Тема урока: Средняя линия треугольника. (8класс) Тип урока

Тема урока: Средняя линия треугольника. (8класс)
Тип урока: Изучение нового материала
Характеристика темы урока: В результате изучения §3.62. учащиеся должны знать теоремы о среднем
линии треугольника, о точке треугольника, о точке пересечения медиан треугольника; уметь их доказывать и
применять к решению задач типа 567, 568, 570;
Цели урока:
образовательная: выработка у учащихся навыков и умении, формирование новых понятий и знаний; в
частности изучение теоремы о среднем линии и теоремы о медианах треугольника и научиться использовать их
при решении задач;
воспитательная: развивать аккуратность, целеустремленность и самостоятельность в ходе решения задач;
развивающая: выработать потребности логического определения понятий, т.е. формирование логическогоматематического языка и навыков логического мышления, развивать образное мышление;
Отбор основного содержания учебного материала.
1. Вспомнить определение, признаки подобных треугольников; вспомнить признаки параллельности прямых
и свойства углов при параллельных прямых.
2. В процессе урока будут доказаны теорема о среднем линии треугольника, теорема о медианах
треугольника и решены задачи с их применением.
3. Теорема о среднем линии треугольника и теорема о медианах треугольника необходимы для дальнейшего
решения и доказательства задач.
В качестве основного метода выбираю поисковый метод.
Оборудование: учебник (Геометрия 7-9.Атанасян Л.С. и др.), ноутбук, проектор, карточки, чертежные
инструменты.
Структура урока:
I.
II.
III.
IV.
V.
Постановка цели урока (2 мин.)
Проверка умений (10)
Ознакомление новым материалом, формирование ЗУНов (15+10)
Итоги (5)
Задание на дом (2)
Этапы урока
Время
(мин.)
I
2
II
2-3
6-7
III
≈15
Деятельность
Основное содержание учебного материала
Учитель
Постановка цели урока.
Актуализация
Проверка домашней работы.
Повторение опорныхЗУНов (устно):
- По каким признакам треугольники бывают подобными?
- Как связаны соответствующие стороны и углы подобных
треугольников?
- Что такое коэффициент подобия, чему он равен?
- Какие прямые называются параллельными?
- Назовите признаки параллельности прямых.
Проверка ЗУНов (письменно), при помощи разно уровневых
карточек
I - уровень
II - уровень
III - уровень
Ознакомление новым материалом.
Общая задача:
Точки M и N – середины сторон ABи
BCтреугольника∆ABC. MNǁAC иMN=AC:2.
Ученик
- Целью нашего урока является изучение новых свойств
треугольника: теоремы о среднем линии и теоремы о
медианах треугольника. И научиться использовать их
при решении задач. Но сначала проверим домашнюю
работу.
Слушают.
Слушает отчет
Опираясь на то, как сделана домашняя работа и
учитывая трудности, учитель задаёт вопросы.
Спрашивает преимущественно тех, кто учиться на «3»,
«4» и у тех, кто затруднился в решении домашней
работы.
Дежурные
командиры
отчитываются перед учителем о
результатах домашней работы.
По степени сложности, раздаёт разные карточки.
Обращает внимание учащихся на качество, т.е. на
оформление и чистоту работ.
Решают задачи на заранее
подготовленных листах, которые
потом сдают.
Возможные подсказки:
- Постарайтесь найти подобныетреугольники.
- Попробуйте использовать второй признак подобия.
- Какие выводы можно сделать из подобия
этих
треугольников?
Решают задачу в тетради.
После решения задачи вводится понятие «средняя линия
треугольника».
Опр.: отрезок, соединяющий середины двух сторон
треугольника, называется средней линией треугольника.
- Как связаны между собой соответствующие стороны
подобных треугольников?
- Вспомните признаки параллельности двух прямых.
- Каким свойствам обладают углы при параллельных
прямых?
B
M
A
1
2
N
C
Теорема:
Средняя линия треугольника параллельна его стороне и
равна её половине.
Доказательство:
Пусть MN– средняя линия ∆ABC. Докажем, что MNǁAC и
MN=AC:2.
∆ABC∾∆MBN по второму признаку: ∠B – общий, BM/BA=
BN/BC=1/2→ ∠1=∠2 и MN/AC=1/2.
Из
∠1=∠2
следует,
что
MNǁAC,
а
из
MN/AC=1/2→MN=AC/2.
чтд.
По результатам решенной задачи, предлагает найти
среднюю линию, сделать выводы, используя новый
термин.
Предлагает сформулировать теорему.
Возможные подсказки:
- Назовите среднюю линию в решенной задаче.
- Каким свойствам обладает средняя линия?
- Объедините условия и результаты задачи в одном
предложении.
Учитель излагает окончательную формулировку
теоремы, которая появляется на экране.
Вопросы и указания:
- Попробуйте соединить точки A, N и C, M. Какие
отрезки вы получите? (медианы)
- Сколько всего можно провести медиан в
треугольнике?
- Проведите третью медиану.
- Каким свойством они обладают?
Записывают определение средней
линии.
Делают выводы и предлагают
свои формулировки теоремы.
Записывают
окончательную
формулировку теоремы и его
доказательство
Выполняют задания учителя и
отвечают на вопросы.
Решенную задачу запишем как теорему
Теорема:
Три медианытреугольника пересекаются в одной точке и
точкой пересечения делятся на отрезки, длины которых
относятся как 2:1, считая от соответствующих вершин.
Доказательство:
Рассмотрим произвольный ∆ABC.
медиан AA1и BB1обозначим через O.
Точку пересечения
C
B1
4
A1
2
O
≈10
Записывают
теорему
и
доказывают вместе с учителем.
Отвечают на вопросы
В ходе доказательства теоремы целесообразно
задавать следующие вопросы:
- A1B1ǁAB. Почему?
- Что следует изA1B1ǁAB?
- Какой признак подобия следует применить в этом
случае?
- AB=2A1B1. Почему?
- Как связаны между собой соответствующие стороны
подобных треугольников?
3
B
C1
И проведем среднюю линиюA1B1. A1B1ǁAB → ∠1 = ∠2,
∠3 = ∠4. Отсюда ∆ABO ∾∆A1B1O (по первому признаку
подобия), где коэффициент подобияk = 1/2, т.к. AB = 2A1B1
→ AO = 2 A1O и BO = 2 B1O. Точка O делит AA1 и BB1в
соотношении 2:1.
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан
BB1иCC1 делит их в соотношении 2:1. Следовательно, она
совпадает с точкой O. Можно сделать вывод, что медианы
треугольника пересекаются в одной точке и точкой
пересечения делятся на отрезки, длины которых относятся
как 2:1, считая от соответствующих вершин.
чтд
Обращает внимание на то, что эта теорема будет
использоваться довольно часто.
Физкультминутка
Руководит
Делают зарядку. Дежурные ведут
физкультминутку.
Закрепление материала.
Задача (устно): Как разделить третью сторону
треугольника пополам, используя только линейку, если
проведена средняя линия треугольника.
Возможные подсказки:
- Вспомните определение средней линии треугольника.
- Вспомните определение медианы треугольника.
Решают
задачку
вместе
с
учителем,
используя
новый
материал.
A
1
1
- Но медианы обладают еще одним свойством. Эти
свойства запишем в виде теоремы
Теорема доказывается учителем, совместно с
учениками.
Решение (схема):
- Попробуйте использовать последнюю теорему.
Ученик решает задачу у доски,
вместе с классом и учителем
Подсказки и вопросы:
- Обратите внимание на стороны нового треугольника.
Чем они являются для ∆ABC?
- В каком соотношении находятся ∆ABC и ∆MNP?
Решают
задачу
вместе
с
учителем, используя теорему о
средней линии.
B
M
N
O
C
P
Точка Pдействительно является серединой стороны AC, т.к.
AN и CM – медианы, а медианы, согласно последней
теореме, пересекаются в одной точке.
A
Задача № 564
Решение
Дано: ∆ABC,
AB=8 см, BC=5 см, CA=7
см, AM=MB, BN=NC,
CP=PA
Найти: P∆MNP
(чертеж прежний)
т.к. AM=MB, BN=NC, CP=PA
→ MN, NP, PM – средние
линии. Следовательно,
∆MNPпостроен из средних
линии треугольника∆ABC.
Отсюда имеем
P∆MNP=MN+NP+PM=
=AC/2+AB/2+BC/2=(7+8+5)/2=
=10 (см). Ответ: P∆MNP =10 см.
Вопрос:
Ёще каким способом можно было решить эту задачу
(№564)?
Что можно было ещё использовать?
(предполагается признак параллелограмма: если
Задача № 567 (дополнительная).
Дано:ABCD – четырехугольник;M, N, P, Q – середины
сторон.
Доказать:MNPQ – параллелограмм
противоположные стороны параллельны и равны…)
Доказательство:
D
Q
C
M
P
A
IV
5
V
2
N
B
Рассмотрим ∆ACD,
где MQ является средней линией → ACǁMQ.
Аналогично в ∆ADCNPǁAC. ACǁMQ и NPǁAC → MQ ǁNP.
Точно так же доказывается, что PQǁMN. По определению
параллелограмма, MNPQ является параллелограммом.
чтд
Заключение.
Повторяются определение средней линии, теоремы.
Ставятся оценки.
Задание на дом:
№ 565, № 566, знать теоремы и их доказательства.
Спрашивает формулировки определения средней линии
и теорем. По таблице, вместе с учениками,
пересказывает доказательство.
Ставит оценки.
На экране записывает домашнее задание.
Слушают учителя. Вместе с
учителем вкратце пересказывают
доказательства, отвечают
на
вопросы.
Записывают домашнее задание.
Билет № 1
I-уровень
I-вар.
A
Билет № 2
I-уровень
II-вар.
C
B
P
O
O
D
C
Q
D
Доказать,что ∆PQO ∾∆ DCO
ABǁCD. Доказать,что ∆ABO∾∆DCO
9
Билет № 3
II-уровень
I-вар.
Билет № 4
II-уровень
II-вар.
C
M
A
B
P
N
Q
D
Доказать, ∆ACD∾ ∆CBD.
Доказать, ∆ MPN ∾ ∆ QPM
Билет № 5
III-уровень
I-вар.
Билет № 6
III-уровень
II-вар.
L
S
P
R
Q
LP:LR = 2:3, LT :LQ = 3:2/
Доказать,∆ LPR ∾∆ LQT/
T
D
F
FE:FS = 2:1, FD:FS = 2:1.
Доказать,∆ FSD ∾∆ FES
E