Позиционная система счисления

Системы счисления. Непозиционные и позиционные системы
счисления.
1. Позиционные и непозиционные системы счисления
Системой счисления называется совокупность приемов и правил для
записи чисел цифровыми знаками. Любая предназначенная для
практического применения система счисления должна обеспечивать:
 возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне
величин;
 единственность представления (каждой комбинации символов должна
соответствовать одна и только одна величина);
 простоту оперирования числами.
Все системы представления чисел делят на позиционные и
непозиционные.
Непозиционная система счисления – система, для которой значение
символа не зависит от его положения в числе.
Для их образования используют в основном операции сложения и
вычитания. Например, система с одним символом-палочкой встречалась у
многих народов. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно
записать количество палочек, равное данному числу. Эта система
неэффективна, так как запись числа получается длинной. Другим примером
непозиционной системы счисления является римская система, использующая
набор следующих символов: I, V, X, L, C, D, M и т. д. В этой системе
существует отклонение от правила независимости значения цифры от
положения в числе. В числах LX и XL символ X принимает два различных
значения: +10 – в первом случае и –10 – во втором случае.
Позиционная система счисления – система, в которой значение
символа определяется его положением в числе: один и тот же знак принимает
различное значение. Например, в десятичном числе 222 первая цифра справа
означает две единицы, соседняя с ней – два десятка, а левая – две сотни.
Любая позиционная система характеризуется основанием. Основание
(базис) позиционной системы счисления – количество знаков или символов,
используемых для изображения числа в данной системе.
Для позиционной системы счисления справедливо равенство
A
 a qn  a
q n  1  ...  a q1  a q 0  a q  1  ...  a
q m,
(q)
n
n 1
1
0
1
m
(1)
где A(q) – произвольное число, записанное в системе счисления с основанием
q; ai – коэффициенты ряда (цифры системы счисления); n, m – количество
целых и дробных разрядов.
На практике используют сокращенную запись чисел:
(2)
A
 a a ...a a a ...a .
( q)
n n1
1 0 1
m
Например:
а) в двоичной системе (q=2)
11010.1012 = 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 + 1 · 2-1 + 0 · 2-2 + 1 · 2-3;
б) в троичной системе (q=3)
22120.2123 = 2 · 34 + 2 · 33 + 1 · 32 + 2 · 31 + 0 · 30 + 2 · 3-1 + 1 · 3-2 + 2 · 3-3;
в) в шестнадцатиричной системе (q=16)
A3F.1CD16 = A · 162 + 3 · 161 + F · 160 + 1 · 16-1 + C · 16-2 + D · 16-3.
Контрольные вопросы:
1. Что обеспечивает система счисления?
2. Какая система счисления называется позиционной?
3. Какая система счисления называется непозиционной?
4. Какое равенство отожествляется с позиционной системой
счисления?
5. Приведите примеры позиционных и непозиционных систем
счисления.
Лекция № 5
Тема: Недесятичная арифметика и её правила.
1. Двоичная арифметика
Арифметические операции во всех позиционных системах счисления
выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.
Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления.
В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц
происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд.
Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем
становится равной или большей основания.
Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с
вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из
младших разрядов в старшие.
В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112 :
1102
+
112
10012
Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе
счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и
затем их сложим:
1102=1*22 + 1*21+ 0*20 = 610;
112 = 1*21 + 1*20 = 310;
610 + 310 = 910.
Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:
10012 = 1*23 +0*22 + 0*21 + 1*20 = 910/
Сравним результаты – сложение выполнено правильно.
Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит
таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из
меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В
таблице заем обозначен 1 с чертой:
0-0 =_0
0-1 =11
1-0 = 1
1-1 = 0
Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с
вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из
старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных
чисел 1102 и 112:
1102
112
112
Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных
двоичных чисел:
0 *0 = 0
0 *1 = 0
1 *0 =0
1 * 1 =1
Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с
вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в
десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого
на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных
чисел и:
1102
x
112___
110
110____
100102
Деление.
Операция деления выполняется по алгоритму, подобному
алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В
качестве примера произведем деление двоичного числа 1102 и 112:
1102 112___
102
11
0
Контрольные вопросы:
1. Какая арифметика называется недесятичной?
2. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление
двоичной системе счисления?
3. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление
восьмеричной системе счисления?
в
в
4. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление
шестнадцатеричной системе счисления?
в