух моделей. Из дисперсионного уравнения
D (i , q )  0 , где  — круговая частота, для цепочки масс вычислим фазовую и групповую
скорости
cф 

q

2 k
ql
sin ,
q m
2
cг 
d
k
ql
l
cos .
dq
m
2
Видно, что они при q  0 равны по величине
cф
q 0
l
k
 c1 ,
m
cг
q 0
l
k
,
m
(1.11)
т. е. длинные волны движутся без дисперсии и формируют квазифронт.
Для стержневой системы появляются более высокие моды колебаний, связанные с
отражениями от концов стержней. Из уравнения (1.9) получить явные зависимости c ф , c г от
волнового числа q не удается, однако в предположении малости    l / c возможно получить
явные приближенные формулы для всех мод колебаний, которых бесконечно много из-за
периодичности тригонометрических функций. Для первой и второй моды зависимости частоты
 , фазовых c ф и групповых c г скоростей от волнового числа q имеют вид:
cфI 
2c1
ql
sin ,
ql
2
cфII 
1
4k
ql 
 2 
sin 2  ,
q
2m
2
0  2
c гI  c1 cos
k
,
m(1   / 3)
ql
,
2
 I   0 sin
cгII  c2 sin ql ,
1 
c
l
,
2 
ql
,
2
c1  l
 II  qcфII ,
k
;
m(1   )
c2 
2c
2
;
(1.12)
(1.13)
c 
4 
.
1

l   2  4  
5
Качественно поведение дисперсионных кривых для цепочки масс и для первой моды
колебаний стержневой системы совпадает, количественно есть небольшие различия —
максимальные значения c ф и c г
стержневой системы уменьшаются в
сравнению с цепочкой масс, максимальная частота — в
колебаниям с периодом равным
1   раз по
1   / 3 . Частота  1 соответствует
времени пробега продольной волны по стержню туда и
обратно. Из формул (1.12), (1.13) следует, что c 2  c1 с ростом  , тем не менее, для всех
параметров задачи c1  c2 , т. е. высокочастотная волна никогда не обгоняет низкочастотную.
На рис. 1.2 представлены графики зависимости частоты  от волнового числа q ,
найденные из дисперсионного уравнения (1.9) для первых двух мод колебаний (   0.2 ).
Пунктирные линии соответствуют приближенным значениям  0 , 1 ,  2 . Видно, что они с
большой точностью совпадают с численными результатами для малых  . Если дисперсионное
уравнение D = 0 представим в виде cos ql  K ( ) , то области частот, где
K ( )  1,
соответствуют зонам пропускания, для которых существуют распространяющиеся волны. Для
частот,
удовлетворяющих
неравенству
K ( )  1 ,
дисперсионное
уравнение
имеет
комплексное решение, которое определяет затухающие волны. Таких зон для стержневой
системы бесконечно много. Первая зона непропускания  0    1 . Для цепочки масс такой
зоной является интервал   2 k / m .
Рис. 1.2
Проведем анализ распространения низкочастотных возмущений. Для этого воспользуемся
обращением изображений (1.8), (1.10) на луче x  ct (c  c1  c, c  0) [7]. В задаче о
возбуждении цепочки масс нагрузкой (1.3) асимптотика длинноволновых возмущений ( q   )
при t   в окрестности квазифронта x  c1t имеет вид:
P0 Sc1l dAi( )
P0 Sl
P0 S
v j  
v j  
Ai( ) ,
v j 1  v j 
Ai( ) ,
,
2/3
1/ 3
d
m * ( t )
m  ( t )
m  c1 ( t )1 / 3
6
Ai( ) 
1




cos( z  z 3 3)dz ,
0
jl  c1t
( t )
1/ 3
 
,
c1l 2
,
8
c1  l k .
m
(1.14)
Здесь Ai ( ) — функция Эйри [10]. Видно, что с ростом времени амплитуда скоростей и
разности смещений масс падает пропорционально t 1 / 3 , амплитуда ускорений падает
пропорционально t 2 / 3 . Максимумы ускорений достигаются при   0 , что соответствует
t  jl / c1 . Из формулы (1.14) следует, что для больших j закон затухания асимптотически
стремится к степенному: maxv j maxv1  j 2 3 .
Для стержневой системы асимптотика низкочастотной продольной волны имеет
аналогичный вид с другими коэффициентами
P0 c1lk dAi( ) u
P0 c12
 2u
,




Ai( ),
t
t 2
E * ( t ) 2 / 3 d
E  ( t )1 / 3

x  c1t
( t )
1/ 3
,
 
c1l 2
8(1   )
2
(1.15)
k
.
m(1   )
c1  l
,
P0 c1
u

Ai( ),
x E  ( t )1 / 3
Спектральный анализ. Исследуем спектральные характеристики возмущений для
полубесконечной цепочки масс. Применим преобразование Фурье по времени

~
L
f ( ) 
 f (t )e
it
dt ,
0
~
к системе (1.4). Решение преобразованной системы ищем в виде v Lj  Ve i j . Коэффициент V
находится из граничных условий. В результате получим:
~
~
v Lj1  v Lj 
P0 S L~ i ( j 1)
,
Q e
k
  2 arcsin(  ) ,


,
0
0  2
k
.
m
Отсюда следует, что спектр относительного удлинения пружин определяется формулой
~
~
v Lj1  v Lj 
P0 S L~
Q
k

 1,   1 ,
 2( j 1) ln( 

e
 2 1)
,
  1.
(1.16)
Для полусинусоидального импульса (1.3) спектр нагрузки
~
QL 
2  cos( / 2 * )
.
 2   2
Проводя аналогичные рассуждения, для стержневой системы получим спектр деформаций
в середине стержней
7
~
u Lj
G ( ,   ) 
x
X 0
 1 , 0     0  1     2 ( K  1);
~
P0 Q L R 
r
2 j ln(     )

,  0    1 ( K  1);
e
EM 
r
 e 2 j ln(    ) ,  2     3 ( K  1);
2( K  L) 2 

R  (1  K )(1  L) 
1  2K  L 

K  cos
l
c

l

,
sin
2
c
1/ 2
L  cos
,
(1.17)
M  L(2K  L)  11/ 2 ,
l 
l
,
 sin
c 
c

K 1
,
2

K 1
.
2
Здесь  3 — начало следующей зоны пропускания. Область    3 в данной работе не
рассматривается. Из (1.17) видно, что интервалы  0    1 и  2     3 соответствуют
волнам, распространяющимся с затуханием. Из этой формулы следует, что справедливо
соотношение G(1,1 ) / G(0,1 )   2 /(8 ) , которое показывает, что амплитуда спектра на
частоте   1 при    2 / 8 превосходит амплитуду для   0 при полусинусоидальном
воздействии (1.3) с частотой  1 .
Численные результаты. Аналитические оценки (1.14),(1.15) получены для бесконечно
большого времени и для низкочастотных волн. Для того чтобы определить пределы
применимости полученных асимптотических решений (1.14), (1.15) и найти решения для всех
длин волн, проводились численные расчеты и сравнение аналитических оценок с численными
результатами. Система уравнений (1.1) с нулевыми начальными и граничными условиями (1.2),
(1.3) решались методом конечных разностей по явной схеме типа “крест”. Численная
дисперсия минимизировалась с помощью оптимального выбора шагов сетки по пространству
(h) и времени (  ): c  h . Система уравнений (1.4) решалась также методом конечных
разностей: вторые производные по времени заменялись их разностным аналогом.
На
рис. 1.3
приведены
графики
относительных
удлинений
20-й
пружины
v 20  ( v 20  v19 )k / P0 S , рассчитанные для цепочки масс при полусинусоидальном воздействии
(1.3) (толстая линия — конечно-разностное решение, тонкая — аналитическое решение (1.14)).
Пунктир соответствует квазифронту x  c1t (1.11). Параметры задачи следующие: m = 4.875 кг,
k = 48.75 кг/мс 2 ,    32.64 мс 1 ,   0.001 мс, J  50 . Анализ результатов показал, что
асимптотика (1.14) качественно и количественно очень хорошо описывает распространение
8
длинноволновых возмущений в окрестности квазифронта в цепочке масс уже при j  5 . Эти
низкочастотные волны названы в [2] волнами маятникового типа.
Рис. 1.3
~
L
На рис. 1.4 представлены графики спектра возмущений v10
(толстая линия — конечно-
разностное, тонкая — аналитическое решение (1.16)). Параметры задачи те же, что и на
~
L
рис. 1.3. Оценка (1.16) удовлетворительно совпадает с численными расчетами спектра v10
для цепочки масс. Различия связаны с тем, что аналитическое решение получено, во-первых,
для полубесконечного интервала времени, во-вторых, для дифференциального уравнения, в то
время как численные результаты получены для конечного интервала и для конечноразностного решения.
Рис. 1.4
Характер распространения возмущений по стержневой системе для случая резонансного
возбуждения (    1 ) полусинусоидальной нагрузкой (1.3) проиллюстрирован на рис. 1.5, где
приведены графики деформаций u j E / P0 (рис. 1.5а — j = 5, рис. 1.5б — j = 10, рис. 1.5в —
j = 20) и скорости u j E / P0 (рис. 1.5г — j = 5) в середине стержней ( X  0 ). Пунктирные линии
9
указывают положение квазифронтов x  c1t , x  c2 t . Параметры задачи:   7800 кг/м 3 , l =
0.5 м, S = 0.00125 м 2 , k = 48.75 кг/м 2 , c = 5 м/мс,   0.001 мс, h = 0.005 м, J  50 . Данным
параметрам соответствуют m = 4.875 кг и   0.1. Конечно-разностное решение для цепочки
масс (m = 4.875 кг, k = 48.75 кг/м 2 ,   0.001 мс) представлено на рис. 1.5в тонкой линией.
Асимптотика длинноволновых возмущений (1.15) не приведена, поскольку точно так же как в
цепочке масс, она с большой точностью описывает амплитуду и форму головного пика. На
рис. 1.6 представлены графики деформаций при   0.4 (k = 195 кг/м 2 ), рис. 1.6а — j = 5,
рис. 1.6б — j = 10, остальные параметры те же, что и на рис. 1.5.
10
Рис. 1.5
Сравнение рис. 1.5а,г показывает, что в низкочастотной волне для скоростей и деформаций
выполняется соотношение u  c1u  , в то время как для высокочастотных волн поведение
огибающих существенно отличается. На рис. 1.5, 1.6 видно, что позади длинноволновых
возмущений, распространяющихся со скоростью c1 , движутся высокочастотные возмущения,
частота которых равна 1 , скорость движения огибающей этих волн близка к максимальной
групповой скорости второй моды c 2 , а максимальная амплитуда превосходит амплитуду
длинноволновых возмущений, если    1 . Увеличение  приводит к росту скоростей c1 , c 2 и
к повышению частоты огибающей (рис. 1.5, 1.6). Вывод о том, что скорость маятниковых волн в
цепочке масс больше, чем в цепочке стержней, если жесткости пружин и массы шариков и
стержней для обеих систем одинаковы, подтверждает рис. 1.5в.
Рис. 1.6
11
Как
показали
расчеты,
перераспределение
энергии:
с
уменьшением
амплитуда
частоты
воздействия
низкочастотной
волны

растет,
происходит
амплитуда
высокочастотной волны убывает. Во внутренних сечениях стержня на деформацию оказывает
большое влияние отражение волн от торцов стержня, в то же время эти отражения мало
сказываются
на
относительном
удлинении
пружин,
соединяющих
стержни
( u j  (u j  u j 1 )k / P0 S ).
На рис. 1.7 приведен спектр деформаций (толстая линия) в центре 10-го стержня, движение
которого представлено на рис. 1.4б. Тонкая линия соответствует аналитической оценке (1.17) на
интервале    0 , пунктирные линии — значения частот  0 , 1 ,  2 . В отличие от цепочки
масс появляется узкий пик, соответствующий зоне пропускания 1     2 . Высота пика
примерно в 1.5 раза меньше значения G(0, 1 ) 2 /(8 ) , найденного аналитически, что связано с
погрешностями численного решения.
Рис. 1.7
Выводы. На примере стержневой модели показано, что при ударном возбуждении в блочной
среде возникают две группы нестационарных волн. Со скоростью c1 движется низкочастотная
волна, амплитуда скоростей в которой убывает пропорционально t 1 / 3 с ростом времени при
полусинусоидальном воздействии. Для описания низкочастотных волновых процессов система
стержней может быть заменена цепочкой шариков той же массы, что и стержни, но с
уменьшенной в 1   раз жесткостью пружин. Со скоростью c 2 движется высокочастотный
пакет волн, основная частота которого равна собственной частоте колебаний отдельного
стержня.
Таким образом, определяя в эксперименте частоты и скорости распространения этих групп
волн, можно определить структуру и механические параметры блочной среды.
12
1.2 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В СОСТАВНОЙ
СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ
В представленном исследовании для моделирования блочной структуры использовались
стальные стержни диаметром 25 мм и длиной 100 мм, разделенные прослойками, которые
изготавливались из листовой плотной и пористой резины, линолеума и пенопласта [11].
Преимуществом стальных стержней является возможность использовать при теоретическом
моделировании процесса распространения волн в цепочке “стержни – прослойки” одномерные
схемы деформирования.
Стержни, разделенные прослойками, располагались в вертикально установленной трубе с
продольными прорезями для вывода кабелей регистрирующих движение датчиков. В качестве
таких датчиков использовались акселерометры, встроенные продольно в несколько стержней.
Эти стержни распределялись по длине верхней части сборки. По свободному торцу верхнего
стержня производился удар, интенсивность которого фиксировалась акселерометром,
установленным на ударнике. Длина сборки (2 м) позволяла регистрировать колебания
стержней с акселерометрами до прихода волн, отраженных от нижнего торца сборки.
В экспериментах варьировались материал прослоек, длительность нагружающего ударного
импульса и его амплитуда. Часть экспериментов проводилась в условиях поджатия сборки
стержней с прослойками внешними натянутыми резиновыми тягами.
Характерным для данных, полученных в экспериментах, явилось выделение двух типов
волн: низкочастотных и отстающих от них высокочастотных. Частота последних — 25 кГц,
совпадает с частотой собственных колебаний свободного стального стержня длиной 100 мм.
Качественно такое поведение волн в составной системе “упругие стержни – пружины”
совпадает с описанным теоретически в параграфе 1.1.
В отличие от данных теории в экспериментах наблюдается более интенсивное затухание
волн в процессе их распространения. Особенно это касается высокочастотных волн, которые
затухают очень сильно и практически регистрируются только на первых трех стержнях.
Сильнее они возбуждаются при коротком ударном импульсе и распространяются дальше с
увеличением жесткости прослоек. На рис. 1.8 приведены осциллограммы ускорений на первом,
третьем и одиннадцатом стержнях в составной системе с прослойками из плотной резины.
13
Рис. 1.8. Экспериментальные осциллограммы ускорений на первом, третьем и одиннадцатом
стержнях при коротком ударном импульсе
Другим отличием результатов данных экспериментов от теоретических явилось
значительное расхождение в величинах скорости распространения низкочастотных волн.
Теоретические значения, определенные по статическим значениям жесткости прослоек,
оказались в несколько раз меньше экспериментальных. Все это можно объяснить неупругим
поведением прослоек при деформировании в связи с чем было проведено исследование
деформационных свойств прослоек при разных скоростях нагружения. В диапазоне
  5  103  1 c 1 нагружение проводилось на испытательном прессе Instron. Испытания
показали, что для плотной резины (рис. 1.9) и линолеума характерен нелинейный рост модуля
сжатия, гистерезис при разгрузке и значительное влияние скорости деформирования на вид
диаграммы нагружения. Для пористой резины и пенопласта влияние скоростей нагружения
оказалось слабым. Также мало отличие ветвей нагружения и разгрузки.
Данные по жесткости прослоек, полученные на Instron, приведены в таблице для силы
сжатия 120 н и двух скоростей нагружения. Статическая жесткость K st соответствует
минимальной скорости нагружения   5  103 c 1 , динамическая
Kd
определена при
  1.2 c 1 .
14
Рис. 1.9. Диаграммы сжатия – растяжения прослоек из плотной резины при разных скоростях
нагружения
Более быстрое нагружение (   10  50 c 1 ) проводилось на ударном стенде, схема
которого приведена на рис. 1.10. Испытываемая прослойка 1 помещалась между двух стержней
2 и 3, нижний 3 помещался в обойме 4 и имел возможность свободно скользить в ней. Верхний
стержень 2 был снабжен акселерометром 5. При поднятии системы и последующем бросании,
нижний стержень ударялся о массивное основание. После этого начиналось колебательное
движение верхнего стержня, регистрируемое с помощью акселерометра.
Для анализа данных таких испытаний было проведено моделирование работы ударного
стенда по схеме рис. 1.11, в которой стержни заменены массами m1 и m2 , а прослойка —
идеальной пружиной искомой жесткости K s . Нижний торец стержня 3 имел сферическое
закругление. Это позволило в расчетной схеме использовать закон взаимодействия Герца,
определяемого коэффициентом C [12]. Ускорение верхнего стержня x1 (t ) находилось в
результате решения системы дифференциальных уравнений
m1x1  m1g  ( x1  x2 ) K s ,
(1.18)
m2 x2  m2 g  C x 21.5  ( x1  x 2 ) K s
с начальными условиями при t  0 : x1  x2  0, x1  x 2  V0 , где V 0 — скорость стержней в
момент перед ударом. По осциллограммам записей x1 (t ) находился период времени от начала
15
импульса до точки минимума сигнала T p . По значениям T p с помощью итерационных
расчетов системы (1.18) определялись жесткости прослоек K s , значения которых приведены в
таблице. Из нее видно, что у плотной резины и линолеума наблюдается заметное увеличение
жесткости с увеличением скорости деформирования. У пенопласта и пористой резины этот
эффект менее заметен. Для описания нелинейных свойств деформирования прослоек была
использована модель, представленная на рис. 1.12 в виде комбинации упругих и
демпфирующих элементов.
Рис. 1.10
Рис. 1.11
Сила сжатия F упругого элемента определяется соотношением F  K , демпфирующего
— F   , где  ,  — удлинение и скорость удлинения элемента, K,  — жесткость и
коэффициент вязкости. Если упругий и демпфирующий элементы соединены последовательно,
то F определяется из уравнения — F / K  F /    . Интегрируя его, получаем
t

K
F  K e t  dt ,   .

0
В случае параллельного соединения силы, действующие со стороны каждого элемента,
r
складываются. В результате для модели рис. 1.12 сила F j , действующая на массу с
координатой x j справа, выражается формулой
t

F jr  K 2 ( x j 1  x j )  2 ( x j 1  x j )  K1e1t e1t ( x j 1  x j ) dt .
(1.19)
0
16
Рис. 1.12. Вязкоупругая модель прослойки
l
Аналогичное уравнение есть и для силы F j , действующей слева. Используя закон
r
l
движения mx j  F j  F j , получаем систему уравнений, определяющих движение масс в
составной сборке
t
mxj  K 2 ( x j 1  2 x j  x j 1 )  2 ( x j 1  2 x j  x j 1 )  K1e
1t
 e
t
1
( x j 1  2 x j  x j 1 ) dt , 1 
0
K1
1
.(1.20)
Для медленных нагружений силы, создаваемые демпфирующими элементами, малы и
поведение прослойки определяется упругим элементом K 2 . Таким образом можно принять
K 2  K st . Для больших скоростей жесткость прослойки приближается к K V  K1  K 2 .
Параметры K1 , 1 и  2 модели прослоек, представленной на рис. 1.12, не известны. В
настоящей работе значения их подбирались из условия наилучшего согласования
экспериментальных и теоретических данных. Особое внимание при этом обращалось на
соответствие величин скорости распространения низкочастотной волны, её периода и
коэффициента затухания.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ЦЕПОЧКЕ СТЕРЖНЕЙ,
СВЯЗАННЫХ ВЯЗКОУПРУГИМИ ПОСЛОЙКАМИ.
Рассмотрим модель, состоящую из системы одинаковых упругих стержней, связанных
между собой прослойками. Движение стержней описывается уравнениями (1.1). Прослойки
моделируются так же, как и для цепочки масс (рис. 1.12). Все прослойки между стержнями
одинаковы. Силы F jr , Fjl , действующие справа и слева на j-й стержень со стороны прослоек,
согласно (1.19), определяются формулами
17
SE u j
 F jl   K 2 (u j 1
x l ( j 1 / 2 )
x l ( j 1 / 2 )
uj
x l ( j 1 / 2 )
)  2 (u j 1
x l ( j 1 / 2 )
t
 K 1e
1t
e
1t
(u j 1
x l ( j 1 / 2 )
 u j
x l ( j 1 / 2 )
K1
) dt ; j  1,..., J ;  1 
1
0
SE u j
 F jr  K 2 (u j 1
x l ( j 1 / 2 )
x l ( j 1 / 2 )
uj
x l ( j 1 / 2 )
)  2 (u j 1
 u j
x l ( j 1 / 2 )
)
(1.21)
;
x l ( j 1 / 2 )
 u j
x l ( j 1 / 2 )
)
t
 K 1e
1t
e
1t
(u j 1
x l ( j 1 / 2 )
 u j
x l ( j 1 / 2 )
) dt ;
j  0,..., J  1 .
0
Полагаем, что на месте ( J  1 )-го стержня стоит жесткая стенка: u J 1  0 .
t
SE u J
x l ( J 1 / 2 )

FJr
 K 2 u J
x l ( J 1 / 2 )
 2 u J
x l ( J 1 / 2 )
 K 1e
1t

e1t u J
x l ( J 1 / 2 )
dt.
(1.22)
0
Начальные условия нулевые. В момент времени t = 0 к левому концу нулевого стержня
прикладывается полусинусоидальная нагрузка (1.3) c амплитудой P0 .
Для цепочки масс использовалась система уравнений (1.20) для j  1,..., J  1 и уравнения
для нулевой и последней массы
t
mx0  K 2 ( x1  x0 )  2 ( x1  x0 )  K1e
1t
 e
t
1
( x1  x0 )dt  SP0Q(t ) ;
0
(1.23)
t
mxJ  K 2 ( xJ 1  2 xJ )  2 ( x J 1  2 x J )  K1e
1t
e
1t
( x J 1  2 x J )dt .
0
Исследуем дисперсионные свойства цепочки масс с пружинами и демпферами. Применим к
уравнениям (1.19) с нулевыми начальными условиями преобразование Лапласа по времени c
параметром p и дискретное преобразование Фурье с параметром q. Получим решение задачи в
изображениях
x LFd 
P0 SQ L
,
D ( p, q )
D ( p, q ) 
mp3 mp2
qy  2 p 2
 K   K 


 4 sin 2
 p1  2  2   2  ,
K1
1
2  K1
 K1 1  1 
(1.24)
где D ( p, q ) — дисперсионный оператор системы. Подставим c  c1  ic 2 в дисперсионное
уравнение D(iqc , q)  0 , где c1 , c 2 принимают только вещественные значения. Величина c1
есть фазовая скорость волн, c2 характеризует затухание. Анализ дисперсионного уравнения
показывает, что при всех значениях волнового числа q выполняется неравенство
18
c1  l
K1  K 2
c,
m
(1.25)
а фазовая скорость бесконечно длинных волн ( q  0 ) равна
c1 q0  l
K2 ~
c .
m
(1.26)
Зависимость c1(q) определялась численно из дисперсионного уравнения (1.24). Результаты
расчетов c1(q) представлены на рис. 1.13 (  2  1 кг/мс, K1  5 кг мс 2 , K 2  5 кг мс 2 ,
l  0.1 м, m  0.3822 кг). Кривой 1 соответствует 1  100 кг мс , 2 — 1  10 кг мс , 3 —
1  1 кг/мс, 4 — 1  0.5 кг/м, 5 — 1  0.1 кг/мс.
Рис. 1.13. Зависимость фазовой скорости от волнового числа c1 ( q )
Из графика видно, что при некоторых параметрах максимальная скорость распространения
волн c достигается на волнах средней длины ( 0  q y  2 ), и она может быть выше скорости
длинных волн (например, кривые 1, 2, 3), причем, в зависимости от параметров задачи это
различие может быть значительным. Меняя параметр 1 , можем добиться того, что скорость
распространения волнового пакета, движущегося без дисперсии, будет меняться в пределах
c~  c  c . Заметим, что значение c примерно в 10 раз меньше скорости распространения звука

в стержне.
ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ И СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАМИ
Система уравнений (1.1) с нулевыми начальными и граничными условиями (1.21), (1.22)
решалась методом конечных разностей по явной схеме типа “крест”. Численная дисперсия
минимизировалась с помощью оптимального выбора шагов сетки по пространству (h) и
времени (  ): c  h . Система уравнений (1.20), (1.23) решалась также методом конечных
разностей: вторые производные по времени заменялись их разностным аналогом.
19
Экспериментальные зависимости ускорения от времени второго и десятого стержня в
системе с прослойками из жесткой резины представлены на рис. 1.14а,б линиями 1. Линии 2
соответствуют расчетным зависимостям ускорения от времени, полученным с использованием
упругопластической модели прослоек (рис. 1.12), параметры которой (приведены в таблице)
подобраны так, чтобы обеспечить удовлетворительное согласие данных теории и
эксперимента. Кривые 3 были рассчитаны при K1  1  2  0 , K 2  K st . При данном
нагружении результаты расчетов для стержневой системы и цепочки масс совпадают. Из
сравнения теоретических и экспериментальных кривых видно, что при учете одной
статической жесткости прослоек из резины получается значительное расхождение теории и
эксперимента.
Рис. 1.14. Зависимости ускорения стержней от времени в системе с прослойками из плотной резины
В этом случае теоретическая скорость распространения волны C st значительно меньше
экспериментальной CV . То же относится к коэффициенту затухания волны и величине
основной частоты колебаний.
Для подобранных значений параметров K V , 1 и  2 удается удовлетворительно
приблизить экспериментальные и теоретические кривые. Величины этих параметров
приведены в таблице, как и значения скоростей распространения медленных волн.
20
Аналогичные расчеты были проделаны с экспериментальными данными, полученными для
прослоек из пористой резины, линолеума и пенопласта. Параметры моделей этих прослоек,
наилучшим образом описывающих эксперимент, также приведены в таблице.
K st , 105 Н/м K d , 105 Н/м K s , 105 Н/м
K v , 105 Н/м
Cst , м/с
C v , м/с
1 , кг/с
2 , кг/c
4.8
6.2
12
44
110
340
10000
500
0.16
0.16
0.16
1.7
20
75
1000
10
0.8
1.8
5
46
45
340
10000
500
Пенопласт 3.5
3.5
5
93
115
1000
10
Материал
Резина
плотная
Резина
пористая
Линолеум
Из таблицы видно, что CV достаточно близко к Cst только для пенопласта. Наибольшее
отличие этих величин имеет место у линолеума и плотной резины, для которых максимально и
затухание. Отметим, что кривые одноосного сжатия для этих материалов имеют максимально
выраженный гистерезис при разгрузке. У пористой резины и пенопласта такой гистерезис
значительно меньше и затухание волны, определяемое в расчетах величиной 2 , слабее.
В заключение следует отметить:
— экспериментальные исследования по распространению волн в одномерных моделях
блочных сред подтвердили существование маятниковых волн в блочных средах [2].
— скорость распространения маятниковых волн, период, степень их затухания существенно
зависят от реологических свойств прослоек, таких как увеличение их жесткости с ростом
скорости и величины нагружения, наличие гистерезиса в циклах растяжение – сжатие.
— удовлетворительное согласие теории и эксперимента удается получить с использованием
вязкоупругой модели деформирования прослоек, состоящей из двух пар упругих и
демпфирующих элементов, соединенных последовательно и параллельно.
1.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ОДНОМЕРНОЙ РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В БЛОЧНОЙ СРЕДЕ НА ПРИМЕРЕ СИСТЕМЫ КОМПАКТНЫХ
БЛОКОВ
В настоящей работе использовалась модель блочной среды, составленная из стандартных
силиконовых кирпичей [13]. Отличительной особенностью такой модели по сравнению со
стержневой
является
более
реалистичный
для
блочной
горной
породы
характер
распределенного контактного взаимодействия кирпичей, соприкасающихся, например, по
большим граням. Цель работы — получить данные о скорости распространения маятниковой
21
волны, о затухании ее максимальной амплитуды с расстоянием в зависимости от наличия
резиновых прослоек и провести сопоставление с данными расчетной модели параграфа 1.2.
Схема экспериментальной сборки представлена на рис. 1.15. Кирпичи укладывались друг
на друга большими гранями. Размер отдельного кирпича 250 120  85 мм, его вес 5200 г при
плотности 2.04 г/см 3 и продольной скорости звука 3100 м/с. Для фиксирования процесса
прохождения упругих волн в такой блочной системе использовались акселерометры GT-200,
которые крепились на нижней грани кирпичей с помощью прослойки из пластилина толщиной
до 1 мм. С целью организации свободных площадок для крепления датчиков, кирпичи
поочередно выдвигались из стопки на 25 мм. Датчики были установлены на шести верхних
кирпичах из восьми (рис. 1.15). Вся сборка стояла на лабораторном столе. Наименьшая частота
собственных колебаний всей системы при этом составляет 90 Гц.
Рис. 1.15. Расположение кирпичей и датчиков ускорения в экспериментальной сборке
В качестве внешнего возбудителя упругих волн использовался молоток, ударная часть
которого изготовлена в виде стального цилиндра диаметром 13.8 мм и длиной 43 мм, с
закрепленным на тыльной стороне акселерометром 9803 фирмы Брюль и Къер, позволяющим
измерять силу и продолжительность удара. Возбуждаемые упругой волной электрические
сигналы, поступающие от датчиков через систему усилителей и АЦП, фиксировались в памяти
компьютера или запоминающего осциллографа. На рис. 1.16 приведена характерная
осциллограмма сигналов датчиков, фиксирующих колебания отдельных блоков, которая
демонстрирует прохождение упругого сигнала, создаваемого ударным воздействием молотка
по верхнему кирпичу, через стопку из шести кирпичей с демпфирующими прослойками.
Кривая 1 соответствует записи силы воздействия молотка в процессе удара, а кривые 2 – 7
фиксируют сигналы акселерометров, закрепленных на блоках. Возрастание номеров кривых
22
(справа) соответствует последовательности удаленности датчика от источника возбуждения
упругих волн. Слева от графиков приведены максимальные значения сигналов. Упругая волна,
инициированная ударом молотка на поверхности верхнего кирпича, воспринимается первым
датчиком, закрепленным на нижней поверхности этого кирпича, как пакет монотонно
затухающих высокочастотных волн с преимущественным периодом 300 мкс. Более
высокочастотные волны, соответствующие собственным частотам продольных колебаний
отдельного блока с периодом 55 мкс, имеют значительно меньшую амплитуду и малозаметны
на осциллограммах. После прохождения первой контактной поверхности раздела между
блоками амплитуда высокочастотного сигнала снижается. Датчик второго кирпича фиксирует
волну, период которой значительно больше. На следующих кирпичах четко выделяется
низкочастотная часть сигнала. Величина ускорения на последнем кирпиче всегда оказывается
больше, чем на предыдущем. Как показали расчеты, это является следствием большой
податливости опоры с коэффициентом жесткости  13.310 6 Н/м, вызывающей значительное
ускорение последнего кирпича при отражении волны.
Рис. 1.16. Распространение волны по сборке кирпичей с прослойками из вакуумной рез ины
толщиной 1 мм; скорость низкочастотной волны 164 м/c; длительность удара 0.21 мс
23
Для расширения диапазона изменения расстояний от источника излучения до приемных
датчиков использовался прием наложения сверху дополнительных кирпичей на сборку
(рис. 1.15), оснащенную датчиками. С каждой новой сборкой регистрировалось прохождение
упругих сигналов, возбуждаемых ударами молотка различной интенсивности, наносимых по
верхнему кирпичу.
Для унификации измерений датчиков при различных исходных возбуждающих импульсах
введена безразмерная величина ускорения
a  a a0 , где a 0 — максимальное ускорение
молотка в процессе удара; a — ускорение, зафиксированное датчиком на кирпиче.
В качестве основных параметров, определяющих поведение упругой волны при ее
прохождении через блочную систему, исследованы скорость распространения и затухание
амплитуды первой волны волнового пакета.
Скорость распространения упругого сигнала определялась двумя способами. В первом —
по разности времени между началом взаимодействия молотка и сборки, определяемого по
сигналу, поступающему от датчика ударника, с учетом времени прохода упругой волны по
цилиндрической части стального молотка, и первым максимумом сигнала приемного датчика.
Определяемая таким образом скорость VM характеризует скорость маятниковой волны. Во
втором случае, этот отрезок времени измерялся от начала сигнала ударника до первого
вступления волнового пакета, регистрируемого приемным датчиком. При этом определяется
скорость распространения сигнала V I , фиксируемого по вступлению. Расстояние от точки
приложения удара l и количество блоков n до приемных датчиков изменялось в процессе
проведения экспериментов. На рис. 1.17 приведены данные по измерениям скорости
распространения упругой волны в зависимости от количества пройденных блоков. Измерения
проведены первым способом. После преодоления волной двух контактных разделов между
блоками ее скорость стабилизируется и не зависит от величины пройденного пути. При наличии
резиновых прослоек между блоками устанавливается значение скорости VM , равное 164 м/с, а
при их отсутствии — 316 м/с.
24
Рис. 1.17. Скорость распространения маятниковой волны в экспериментальной сборке с
резиновыми прослойками (нижняя линия и квадратики) и без них (верхняя линия и кружечки)
в зависимости от числа пройденных кирпичей n
Скорость, измеренная по начальным моментам подхода упругих волн к фиксирующим
датчикам, существенно зависит от количества пройденных кирпичей. График такой
зависимости (рис. 1.16) имеет экспоненциальный вид, при котором скорость распространения
изменяется от величины в 3100 м/с, характерной для сплошной среды, до 400 – 600 м/с после
прохождения восьми блоков и 700 мм пути. Это обстоятельство необходимо учитывать,
например, при локации источников сигналов акустической эмиссии в блочных средах.
Наличие резиновых прослоек между кирпичами слабо, в пределах экспериментального
разброса данных, влияет на скорость вступления с увеличением расстояния от источника удара
до приемного датчика. Тем не менее, интерполирующая кривая, описывающая спад скорости
при прохождении упругого сигнала через кирпичи с резиновыми прослойками, расположена
ниже, чем соответствующая для сборки без прослоек. Экспериментальные данные скорости
вступления упругого сигнала, проходящего через модельную блочную систему, хорошо
описываются выражением, соответствующим кривым на рис. 1.18, VI  k1n  k 2 , где n —
число пройденных волной блоков; k1 ,  , k 2 — параметры интерполяции.
25
Рис. 1.18. Скорости распространения волн, определенные по вступлениям в сборке кирпичей с
резиновыми прослойками (нижняя кривая и кружочки) и без них (верхняя кривая и ромбики)
Для сборки с резиновыми прослойками k1  200 м/c,   0.84 , k2  100 м/c; без прослоек:
k1  2820 м/с,   1.07 , k2  400 м/с.
Анализ фиксируемых датчиками максимальных амплитуд ускорений волнового сигнала
дает возможность определить его затухание в зависимости от пройденного пути. На рис. 1.19
приведены сводные данные по величине максимального ускорения в низкочастотном сигнале в
зависимости от числа пройденных блоков.
Рис. 1.19. Затухание амплитуды первой волны волнового пакета в зависимости от номера
блока в сборке из кирпичей с резиновыми прослойками (нижняя кривая и треугольники) и без
них (верхняя кривая и кружочки)
Из графика видно, что степень затухания сигнала существенно снижается при преодолении
им определенного количества разделяющих кирпичи поверхностей. Это особенно заметно,
когда между кирпичами проложены резиновые прослойки. Если при непосредственных
контактах низкочастотный сигнал практически, в пределах разброса экспериментальных
данных, перестает уменьшаться после преодоления 5 – 6 контактных разделов, то при наличии
резиновых прослоек количество таких разделов уменьшается до 2. В каждом случае эти
экспериментальные зависимости хорошо описываются соотношением
a  k3 n   k 4 ,
где
k3 ,  , k 4 — интерполяционные параметры, зависящие от отсутствия или наличия резиновых
прослоек.
При
наличии
прослоек:
k3  3.42  104 ,
  3.09 ,
k4  1.5 104 ;
при
непосредственном контакте: k3  2.76 102 ,   2.83 , k4  3 104 .
Полученные экспериментальные данные по скорости распространения и затуханию
низкочастотных волн, порождаемых ударом в блочной системе, использованы для определения
26
деформационных свойств контактов между блоками. Для этого проведены расчеты по
одномерной модели цепочки масс, соединенных вязкоупругими пружинами (параграф 1.2.),
закон деформирования которых описывается схематически параллельным и последовательным
соединением упругих и демпфирующих элементов согласно рис. 1.12. Значения жесткостей
пружин K1 , K 2 и коэффициентов вязкости демпферов 1 ,  2 определялись из условия
максимального приближения теоретических и экспериментальных значений скорости
распространения низкочастотной волны и ее затухания. Таким образом, для резиновых
прослоек получено: K 1  5.3 10 6 Н/м, K 2  107 Н/м, 1  10 4 Н  с м ,  2  2 10 3 Нс/м. Для
контакта без прослоек: K 1  15 10 6 Н/м, K 2  59 10 6 Н/м, 1  75  10 3 Нс/м,  2  4 10 3 Нс/м.
Теоретические
кривые
зависимостей
ускорения
от
времени,
соответствующие
осциллограммам рис. 1.16, приведены на графиках рис. 1.20. Вертикальные отрезки на этих
графиках соответствуют распространению прямой и отраженной маятниковой волны со
скоростью 164 м/c. Для первых двух кирпичей расчетная модель дает форму низкочастотной
волны, которую на экспериментальной осциллограмме не видно из-за собственных колебаний
кирпичей. На третьем и последующих такая волна хорошо прослеживается. Можно видеть
одинаковую скорость ее распространения и близкое затухание в теории и эксперименте.
Наблюдаемое отличие в форме кривых можно объяснить, в частности, нерегулярностью
контактов
в
сборке
кирпичей,
разделенных
резиновыми
прослойками.
Описание
распространения колебаний с частотами, определяемыми собственными колебаниями блоков в
одномерной модели параграфа 1.1 затруднено, так как при продольном точечном ударе по
сборке в первых кирпичах развиваются свободные колебания, соответствующие различным
модам собственных колебаний как продольным и поперечным, так и изгибным. Этим
объясняется зафиксированная на осциллограмме рис. 1.16 частота с периодом 300 мкс вместо
55 мкс, характерного для продольного резонанса.
На рис. 1.21, 1.22 представлены результаты экспериментального и теоретического
определения ускорений кирпичей в волне, порожденной длительным ударом молотка через
резиновую прокладку продолжительностью 1.85 мс. При таком ударе собственные колебания
кирпичей возбуждаются слабо, и можно видеть достаточно хорошее соответствие колебаний
первых двух кирпичей на экспериментальном и теоретическом графике.
Для случая сборки кирпичей без прослоек осциллограмма и расчетный график
распространения низкочастотной волны приведен на рис. 1.23, 1.24.
27
Рис. 1.20. Расчет ускорений при прохождении волны по системе кирпичей с резиновыми
прослойками при ударе длительностью в 0.21 мс
Согласно рис. 1.23, при ударе по сборке кирпичей без дополнительных прослоек на первых
трех кирпичах наблюдаются, как и на рис. 1.16, высокочастотные колебания с периодом
300 мкс. Теоретические графики рис. 1.24 описывают распространение низкочастотных
колебаний, так как получены в модели одномерной цепочки масс, соединенных вязкоупругими
пружинами. Соответствие в характере распространения низкочастотной волны на рис. 1.23,
1.24 удовлетворительно, особенно в диапазоне времен до прихода отраженной волны,
отмеченной на рис. 1.24 более поздним, вторым вертикальным отрезком.
28
Рис. 1.21. Распространение волны по сборке кирпичей с прослойками из резины при ударе
длительностью в 1.8 мс
Рис. 1.22. Расчет ускорений при прохождении волны по системе кирпичей с резиновыми
прослойками при ударе длительностью в 1.8 мс
29
Рис. 1.23. Распространение волны по сборке кирпичей без прослоек при ударе длительностью 0.21 мс
Рис. 1.24. Расчет ускорений при прохождении волны по системе кирпичей без прослоек при ударе
длительностью 0.21мс
30
Сравнение приведенных экспериментальных и теоретических зависимостей ускорения
блоков во времени показывает:

В рамках теоретической модели параграфа 1.2. удается описать распространение
низкочастотной маятниковой волны колебаний в одномерной системе компактных блоков
при ударном воздействии. При этом определяются деформационные свойства контактов
блоков,
для
которых
устанавливается
хорошее
соответствие
теоретических
и
экспериментальных значений скорости распространения волны и степени ее затухания.
 Высокочастотные колебания, возникающие в блоках при кратковременном ударном
воздействии, распространяются по системе быстро затухая. По частоте они соответствуют
различным модам собственных колебаний блоков. Для теоретического их описания
требуется уточнение модели деформирования блока.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. На примере одномерных блочных систем показано, что рассмотрение блоков, как
массивных недеформируемых тел, позволяет выделить из сложного динамического
деформирования блочной среды ту ее часть, которая определяется деформированием
прослоек между блоками. При этом в волне деформации, вызванной ударной нагрузкой
выделяются низкочастотные волны маятникового типа с относительно слабым затуханием.
2. Сравнение данных расчетов по разработанным моделям с экспериментом показали
 скорость распространения маятниковых волн, период, степень их затухания определяются
массой блоков и
существенно зависят от реологических свойств прослоек, таких как
увеличение их жесткости с ростом скорости и величины нагружения, наличие гистерезиса в
циклах растяжение – сжатие.
 удовлетворительное согласие теории и эксперимента удается получить с использованием
вязкоупругой модели деформирования прослоек, состоящей из двух пар упругих и
демпфирующих элементов, соединенных последовательно и параллельно.
3.
Полученные аналитические зависимости скорости одномерного распространения
маятниковых волн, спектра их частот, степени затухания от свойств блочного массива
являются базой для решения обратной задачи: определения свойств массива по данным
сейсмического зондирования.
2. ДВУМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ БЛОЧНОЙ СРЕДЫ
31
Предложена модель среды, имеющей блочную структуру. Предполагается, что каждый блок есть абсолютно жесткое тело, а деформирование среды при распространении колебаний
происходит за счет тонких упругих прослоек между блоками
Движение жестких блоков. Деформирование упругих безынерционных прослоек
Пусть по горному массиву, состоящему из блоков, распространяется динамическое
возмущение. Уравнения движения центров масс блоков, описывающие это возмущение, имеют
вид
m

d 2u


  n dS  F (t ) ,
dt 2 S

J

d 2
dt 2

 
 r   n dS  M (t ) ,

(2.1)
S
 
где m, J - масса блока и тензор его инерции при повороте относительно центра масс, u ,  

векторы перемещения и поворота, r - радиус-вектор в некоторой системе координат. Через  n
обозначен вектор напряжений с компонентами  ni   ij n j , действующий на контуре S блока
 

с внешней нормалью n , векторы F , M - внешняя сила и момент, приложенные к блоку.
Применим эти соотношения при выводе уравнений движения плоской задачи для
регулярной блочной структуры [14], составленной из прямоугольных блоков (см. рис. 2.1).
Пусть оси декартовой системы координат oxy ориентированы вдоль сторон блоков. Полагаем,
что прямоугольные блоки состоят из жесткой части в виде прямоугольного ядра с длинами
сторон 2H x , 2H y и пограничного слоя в виде в виде упругих прослоек со средней толщиной
h x - вдоль вертикальных границ и h y - вдоль горизонтальных. Таким образом, расстояния
между жесткими частями соседних блоков по горизонтали и вертикали равны 2hx , 2h y ,
соответственно, а по середине этого составного слоя проходит линия контакта блоков.
Рассмотрим произвольный блок, поместив начало координат oxy в его центре. Пусть
P ( x, y ) - положение точки на стороне блока до деформации среды, а P ( x , y ) - координаты
этой точки после деформации. При малых углах поворота |  | 1 блока относительно его

центра компоненты вектора перемещения u  (uˆ , vˆ) равны
uˆ ( x, y )  x  x  u  x cos   y sin   u  y ,
vˆ( x, y )  y  y  v  x sin   y cos   v  x ,
32
v
y

v
2H y
x
u
2H x
Рис. 2.1. Перемещение блока
YY
YX
Lij
i, j
 XY
 XX
Рис. 2.2. Усилия, действующие со стороны слоев на жесткую часть блока
33
где величины u, v определяют перемещения центра блока. Если рассматриваемый блок имеет
по горизонтали (в направлении оси x ) номер i , а по вертикали номер j , то данные
y
представления для перемещения блока с целочисленными координатами i, j будем записывать
в виде
v
uˆi, j ( x, y)  ui, j  i, j y ,
vˆi, j ( x, y)  vi, j  i, j x .
(2.2)
Чтобы записать перемещения соседних блоков в соответствующей рассматриваемому
блоку локальной системе координат oxy , в формуле необходимо сменить нумерацию,
например, для блока, расположенного справа, номер i переходит в номер i  1 .
v
Далее полагаем, что толщины прослоек намного меньше линейных размеров блока
max (hx , h y )  min ( H x , H y ) и, следовательно, инерцией прослоек можно пренебречь. В этом
приближении напряжения  ij , действующие внутри прослоек, удовлетворяют уравнениям
равновесия. В системе координат OXY , связанной с прослойками (рис. 2.2), уравнения имеют
вид
 XX  XY

 0,
X
Y
 XY YY

 0.
X
Y
(2.3)
В вертикальных прослойках полагается, что ось OY проходит по середине - по линии
контакта, при этом вторая координата меняется в пределах | X |  hx ; в горизонтальных
прослойках по средней линии проходит ось OX , а другая координата изменяется в пределах
| Y |  hy .
Напряжения в слое связаны с перемещениями U ,V законом Гука
 XX  (  2G )
где  
U
V

,
X
Y
 YY  
U
V
 U V
 (  2G )

,  XY  G 
X
Y
 Y X

.

(2.4)
Ev
E
,G
- традиционные обозначения для упругих постоянных.
(1  )(1  2)
2(1  )
Перемещения внутри, например, вертикальных слоев будем искать в виде разложений по
координате, меняющейся вдоль длины слоя
U  U 0 ( X )  U 1 ( X )Y  U 2 ( X )Y 2   , V  V0 ( X )  V1 ( X )Y  V2 ( X )Y 2   /. .
34
На границах должны быть выполнены условия непрерывности перемещений при переходе
из блока с номером i, j в слой (при значении X  hx ) и, соответственно, из этого слоя в
примыкающий блок i  1, j (при значении X  h x ):
U (hx , Y )  uˆi, j (hx , Y ) ,
U (hx , Y )  uˆi1, j (hx , Y ) ,
V (hx , Y )  vˆi, j (hx , Y ) ,
V (hx , Y )  vˆi1, j (hx , Y ) .
Подставив разложения функций U ,V
(2.5)
в граничные условия (2.5), получим условия
сопряжения системы вертикальных прослоек с блоками. Так как в слое, расположенном между
блоками с номерами i, j и i  1, j , связь между локальными координатами в блоке i, j и в слое
имеет вид x  X  H x  hx , y  Y , а для локальных координат в блоке i  1, j эта связь будет
уже иной: x  X  H x  hx , y  Y , и при этом в обоих случаях выполняется | X |  hx , | Y |  H y ,
имеем
U 0 (hx )  u i , j , U 0 (hx )  u i 1, j ,
V0 (hx )  vi, j  i, j H x , V0 (hx )  vi 1, j  i 1, j H x , U 1 (hx )  i , j , U 1 (hx )  i 1, j , (2.6)
U 2 (hx )  U 3 (hx )    0, V1 (hx )  V2 (hx )    0 .
Предполагая, что условия в третьей строке выполнены не только на границах слоя, но и во
внутренних точках, разложения можно оборвать
U ( X , Y )  U 0 ( X )  U1 ( X )Y , V ( X , Y )  V0 ( X ) .
После подстановки закона Гука (2.4) в уравнения равновесия (2.3)
U 0( X )  U1( X )Y  0, (  G)U1 ( X )  GV0( X )  0 ,
находим общий вид функций одной переменной, удержанных в разложениях
U 0 ( X )  A1  A2 X , U1 ( X )  B1  B2 X ,
V0 ( X )  C1  C 2 X 
 G
2G
B2 X 2 .
Постоянные коэффициенты Ak , Bk , Ck определим, удовлетворив системе граничных условий
(2.6). Перемещения в вертикальных слоях, заключенных между блоками с номерами i и i  1 ,
после этого определяются зависимостями
U
V
u i 1, j  u i , j
2

v i 1, j  v i , j  H x ( i 1, j   i , j )
2
u i 1, j  u i , j
2h x

  i 1, j   i , j  i 1, j   i , j 
X  

X 
2
2h x


v i 1, j  v i , j  H x ( i 1, j   i , j )
2h x
,

 i , j
 X    G i 1, j
( X 2  hx2 )
2G
2hx
Данным перемещениям в слое соответствуют напряжения
35
 u i 1, j  u i , j
 XX  (  2G)

 XY  G
2h x

 i 1, j   i , j
2h x

Y  ,

v i 1, j  v i , j  (h x  H x )( i 1, j   i , j )
2h x

 ,
  2G XX
 YY 

 i 1, j   i , j
2h x
X
.
Аналогичным способом можно получить перемещения и напряжения в горизонтальном
слое, расположенном между блоками с номерами i, j и i, j  1
U
u i , j 1  u i , j  H y ( i , j 1   i , j )
2
V
vi , j 1  vi , j
2


u i , j 1  u i , j  H y ( i , j 1   i , j )
2h y
vi , j 1  vi , j
2h y
  G i , j 1  i , j
2G

2h y
(Y 2  h y2 ) ,

 i , j i , j 1  i , j 
Y   i , j 1

Y X ,


2hy
2hy


 v i , j 1  v i , j  i , j 1   i , j 

X ,


2
h
2
h
y
y


 YY  (  2G)
 XY  G
Y
u i , j 1  vi , j  (h y  H y )( i , j 1   i , j )
2h y
 XX 
 

  2G
i , j 1  i , j
2h y
 YY ,
Y,
Уравнения движения блочной среды
Если ни одна из граней блока i, j не является граничной, то уравнения движения (2.1) для
среды, состоящей из прямоугольных блоков, принимают вид
m
d 2 u i, j
dt 2

  nx dl  Fxi, j ,
m
Lij
d 2 vi , j
dt 2

  ny dl  Fyi, j ,
(2.7)
Lij
2
m
2
2 d i , j
(H x  H y )
 ( x ny  y ny ) dl  M i, j ,
3
dt 2
Lij

где Lij - контур блока ( рис. 2.2), а проекции вектора напряжений на оси координат связаны с

напряжениями в слое и вектором внешней нормали n  (n x , n y ) на контуре зависимостями
Коши
 nx   XX n x   XY n y ,
 ny   XY n x  YY n y .
Подставив, с учетом значений напряжений, полученных выше, эти зависимости в
подынтегральные выражения в правых частях уравнений (2.7), после вычислений получим три
уравнения, определяющие движение произвольного блока в плоской задаче (в коэффициентах
36
уравнений при выводе была учтена малость толщин прослоек по сравнению с линейными
размерами блоков)
m
m
d 2 u i, j
dt
2
d 2 vi, j
dt
2
 (  2G )
G
Hy
m
hx
v

2
(u i 1, j  2u i , j  u i 1, j )  G H x  ui , j 1  2ui , j  ui , j 1  H y (i , j 1  i , j 1 )   F xi, j ,
hx
i 1, j
d 2i , j
dt
Hy
hy

 2v i , j  v i 1, j  H x ( i 1, j   i 1, j )  (  2G ) H x (vi , j 1  2vi , j  vi , j 1 )  F yi, j ,
p
Hy
hx
(i 1, j  2i , j  i 1, j )  q
3GH x H y
( H  H )h x
2
x
2
y
p
(v i 1, j  v i 1, j ) 
H x2  H y2
Hx
(i, j 1  2i, j  i, j 1) 
hy
3GH x H y
( H  H )h y
2
x
3GH x2  (  2G ) H y2
hy
2
y
, q
(u i , j 1  u i , j 1 ) 
3GH y2  (  2G) H x2
H x2  H y2
3M i , j
H x2  H y2
,
.
Если блочная среда занимает ограниченную область, то к данным уравнениям необходимо
добавить краевые условия на границах. Учет кинематических условий – перемещений,
поворота,
осуществляется
подстановкой
их
в
уравнения,
описывающие
движение,
примыкающих к границе блоков, движение которых в этом случае задано. Когда в краевых
условиях заданы силовые характеристики, то вывод уравнений движения для граничных
блоков необходимо осуществить так же, как это было сделано выше, только при вычислении
контурных интегралов на граничной части контура блока следует подставить заданное
граничное значение вектора напряжений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В рамках предложенной двумерной модели блочной среды можно провести численные
исследования, аналогичные тем, которые выполнены для одномерных моделей. Дальнейшее
развитие двумерной модели будет связано с более детальным учетом взаимодействия между
блоками.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Садовский М. А. Естественная кусковатость горной породы // ДАН СССР. — 1979. —
Т. 247. — № 4.
2. Курленя М. В., Опарин В. Н., Востриков В. И. О формировании упругих волновых
пакетов при импульсном возбуждении блочных сред. Волны маятникового типа U  // ДАН
СССР. — 1993. — Т. 333. — № 4.
37
3. Курленя М. В., Опарин В. Н., Востриков В. И. Волны маятникового типа. Ч. I: Состояние
вопроса и измерительно-вычислительный комплекс // ФТПРПИ. — 1996. — № 3.
4. Курленя М.В., Опарин В.Н., Востриков В.И. Волны маятникового типа. Ч. II: Методика
экспериментов и основные результаты физического моделирования // ФТПРПИ. — 1996.
— № 4.
5. Курленя М. В., Опарин В. Н., Востриков В. И. Волны маятникового типа. Ч. III: Данные
натурных измерений // ФТПРПИ. — 1996. — № 5.
6. Александрова Н. И. О распространении упругих волн в блочной среде при импульсном
нагружении // ФТПРПИ. — 2003 — № 6.
7. Слепян Л. И. Нестационарные упругие волны. — Л.: Судостроение, 1972.
8. Слепян Л. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах
механики. — Л.: Судостроение, 1980.
9. L. I. Slepyan. Models and Phenomena in Fracture Mechanics. — Springer, 2002.
10. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1968.
11. Александрова Н. И. О распространении упругих волн в блочной среде при импульсном
нагружении // ФТПРПИ. — 2003 — № 6.
12. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела, М: Наука, 1988.
13. Александрова Н.И., Черников А.Г., Шер Е.Н. Экспериментальная проверка одномерной
расчетной модели распространения волн в блочной среде // ФТПРПИ. – 2005 - №3, стр.4655.
14. Сарайкин В.А., Степаненко М.В., Царева О.В. Упругие волны в среде с блочной
структурой // ФТПРПИ. - 1988. № 1.
38