Решение задач на смекалку

Модель оформления сценария проектной деятельности учащихся
Авторы: Андрющено Дмитрий
Руководитель: Овчарова Неля Геннадьевна
Тема: Решение задач на смекалку
Образовательное учреждение: МБОУ СОШ №22
Используемые медиаресурсы:
1. Актуальность исследования :
2. Определение предмета исследования (Что подлежит изучению?)
3. Формулировка проблемы. Как решаются различные задачи на
смекалку?
4. Выдвижение гипотезы. Не существует единого способа решения
задач на смекалку.
5. Проверка гипотезы. Рассмотрено много задач.
6. Интерпретация (объяснение) результатов. Не существует единого
способа для решения задач на смекалку. Каждую задачу необходимо
решать своим способом.
Список использованных ресурсов:
1. Т.Д. Гаврилова: «Занимательная математика». Издательство «Учитель» 2008 г.
2. Е.Г. Козлова: «Сказки и подсказки». Издательство «Мирос» 1995 г.
3. Б. А. Кордемский: “Математическая смекалка” .Издательство «Государственное
издательство технико-теоретической литературы» 1958 г.
4. Я. И. Перельман: «Занимательная алгебра». Издательство «Столетие» 1994 г.
5.Р.М.Смаллиан «Как же называется эта книга?». Издательство «Дом Мещерякова»
2007г.
6. http:// festival.1september
7. .http:// matematika.gyn
8.www.smekalka.pp
Учебно-исследовательская работа по математике
Решение задач на смекалку.
Выполнил:
Андрющенко Дмитрий,
ученик 9B класса.
Научный руководитель :
Овчарова Неля Геннадьевна
учитель математики
г. Южно – Сахалинск
2012
2
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………
3
Глава 1: История задач на смекалку
1.1 Значение задач на смекалку…………………………………………………………4-5
1.2 Из истории появления задач на смекалку…………………………………………….6
1.3 Математики, внесшие вклад в решение задач на смекалку………………………7-11
Глава 2: Классификация задач на «смекалку»…………………………………………...12
2.1 Логические задачи на смекалку…………………………………………………...13-17
2.2 Геометрические задачи на смекалку……………………………………………...18-21
2.3 Математические задачи на смекалку……………………………………………...22-24
Заключение…………………………………………………………………………………25
Список литературы…………………………………………………………………………26
3
Введение
В начале нашего столетия, когда не было специальных работ, направленных на
раскрытие вопросов методики обучения дошкольников математике, простейший
занимательный материал включался в общие сборники по занимательной математике.
Указывалось на возможность использования его с целью подготовки детей к обучению в
школе, развития смекалки. В задачах разной степени сложности занимательность
привлекает внимание детей, активизирует мысль, вызывает устойчивый интерес к
предстоящему поиску решения. Характером материала определяется его назначение:
развивать у детей общие умственные и математические способности, заинтересовывать их
предметом математики, развлекать, что не является, безусловно, основным. Любая
математическая задача на смекалку, для какого бы возраста она ни предназначалась, несет
в себе определенную умственную нагрузку, которая чаще всего замаскирована
занимательным сюжетом, внешними данными, условием задачи и т. д.
Актуальность выбранной темы заключается в увеличении интенсивности
информационного потока, постепенной информатизации всех сторон жизни, поэтому
изучение темы математики и физики позволяет осваивать информатику.
При этом решается важная умственная задача: составить фигуру, видоизменить,
найти путь решения, отгадать число – реализуется средствами игры, в игровых действиях.
Развитие смекалки, находчивости, инициативы осуществляется в активной умственной
деятельности, основанной на непосредственном интересе.
Занимательность математическому материалу придают игровые элементы,
содержащиеся в каждой задаче, логическом упражнении, развлечении, будь то шахматы
или самая элементарная головоломка. Например, в вопросе: «Как с помощью двух
палочек сложить на столе квадрат?» – необычность его постановки заставляет ребенка
задуматься в поисках ответа, втянуться в игру воображения.
Многообразие занимательного материала – игр, задач, головоломок, дает основание для
их классификации, хотя довольно трудно разбить на группы столь разнообразный
материал, созданный математиками, педагогами, методистами.
Классифицировать его можно по разным признакам: по содержанию и значению,
характеру мыслительных операций, а также и признаку общности, направленности на
развитие тех или иных умений. Основанием для выделения таких групп является характер
и назначение материала того или иного вида.
Цель: Изучение методов решения задач на смекалку.
Задачи:
1. Изучить тему «Решение задач на смекалку», виды задач на смекалку и методы их
решения.
2. Решить несколько видов задач на смекалку, самостоятельно составить алгоритм
решения таких задач.
4
Глава 1 История задач на смекалку.
1.1 Значение задач на смекалку
Творческая деятельность учащихся в процессе изучения математики заключается, прежде
всего, в решении задач. Умение решать задачи является одним из критериев уровня
математического развития обучающихся, характеризует в первую очередь способности
учащихся применять свои теоретические познания в конкретной ситуации.
При решении традиционных школьных задач учащиеся применяют для их решения
определённые знания, умения и навыки по узкому кругу вопросов программного
материала. При этом известная алгоритмизация способов из решения ограничивает
творческий поиск учащихся.
Задача на смекалку в отличие от традиционной не может быть непосредственно решена по
какому-либо алгоритму. Задачи на смекалку это такие, для которых в курсе математике не
имеет общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.
Следовательно, возникает необходимость поиска решения, что требует творческой работы
мышления и способствует его развитию.
Решение задач на смекалку порождает напряжённость поиска и радость открытия –
важнейшие факторы развивающего обучения, творческое достижение.
Значение задач на смекалку весьма велико – умение учащихся решать нестандартные
задачи показывает:
1. Способность мыслить оригинально, а также имеет большое значение при
формировании и развитии их творческих способностей;
2. Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаться
от несущественного, видеть общее во внешне различном;
3. Способность к оперированию числовой и знаковой символике;
4. Способность к «последовательному, логическому рассуждению», связанному с
потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;
5. Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свёрнутыми структурами;
6. Способность к обратимости мыслительного процесса(к переходу с прямого на
обратный ход мысли);
7. Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции
к другой, свободу от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов. Эта
особенность мышления важна в творческой работе математиков;
8. Способность развивать математическую память… это память на обобщение,
логические схемы;
9. Способность к пространственным представлениям.
Среди многих идей, направленных на совершенствование учебного процесса, идея
формирования познавательных интересов учащихся является одной из самых значимых.
Ещё К.Д.Ушинский писал, что «…ученье, лишённое всякого интереса и взятое только
силою принуждения … убивает в ученике охоту к учению, без которого он далеко не
уйдёт».
5
Под познавательным интересом к предмету понимается избирательная направленность
психических процессов человека на объекты и явления окружающего мира, при которой
наблюдается стремление личности заниматься именно данной областью.
Интерес – мощный побудитель активности личности, под его влиянием все психические
процессы протекают особенно интенсивно, а деятельность становится увлекательной и
продуктивной. Его сущность состоит в стремлении школьника проникнуть в
познаваемую область более глубоко и основательно, в постоянном побуждении
заниматься предметом своего интереса.
Проявляющийся интерес при слушании рассказа об увлекательном случае из истории
математики или участии в игровом моменте урока и т.д. Этот интерес гаснет и быстро
исчезает при изменении ситуации на уроке, но учитель не должен пренебрегать этой
первой возможностью вызвать ростки интереса к учению. Любопытство, как начальная
стадия познавательной направленности личности ученика, характеризуется тем, что его
объектом является не содержание предмета, а чисто внешние моменты урока – формы
работы на уроке, мастерство учителя, оборудование.
6
1.2 Из истории появления задач на смекалку
Не удивительно, что задачи на смекалку стали развлечением “для всех времен и народов”.
Первый, дошедший до нас учебник математики, точнее, его кусок длиною 5 метров,
известный в мире как "лондонский папирус", или "папирус Ахмеса", содержит 84
сопровождаемые решением задачи. По этому учебнику велись занятия в школе
государственных писцов. Уже древние египтяне понимали, сколь важную роль в процессе
обучения играет элемент занимательности, и среди включенных в "папирус Ахмеса" задач
было немало таких. Так, в течение тысячелетий из одного сборника занимательных задач
математики в другой кочует "задача о семи кошках" из этого папируса .Несмотря на
существование тринадцатитомных “Начал” Евклида (III в. до н. э.), ставших более чем на
два тысячелетия образцом научной строгости, и в Древней Греции занимательный элемент
в математике не исчез и наиболее ярко представлен в “Арифметике” Диофанта
Александрийского (вероятно, III в.). В Средние века самый глубокий след в решении
задачах на смекалку оставили итальянцы Леонардо (Фибоначчи) из Пизы (XIII в.) и
Никколо Тарталья (XVI в.). Сборники математических развлечений, похожие на
современные, начали появляться с XVII в. Среди них особой популярностью пользовались
“Приятные и занимательные задачи, рассматриваемые в числах” математика и поэта
Гаспара Клода Баше сьер де Мезириака и “Математические и физические развлечения”
другого французского математика и писателя Жака Озанама. В XIX в. французский
математик, специалист по теории чисел Эдуард Люка опубликовал четырехтомный труд по
занимательной математике, ставший классическим. На рубеже XIX и XX вв. большой
вклад в сокровищницу занимательной математики внесли выдающиеся изобретатели игр и
головоломок — талантливые самоучки американец Сэм Лойд и англичанин Генри Эрнест
Дьюдени. Занимательную математику второй половины XX в. нельзя представить без
целой серии замечательных книг, принадлежащих перу знаменитого американского
популяризатора математики Мартина Гарднера. Именно его разнообразнейшие
математические эссе, гармонично сочетающие научную глубину и способность развлекать,
приобщили миллионы людей по всему миру (в том числе и меня) к точным наукам и,
конечно, к занимательной математике.
В России многократно переиздавались такие сборники задач, как “Арифметика”
Л. Ф. Магницкого, “В царстве смекалки” Е. И. Игнатьева, “Живая математика”,
“Занимательная арифметика”, “Занимательная алгебра” и “Занимательная геометрия”
Я. И. Перельмана и “Математическая смекалка” Б. А. Кордемского
7
1.3 Математики, внесшие вклад в решение задач на смекалку.
Леонардо Фибоначчи родился и жил в Италии в городе Пиза в 12-13 вв. Его отец был
торговцем, и поэтому молодой Леонардо много путешествовал. На Востоке он
познакомился с арабской системой цифр; в последствии он проанализировал, описал и
представил ее европейскому обществу в своей знаменитой книге «Liber Abaci» («Книга
Счета»). Напомним, что в Европе в это время применялись Римские цифры, которыми
было жутко неудобно оперировать как при сложных математических и физических
вычислениях, так и при рутинной работе с финансами и бухгалтерией. А Леонардо
Фибоначчи представил Европе Арабские цифры, которыми пользуется практически
весь западный мир по сей день. Переход от Римской системы к Арабской произвел
революцию в математике и других науках, тесно с ней связанных.
Трудно представить, каков был бы мир, если бы тогда, в 13 веке, Фибоначчи не
опубликовал бы свою книгу и не изложил европейцам Арабские цифры. Интересно, что
мы с вами используем Арабские цифры не задумываясь, воспринимая их как само собой
разумеющееся. Но если бы не Леонардо Фибоначчи, кто знает как бы развивался ход
истории. Ведь представление и трактат Арабских чисел существенно изменил
средневековую математику в лучшую сторону; он продвинул ее вперед, а вместе с ней и
другие науки, такие как физику, механику, электронику и т.д. Заметьте, ведь именно эти
науки ведут прогресс вперед. Именно поэтому, в многом, ход истории, развитие
Европейской цивилизации и науки в целом обязаны Леонарду Фибоначчи.
Ряд чисел Фибоначчи
Второй выдающейся заслугой Леонардо Фибоначчи является ряд чисел Фибоначчи.
Считается, что об этом ряде было известно на Востоке, но именно Леонардо Фибоначчи
опубликовал этот ряд чисел в вышеупомянутой книге «Liber Abaci» (сделал он это для
демонстрации размножения популяции кроликов).
В последствии выяснилось, что эта последовательность чисел имеет важное значение не
только в математике, экономике, техническом анализе и финансах, но также в ботанике,
зоологии, физиологии, медицине, искусстве, а также философии, эстетике и многом
другом. Т.к. цивилизации этот ряд чисел стал известен от Леонардо Фибоначчи, его так и
прозвали, «Ряд Фибоначчи» или «Числа Фибоначчи».
8
Формула и пример ряда чисел Фибоначчи
В последовательности Фибоначчи, каждый элемент, начиная с третьего, является
суммой двух предыдущих элементов, при том, что ряд начинается с чисел 0 и 1. Итого
получается: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,
1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 …
Отношение двух соседних элементов ряда стремится к Золотому Сечению, т.е. к 1,618…
Уникальность этого числа состоит в том, что оно является одним из решений уравнения
x+1=x2. Вдумайтесь в смысл этого простого квадратного трехчлена: если вы не видите
красоту и загадочность, значит вы, увы, не дружите с математикой.
элементы ряда Фибоначчи применяются для вычисления
скользящих средних (не говоря уже о росте популяции кроликов), и шедевры мирового
искусства содержат в себе Золотое Сечение.
Фибоначчи — легендарная личность в математике, экономике и финансах; он
обнародо -вал Арабские числа и представил магический ряд чисел.
9
Задача придумана итальянским ученым Фибоначчи, жившим в 13-м веке.
Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон.
Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве
приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают
приносить приплод?
Ответ: 377 пар. В первый месяц кроликов окажется уже 2 пары: 1 первоначальная пара,
давшая приплод, и 1 родившаяся пара. Во второй месяц кроликов будет 3 пары: 1
первоначальная, снова давшая приплод, 1 растущая и 1 родившаяся. В третьем месяце - 5
пар: 2 пары, давшие приплод, 1 растущая и 2 родившиеся. В четвертом месяце - 8 пар: 3
пары, давшие приплод, 2 растущие пары, 3 родившиеся пары. Продолжая рассмотрение по
месяцам, можно установить связь между количествами кроликов в текущий месяц и в два
предыдущих. Если обозначить количество пар через N, а через m - порядковый номер
месяца, то Nm = Nm-1 + Nm-2 . С помощью этого выражения рассчитывают количество
кроликов по месяцам года: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
55, 89, 144, 233, 377.
10
ЭРАТОСФЕН (ок. 275–194 до н.э.), один из самых разносторонних
ученых античности. Особенно прославили Эратосфена труды по астрономии, географии и
математике, однако он успешно трудился и в области филологии, поэзии, музыки и
философии, за что современники дали ему прозвище Пентатл, т.е. Многоборец. Другое
его прозвище, Бета, т.е. «второй», по-видимому, также не содержит ничего
уничижительного: им желали показать, что во всех науках Эратосфен достигает не
высшего, но превосходного результата.Эратосфен родился в Африке, в Кирене. Учился
сначала в Александрии, а затем в Афинах у известных наставников, поэта Каллимаха,
грамматика Лисания, а также философов – стоика Аристона и платоника Аркесилая.
Вероятно, именно благодаря столь широкому образованию и разнообразию интересов ок.
245 до н.э. Эратосфен получил от Птолемея III Эвергета приглашение вернуться в
Александрию, чтобы стать воспитателем наследника престола и возглавить
Александрийскую библиотеку. Эратосфен принял это предложение и занимал должность
библиотекаря вплоть до своей кончины. Его научные таланты удостоились высокой
оценки современника Эратосфена, Архимеда, который посвятил ему свою книгу Эфодик
(т.е. Метод).
Сочинения Эратосфена не сохранились, мы имеем от них лишь фрагменты. Трактаты
Эратосфена Удвоение куба и О среднем были посвящены решению геометрических и
арифметических задач, в Платонике он обращается к математическим и музыкальным
основам платоновской философии. Самым знаменитым математическим открытием
Эратосфена стало т.н. «решето», с помощью которого находятся простые числа.
11
Решето́ Эратосфе́на
— алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа n, который
приписывают древнегреческому математику Эратосфену Киренскому. Алгоритм
Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу
Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:
1. Выписать подряд все целые числа от двух до n (2, 3, 4, …, n).
2. Пусть переменная p изначально равна двум — первому простому числу.
3. Считая от p шагами по p, вычеркнуть из списка все числа от 2p до n кратные p (то
есть числа 2p, 3p, 4p, …)
4. Найти первое не вычеркнутое число, большее чем p, и присвоить значению
переменной p это число.
5. Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока p не станет больше, чем n
Теперь все не вычеркнутые числа в списке — простые.
12
Глава 2. Классификация задач на смекалку.
Задачи на взвешивания и
переливания
В таких задачах от решающего требуется за ограниченное
число взвешиваний локализовать предмет, отличающийся от
остальных предметов по весу. Также в этой рубрике
рассматриваются задачи на переливание, в которых
необходимо получить определенное количество жидкости,
используя емкости заданного объема.
Нахождение лишнего
Требуется умение объединять группы объектов по
определенным признакам.
Текстовые задачи на
вычисления
Простые жизненные процессы, умение применить
математические знания в жизни.
Задачи на нахождение
логических ошибок,
задачи с подвохом
Развивают ценное и очень необходимое качество успешного
человека — критическое мышление. Учимся анализировать
условие. Иногда ответ содержится в самой задаче.
Задание на свойства
чисел и операции с ними
Свойство четных и нечетных чисел, правильная расстановка
скобок, расстановка цифр в числе, отвечающая определенным
условиям. Делимость чисел. Операции над числами.
Криптарифмы
Математический ребус, в котором зашифрован пример на
выполнение одного из арифметических действий. При этом,
одинаковые цифры шифруются одной и той же буквой, а
разным цифрам соответствуют различные буквы.
Задачи на логику и
рассуждения
Задачи, напрямую не связанные с вычислениями, но активно
развивающие мышление.
О времени
Вычислить дату, используя подсказки, вспомнить
закономерность работы часов или определить чей-то возраст
лишь по намекам.
На последовательности
чисел
В этих задачах необходимо разгадать принцип, по которому
задается определенная последовательность, и продолжить ее.
Задачи со спичками
Совершая манипуляции над спичками, необходимо добиться
требуемого результата. Большая часть этих задач относится к
числу «нестандартных», требующих навыка «оценить
ситуацию с неожиданной для большинства точки зрения или
усмотреть в условии возможность использования неочевидных
данных».
Ребусы
Игра, в которой зашифрованы слова, фразы или целые
высказывания при помощи рисунков в сочетании с буквами и
знаками.
Шахматы
Как правило, каждая ступень курса включает несколько
занятий (минимум 2) по шахматам. Основные фигуры. Учимся
строить эффективные стратегии, мыслить, принимать
взвешенные и рациональные решения
13
2.1 Логические задачи.
Известно несколько различных способов решения логических задач.
Метод рассуждений; Метод таблиц; Метод графов; Метод блок-схем; Метод бильярда;
Метод кругов Эйлера.
При решении логических задач на взаимно однозначное соответствие удобно записывать
данные в таблицу, где на пересечении строки и столбца ставим знак “+” или знак “-”.
1. Пятеро одноклассников – Ирена, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим стали победителями
олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии.
Известно, что
-победитель олимпиады по информатике учит Ирену и Тимура работе на компьютере;
-Камилла и Эльдар тоже заинтересовались информатикой;
-Тимур всегда побаивался физики;
-Камилла, Тимур и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;
-Тимур и Камилла поздравили победителя олимпиады по математике;
-Ирена сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.
Победителем, какой олимпиады стал каждый из этих ребят?
1 способ решения , с помощью таблицы
Ирена
Тимур
Камила
Эльдар
Залим
Физика
0
0
1
0
0
Математика
1
0
0
0
0
Информатика
0
0
0
0
1
Литература
0
0
0
1
0
2 способ решения , с помощью графов
И
Т К Э
З
Ф М И Л
Г
14
География
0
1
0
0
0
Ответ:
Ирена – победитель олимпиады по математике.
Тимур – по географии.
Камилла – по физике Эльдар – по литературе. Залим – по информатике
2. Три девочки – Роза, Маргарита и Анюта представили на конкурсе корзины из
выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая
маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не
совпадает с названием любимых цветов. Какие цветы вырастила каждая из
девочек?
Решение:
с помощью рассуждений
а) Аня вырастила не анютины глазки. б) Маргарита вырастила не маргаритки в)
Роза вырастила не розы. Роза могла вырастить либо розы, либо анютины глазки.
Роза вырастила не розы. Вывод: Роза вырастила анютины глазки. Маргарита
вырастила розы. Аня вырастила маргаритки.
3. Четыре приятеля – Женя, Костя, Дима и Вадим – делали украшения к празднику. Кто-то
делал гирлянды из золотой бумаги, кто-то – красные шары, кто-то гирлянды из
серебряной бумаги, а кто-то – хлопушки из золотой бумаги. Костя и Дима работали с
бумагой одного цвета, Женя и Костя делали одинаковые игрушки. Кто какие украшения
делал?
Ответ:
гирлянды из
золотой бумаги
гирлянды из
серебряной бумаги
хлопушки из
золотой бумаги
красные
шары
Женя
-
+
-
-
Костя
+
-
-
-
Дима
-
-
+
-
Вадим
-
-
-
+
Логические задачи на приведение во взаимно - однозначное
соответствие элементов
трех множеств удобно решать с помощью трехмерной таблицы
4. Маша, Лида, Женя и Катя играют на разных инструментах – баяне, рояле, гитаре,
скрипке, но каждая на одном. Они же владеют иностранными языками –
английским, французским, немецким, испанским, но каждая одним Кто играет на
каком инструменте и каким иностранным языком владеет?
15
Решение: строится пространственная система координат XYZ*, на осях проставляются
названия множеств* и элементы этих множеств*. Читается условие задачи*. Если пара
элементов в двух множествах находится в соответствии, то точка, лежащая на пересечении
14
соответствующих прямых, становится центром темного кружка, в противном случае белого кружка*. Применяется правило экстраполяции*. «Тёмная» экстраполяция. Если
на горизонтали (вертикали) все фигуры, кроме одной, светлые*,
то свободная занимается тёмной фигурой .«Светлая» экстраполяция. Если на
горизонтали (вертикали) имеется «тёмная» фигура*, то все остальные фигуры на ней светлые*. «Темная» фигура* в своей плоскости проектируется на координатные оси*.
Прямые, проведенные через проекции в двух других плоскостях*, раскрашиваются
одинаково*. Согласно второму решению, Маша играет на гитаре и владеет испанским
языком *, Лида играет на рояле и знает немецкий язык*, Женя играет на баяне и владеет
французским языком*, Катя играет на скрипке и знает английский язык*.
5. В классе 36 человек. После зимних каникул классный руководитель спросил учеников,
кто из ребят ходил в театр, кино или цирк.
Оказалось, что и в театре, и в кино , и в цирке побывало 2 человека. В кино побывало 10
человек; в театре - 14 человек; в цирке - 18 человек; и в театре, и в цирке - 8 человек; и в
кино, и в цирке - 5 человек; и в театре, и в кино - 3 человека; Сколько учеников класса не
посетили ни театр, ни кино, ни цирк?
Решение: Пусть большой круг изображает множество всех учеников класса. Внутри этого
круга построим три пересекающихся круга меньшего диаметра:* эти круги будут
изображать соответственно театр, кино и цирк. Для ясности эти круги обозначим буквами
Т*, К*, Ц*. Общей части всех трех кругов соответствует множество ребят, посетивших и
театр, и кино, и цирк, поэтому обозначим ее ТКЦ*. Через ТКЦ * обозначим множество
ребят, побывавших в театре и кино, но не побывавших в цирке. Аналогичным образом
обозначим и все остальные области, отрицание отметим чертой над символом. В кино
побывало 10 человек, в театре - 14 человек. в цирке - 18 человек. Так как и в театре, и в
кино, и в цирке побывало 2 человека, внесем в область ТКЦ * число 2. По условию задачи
и в театре, и в кино побывало 3 человека *, поэтому в область ТКЦ запишем 1 *. Так как и
в кино, и в цирке побывало 5 человек*, то в область ТКЦ внесем число 3.Так как и в
театре, и в цирке побывало 8 человек*, то в область ТКЦ внесем число 6*. Вычислим
сколько человек побывало только в театре*, только в кино* и только в цирке*.Нам
осталось узнать, сколько учащихся не посетили ни театр, ни кино, ни цирк. Для этого
сложим найденные числовые данные всех выделенных областей и вычтем полученное
число из общего количества учащихся класса. По условию задачи, всего в классе 36
человек,* значит не посетили ни театр, ни кино, ни цирк 8 человек*. Ответ: Не посетили
ни театр, ни кино, ни цирк 8 человек.
Т-14
к-10
Ц-18
16
Задачи о переправах.
4. Волк, коза и капуста. На берегу реки стоит крестьянин с лодкой, а рядом с ним
находятся волк, коза и капуста. Крестьянин должен переправиться сам и перевезти волка,
козу и капусту на другой берег. Однако в лодку кроме крестьянина помещается либо
только волк, либо только коза, либо только капуста. Оставлять же волка с козой или козу с
капустой без присмотра нельзя – волк может съесть козу, а коза – капусту. Как должен
вести себя крестьянин?
Ответ: Крестьянин может следовать одному из двух алгоритмов:
Алгоритм 1
Алгоритм 2
1
крестьянин и коза –>
1
крестьянин и коза –>
2
крестьянин <–
2
крестьянин <–
3
крестьянин и волк –>
3
крестьянин и капуста –>
4
крестьянин и коза <–
4
крестьянин и коза <–
5
крестьянин и капуста –>
5
крестьянин и волк –>
6
крестьянин <–
6
крестьянин <–
7
крестьянин и коза –>
7
крестьянин и коза –>
5. Два солдата подошли к реке, по которой на лодке катаются двое мальчиков. Как
солдатам переправиться на другой берег, если лодка вмещает только одного солдата, либо
двух мальчиков, а солдата и мальчика уже не вмещает?
Ответ: Пусть М1 и М2 – мальчики, С1 и С2 – солдаты. Алгоритм переправы может быть
таким:
1. М1 и М2 –>
2. М1 <–
3. С1 –>
4. М2 <–
5. М1 и М2 –>
6. М1 <–
7. С2 –>
8. М2 <–
17
Задачи о переливаниях
6. Как, имея два ведра емкостью 3 и 5 литров, набрать из водопроводного крана 7 литров
воды? Ответ:
Операция
Ведро
3л
5л
1-й шаг
0
5
2-й шаг
3
5–3=2
3-й шаг
0
2
4-й шаг
2
0
5-й шаг
2
5
Всего в двух ведрах 7 литров воды.
7. Злая мачеха отправила падчерицу к роднику за водой и сказала: “В наши ведра входит
5 и 9 литров воды. Возьми их и принеси ровно 3 литра воды”. Как должна действовать
падчерица, чтобы выполнить это поручение?
Операция
Ведро
9л
5л
1-й шаг
9
0
2-й шаг
9–5=4
5
3-й шаг
4
5–5=0
4-й шаг
0
4
5-й шаг
9
4
Ответ:
6-й шаг
9–1=8
4+1=5
7-й шаг
8
5–5=0
8-й шаг
8–5=3
5
18
2.2 Геометрические задачи на смекалку
1.Существует ли выпуклый многоугольник 1999-угольник, все углы которого выражаются
целым числом градусов?
Ответ: Не существует. Если бы он существовал, то все его внешние углы были бы не
меньше градуса и их сумма - не меньше 19990, но сумма внешних углов выпуклого
многоугольника равна 3600.
2. В вершинах шестиугольника ABCDEF (см. рис.) лежали 6 одинаковых на вид шариков: в
A — массой 1 г, в B — 2 г, ..., в F — 6 г. Шутник поменял местами два шарика в
противоположных вершинах. Имеются двухчашечные весы, позволяющие узнать, в какой
из чаш масса шариков больше. Как за одно взвешивание определить, какие именно
шарики переставлены?
Решение
Положим на левую чашу весов шарики из вершин A и E, а на правую — из вершин B и D.
Если шутник поменял местами шарики в вершинах A и D, то на левой чаше будет лежать
груз массой 4 + 5 = 9 грамм, а на правой — 1 + 2 = 3 грамма, и левая чаша перевесит. Если
он поменял местами шарики в вершинах B и E, то на левой и правой чаше будет лежать 1
+ 2 = 3 и 4 + 5 = 9 грамм соответственно, то есть правая чаша перевесит. Наконец, если он
поменял местами шарики в вершинах C и F, то на чашах будет лежать 1 + 5 = 6 и 2 + 4 = 6
грамм, то есть весы будут в равновесии. Таким образом, по положению весов можно
определить, какие шарики поменял местами шутник.
3. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки K и D соответственно. Точку E
выбрали так, что K – середина отрезка DE. Оказалось, что EAK=ACB и AE=DC.
Доказать, что BD – биссектриса угла ABC.
19
Решение.
Из точки D опустим перпендикуляры DL и DM на прямые AB и BC соответственно. Из
точки E опустим перпендикуляр EN на прямую AB. Прямоугольные треугольники AEN и
CDM равны по гипотенузе и острому углу. Значит DM=EN. Кроме того, EN=DL (из
равенства прямоугольных треугольников, если N и L различны, либо как совпадающие с
отрезками EK и DK, если точки N, L и K совпадают).
Значит DL=DM, и точка D равноудалена от сторон угла ABC и, следовательно, лежит на
биссектрисе этого угла.
4.В одной из вершин
а) октаэдра ; б) куба- сидит муха. Может ли она проползти по всем ребрам по одному разу
и возвратится в исходную вершину?
Решение:
а) Может. Например, путь мухи может быть таким : АВСDЕBFDACFEA
б) В каждой из восьми вершин куба сходится по три ребра, то есть в каждой из этих
вершин муха либо должна начинать свой путь , либо заканчивать , а это невозможно.
Ответ: в октаэдре- может; в кубе- не может.
5.Клетки таблицы 8Х8 покрашены в три цвета. Оказалось, что в таблице нет
трехклеточного уголка, все клетки которого одного цвета( трехклеточный уголок -это
фигура , получаемая из квадрата 2Х2 удалением одной клетки).Также оказалось . что в
таблице нет треклеточного уголка , все клетки которого трех разных цветов. Докажите,
что количество клеток каждого цвета четно.
Решение:
Рассмотрим произвольный квадрат 2Х2 . В нем не может быть клеток всех трех цветов,
так как тогда можно было бы найти трехклеточный уголок , все клетки которого трех
разных цветов. Также в этом квадратике 2Х2 все клетки не могут быть одного цвета, так
как тогда можно было бы найти трехклеточный уголок , все клетки которого одного цвета.
Значит . в этом квадратике клетки только двух цветов. Заметим , что в этом квадратике
клеток одного цвета не может быть 3, так как тогда можно было бы найти трехклеточный
уголок, все клетки которого одного цвета. То есть всего в этом квадратике по 2 клетки
двух цветов.
Разобьем теперь таблицу 8х8 на 16 квадратиков 2х2. В каждом из них либо нет клеток
первого цвета , либо две клетки первого цвета. То есть всего клеток первого цвета четное
количество. Аналогично клеток второго и третьего цветов четное количество.
6.В каждой клетке доски 7x7 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на
соседние (по горизонатале или вертикале) клетки. Обязательно ли при этом останется
пустая клетка?
Решение:
20
Воспользуемся методом раскрасок. Покрасим доску в два цвета с помощью шахматной
расцветки:
Переползая на соседнюю клетку, жук становится на клетку другого цвета. Но у нас 24
белых и 25 черных клеток. А, значит, как минимум одна черная клетка будет пустой.
Ответ: Да, обязательно будет одна пустая клетка.
7. Можно ли доску 10 на10 разрезать на прямоугольники 4 на 1?
Решение:
Рассмотрим раскраску доски в 4 цвета (см. рис. ). Заметим, что при такой раскраске
любой прямоугольник 4 на 1 закрывает по одной клетке каждого цвета, т. е. если бы
можно было разрезать нашу доску на 25 прямоугольников 4 на 1, то на доске должно было
быть по 25 клеток каждого цвета, однако, клеток второго цвета 26, — противоречие.
Ответ. Нельзя.
8. Из 27 монет одна фальшивая, отличающаяся от остальных большим весом. Какое
минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирек потребуется для
определения поддельной более тяжелой монеты?
Решение :
Разделим все монеты на 3 кучки по 9 монет.
21
1. Взвесим две любые кучки. Во время этого первого взвешивания определим кучку, в
которой находится фальшивая монета. Если взвешиваемые
кучки по весу равны, то фальшивая монета находится в третьей кучке, в противном
случае поддельная монета окажется в той кучке, которая окажется тяжелее.
2. Из подозрительной кучки в 9 монет возьмем две любые тройки монет и взвесим
их. Если выбранные произвольно группы из трех монет окажутся равными по весу,
то фальшивая монета будет в третьей, невзвешиваемой тройке, в противном случае
20
поддельная монета в той кучке из 3 монет, которая окажется тяжелее.
3. Возьмем из подозрительной тройки монет две любые и взвесим. Та монета,
которая перевесит, и будет фальшивой. Если выбранные монеты окажутся
одинакового веса, то поддельной будет третья монета.
Таким образом, из 27 монет с помощью трех взвешиваний всегда можно найти
одну более тяжелую монету.
22
2.3 Алгебраические задачи на смекалку
1.Известно, что
. Найти
.
Решение
Сложим дроби левой части:
Откуда
Значит
последнего равенства получим
. Снова сложив дроби в левой части
.
Окончательно имеем
2.Хулиганы Петя и Вася порвали стенгазету. Петя рвал каждый кусок на 7 частей , а Вася на 13 . собрали 2002 кусок стенгазеты. Учитель утверждает, что собрали не все. Прав ли
он?
Решение:
Предположим, что количество кусков -2001. Тогда 1+6Х+ 12У =2001;
6Х+12У=2000
3Х+6У=1000
Выражение в левой части кратно 3 , а правая часть не кратна 3. Получили противоречие.
Ответ: учитель прав.
3.Коммерсант Вася занялся торговлей. Каждое утро он покупает товар на некоторую часть
имеющихся у него денег (возможно, на все имеющиеся у него деньги). После обеда он
продаёт купленный товар в два раза дороже, чем купил. Как нужно торговать Васе, чтобы
через 5 дней у него было ровно 25000 рублей, если сначала у него было 1000 рублей.
Решение:
Первые четыре дня Вася должен покупать товар на все имеющиеся у него деньги. Тогда
через четыре дня у него будет 16000 рублей (1000-2000-4000-8000-16000). На пятый день
он должен купить товар на 9000 рублей. У него останется 7000 рублей. После обеда он
продаст товар за 18000 рублей, и у него станет ровно 25000 рублей.
4.Расшифруйте ребус
Замените звездочки цифрами так , чтобы выполнялись равенства во всех строках и каждое
число последней строки равнялось сумме чисел столбца , под которым оно расположено.
*1 х **= **0
6* : *7 = *
** +** =20
* 2 -* = *
*** +**=1**
23
Решение: 11х10=110
68:17 = 4
10+10= 20
12- 4 = 8
101 +41+142
5. В летнем лагере было 70 ребят. 27 из них занимаются в драмкружке, 32-поют в хоре,22спортсмены.В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре-6 спортсменов, в драм кружке 8спортсменов. 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в
хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят увлекаются
только спортом?
Решение
27-(10+5)=12-занимаются в драмкружке в хоре: 32-(10+3)=19 (ребят) ; занимаются
спортом: 22-(8+30=11 (ребят); 70-(27+19+3+11)=10 (ребят)- не занимаются ничем.
Ответ: ничем не занимаются 10 человек; увлечены спортом 11 ребят.
6. Трое человек имеют по некоторой сумме денег. Первый даст из своих денег двум другим
столько, сколько есть у каждого. После этого второй даёт двум другим столько, сколько
каждый из них имеет. Наконец, третий даёт двум другим столько, сколько есть у каждого.
После этого у каждого человека оказывается по 8 экю (экю - старинная французская
золотая монета ). Сколько денег было у каждого человека в начале?
Решение:
Задачу решаем с конца. Так как у каждого человека оказалось по 8 экю , значит, исходя из
условия задачи , у 1-го и 2-го до получения денег от 3-го человека было по 4 экю (8:2=4), а
у 3-го было 8+4+4=16 (экю) .У 1-го и 3-го до получения денег от 2-го было : у 1-го -2экю
(4:2=2) , у 3-го -8 экю (16:2=8) ,а у2-го человека было 14 экю (8+4+2=14). У 2-го и 3-го до
получения денег от 1-го было : у 2-го человека 14:2=7 (экю) , у 3-го-4экю ( 8:2=4), у 1-го 13, так как 2+7+4=13(экю)
I
II
III
13
7
4
2
14
8
4
4
16
8
8
8
7. В турнире каждый участник встретился с каждым один раз. Каждую встречу судил
один арбитр, и все арбитры судили разное количество встреч. Игрок Иванов утверждает,
что все его встречи судили разные арбитры. То же самое утверждают о себе игроки
Петров и Сидоров. Может ли быть, что никто из них не ошибается?
Решение
24
Пусть никто из трёх игроков не ошибся. Обозначим количество игроков через n, а
количество арбитров через m. Упорядочим арбитров по количеству встреч, которые они
судили. Тогда первый арбитр судил не менее 1 встречи, второй — не менее 2, ...,
последний — не менее m. Следовательно, общее количество встреч не менее 1 + 2 + ... +
m. С другой стороны, общее количество встреч равно
. Поэтому m ≤ n – 1.
Поскольку все n – 1 встреч с участием Иванова судили разные арбитры, m ≥ n – 1. Значит,
m = n – 1, и все выписанные выше неравенства обязаны быть равенствами, то есть первый
арбитр судил ровно 1 встречу, второй — ровно 2, ... , (n – 1)-й — ровно n – 1.
Рассмотрим арбитра, который судил ровно одну встречу. Поскольку арбитров n – 1, а все
встречи Иванова судили разные арбитры, этот арбитр судил одну из встреч Иванова. По
тем же причинам он судил одну из встреч Петрова, а также Сидорова. Но в единственной
встрече, которую он судил, участвовали только два игрока — противоречие.
Ответ нет.
8. В числе 333332222211111, записанном на доске, Петя стер три цифры и получил число
кратное 9. Какое число записано теперь на доске? (Указать все возможности и доказать,
что других нет.) Решение:
Число делится на 9 только в том случае, когда сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр
написанного числа равна 30. Сумма трех цифр от 1 до 3 может изменяться от 3 до 9.
Поэтому, после зачеркивания трех цифр сумма цифр нового числа может быть от 23 до
27. Из них кратно 9 только 27. Значит ,зачёркнуто три цифры сумма которых равна 3, то
есть, три единицы. На доске останется число: 333332222211.
9. Маленькие детки кушали конфетки. Каждый съел на 11 конфет меньше, чем все
остальные вместе, но все же больше одной конфеты. Сколько всего конфет было съедено?
Решение:
Выберем из детей одного — к примеру, Петю. Если из всех остальных конфет забрать 11,
останется столько же, сколько у Пети. Значит, удвоенное число конфет Пети равно общему
числу конфет без одиннадцати. То же можно сказать про любого из детей, значит, у всех
детей конфет поровну — скажем, по одной кучке.
Ясно, что каждый съел на целое число кучек меньше остальных вместе. Поэтому 11
делится на размер кучки. Значит (так как по условию каждый съел больше 1 конфеты), в
кучках по 11 конфет, т. е. каждый съел на кучку меньше остальных вместе. Петя съел одну
кучку, следовательно, остальные — две. Значит, всего кучек три, а конфет — 33.
Это же решение можно записать и алгебраически.
Обозначим через S общее число конфет, которые съели дети. Если один из детей съел a
конфет, то по условию все остальные съели a+11 конфет, и тем самым все вместе съели
S=a+(a+11)=2a+11 конфет. Такое рассуждение справедливо для каждого ребенка, поэтому
все дети съели одно и то же количество конфет: по a=(S–11)/2 штук.
Обозначим теперь через N число детей. Тогда условие записывается как a=a(N–1)–11 ,
откуда 11=a(N–2) . Число 11 простое, поэтому один из сомножителей равен 1, а другой 11.
Но по условию a>1 , поэтому a=11 , N–2=1 . Тем самым N=3 , и была съедена S=aN=33
конфеты. Ответ: 33 конфеты.
25
Заключение
1. В математике существуют различные виды задач на смекалку:
- на взвешивание и переливание
- логические задачи
-задачи на рассуждения
- задачи с геометрическим содержанием
-задачи на переправы
-алгебраические задачи
2. Методы решения таких задач заключается в логическом анализе условия, выборе
соответствующих законов математики и оптимального пути решения.
3. Нет универсального способа решения всех видов задач на смекалку, каждая
задача решается своим способом.
4. Задачи на смекалку помогают научиться самостоятельно мыслить, развивают
логику, интерес к математике. С их помощью можно ощутить связь математики с
проблемами реальной жизни.
Решены задачи, стоящие перед автором работы, а именно:
-изучить тему «Решение задач на смекалку», виды задач на смекалку и методы их
решения - решить несколько видов задач на смекалку, самостоятельно составить
алгоритм решения таких задач.
26
Список литературы:
1. Т.Д. Гаврилова: «Занимательная математика». Издательство «Учитель» 2008 г.
2. Е.Г. Козлова: «Сказки и подсказки». Издательство «Мирос» 1995 г.
3. Б. А. Кордемский: “Математическая смекалка” .Издательство «Государственное
издательство технико-теоретической литературы» 1958 г.
4. Я. И. Перельман: «Занимательная алгебра». Издательство «Столетие» 1994 г.
5.Р.М.Смаллиан «Как же называется эта книга?». Издательство «Дом Мещерякова»
2007г.
6. http:// festival.1september
7. .http:// matematika.gyn
8.www.smekalka.pp